数列专练题解.pdf

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1、1.已知数列 4 (可*)是等比数歹山且氏0,%=2,%=8.(1)求数列 4 的通项公式；(2)求证：-1 I-1 4-g 2”“+1,求 数 列 出 的前10 0 项和2.数列 a j 中，=8,%=2,且满足%+2一。,=常数。(1)求常数C和数列的通项公式；(2)设 7 0 =1 q I +1 4 I +1 出0 L(3)7；=141+1 4 1+”1，N+3.已知数列%的相邻两项a,见事是关于x 的方程X?-2 x+a=0 (e N *)的两根，且3 =1.(1)求证：数 列 “-32；是等比数列；(2)求 数 列 出 的前项和S“.4.在等比数列 an (n C N*)中，已知 a

2、i l,q 0.bn=l og2an,且+63+65=6,bi b3b5=0.(1)求数列 a。、bn 的通项公式a”、bn；(2)若数列 bn 的前n 项和为S n，试比较S n 与 an的大小.5.已知数列 4 的前n项和为5”，且。是 5n 与 2 的等差中项，数列 6 中，4=1,点 P (bn,bn r t)在直线 x-y+2=0 上。(1)求 出 和。2的值；(2)求数列%,6 的通项4 和几；(3)设cn=an bn,求数列 6 的前n项 和 Tn6.已知数列%的前口项和为5“,4=；且 2,=5,1+4 1+；,螂|低 满 足 仇=婴且 3%-%=(22且“”).(1)求%的通

3、项公式：(2)求证：数列 2 一a“为等比数列；(3)求 低 前 n 项和的最小值.7.已知等差数列%的前9项和为153.(1)求 知；(2)若 的=&，从数列 氏 中，依次取出第二项、第四项、第八项.第2项，按原来的顺序组成一个新的数列 c,),求数列卜“的前n项和S,8 .在数列上“冲，a,=2,all+i=Aan+2n+1+(2-2)2H(n e ,A 0)(1)求证：数歹！J殳(2)是等差数列；(2)求数列 4 的前n项和S“9 .已知二次函数/(x)=a/+b x满足条件:/(0)=/；x)的最小值为 L8(I)求函数/(x)的解析式；(H)设数列%的前项积为7；,且=一 ，求数列5

4、“的通项公式；(HI)在(II)的条件下，若5/(。“)是2与 乙 的等差中项，试问数列 ,中第几项的值最小？求出这个最小值.10 .已知函数f(x)=x?-4,设曲线y=f(x)在 点(X f (x)处的切线与x轴的交点为(X n*i,0 )(n w N *),(I)用Xn表示X l；(II)若X1=4,记a,=l g i Z,证明数列 a 成等比数列，并求数列 4 的通项公式；(HI)若X L 4,bn-Xn-2,Tn是 数 列 b j的前n项和，证明Tn 3.2010届高三文科数学小综合专题练习数列东莞市第一中学老师提供1.已知数列 a,(e N*)是等比数列，且4O,q=2,a3=8.

5、(1)求数列 a“的通项公式；(2)求证+-1；%2%(3)设。“=21og 2%+1,求 数 列 也 的前10 0项和.2.数列 aj中，q=8,a4=2,且 满 足 一。用=常数C(1)求常数C和数列的通项公式；设4 0 =16 1 +1出1+220 L(3)7；=l q I +Q 1+1%I,3.已知数列a=1,q 0.设 b/logzan，b i+b3+bs=6,bb3b5=0.(1)求数列 an、bn的通项公式an bn；(2)若数列 bn的前n项和为S ,试比较Sn与an的大小.8.已知数列%的前 项和为5”，且。.是 5f，与 2 的等差中项，数列 b j中，闻=1,点 P(b”

