2020考研资料夹考研数三(1987-1997年)历年真题.pdf

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1、1997年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题（本题共5分,每小题3分，满分15分.把答案在题中横线上.）设y =/（In x）ef M，其中f可 微 则dy=若函数 f（x）=廿 方 +/?丁J；/（x）公，则 fxdx=.（3）差分方程til的通解为.若二次型/（X,&,&）=+x；+4+2%1x2+凡 是 正 定 的，则（的取值范围是.设随机变量X和y相互独立且都服从正态分布N（o3）,而X1,X9和X，,分别是来自总体X和r的简单随机样本厕统计量U =”+居 服从 分布（2分），参 数 为 _ _ _ _ _ _ _ _.二.选择题（本题共5小题,每小题3分，满 分15分.每

2、小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内）设函数/*）=1 sin力,g（x）=+g则当 3（）时,/（幻 是g（x）的（）J。5 6（A）低阶无穷小（B）高阶无穷小（C）等价无穷小（D）同阶但不等价的无穷小 若 f（x）=/（x）（7 x y）,在（,0）内/（尤）0,且 r（x）0，则在（OFE 内 有（）（A）r（x）0，r（x）0（B）r（x）o,ru）o(C)r(x)v 0 (x)0(D)r(x)o 设 向 量 组 弓，4，火 线性无关则下列向量组中，线性无关的是()(A)/+%,%+%，a3 一 a(B)/+%,%+%/+2%+%(C)%+2%,

3、2a2+3%，3a3+%(D)ax+%+%2%一3%+22%,3 +5%5%设 A 3 为同阶可逆矩阵，则()(A)A B =BA(B)存在可逆矩阵P，使P AP=B(C)存在可逆矩阵C,使CTAC=B(D)存在可逆矩阵P 和。，使P A Q =B(5)设两个随机变量X 与丫相互独立且同分布：P X=-=PY=-l=,P X=1=PY=1=g,则下列各式中成立的是()(A)尸 x =y=g (B)p x =y =i(C)p x +y=o=；(D)P x y =i=；三、(本题满分6分)在经济学中,称函数Q(x)=A6K-X+(1-8)I：X x为固定替代弹性生产函数，而称函数Q=A K-S为C

4、obb-Douglas生产函数（简 称CD生产函数）.试 证 明：但x f（）时,固定替代弹性生产函数变为C-D生产函数，即有lim Q（x）=Q.X TO四、（本题满分5分）设=/（x,y,z）有连续偏导数,y=y（x）和z=z（x）分别由方程*一 y=0和/xz=0所确定，求 学.ax五、（本题满分6分）一 商 家 销 售 某 种 商 品 的 价 格 满 足 关 系。=7-0.2 x（万元/吨）,x为销售量（单 位：吨），商品的成本函数C=3,+1（万元）.（1）若每销售一吨商品，政府要征税八万元），求该商家获最大利润时的销售量；（2），为何值时,政府税收总额最大.六、（本题满分6分）设函

5、数/（X）在 0,+8）上连续、单调不减且/（0）0,试证函数F(x)=hJ J0,若x 0,若x=0,在 0,+oo）上连续且单调不减（其中n 0）.七、（本题满分6分）从点，（1,0）作x轴的垂线，交抛物线y =V于点Q,（1,1）;再从。作这条抛物线的切线与x轴交于P2，然后又从写作工轴的垂线,交抛物线于点0，依次重复上述过程得到一系列的点片,Q ；,2 ；记，0 ；（1）求。勺；求级数2 6+2 6+0 2+的和其中n（n 1）为自然数，而MXM2表 示 点 与 知2之间的距离.八、（本题满分6分）设函数/）在 2,+8）上连续，且满足方程f(t)=e4 m 2+ff 必3)dxdy,

6、求 f(t).+2412九、（本题满分6分）设A为阶非奇异矩阵,a为维列向量,0为常数.记分块矩阵PE 0-a l*|A|，Q =A aa b其中A*是矩阵A的伴随矩阵,E为n阶单位矩阵.计 算 并 化 简P。;证 明：矩阵。可逆的充分必要条件是力一力，儿十、(本题满分10分)设 三 阶 实 对 称 矩 阵A的 特 征 值 是1,2,3；矩 阵A的 属 于 特 征 值1,2的 特 征 向 量 分 别 是a,=(-l,-l,l)r,a2=(l,-2,-l)7.(1)求A的属于特征值3的特征向量；(2)求矩阵A.十一、(本题满分7 分)假设随机变量x的绝对值不大于l;P X=-l =pX =l=!

