吉林省三校联考2023年高考冲刺数学模拟试题含解析.pdf

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1、2023年高考数学模拟试卷注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。2 21.已知双曲线：二-与=1（。0,。0）的右焦点为尸，过原点的直线/与双曲线r的左、右两支

2、分别交于ABa两点，延长B b交右支于C点，若A P J.E B,|C F|=3|F 8|,则双曲线的离心率是（）AV17 映 3A.-B.一C.D.画3 23 22.若单位向量,工夹角为6 0。,A.-1 B.23,若(1-1)刈9=%+q(工+)+a=A-,且=行，则实数4=()C.0 或一1 D.2 或一 1+a2019(x+1)209,x e R ,则“2 +生，？+-a.9 3239的 值 为()A.-1-22019 B.-1+22019 C.1-22019 D.1+220194.已知斜率为2的直线/过抛物线C：y2=2px(p 0)的焦点F,且与抛物线交于A,B两点，若线段AB的中

3、点M的纵坐标为1,则p=()A.1 B.y/2C.2 D.45.设集合A=l,2,6,8=-2,2,4,C=x e R|-2 x 6 ,贝！）（AUB）n C=（）A.2 B.1,2,4）C.1,2,4,6 D.x eR|-l x 5 6.已知数列 为 的前项和为S“，且%M=及 二1,%=1,GN*,贝！J4 的通项公式。“=（）2n lA.n B.n+C.2/7-1 D.2n+l7.已知a,力是两条不同的直线，a,A是两个不同的平面，且a u/7,a/3=b,贝!|“W/a”是“a/b”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8.已 知 集 合/

4、=（工0）|%+丁 4速、y w N*,则集合M的非空子集个数是（）A.2B.3C.7D.89.九章算术中记载，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图,4在堑堵ABC-A 4 G 中，A C B C,A4,=2,当阳马8 A C G 4 体积的最大值为时，堑堵ABC-A/iG 的外接球的体积为（）A4 872 32 64夜A 兀 B-兀 C 兀 D -7C3 3 3 310.上世纪末河南出土的以鹤的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（图 1）,充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数学水平，也印证了我国古代音律与历法的密切联系.图2 为骨笛测量“春（秋）分

5、”，“夏（冬）至”的示意图，图 3 是某骨笛的部分测量数据（骨笛的弯曲忽略不计），夏 至（或冬至）日 光（当日正午太阳光线）与春秋分日光（当日正午太阳光线）的夹角等于黄赤交角.图1由历法理论知，黄赤交角近1 万年持续减小，其正切值及对应的年代如下表:黄赤交角23。4 r235724 132428,24。44正切值0.4390.4440.4500.4550.461年代公元元年公元前2000年公元前4000年公元前6000年公元前8000年根据以上信息，通过计算黄赤交角，可估计该骨笛的大致年代是（）A.公元前2000年到公元元年 B.公元前4000年到公元前2000年C.公元前600（）年到公元前

6、400（）年 D.早于公元前600（）年11.设 复 数 z 满足囱=发+1,z 在复平面内对应的点的坐标为（乂 门 则（）A.x2=2 y +lB./=2x4-1C.x2=2y-lD.y2=2x-l(n12.已 知 函 数 是R上的偶函数，且当X O,T P。)时，函数/(x)是单调递减函数，则 l o g 25),f 10g3-,/(l o g s 3)的大小关系是()A./l o g3/(l o g53)/(l o g25)B.f l o g3 /(l o g25)/(l o g53)C./(l o g,3)/|l o g31 J /(l o g2 5)D./(l o g25)/|l o

7、 g31()且 存1)在定义域 i,网上的值域是/，n2(l/n 。0)的上顶点为B,圆C :d+2=4与)，轴的正半轴交于点A,与C有且仅有两个交点且都在C轴上，=(。为坐标原点).OA 2(1)求椭圆C的方程；(2)已知点。不过。点且斜率为一;的直线/与椭圆。交于两点，证明：直线D M与直线D N的斜率互为相反数.20.(12分)已知函数/*)=e瑞，(1)证明：/(x)在区间(0,1)单调递减；(2)证明：对任意的x e(0,l)有J白21.(12分)已知数列 4 中，q=a(实数。为常数)，4 =2 是其前几项和，S =(；且 数 列 也 是等比数列，=2,%恰为S 4与 T 的等比中