6、bn+i)在直线 x-y+2=0 上。(1)求 s 和 的 值；(2)求数列 4 ,b“的通项小和 6；(3)设cn=an bn,求数列 品 的前n 项 和 Tn,9.已知数列 怎 的前n 项和为S”,q=；且 S“=S“T+a“T+g,|也 满足仿=一 詈且 30 一/_1-n (n 2月.w N*).(1)求%的通项公式；(2)求证：数 歹 一 区,为等比数列；(3)求 也 前 项和的最小值.1 0.已知等差数列 )的前9 项和为1 53.(1)求 生；(2)若 出=&,从数列%中，依次取出第二项、第四项、第八项，第 2”项,按原来的顺序组成一个新的数列卜“,求数列卜“的前n 项和5.1

7、1.已知曲线C ：y=e，(其中e为自然对数的底数)在点尸(l,e)处的切线与x轴交于点2,过点。作 x轴的垂线交曲线C于点，曲线C在点处的切线与x轴交于点0 2,过点。2作 x轴的垂线交曲线。于点舄，依次下去得到一系列点、？、P,设点与的坐标为e N*).(I )分别求x,与 此 的表达式；(I I)求 著 3./1=11 2.在数列%忡，a,=2,a,l+lAa+/ln+l+(2 /l)2 (N*,/l 0)(2)求证：数列 以-(1)是等差数列;(3)求数列”“的前n 项和S“；1 3.在等差数列%中，公差d HO,且%=6,(1)求知+%,的值.(2)当4=3 时，在数列 4 中是否存

8、在一项4“(加正整数)，使得 4，火，成等比数列，若存在，求加的值；若不存在，说明理由.(3)若自然数,%,3，(/为正整数)满足5 n,n2 使得%，为 4,，4,，成等比数列，当%=2时，用 f表示1 4 .已知二次函数/(幻=以2+云满足条件:/(o)=/；/的 最 小 值 为 L8(I)求函数/(外的解析式；(I I)设数列 4 的前项积为9,且雹，求数列 4 的通项公式；(H I)在(U)的条件下，若 5/(4)是 d与 4 的等差中项，试问数列也,中第几项的值最小？求出这个最小值.1 5.已知函数f(x)=x?-4,设曲线y=f(x)在 点(X n,f(X n)处的切线与x轴的交点

9、为(xn+i,0)(ne N *),(I )用 X n 表 X n“；(I I )若处=4,记 4=l g Z ,证明数列 a 成等比数列，并求数列 的通项公“2式；(W)若 x i=4,b=x-2,T是 数 列 b j 的前n 项和，证明T 3.2010届高三文科数学小综合专题练习数列参考答案1.解：（D设等比数列 4的公比为小Q则 由 等 比 数 列 的 通 项 公 式%得%二才=|=4,又 见0,，q=2 L L（2分）.数列%,的通项公式是4=2X2T=2 L L（3分）.2a31 1 1.5 +级+”an1 1 1_ x _，2 2 22 ,11-2=1-舁 L(6分),L(7分)，

10、1 1 1,1 ,一+L +I L L4 a2%an(3)由 分=2幅2 +1 =2 +1 1 _ 1 _(9 ),又 施 数 一%=2 +1-2(1)+1 =2(),数 列 核审项为3,公差为2的 等 差 数 列1 1况L100 x 99数 列 也 的前1 0 0项和是SM=1 0 0 X 3+；X 2 =1 0 2 0 0 L L2.解：(1)C=-2 an 1 0 2nQ)T”=1 q I +I 的 I +I。5 I +1I +I%I=q +2+。5一(。6+27 +Q)=2(q+%4-1-t z5)-(%+4-%+4 +a?+4,)=2 S5S?o=2 6Oz,=9nn2,n 53.解

11、：Sn=q +。2+。3+一以2“=(q +。3+4 5 +-%2“_|)+(。2+%+4 +42)=(升4 2斗 2$22,-|)+(3+7+l l +-0=1-4，)+3n +-41-4 22(4-1)2=-F +2 34.解：证 法1：.%,知+1是关于的 方 程/一2 彳+,=0(V“)的两根,a”+J=2，.b.=aan+l.1f I由%+。用=2,得+l-x2+=-lx 2Jk J故数列，x 2是首项为q-2=_L,公比为一 i的等比数列.3 J 3 3证法2:,即+1是关于x的方程 一 2 x+，=0(e N *)的两根,.+%+i=2”,2+1 =3.9 分当 眸1沆车报废最合

