数列(历年高考试题).pdf

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1、数列一、选择题1.（2 0 0 9 年广东卷文）已知等比数列他,的公比为正数，且“9 =2%，。2=1，则%=（）C.V 2【答案】B【解析】设公比为必 由已知得/.%4 8=2（%4 4）2,即。2=2,又因为等比数列 为 的公比为正数，所以q =0,故 q =-4=,选 B2.（2 0 0 9 安徽卷文）已 知 为 等 差 数 列，,+%+%=0叼+,+,=*,则/等 于（）【解 析】；a,+a3+a5=105 即 3a,=105 a3=35 同 理 可 得 知=33/公 差 d =a4-a=-2=4+（2（）-4）、=1.选 B。【答案】B3.（2 0 0 9 江西卷文）公差不为零的等差

2、数列伍“的前项和为S”.若4 是%与%的等比中项，$8 =3 2,则 几等 于（）A.1 8 B.2 4 C.60 D.9 0【答案】C【解 析】由 a；=a3 a7 得(q+3 d =(q+2 d)(q+6 d)得 2 a,+3 d=0,再由 Ss=8 a,+d =3 2 得2%+7 d=8 则 d=2,q =-3,所以 S o=1 0 4+耳 d=60,.故选 C4.（2 0 0 9 湖南卷文）设5“是等差数列 a“的前n 项和，已 知 的=3,a6=1 1,则跖等于（）【解析】S7=7(q+%)_ 7(%+。6)_ 7(3 +1 1)或由，a、=4 +d 3=q +5d 1 1,a-,=

3、1 +6x 2 =1 3.所以4=誓也二笔4 49.故选C.5.（2 0 0 9 福建卷理）等差数列%的前n 项和为S ，且 S3=6,。尸4,则公差d 等 于（)5A.1 B -C.-2 D 33【答案】：C,3 解析:3 =6=5(%+%)且%=%+2 d q=4 /.d=2.故选 C6.(2 0 0 9 辽宁卷文)已知 氏 为等差数列，且%2%=1,4=，则公差d=(A.2)c*D.2【解析】a?-2 a1=aa+4d2(a3+d)=2 d=l =d=2【答案】B7.(2 0 0 9 四川卷文)等差数列 乐 的公差不为零，首 项 卬=1,%是4 和。5的等比中项，则数列的前1 0项之和是

4、()A.9 0 B.1 0 0 C.1 45 D.1 9 0【答案】B【解析】设公差为d,则(l +d =L(1 +4d).解得d=2,.SH)=1 0 08.0 9 宁夏海南卷文)等差数列 6,的前n 项和为S“，已知a,“_1+%用一晨=0,=3 8,则机=()A.3 8 B.2 0 C.1 0 D.9【答案】C【解析】因为%是等差数列，所以，+”+|=2%,，由a,-+“+-吊=0，得：2 a,“一a,=0,所以，a=2,又S,“i=38,即 1)(.+4 -1)=3 8,即(2 m 1)X 2=3 8,解得m=1 0,故选.C。29.(2 0 0 9 重庆卷文)设 q 是公差不为0的等

5、差数列，q=2 且 q,%,4 成等比数列，则%的前项和，=()n2 In e n2 5n 八 n2 3 2A.-1-B.-1-C.-1-D.n +4 4 3 3 2 4【答案】A【解析】设数列%的公差为d,则根据题意得(2 +2 4)2 =2-(2 +5 d),解得d=g 或 d=0 (舍去)，所以八 n(n-l)1 n2 In数夕U 。的刖 n 项和 S =2 +-x-=+二、填空题1 0.(2 0 0 9 全国卷I 理)设 等 差 数 列 q 的前项和为S“，若 S g=7 2,贝股2+4+。9=_2答 案 2 4解析 a是等差数列，由59=7 2,得$9 =9%,%=8/+%=（。2+