8、项.(1)证明：数列 4 是等差数列；(2)求数列 2 的通项公式；3 1 1 1 r 、(3)若。=一,当“2 2时G,=7 7+7-+不，c“的前”项和为，求证：对任意 N2,都有2%+1%+2 b(127；,6 +13,22.(10分)如图，四棱锥P-A B C。中，四边形A B C。是矩形，A B=A D,P A0为正三角形，且平面2平面A B C。，E、尸分别为PC、P B的中点.（1）证明：平面A D E E _ L平 面P 8C ；（2）求二面角6-。一。的余弦值.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.D

9、【解析】设双曲线的左焦点为尸1 连接 BE,AF,C F,设=x，则 C尸=3x,B F 2 a+x,CF 3 x+2a,RtCBF 和RfA F BF 中,利用勾股定理计算得到答案.【详解】设双曲线的左焦点为尸，连接B尸，A F,，CF,设B/=x,则C F =3x,BF 2a+x,CF 3 x+2a,A F F B,根据对称性知四边形A E B P为矩形，RfA CBF 中:C F，2=C B、B FQ,即（3x +2a =（4 j+（2a +x）2,解得x =a；R f B F 中:F F 2 B F2+BF 2 即（2c）?=+（3a）?,故/=?，故=叵.a 2 2故选：D.【点 睛

10、】本题考查了双曲线离心率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.2.D【解 析】利用向量模的运算列方程，结合向量数量积的运算，求 得 实 数X的值.【详 解】由 于 同=6，所 以7=3,即（混-目、3,力家2_ 2猛e2+e2-A2-2 A-c o s 60,+1=3，解 得4=2或4=-1.故选：D【点 睛】本小题主要考查向量模的运算，考查向量数量积的运算，属于基础题.3.A【解 析】即 分 一彳一2=0,取x =T,得至i j%=22 取 工=2,则 为+。3+廿32+%0|9.32|9=-1,计算得到答案.【详 解】取 =1,得 到%=2刈9；取x =2,则 +。3+。2,3 2+i-

11、a2019-3209=-1.故 a/3+j 3 2 +%0|9,32|9=-1 一 2?叫故选：A.【点睛】本题考查了二项式定理的应用，取 x=-l 和 x=2 是解题的关键.4.C【解析】设直线I的方程为x=+,与抛物线联立利用韦达定理可得p.【详解】由已知得尸（，0）,设直线/的方程为并与V=2px联立得y2 _ p y_ p 2=o,设 A（xi,j i）,B（X2,2）,A3 的中点 C（xo,jo）,4 1+丁2=0，又线段A B的中点M 的纵坐标为1,则 yo=；（J1+J2）=导1,所以p=2,故选C.【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的相交弦问题，利用韦达定理是解题的关键，属中

12、档题.5.B【解析】直接进行集合的并集、交集的运算即可.【详解】解：A u6 =-2,1,2,4,6；A u B）nC=1,2,4）.故选：B.【点睛】本题主要考查集合描述法、列举法的定义，以及交集、并集的运算，是基础题.6.C【解析】利用4 =（722）证得数列 奈 为 常 数 列，并由此求得 an的通项公式.【详解】4s -1由a +=-,得（2-1）4川=4s-1,可得（2一3）“=4鼠_ -1 （2 2）.2n-l相 减 得(2+1)%=(2-1)4山，则 匚 二 詈 七(2 2),又2 -1 2/7+14V -1由a“+i=-,%=1,得%=3,所以2x 1-1 2x 1+1，所以数

13、 列，所以2-1 2x 1-1=1,故%=2n-l.故 选：C【点 睛】本小题考查数列的通项与前八项和的关系等基础知识；考查运算求解能力，逻辑推理能力，应用意识.【解 析】根据线面平行的性质定理和判定定理判断alia与a 人的关系即可得到答案.【详 解】若a a,根据线面平行的性质定理，可 得ab；若a/。，根据线面平行的判定定理，可 得。a.故 选：C.【点 睛】本题主要考查了线面平行的性质定理和判定定理，属于基础题.8.C【解 析】先 确 定 集 合M中元素，可得非空子集个数.【详 解】由题意M =(1,1),(1,2),(2,1),共3个 元 素，其 子集个数为2 3=8,非 空 子 集

14、 有7个.故 选：C【点 睛】本题考查集合的概念，考查子集的概念，含有个元素的集合其子集个数为2，非 空 子 集 有2-1个.9.B【解 析】利用均值不等式可得忆 _AC G&=g A C A A =|B C A C (BO?+AC?)=g4夕,即 可 求 得A B,进而求得外接球的半径，即可求解.【详 解】由题意易得8C_L平面A C G 4 ,1 2 1 1所以匕 rcGA=-f i C A C A 4,=-B C A C -(B C2+A C2)=-A B2,当且仅当A C =B C时等号成立，4又阳马B -A C C,A 体积的最大值为y,所以A B=2,所以堑堵A B C-A 4 G