12、算.10分6.解：第 1年投入为800万元，第 2 年投入为800X(1-1)万元，第 年 投 入 为 800X(l1)T 万元，所以，年内的总投入为1 1 a=800+800X(l-)+-+800X(1-尸=V5 5 JJ J k=800X(1-1)*-,4=4000X l-(y)rt第 1 年旅游业收入为400万元，第 2 年旅游业收入为400X(1+,),，第年旅游业4收入400 X(1+4)1 万元.所以，年内的旅游业总收入为40=400+400X(1+上)+400X(l+-)*-=Y 4 0 0 X(-)*-1.4 4 4=1600X4(2)设至少经过“年旅游业的总收入才能超过总投入

13、，由 此 九 一%0,即：5 4 41600X E(-)n-l -4000X 1-(-)0,令*=(二)，4 5 5代入上式得：5 1.7x+20.解此不等式，得，；2 ，或1(舍去).即(14 )0,，%,bn=l o g2 册，帅3b5=0 及却却有即 a5=1,b5=0.由竦 力 5=6%=0,由 +&=6,l o g 2 =6,.qg=26=64,口 口 周得 64,.二。2 =8.*.a5=。2 夕 3=8 q 3 q =a2=夕 囚=1 6.：.an=aqn=1 6()w-1=25H；=l o g2arl=5-n.(6)(2)由 仰乩=5-昌=他 押=吧 詈.当心 H j 9$,S

14、n 0,an 0,an Sn;当或时或或,4=4 7;%=1 6 8,.4 S;当 眸 3.4 5 6 7 8、4 1f=9 1 Q I 0 9、7 4,a,产 4 2 1 -an S;当 盛 5 6 久 8、，an 2,H N*).。声0,，2=2(N 2,n e N*)，即数列 4 是等比树立.3=2,.血=2”-i,点 P(b”bn+i)在直线 x-y+2=0 上，bn-bn+i+2=0,.bn-bn=2,即数列 b“是等差数列，又名=1,.b/Z n-l,(3)Vcn=(2n-l)2n/.Tn=aibi+a2b2+anbn=l X 2+3 X 22+5 X 23+(2n-l)2,，2T

15、n=l X 2,3 X23+(2n-3)2+(2-l)2*i因此：-7“=1X2+(2X22+2X23+2X2)-(2-l)2i,即s -Tn=lX2+(23+24+2n+1)-(2n-l)2n+:.T=(2n-3)2n+1+69.解：(1油25,=25“_1+21 +1得2 4.=2%_|+1,凡-8分?.a=-32),.1-3a1-3-14 分.2分.4分.,1,1 1 1 1 ,1 1 1 3、,一%=T+-5 +工=1 +=_ +/bn-i-4一1 =O l 一 耳(.1)+1 万 +W二由上面两式得 二=工,又 一，=303 4 4二数歹!)4 是以-30为首项,;为公比的等比数歹!

16、.8分(3)由(2)得 b*_ a,=-3 0 x(；)1，二4=%30 x尸=；_；_ 30 x(I)-1b-%=H-30 X g y i _ g(”-1)+；+30 X g)-2=；+3 0 x(g)T(l-；)=；+20 x(g)2 0，.,是递增数列.11 分11 Q 3 5 1 0当 n=l 时，b.=-0；当 n=2 时，b-,=10 0；当 n=3 时，b-,=-(),所以，从第4项起的各项均大于0,故 前3项之和最小.K 5,=-(1+3+5)-3 0-1 0-=-41 3 4 3 1213分1。.解：=答=9牝=153 3.5分(2)设 数 列%的公差为d,贝 小 2 =%+