6、。9）+=（%+。6）+。4=3 a5=2 4.1 1.（2 0 0 9 浙江理）设等比数列%的公比q =,，前项和为S“，则 又=_.2a4答案：1 5解 析 对 于$4=-l）,a4=区=J。=1 51 一4 包 0（1 -4）1 2.（2 0 0 9 北京文）若数列 4 满足：q =1,%+|=2 a“（eN*）,贝 I%=；前 8项的和8=.（用数字作答）答 案 2 2 5解析本题主要考查简单的递推数列以及数列的求和问题.属于基础知识、基本运算的考查.q =1,a,2%2,6/3 =2 a之 4,ci 2 a 3 =8,c i 2 a4=1 6,28-1易知 S x=-=2 55,.应

7、填 2 55.8 2-11 3.（2 0 0 9 全国卷I I 文）设等比数列 a“的前n 项和为s“。若%=1,.%=4.=，贝H_答案：3解析：本题考查等比数列的性质及求和运算，由4 =1,=4s 3 得 q=3 故 a,=ad=31 4.（2 0 0 9 全国卷H 理）设等差数列 4 的前项和为S“，若%=5%则 邑=_$5解 析 .风 为等差数列，.,.员=%=9$5 5 4答 案 91 5.（2 0 0 9 辽宁卷理）等差数列 凡 的前项和为S ，且6S 5-5s 3=5，则氏=解析 VS n=nai+-n（nl）d2/.S 5=5ai+1 0 d,S3=3 ai+3 d.,.6S

8、5-5S 3=3 0 aI+6 0 d-（1 5a1+1 5d）=1 5al+45d=1 5（ai+3 d）=1 5a1答 案 T3三、解答题16.(2 009浙 江 文)设S”为数列 凡 的前项和，S=kn2+n,w N*,其中火是常数.(I)求 生 及 a.；(I I)若对于任意的加eN*,am,a2m,“成等比数列，求的值.解(I)当=l,Q=S=k+l,n2,an=Sn-S“_=kn2+n-k(n-1)2+(n-1)=2kn-k+1 (*)经验，n-1,(*)式成立，an-2kn-k +l(I I)-/am,a2m,a4m成等比数列，：.aln；=am.a.m,B|J (4km-k +

9、1)2=(2km-k +l)(Skm-k+l),整理得：mk(k-1)=0,对任意的m e N*成立，k=117.(2 009北京文)设数列 4 的通项公式为a“=p+g(“e N*,P 0).数列也,定义如下：对于正整数加是使得不等式an m成立的所有n中的最小值.(I )若 p=；,q=一；,求 与；(I I)若p=2,q=l,求数列 超 的前2 3项和公式;(H I)是否存在。和g,使得么“=3?+2(zeN*)?如果存在，求。和q的取值范围；如果不存在，请说明理由.【解析】本题主要考查数列的概念、数列的基本性质，考查运算能力、推理论证能力、分类讨论等数学思想方法.本题是数列与不等式综合

10、的较难层次题.解(I)由题意，得=1一,，解得“2型.2 3 2 3 3A-/?-3成立的所有n中的最小整数为7,即仇=7.2 3(II)山题意，得 =2 1 ,对于正整数，由%之加，得几之m寸+1.根据篇的定义可知当机二2攵一1时，bk(k s N、当机=2攵时，=攵+1(攵 N).:,瓦+4+%=(4+4+%1)+(a+%)=(1+2 +3+团)+2 +3+4+(加+1)4+m(/77+3)2-+T=m2+2m.（III）假设存在夕和。满足条件，由不等式机及p 0得之丝工P幻=3 7 +2（WEN*）,根据然的定义可知，对于任意的正整数勿都有3/n+1 -3m+2,即一2p-W（3p-1）