7、；在事件8 4-1%；和 都 收 敛，则+匕 收敛n=l n=l/i=l(B)同 收 敛，则:与 如，:都收敛/:=1=1 =1c o(C)若正项级数y “发散，则 -(D)若级数”“收敛，且 un v(n=l,2,.)，则 级数 名 V,也收敛=lM=1 设 n 阶矩阵A 非奇异(w 2 2),A*是矩阵A 的伴随矩阵，则()(A)(A*)*=|A Z (B)(A*)*=|A Z(C)(A*)*=|A 2 A(D)(A)=|A 2 A 设 有 任 意 两 个 n 维向量组和必,力”，若 存 在 两 组 不 全 为 零 的 数 4,4”和区,k”,，使（4 +匕）+”+七）%,+（4 -kJ。

8、、+（4“-般）&=o,则）(A)a,-,a,“和 凡，见都线性相关(B)“和必，,才”都线性无关(C).+4-注-线性无关(D)ax+用,。,.+力.,必 一 夕 一 4线性相关 已知0 P(B)0/-/(l-x)2x-1,则曲线=/（幻在点（1,./）处的切线斜率为)(A)2(B)-1(C)7(D)-2（2）下列广义积分发散的是)r I 1(A)I -dxJT sin x(C)公Jor+oo 1 设矩阵4 x 的秩为 A）=2 则随b 的增大，概率P|X-“耳 ()(A)单调增大(B)单调减少(C)保持不变(D)增减不定三、(本题满分6分)y (1 COS X),厂设/(幻=1,x 0四.

9、(本题满分6分)已知连续函数/（X）满足条件f（x）=/|Y +/*,求/(%).五、（本题满分6分）将函数），=ln（l-x-2x2）展成x的幕级数,并指出其收敛区间.六、（本题满分5分）计算二次积分/=m in x,ye-(Mdxdy.J-0 0 J-0 0七、(本题满分6分)设某产品的需求函数为Q =Q(p)，收益函数为R=,其中p为产品价格,Q为需求量(产品的产量),Q(p)为单调减函数.如果当价格为P o,对应产量为&时，边际收益芸 =a 0,收益对价格的边际效应 =c 1 .求P。和g .d Q Q=Q,d p i八、(本题满分6分)设/(x)、g(无)在区间-a,a (a 0)上

10、 连 续g(x)为偶函数，且/(%)满足条件/(x)+/(x)=A(A 为常数).(1)证明 J：/(x)g(xg=Aj：g(x)tZx;(2)利用Q)的结论计算定积分J 2|sin a rc ta n e*心.九、（本题满分9分）已知向量组（1）1，%，3；（口）%,%，。3，。4；（叫 小 2，%，。5，如果各向量组的秩分别为 r（I）=II）=3,r（m）=4.证明:向量组%,火，&3，。5 -%的秩为4十、（本题满分10分）已知二次型/（4工2,玉）=4%；-3后+4玉%2-4%七+8工.（1）写出二次型/的矩阵表达式；（2）用正交变换把二次型/化为标准形，并写出相应的正交矩阵.十一、

11、（本题满分8分）假设一厂家生产的每台仪器，以概率0.70可以直接出厂；以概率0.3 0需进一步调试,经调试后以概率0.80可以出厂；以概率0.20定为不合格品不能出厂.现该厂新生产了n（n 2）台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立）.求：（1）全部能出厂的概率a ；(2)其中恰好有两台不能出厂的概率夕；(3)其中至少有两台不能出厂的概率火十二、(本题满分8分)已知随机变量x和y的联合概率密度为,、f4xy,0 x l,0 y l(P(x,y)=0,其 他求X和丫联合分布函数b(x,y).1994年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分，满 分15分.把答案填