17、d=8%=%+4d=176 Z =5d=3an=3 +2.9 分Stl=a2+aA+劭+%,=3(2+4+8+2)+2 =3 2向+2-6 12分1L 解：(I)V/=,.曲线C：y=e在点尸(l,e)处的切线方程为y e=e(x 1),即了=勿.此切线与x轴的交点2,的坐标为(0,0),.点耳的坐标为(0,1).2分.点的坐标为(x,y,)(eN*),二曲线C：y=e*在 点 片(x“,为)处的切线方程为y-e*=e%(x-x“)，.4分令y=0,得点。向的横坐标为x,川=x“-l.数列%是以0为首项，-1为公差的等差数列.xn-l n,yn-en.(n e N).8 分(II).一%=+x

18、2y2+x3y3+.+x“y“/=1S=3 4e 4.(1 n)e (1)eS=eFie 3e2 4e 3.(1 n)e2”(2)(1)一御 到：il-e S =l e e 2+.+/(1 n)e!n“14 分12.解：(1)由a“+I=/la“+/r”+(2 /l)2,(N*,/l0),可得所以 -c1)是首项为o,公差为1的等差数列.(2)解:=_ 即 an=(n-l)A+2,(ne N*)设7；=九2 +2/+(_ 2)心T+(-1)27；,=23+224+-+(-2)2+(n-l)/ln+,当 4/1 时，(1-2)7；,=22+23+24+2-(n-1)2+|万(1一 犷)(八 小=

19、:-(-1)41 7 1_ 储 _ 犷 (_ 1)用 _ _ 1)沈2 _ 储+1 +-2(1-2)2 12 (1-2)213.解：(1)在等差数列q,中，公差d H 0,且%=6,贝J 2%=&+%+&=1.3 分(2)在等差数列%中，公差d丰0,且%=6,4=3贝!1=d=,a,=0 an=(n-1)nwN*q+4d=6 2 n 2V 7又a52=a3a ,贝!J 36=3a“，/.72=(m-l),m=9.7 分(3)在等差数列q 中，公差d w。，且%=6,%=2+2d=2贝!j 4 =d=2,aj=-2,an=2 -4,n e Nq+4d=6又因为公比q=&=0=3,首 项%=2,；

20、.%=23+ia-.2又因为 4 =2,一4,.2%4=23小，=3*+2 nwN*.12分a+b-014.解:由题知：0-h 2-1I.4a 81a=解得1 2b=I 2，故/(工)=5%2-5%2 分。-I=(1 (N2),又q =(=1满 足 上 式.所 以4=图(w N*)7 分(3)若5/(4)是包与可的等差中项，则2 x 5/3“)=%+4,1 1 1 0 3 O 9从而 10(-2-%)=a +a,得 b.=5a2-6a,=5(a-)2-.因为 =(1)(e N*)是的减函数，所以3当即 4 3(e N*)时，或随的增大而减小，此时最小值为巴；当与 1,即 2 4(N*)时，随n

21、的增大而增大，此时最小值为/小3 3 3又 叫 一彳 4 4 -B，所以打 04，5即数列 么 中。、最小，且a =5.12分15.解：(I)由题可得fx)=2 x.所以曲线y=/(x)在点(x,J(x.)处的切线方程是：y /(x“)=/(x“)(x 乙).即 y-(#-4)=2x”(x x”).令y=0,得一(片一4)=2彳“区+1一相).B Px-+4 =2xx+1.显然X“0，X“+1 =j+2 x(H)由 x=%+2,知 x+2=%+2 +2=工 2 1,同理 X,M2=(.仁 2匚.十 1 C 十 1 G 7-j+1 gZ Xn 乙 Xn故 也2=(%J Z)2.从而1 1士2 =2尼刍 2,即?M=2 a”.所以，数列X +I 一 Z X”-Z X“+-z xn-z 4 成等比数列.故4=2 T%=2-g土土2=2 T g3.即 lg 2 =2-g3.玉一2 xn-2从而g=32 所以.岑业五一2 32-1(m)由(U)知 乙=毛 丁 也，32-1.,c 4 八.bll+.32，-1 1 11 1 32 1 hn 3r-l 32+1 32 32 3%）y.1 3 T”=A+2+2 4+；4+（；）当”=1 时，显然（=4=2 1 时，/2 4）力1 3-1 、3/一 乙 、3,4”n-bX=-1-3综上，7；3（eN*）.