11、根一p-q对任意的正整数力都成立.当 3 p-l0（或 3一1 0）时，得 一 0+（或加2 +夕）,3 p-l 3 p-l这与上述结论矛盾！1?1 2 1当 3p =0,即 p=时，得一 q 0+王+及+才51 _ 2 3 4 n +12=外及+才+诃+尹相减，得;1 =奈+最+!+好+击 一 崇1(1 -2T)+l_ 3 1 +1产所以7；1-23_2 2+2 4 2+221 +1_ 3 n+32 2 2,+1【命题立意】：本题主要考查了等比数列的定义，通项公式，以及已知S“求凡的基本题型,并运用错位相减法求出一等比数列与等差数列对应项乘积所得新数列的前项和7；.19.(2009全国卷n文

12、)已知等差数列%中，%=一16,。4+。6=，求 a,J前n项和与.解析：本题考查等差数列的基本性质及求和公式运用能力，利用方程的思想可求解。解：设%的公差为d,则(a1+2d)(q+6d)=-16q+3d+q +5d=0口 k2+8,+1 2 J2=-16%=-4da,=-8,j 伍=8解得，或4d=2,d=2因此 Sn=-8H+(-1)=(一9),或S =8 一 -1)二 一 (一9)20.(2009安徽卷文)已知数列 的前n项和工=加”+加，数列 4 的前n项和=2-&(I)求数列 )与%的通项公式；(I I)设.=&一 ,证明：当且仅当n 2 3时，*】7【思路】由“=(=1)可 求

13、出%和6,这是数列中求通项的常用方法之，在求出和2后，进而k-Vi(2 2)得到c“，接下来用作差法来比较大小，这也是一常用方法。【解析】(1)由于。=防=4当 2 2 时，an=sn 5w_j=(2n2+2n)-2(n-l)2+2(n-l)=4n am=4(e N*)6又当X2 时 勿=7；,-(2-6r a)-(2-V,)2T.数列出 项与等比数歹山其首项为1,公比为1 bn1 1 1 6(+1)2.(严8 由 知 G =也,=1 6 2 上 应=-2-2 G 1 6 4(与1(+1尸2 4由S L 1得I 21 L 0 .1 +8即”23G 2又 N 3时 QI 1成立,即 J 0恒成立

14、.2/G因此，当且仅当 2 3时，C+1-1 3+-=8-,“2 4 4”T 4 2.1 4 22n-3 22n+l1-4,v T =8 _ _ 1 _3 n _ 3 3 22 一3 2 2 n+l22.(2009天津卷文)已知等差数列%的公差d不为0,设S.=%+%4 +T=fl|-a2q +-+(-i y anq ,q 去 0,n 6 N(I )若q =l,%=1 =1 5，求数列%的通项公式；(II)若=d，且，,S2，S3成等比数 列,求q的值。(III)若q =l,证 明(1一4)S,(1+q)%=2dI),e N*1-4-(1)解：山题设，S3 =%+(q +d)q +(4|+2

15、d M 2,将q =,q =1,5 3 =15代入解得d =4,所 以=4 3 EN*(2)解：当q =d,SI=d,S2=d +2d q,S3 =d +2d q +3弱2,：S1,S2，S3成等比数列，所以$22=5户3,即(d +2d q)2=d (d +2d q +3 d q 2),注意到 dw O,整理得 q =2(3)证 明:由 题 设,可得b,=q*T,则S2n at+a2q +a3q2+-a2nq2 T i n =a-a2q +ayq2-ai cTn 1-得，5 2 T2n=+。2 4一 -1)+得，S 2n+7 2 =2(。+。3如+。2-U2-)式两边同乘以q,得式$2 +%

16、)=2(%4 +。3 4 2+所以(1 q)S2n-(1+q)T,a=2d(q +/+)=2 一?”)i-q8(3)证明：，一Q 二(以-4)4+3%一%必+(%.一气血二 (k ljd b、4-(k2-12)d bq +-ln)d bxqnx因为d w0,4 w O,所以=(k】一6)+(%2。)q -(&一 l,)q aby若 攵 W/“，取 i=n,若 k=l”,取 i 满足%且=1了 z +l j n由(1)(2)及题设知，且1 2=(占-4)+(22 )q+&乙)夕 tab 当.l j 时，k-(W 1,由 q 2-,%-1 W q -l,i =1,21即 W q _ 1,(k2-l