15、 的外接球的半径R所以外接球的体积丫=+兀 户=匝 兀,3 3故选:B【点睛】本题以中国传统文化为背景，考查四棱锥的体积、直三棱柱的外接球的体积、基本不等式的应用，体现了数学运算、直观想象等核心素养.10.D【解析】先理解题意，然后根据题意建立平面几何图形，在利用三角函数的知识计算出冬至日光与春秋分日光的夹角，即黄赤交角，即可得到正确选项.【详解】解：由题意，可设冬至日光与垂直线夹角为。，春秋分日光与垂直线夹角为月，则。一尸即为冬至日光与春秋分日光的夹角，即黄赤交角,将图3 近似画出如下平面几何图形:niI16 Q 16-9.4 2贝U tan a =1.6,tan/7=-=0.66,10 1

16、0/小 tan ez-tan B 1.6-0.66 八tan（cr 一 尸）=-=-0.457.1 +tan atan 0 1 +1.6x 0.66v0.455 0.457 log3 5 log5 3,再根据f(x)的单调性和奇偶性可得正确的选项.【详解】因为k g 5 log33=1,0=log51 log,3log5 3 0.又log25 log,4=2=log,9 log35 0,故log25 log,5 log,3.因为当xe0,+8)时，函数/(x)是单调递减函数，所以/(lo g2 5)/(lo g3 5)/(lo g5 3).因 为 为 偶 函 数，故/(log3g)=/(Tog

17、3 5)=log3 5),所 以/(l o g 2 5)/l o g 3 /?=a +c222（C l+C又 R a2+c2-b2 a +C 2）2ac lac化简可得 c o s B=32+3 c,-2。6ac-2ac=J _8ac 8ac 2当且仅当。=c时，取等号又6 e（O,乃），所以令 B）=s i n 2B+2c o s 3,q 二以及均值不等式，可得角3的范围，然后构造函数2ac可得结果.则/（B）=2c o s 2 3 2s i n B=2-4s i n 2 3_ 2s i n B/（B）=-2 s i n B-|j（s i n B+l）当 s i n B；，即 B e：,2时

18、，/（3）0当s i n 8 g,即 B e（0,高 时，/（B）0则/（B）=s i n 2B+2c o s 3在（0噌 递 增，在 仁 母 递 减所 以 九 x（B）=/（3）=s i W +2c o s =b J J o 2由/（0）=s i n 0+2c o s 0=2,/万）.2-71 V 3f =s i n +2c o s=+1UJ 3 3 2所 以 源 =/闺=41n所以s i n 2 B+2 c o s B的最小值为+12最大值为主巨2故答案为：立+1,巫22【点睛】本题考查等差数列、正弦定理、余弦定理，还考查了不等式、导数的综合应用，难点在于根据余弦定理以及不等式求(7 1出

19、B e 0,考验分析能力以及逻辑思维能力，属难题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)见解析；(2)【解析】(1)先 证 明 庄_ LAD,可证AD_ L平面尸5 E,再 由 B C可证8c l.平面P 3 E,即得证;(2)以E为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系E 一呼z,设 所=4斤(噫 股1),求解面O B P的法向量 而，面。b B的法向量3,利用二面角PD B-/的余弦值为g,可求解4,转化/一/1以=匕一8比 一/.8即得解.【详解】(1)证明：因为%是正三角形，E为线段AD的中点，所以尸 _ L A .因为A B C。是菱形，所以A D

20、=A 8.因为N 班)=6 0。，所 以 是 正 三 角 形，所以BE LAD,所以AD，平面P B E.又A D B C,所以B C J _平面P 3E.因为8Cu平面P B C,所以平面P B C _ L平面PBE.(2)由(1)知 3C _ L平面 P 3E,所以 B C 上 PB,P B y P C2-B C2=V 6-而 P E =B E =M，所以 PB?=PE?+B E?，P E Y E B.又 P E_ L A D,所以P E _ L平面A B C D.以E为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系后一片.则 fi(0,V 3,0),P(0,0,V 3),C(-2,V 3,0),D