12、在题中横线上.)L#=X 已 知 m 则叫(_狗年)设方程/+V=cos X确 定y为X的函数，则华=ax0 q 0 L 00 0 G2 L 0(4)设4=M M M M，其中a,H 0,j=l,2,L 则 X0 0 0 L tz.a 0 0 L 0（5）设随机变量X的概率密度为/(x)=2%,0,0%rt(B)r rt(C)r=4(D)r 与 4 的关系由C 而定 设 0 尸(A)l,O P(B)l,P(A|B)+P(N 5)=lJini()(A)事件A 和 8 互不相容(B)事件A 和 8 相互对立(C)事件A 和 8 互不独立(D)事件A 和 B 相互独立(5)设 乂,X2,X,是 来

13、自 正 态 总 体)的简单随机样本,X 是样本均值，记S；-X)2,5；(X,灭尸s；=：之 区-4)2,力(X,.一)2,则服从自由度为 1的分布的随机变量是().X -LI X -U(A)t=(B)t=-A/H 1yjn (C)(D)t=d3d4三、(本题满分6分)计算二重积分JJ(x+y)必 其 中。=1 羽田|+y2 0）与曲线y =In 在点（%,%）处有公共切线，求:（1）常数。及切点（%,%）；两曲线与x轴围成的平面图形绕x轴旋转所得旋转体的体积匕.（本题满分6分）假设/（%）在出,+8）上连续，/（X）在（4,物）内存在且大于零记网幻=四义2（彳 孙x-a证 明/（X）在（凡

14、物）内单调增加.九、（本题满分11分）设线性方程组2 3玉 +atx2+q&=4，*+a2x2+a =a：,Xf+a3x2+。.注=W，%+a4x2+ax3=a：.(1)证明:若4 M 2,6,%两两不相等，则此线性方程组无解；(2)设 4=%=k 4 =%=一k(k。0)，且已知自,A 是该方程组的两个解，其中-in r 1B=1 ,仅 2 =11 -1写出此方程组的通解.十、(本题满分8分)设 4=x 1 )1 0 0有三个线性无关的特征向量，求 x 和 应满足的条件.十一、（本题满分8分）假设随机变量XPX2,X3,X4相互独立，且同分布p X,=0=0.6,P Xi=1=0.4(/=1

15、,2,3,4),x X求行列式乂=1 2的概率分布X a X d十二、（本题满分8分）假设由自动线加工的某种零件的内径X（毫米）服从正态分布N（,l），内径小于10或大于12的为不合格品，其余为合格品,销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损.已知销售利润7（单位:元）与销售零件的内径X有如下关系：-1,X 10,T=12.问平均内径H取何值时，销售一个零件的平均利润最大？1993年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题（本题共5小题,每小题3分，满 分15分，把答案填在题中横线上.）r .3%2+5.2（1）hm-sin=.XT8 5X+3 x 已 知y =/俘二尸(xb a rc

16、ta n V则 半 =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.(3 x+2j dx v=0 级 数 耳 匚 的 和 为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.n=o 2(4)设4阶方阵A的秩为2，则其伴随矩阵A 的秩为.(5)设总体X的方差为L根据来自X的容量为100的简单随机样本，测得样本均值为5,贝！I X的数学期望的置信度近似等于0.95的置信区间为.二、选择题(本题共5小题,每小题3分，满 分1 5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内.)设,力=则 y(x)在点 x=()处()0,x=0,(A)极限不存在(B)极限存在但不连

17、续(C)连续但不可导(D)可导 设“力为连续函数且/(九)=M，则 户(x)等于()X(A)-/(ln x)+4/f-|(B)-/(ln x)+/f-X X yX J X x J(C)-,/(ln x)一_y/f-1 (D)/(InX X X)X,(3)阶方阵A具有个不同的特征值是A与对角阵相似的()(A)充分必要条件(B)充分而非必要条件(C)必要而非充分条件(D)既非充分也 必要条件(4)假设事件A和B满足P(3|A)=1,则()(A)A 是必然事件(B)P(5|A)=0.(C)A nB (D)A uB(5)设随机变量X的密度函数为(p(x)，旦夕(-x)=虱x).F(A)是X的分布函数则