17、2)q q(q-1),-*)q 4时，同 理 可 得 之 二 1,因此q C 2/0d b 1综上，cx c2【考点定位】本小题主要考查了等差数列的通项公式，等比数列通项公式与前n 项和等基本知识，考查运算能力和推理论证能力和综合分析解决问题的能力。23.（2009全国卷H理）设数列 J的前项和为S，已 知 囚=1,57=4%+2 设 b.=an+1-2%,证明数列 是等比数列（II）求数列 氏 的通项公式。解：（I）由 =1,及 S+=4“+2,有a1+&=4 a +2,a2=3%+2=5,.t =a2 2ai=3由S“+=4。“+2 ,.则当 2 2 时，有 S“=4%_ +2.9一得 a

18、n+l=4 a“一 4 ai,/.an+-2an=2(%-2 4 T)又；”,=an+i-2an,bn=2bn_i.-./?是首项4=3，公比为2的等比数列.(II)由(I)可得a=a“+|-2a“=3-2 T,.每 一%=2n n+n 之“十1 2 4，数列 墨 是 首 项 为:，公差为1的等比数列.察=1 +（-=a=（3 _12”-2T 2 4 4 4评析：第（D问思路明确，只需利用已知条件寻找与-的关系即可.第（H）问 中 由（I）易得氏+1-2%=3-2 T,这 个 递 推 式 明 显 是 一 个 构 造 新 数 列 的 模 型：+1=p an+q （p，4为常数），主要的处理手段是

19、两边除以/山总体来说，0 9年高考理科数学全国I、I I这两套试题都将数列题前置，主要考查构造新数列（全 国I还考查了利用错位相减法求前n项和的方法），一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。2 4.（2 0 0 9辽宁卷文）等比数列 凡 的前n项和为S“，已知S 3,成等差数列(1)求 “的公比q；(2)求%3,求S“解：(I )依题意有ax+(a,+。闷)=2(%+“U +q/)由 于 为 w0,故2q,+q =Q又从而q=一；5分(I I)由已知

20、可得由-(一,)2 =32故。=4从而 S n =-f =-(l-(-)n)1 0 分-1、3 2102 5.(2 0 0 9 陕西卷文)已知数列 4 满足，%=1，4=w N*.(I)令=4+1-。“，证明：2 是等比数列；(I I)求 牝 的通项公式。(1 )证 4 =。2 -4 =1，当 2 2 时，b =E m-an=%；=-1(-4-)=一；岫所以 2 是 以 1 为首项，为公比的等比数列。(2)解 由(1)知当 2 2 时，=q +q)+(%)+(。“-1)=1 +1 +22(1 y i所以 a =15 W?(_ tI)T(w N*)。3 3 22 6.(2 0 0 9 湖北卷文)

21、已知 a,J 是一个公差大于0的等差数列,且满足 a 3 a 6=55,a2+a7=1 6.(I )求数列 a 的通项公式:(I I)若数列 a j 和数列 b.满足等式：a =g +*+*+.*(为 正 整 数)，求数列 b j 的前n项和S.解(1)解：设等差数列 4 的公差为d,则依题设d 0由 a2+a7=1 6.得 2 +7 d =1 6 由。3 4 =55,得(4 +2 d)(q+5d)=55 由得 2 q=1 6 -7 d 将其代入得(1 6 3 d)(1 6 +3 d)=2 2 0。即 2 56 -9 d?=2 2 0/.d =4,又d 0,/.d=2,代 入得a 1=1dn=