21、(-l,0,0).于是，丽=(1,0,百)，D B =(1,0).设面D B P的一个法向量m -(x,y,z),m -D B =0,x+V 3y =0,由 4 4 V田 房 衣=0传x+6z=0.令x=6，则 y =z =-l,即机=(V 3,-l,-l).设 而=九 定(0领 兑1),易得 F(-22,血,y/3 -国)，D F =(l-2 2,6-国).设面D F B的一个法向量n=(x,z),n-DB=0,x+=0,rri v z S -4 0,解得 2m0即可证出.1 -X【详解】显然xe(O,l)时，f x)0,故/在(0,1)单调递减.(2)首先证 1 x 0/(0,1)g(x)

22、单调递增，且 g(0)=0,所以 g(x)0,xe(0,l)X再令 g(x)=ln(l-x)+-,l-xx(0)=0,(%)=yj0,xe(0,l)所以(x)单调递增(xe (0,1),即以x)0,xe(0,l)X：.ln(l-x)-(0,1)l-xx=-x e(0,1)【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数证明不等式，解题的关键掌握复合函数求导，属于难题.2 1.(1)见 解 析(2)b,=2 ,e N*(3)见解析【解析】(1)令=1可得4 =号=0,即。=0.得到5,=宅，再利用通项公式和前n项和的关系求解,由(1)知4=2(-1),衣N*.设等比数列出 的公比为4,所以勿

23、=所 T=2/1,再 根 据 恰 为S,与4 T的等比中项求解,(3)由(2)得到“22时，c“=11-i-1-；-2n-1+1 2n-1+21 1 11+.H-1-F.H-9T 2 T22,-(2,-1-1)+1 2-221，求得北，再代入证明。2【详解】nci(1)解：令”=1可得4 =3=0,即a =0.所以S“=一 2 2时 为=5“一工_1nan(-l)a“T，可得(2)a“=1)%,22a n-a a,a-,、当2 3时工=-所 以%-x 4=2(1).%一2%an_2 a2显然当 =1,2时，满足上式.所以a“=2(l),w N*.=2,所以数列 4是等差数列,(2)由(1)知q

24、=2(-1),n&N*.设等比数列也 的公比为“，所以么=b i=2/1.6、S&1 2,/？,2q,4恰为S4与。T的等比中项,所以 6 2=1 2 x(2 q l),解得4=2,所以d=2 ,e N*(3)“2 2 时，Tn=cl+c2+.+cil,1 12 +l+F-2i*2-+-1-1-2o -2-+-2-1 2Z 2+2 T,1 1 1 2 5 6 x2 +1 3所以当“=2时，T-,=1 H-1 I =-2 2 3 4 1 2 1 2+.+2 -+21+.H-2，而时,c=-1-2 -+1 2 -+2+H-1-F.H-f2 2 22 1 +1+十111111112n-(2n-I-l

25、)+l 2”T1,2当、，乙 2、3 时 +，7?,=C,+C2 +,+C 1H 21 31 421 21 1-,H2=-1-2-，对任意N 2,都有12点 6 +13,【点睛】本题主要考查数列的通项公式和前”项和的关系，等差数列，等比数列的定义和性质以及数列放缩的方法，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题，万22.（1）见解析；（2）注4【解析】（D取A 0中点。，BC中低H,连接P。，OH,PH.设EF交PH于G,则G为P”的中点，连接。G.通过证明证得OG_L平面P 8 C,由此证得平面AZ）EF_L平面P8C.（2）建立空间直角坐标系，利用平面。EC和平面BOE的法向量，计

26、算出二面角B DE C的余弦值.【详解】（D取AO中点。，BC中点H,连接P。，OH,PH.设EF交PH于G,则G为P”的中点，连接。G.设AD=2,则AB=6，P0=y/3.：.OGVPH.由已知 AOLPO,ADOH,二 平面 PO”，：.AD LOG.V EF/-B C/-A D,：.EF YOG,=2 =2:EFcPH=G,；-OGJ平面PBC,:OG u 平面 ADEF，平面 ADEF，平面 PBC.（2）由（1）及已知可得PO_L平面ABC。，建立如图所示的空间坐标系。一 型，设AT=2,则P（0,0,百 卜C（G,0）,D（0,l,0）,1,0）,E 。右=（6，。，。），8。=（-石,2,0,氐=0设平面DEC的法向量为/=（x,y,z）,二 石I 2g ,令y=得而x yd-z=02 2设平面8DE的法向量为 =（小,%,Z。），21 月_n:厂/+彳 =0,令%=2得-V3x0+2y0=02_ 也2x2 夜-4二二面角B-D E-C的 余 弦 值 为 注.4【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.