18、对任意实数a，有()pa1 f(A)F(-a)-1 -J()(p(x)dx.(B)F(-a)=-_ J(|(pxdx(C)F(a)=F(a)(D)F(-a)=2F(a)-l三、(本题满分5分)设2=/(x,y)是由方程z-y-x+xe T=0所确定的二元函数求d z.四、(本题满分7分)已知lira、x-axx+a 7=求常数a的值.Ja五、(本题满分9分)设某产品的成本函数为C =aq1+bq+c,需求函数为4=,(4-),其中。为成本,q为需求量(即产量),p为单e价,a,b,c,d,e都是正的常数，且d b求(1)利润最大时的产量及最大利润；(2)需求对价格的弹性；(3)需求对价格弹性的

19、绝对值为1时的产量.六、(本题满分8分)假设：(1)函数y =/(x)(0 x田)满足条件/(0)=0和0 W/(x)e-l;(2)平行于y轴的动直线M N与曲线y =/和y =ex-l分别相交于点和;(3)曲线y =f(x)直 线M N与x轴所围封闭图形的面积S恒等于线段利 的长度求函数y =/(x)的表达式.七、(本题满分6分)假设函数/(X)在。1上 连 续 在(0,1)内二阶可导，过 点A(0J(0)与B(1 J)的直线与曲线y =/(x)相交于点 C(c(c),其中 0C Y l.证明:在(o,i)内至少存在一点j，使rc)=0.八、(本题满分10分)k为何值时，线性方程组X +工2

20、 +也=4,一X +Ax,+尤3 =k2,%|一 4 +2天 4有惟一解，无解，有无穷多组解?在有解情况下，求出其全部解.九、(本题满分9分)设二次型/=片 +尺+君+2a XW+2/?x,x,+2毛 毛经正交变换X =p y化 成/=+2$,其中乂=（/七,七）7和y=（x，%，为）,是三维列向量，P是3阶正交矩阵.试求常数0,/?.十、（本题满分8分）设随机变量X和丫同分布，X的概率密度为于（X）=x,0 x。和6 =y a 独立，目尸（A U 8）=j求常数.（2）求芹的数学期望.十一.(本题满分8分)假设一大型设备在任何长为f 的时间内发生故障的次数N )服从参数为 的泊松分布.(1)

21、求相继两次故障之间时间间隔T 的概率分布；(2)求在设备已经无故障工作8 小时的情形下，再无故障运行8 小时的概率Q.1992年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分，满 分15分，把答案填在题中横线上.)设商品的需求函数为Q=100-5P,其中Q,P分别表示为需求量和价格，如果商品需求弹性的绝对值大于1,则商品价格的取值范围是_ _ _.级 数 之 生 羿 的 收 敛 域 为.交 换 积 分 次 序 f(x,y)dx=.(0 A、设 A 为 机阶方阵8 为阶方阵且|A|=a,忸|=。=则|C|=.(5)将 C,C,E,E,I,N,S等七个字母随机地排成一行，

22、那么，恰好排成英文单词SCIENCE的概率为.二、选择题(本题共5 小题,每小题3 分，满 分 1 5 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)设F(x)=/力，其中/(%)为连续函数，则 lim F(x)等于()x-aJa I(A)a1(B)a2f(a)(C)0(D)不存在(2)当 x-()时，下面四个无穷小量中,哪一个是比其他三个更高阶的无穷小量？()(A)X2(B)1-cosx(C)V l-x2-1 (D)x-tan x(3)设 A 为 mx 矩阵，齐次线性方程组A r=0仅有零解的充分条件是()(A)A 的列向量线性无关(B)A