22、1 +(/?1),2 =2 1(2)令=优，则有=c+。2 +c ，+i=c+。2 +1114+1 一%=c“+i，由(1)得 q=1，4,+1 一%=2两式 相减得.*=2,c.=2(“N 2),即当“2 2时,又当n=l时，4=2%=2 2,(=1).b =v”2n+l(n 2)于是S“=d+4+&+=2+2 3 +2 4+2向+2 4+.+2一4 =2 +2一6,即=2 +2-62 7.（2 0 0 9福建卷文）等比数列 4中，已知q=2,%=1 6（I）求数列 4的通项公式:（I I ）若4，能 分别为等差数列也的第3项和第5项，试求数列他,的通项公式及前项和Sn。解：（I）设 仅“的

23、公比为q由已知得1 6 =27,解得q=2(1 1)由(I)得=8,%=32,则4=8,b5=3 2瓦=1 6d =12设 2的公差为d,则有，b.+2 d =81 解得4+4 d =3 2从而仇,=1 6 +1 2（1）=2 8所以数列也,的前项和S =,=6 2 _ 2 2 2 8 （2 0 0 9重庆卷文）（本小题满分1 2分，（I ）问3分，（H）问4分，（I I I）问5分）已知q=l,a,=4,a“+2 =4 a“+|+a ，/N*.%(I )求仇为2,打的值；(I I)设c.=b bn+,S,为数列 c“的前项和，求证：S,2 1 7；(H I)求证：b2-b 4于是G=4也=1

24、 7,q,=2=4+1 1 7 (2 2)12所以S“=q+c2+-+c 17/iI 17(III)当=1时，结论应 一 伪|=7 石 成 立当 2 2时，有 限-或|T4+J-4-J-1=1)组收J也,-bn_ Ibn *bnbnA 172 =2。“+2 +=2（。“一小2 1）又%l-2 T =l w O,所以。“一-2 T 是首项为1,公比为2的等比数歹人(I I)当8 =2 时，由(I )知 -2 T=2 T,即 a“=(+l”i当b#2时，由由得1 ”,+,=ba+2 !2-b=ba-2 2-b=b an-2nI 2-b因此总-2,+l=b(a,-L.2”2-b I 2-b )=2”

25、2-b2 n =l得%一 22 4.（2 0 0 8江西卷）数列 a“为等差数列,an为正整数,其前项和为Sn,数列%为等比数列，且a,=3,b,=1,16数列 2un 是公比为64的等比数列”,b2s2=64.（1）求a“也；（2）求证 一 +一 !-F S S2S.3.4解：（1）设他“的公差为d,的公比为q,则d为正整数,an=3 +(n-l)d ,hn-q依题意有h n3+,ld=A-=J 64 =2 6baj T”q unS2b 2=(6 4-d)q=64山（6+d）q =64知q为正有理数，故d为6的因子1,2,3,6之一,解得d=2国=8故%=3+2(-1)=2n +1,bn=8

26、T(2)Sn=3+5 H-F(2 +1)=n(n+2)1 1 1 1+.,+-s、S2 Sn 1 X31 1-F-2 x 4 3x 5+,+1 _(+2)-1 IZ 1 1 +1 -1 -1 -12 3 2 4 3 51 1 1 1 、3=-(1 +-)-2 2 n+1 n+2 411n +2)n2 5.（2 0 0 8湖北）.已知数列%和 2满足：2a,=A ,o,+1=4+-4也=（一1）3,-3+2 1）,其中a为实数，为正整数.（I）对任意实数4,证明数列仅“不是等比数列；（I I）试判断数列 ,是否为等比数列，并证明你的结论；（I I I）设0 a 6,S”为数列 的前项和.是否存在