23、 的列向量线性相关(C)A 的行向量线性无关(D)A 的行向量线性相关(4)设当事件A与B同时发生时，事件C必发生，则()(A)P(C)P(A)+P(B)-1(C)P(C)=P(A3)(D)P(C)=P(A U 8)(5)设n个随机变量X,X2,%独立同分布,D(Xl)=a2,X=-Y xi,n,=i片 二 工 之 途,又f,则()一1 u(A)S是 b的无偏估计量(B)S是 cr的最大似然估计量（C）S是O的相合估计量（即一致估计量）（D）S与又相互独立三、（本题满分5分）In cos（x-l）,设函数./）=，1-s in-x 问函数/（x）在x=l处是否连续?若不连续，修改函数在x=l处

24、的定义使1,x=1.之连续.四、（本题满分5分）计算/=J吧詈与.五、（本题满分5分）X dz设 z=sin（W）+（px,），求-，其中（p（u,v）有二阶偏导数.y dxdy六、（本题满分5分）求连续函数/（%），使它满足/（x）+/力=%2.七、（本题满分6分）求证:当 x 2 1 时,arctan x arccos-=2 1 +x-4八、(本题满分9分)设曲线方程y=ef(xN O).(1)把曲线y=,x轴,y轴和直线x=J 4 0)所围成平面图形绕A-轴旋转一周彳导一旋转体，求此旋转体体积V)；求满足V(a)=:lim 丫 的a.2 A+co(2)在此曲线上找一点,使过该点的切线与两

25、个坐标轴所夹平面图形的面积最大，并求出该面积.九、(本题满分7分)设矩阵A与8相似其中-22302-10002000(1)求x和y的值.(2)求可逆矩阵P，使得P-AP =B.十.（本题满分6分）已知三阶矩阵8 w 0,且8的每一个列向量都是以下方程组的解:$+2X2-2X3=0,2x,一 元2+4当-0,3玉+一工3 =求4的值；（2）证 明 恸=0.十一、（本题满分6分）（A 0、设A、8分别为?、阶正定矩阵试判定分块矩阵。=是否是正定矩阵.十二、（本题满分7分）假设测量的随机误差X 口 N（0,l（）2）,试 求100次独立重复测量中,至少有三次测量误差的绝对值大于19.6的概率。,并利

26、用泊松分布求出a的近似值（要求小数点后取两位有效数字）.附表A1 2 3 4 5 6 7.e0.3 68 0.13 5 0.050 0.018 0.007 0.002 0.001.十三、（本题满分5分）一台设备由三大部分构成，在设备运转中各部件需要调整的概率相应为0.10,0.20和0.3 0.假设各部件的状态相互独立，以X表示同时需要调整的部件数，试求X的数学期望EX和方差O X .十四、（本题满分4分）设二维随机变量（X,丫）的概率密度为f(x,y)=0 x y,其他，（1）求随机变量X的密度力（X）；（2）求概率Px+y i .1991年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本

27、题满分1 5 分,每小题3 分.把答案填在题中横线上.)(1)设 2=6/贝!必=.设曲线/(x)=9+与 g(x)=法 2+C都通过点(T O),且在点(T O)有公共切线厕a=,b=rc=.设/(x)=xe*,则f，)(x)在点x=处取极小值.(Q A、(4)设 4 和 B 为可逆矩阵,X=为分块矩阵，则 X t=.(5)设随机变量X 的分布函数为0,0.4,R(x)=PX x=U.o,X 1,-14 x 1,1 x 3.则X的概率分布为.二、选择题(本题满分1 5 分,每小题3 分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)下列各式中正确的是

28、)(A)lim|1 +-.v-0+X(C)lim fl-X-00 xjXI =1(B)lim fl+-x-0+X)(D)lim|1+-X-00Xi-X(2)设0 W0/0.五、（本题满分5分）求微分方程盯华=/+V满 足 条 件=2 e的特解.六、（本题满分6分）假设曲线）:y =l-x2（O x l）,x轴 和y轴所围区域被曲线右：y =分为面积相等的两部分，其中。是大于零的常数，试确定。的值.七、（本题满分8分）某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为Q和P 2；销售量分别为0和%;需 求 函 数 分 别 为0 =24-0.20 和%=10-0.05P 2,总成本函数为 C=3

29、5+4O（q+%）.试 问：厂家如何确定两个市场的售价，能使其获得的总利润最大？最大利润为多少？八、（本题满分6分）试证明函数/a)=a+-y在区间(0,+8)内单调增加.X九、(本题满分7分)设有三维列向量问2取何值时，(1)夕可由名,线性表示，且表达式唯一？(2)口可由囚,见。3线性表示，且表达式不唯一?(3)夕不能由%,a 2，内 线性表示？十、(本题满分6分)考虑二次型/=才+4考+4后+2加9 2%鼻+4%玉.问力取何值时,/为正定二次型.十一、（本题满分6分）试证明维列向量组名,a 2,线性无关的充分必要条件是a：%aanD=aa2 a!2a,70,a：%tz2 aan其中a-表示

30、列向量a.、的转置,/=1,2,/?.十二、（本题满分5分）一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号显示的时间相等，以 X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数.求X的概率分布.十三、（本题满分6分）假设随机变量X和y在圆域Y+/0,x 0是未知参数,0是已知常数.试根据来自总体X的简单随机样本X,X2,X,求4的最大似然估计量A.1990年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题（本题满分15分,每小题3分.把答案填在题中横线上.）极限lim(J+3 G J-6)=.设函数/(X)有连续的导函数,/(0

31、)=0,r(0)=b若函数UH-0,/(x)=，XA,尤=0在 x=0 处连续，则常数A=.曲线y=f与直线y=x+2 所 围 成 的 平 面 图 形 的 面 积 为.若线性方程组玉+=一 ,%,+x,=a,3 2有解,则常数/，兄,心,4 应满足条件七+%=_%，+占=%(5)一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为，则 该 射 手 的 命 中 率 为.二、选择题(本题满分15 分,每小题3 分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)设函数.7(=石 抽 /叫 则/*)是 ()(A)偶函数(B)无界函数(C)周期函数(D)单调函数

32、 设函数/(%)对任意x 均满足等式/(I +x)=af(x)，且有尸(0)=b,其中a,b为非零常数厕()(A)/*)在 x=l处不可导(B)/在 x=l 处 可 导 且(=。(C)/(X)在 x=l 处可导，且/=。(D)/(x)在 x=l 处可导，且 r(l)=ab(3)向 量 组 4,线性无关的充分条件是(A)4,4均不为零向量(B),里中任意两个向量的分量不成比例(C)囚,，中任意一个向量均不能由其余$-1个向量线性表示(D)中有一部分向量线性无关(4)设 A,5 为两随机事件，且 B u A，则下列式子正确的是()(A)P(A+B)=P(A)(B)P(AB)=P(A)(C)P(却A

33、)=P(B)(D)P(8-A)=P(B)-P(A)(5)设随机变量X 和丫相互独立,其概率分布为m-1 1P Y =m 1 12 2P X=n t2 2则下列式子正确的是（）（A）X=Y（B）尸x =y=o （C）p x =y=g（D）p x =y=i三、计算题（本题满分20分,每小题5分.）（1）求函数/（x）=,dt在区间 e,e2 上的最大值.人 厂一 2/+1 计算二重积分JJ优孑d xd y,其中D是曲线y =4/和y =9 x2在第一象限所围成的区域.D 求级数之 士1匕的收敛域.=1 （4）求微分方程y +y c o s x=（In 的通解.四、（本题满分9分）某公司可通过电台及

34、报纸两种形式做销售某种商品的广告,根据统计资料，销售收入R（万元）与电台广告费用玉（万元）及报纸广告费用x,（万元）之间的关系有如下经验公式：R =15+14玉 +3 2x,8工 工2 10 x.（1）在广告费用不限的情况下，求最优广告策略；（2）若提供的广告费用为1.5万元，求相应的最优广告策略.五、（本题满分6分）设/（%）在闭区间 0,c 上连续，其导数/（X）在开区间（0,c）内存在且单调减少；/（0）=0,试应用拉格朗日中值定理证明不等式：/（a+b）/（）+f（b），其中常数。、b满足条件+8六、（本题满分8分）已知线性方程组X +%3 +%+无5 =。，3玉 +2X2+尤3 +Z

35、 -3X5=0,x2+2X3+2X4+6X5=b,5X+4X2+3X3+3&-X5=2,（1）a、力为何值时,方程组有解？（2）方程组有解时，求出方程组的导出组的一个基础解系；（3）方程组有解时，求出方程组的全部解.七、（本题满分5分）已知对于n阶方阵A，存在自然数k，使得A*=0,试证明矩阵E-A可逆，并写出其逆矩阵的表达式（E 为 n阶单位阵）.八、（本题满分6分）设A是”阶矩阵4和4是A的两个不同的特征值,X,x2是分别属于4和4的特征向量.试证明%,+x2不是A的特征向量.九、（本题满分4分）从0,1,2,9十个数字中任意选出三个不同数字，试求下列事件的概率：4 =三个数字中不含0和5

36、;A?=三个数字中不含0或5.十、（本题满分5分）一电子仪器由两个部件构成，以x和y分别表示两个部件的寿命（单位:干小时），已知x和y的联合分布函数为:尸(x,y)=-i-e-0-5x0-0.5 y+e 4 5(x+y)0,若 x 0,y 0,其他.（i）问x和y是否独立?（2）求两个部件的寿命都超过100小时的概率a.十一、（本题满分7 分）某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩（百分制）近似服从正态分布，平均成绩为72分96分以上的占考生总数的2.3%,试求考生的外语成绩在60分 至84分之间的概率.附表X0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0（X）0.500 0.692 0.8

37、41 0.93 3 0.977 0.994 0.999表中（x）是标准正态分布函数.1989年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题（本题满分15分,每小题3 分.把答案填在题中横线上.）曲线y =x+sin2x在点,1 +处的切线方程是_ _ .幕级数的收敛域是_ .n=O+1（3）齐次线性方程组A%1 +x2+x3=0,百+AX2+七=0,只有零解，则2应满足的条件是.X,+x2+x3=0(4)设随机变量X的分布函数为0,x0,/(x)=Asin x,1,7T0 x f271 3 b 二、选择题(本题满分15分,每小题3分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的

38、字母填在题后的括号内.)设 x)=2*+3-2,则当x f 0时()设A为 阶 方 阵 且=0,则(A)/(x)与x是等价无穷小量(B)/(x)与x是同阶但非等价无穷小量(C)/(x)是比x较高阶的无穷小量(D)/(x)是比x较低阶的无穷小量(2)在下列等式中，正确的结果是()(A)J/(x)公=/(x)(B)J(x)=/(x)(C)为 f(x)dx=/(x)(D)(A)A 中必有两行(列)的元素对应成比例(B)A 中任意一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合(C)A 中必有一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合(D)A 中至少有一行(列)的元素全为0(4)设 A 和 B 均为x

39、矩阵，则必有()(A)|4+同=|4+冏 (B)A B =BA(C)|阴=阚 (D)(A+8)-8T(5)以 A 表示事件 甲种产品畅销,乙种产品滞销，则其对立事件W为()(A)甲种产品滞销，乙种产品畅销 (B)甲、乙两种产品均畅销(C)甲种产品滞销 (D)甲种产品滞销或乙种产品畅销三、计算题(本题满分15分,每小题5 分)求极限lim(sin，+cos，.d2z(2)已知z=f(u,v),u=x+y,v=xy,且f(u,v)的二阶偏导数都连续.求丁丁.dxdy(3)求微分方程y+5y+6y=-的通解.四、(本题满分9 分)设某厂家打算生产一批商品投放市场.已知该商品的需求函数为p=p（x）=

40、10e 2,且最大需求量为6,其中x表示需求量,P表示价格.（1）求该商品的收益函数和边际收益函数.（2分）（2）求使收益最大时的产量、最大收益和相应的价格.（4分）（3）画出收益函数的图形.（3分）五、（本题满分9分）已知函数x,0 x 1,2-x,x2.试计算下列各题：（1）So =L/（x）gT公;（4 分）=1 7。一2州7公;（2 分）JOJ 2 2以”（=2,3,）;（1 分）S=、S.（2分）六、（本题满分6分）假设函数/（x）在 3,包上连续，在（。,加内可导，且f x）0,记证明在（。1）内,F（x）0.七.（本题满分5分）-0 1 0-1-f已知X =A X +5,其中A=

41、-1 1 1,B=2 0，求矩阵X-1 0-15-3八、（本题满分6分）设 囚=（1,1,1）,a2=（1,2,3）,a3=（1,3,0.问 当t为何值时,向量组a,a2,内 线性无关?（3分）问 当t为何值时,向量组囚,a 2，%线性相关?（1分）当向量组四,a 2，火 线性相关时，将%表 示 为i和4的线性组合Q分）九、（本题满分5分）-1 2 2设4=2-1-2.2-2-1Q）试求矩阵A的特征值；（2分）利用小题的结果,求矩阵E+A-的特征值，其中E是三阶单位矩阵.（3分）十、（本题满分7分）已知随机变量x和y的联合密度为f(x,y)=e(x+y),0 x +o o,0 y +o o,0

42、,其它.试 求:(1)P X y);(5 分)E(X Y).(2 分)十一、（本题满分8分）设随机变量X在 2,5上服从均匀分布,现在对X进行三次独立观测,试求至少有两次观测值大于3的概率.1988年全国硕士研究生入学统一考试数学(三)试题一、填空题(本题满分20分，每小题4 分)(1)若f(x)=(sin。5 0是(_8,8)上的连续函数,则_ _ _ _ _ _ _ _ _2x+a,x0(2)若 f(t)=lim t (l+-)2 a，W，0)=.18 X(3 )设f(x)是连续函数，且x,则47)=.(4)lim(-J=严=_ _ _ _ _ _ _ _ _.2+N X(5).二.选择题

43、:(本题满分20分，每小题4 分).(1)/(X)=；/+g f+6x+1的图形在点(0,1)处切线与X轴交点的坐标是()(A),：。(B)(-L0)(C)：。)(D)(L0)(2)若/(x后8(工庵(-8,8)上 皆 可 导，用(x)g(-x)(B)/(X)gx)(C)lim f(x)lim g(x)(D)f(t)dt 0)1987年全国硕士研究生入学统一考试数学(三)试题一、填空题(每小题2 分，满 分 10分。把答案填在题中横线上)(1)设y=ln(l+ax),其中a为非零常数，则y=.,/=.(2)曲线y =arctgx在横坐标为1点处的切线方程是_ _ _ _ _ _ _ _ _.；

44、法线方程是(3 )积分中值的条件是,结论是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 一2(4).+1(5)J fx)dx=.；”(2 x /x=.二、(本题满分6分)求 极 限 图(9 士)三、（本题满分7分）x=5（?-sin t）dy d2y设 1 c/i、，米 下y =5（1-c o s。ax dt四、（本 题 满 分8分）计 算 定 积 分j xarcsinxJx五、（本 题 满 分8分）设D是 曲 线），=sin x+1与 三 条 直 线x=O,x=肛y=0围成的曲边梯形。求D绕x轴旋转一周所生成的旋转体的体积。六、证明题（本题满分10分）（1）（5分）若/G盾（a 内 可 导，且导数

45、r（x）恒大于零，则/（X）在（。力）内单调增加。（2）（5分）若g（x）在x=c处二阶导数存在，且g（c）=0,g（c）箴=（）的解。（2）（8分）求微分方程y +2y +y =xe 的通解。九、选择题(每小题4分，满 分16分)f(x)=|xsin|ecosx,-oo x +oo()(A)有界函数(B)单调函数(C)周期函数(D)偶函数 函数/(x)-x s i n x()(A)当 Xf 8 时为无穷大(B)当 X.8 时有极限(C)在(-8,+00)内有界(D)在(一8,+8)内无界 设/(x)在x=a 处可导，则-等于()X(A)/Q)(B)2 r (a)(C)0(D)r(2a)s 设/(X)为已知连续函数，/=汇/(枕心,s 0J 0,则/的值()*0(A)依赖与s 和 t(B)依赖与s、t、x(C)依赖与t 和 x,不依赖与s(D)依赖与s,不依赖与t十、(本题满分10分)在第一象限内，求曲线y=-Y +i 上的一点，使该点处切线与所给曲线及两坐标围成的面积为最小，并求此最小面积。