27、实数4,使得对任意正整数，都有q S“b?若存在，求2的取值范围；若不存在，说明理由.本小题主要考查等比数列的定义、数列求和、不等式等基础知识和分类讨论的思想，考查综合分析问题的能力和推理认证能力，（满 分1 4分）（I ）证明：假设存在一个实数入，使 a,是等比数列，则有六团国,即（2/1-3）2 =2（-2-4）-/l2-4 2 +9 =-/l2-4 4 =9 =0,矛盾.3 9 9 917所 以&不是等比数列.2（H）解：因为 6*（-1 严 0 1331）+2 1 =（-1 严（*&-2 加1 4）32 2=（T）（3-3?7+2 1）=-bn3 3又 A H 入+1 8）,所以当入=

28、-1 8,4=0（G N ）,此 时&,）不是等比数列：当 AW-18时，%（入+#0,由上可知&r0,.晒 =一2 （G N.）.b.32故当入WT8时，数 列 Z U是 以 一（入+1 8）为首项，一一为公比的等比数列.3（I I I）由（I I ）知，当入=-1 8,4=0,=0,不满足题目要求.2X#-1 8,故知 4=-（入 +1 8）（一）一于是可得3S,=-|（2 +1 8）-1-（-1）.要使水S,“对任意正整数成立，3 2即水一一（入+1 8）1-（一 一 ）b（N）5 3得.-1（2 +1 8）-，一5 i-（-j r令）=1-（-2）,则当 为正奇数时，当 为 正 偶 数

29、 时/（）1,./1（）的最大值为MD=*,以）的最小值为A 2）=3 95 3 3于是，由式得己水-己（人+1 8）,己匕=一匕-1 8 /1 -3。一1 8.9 5 5当 a W 3 a 时，由一ZK 8 2=-3 a-1 8,不存在实数满足题目要求；当 力3 a 存在实数X ,使得对任意正整数n,都有水 2 时,S“-bn=S,T=（*D；+2）0.故 5 b.若 q=J,则 S“=2n +（丁）（_g）=n2+9n当 N 2 吐 S“-b.=S,i=-（-1,故对于 e N+，当2W“W 9 时,S”么;当=1 0时,S“=2;当 2 1 1 时,S“2)则与岫等于()A.0 B.2

30、C.2 009 D.4 01 8答 案 D192.（北京市西城区2 009 年 4月高三-模抽样测试理）若数列 凡 是公比为4的等比数列，且6=2,则数列 lo g2a （）A.公差为2 的等差数列 B.公差为1 g 2 的等差数列C.公比为2 的等比数列 D.公比为l g 2的等比数列答 案 A3.（2009 福州三中）已知等差数列 的前n 项和为S n,若 邑=14,则%+%的 值 为（）A.2 B.4 C.7 D.8答案 B4.（2009 厦门-中文）在等差数列 6,中，+4=4,则 其 前 9 项的和5 9 等于（）A.1 8 B 27 C 36 D 9答案 A5.（2009 长沙一中

31、期末）各项不为零的等差数列%中，2a 3-蜻+2须=0,则%的 值 为（）A.0 B.4 C.0或4 D.2答 案 B6.（2009 宜春）在等差数列 4“中,4+%+%=3 9,。3+%+。9=2 7,则数列%的前9项之和S 9 等于（）A.66 B-9 9 C-1 4 4 D.29 7答 案 B7.（辽宁省部分重点中学协作体2008 年高考模拟）设等差数列%的前n 项和为S “，若$4 =8,$8 =20,则 61+/2 +。13+。14=（）A.1 8 B.1 7 C.1 6 D.1 5答案：C.二、填空题8.（北京市东城区2009 年 3 月高中示范校高三质量检测理）已知等差数列伍“的

32、公差d *0,且4,%，名成等比数列，则/+%+%的值为_ _ _ _ _ _ _.a2+%+%（）答 案 31 31 62 0一 ”-1,为奇数9.（2009 福州八中）已知数歹U?=、1/印明 则4+4oo=_ _ _ _ _ _ _ _ _小为偶数 1 +。2+/+。4 +,+旬9 +1 00=答案 1 00.5 000；1 0.（2009 宁乡一中第三次月考）1 1、等差数列 4 中，6+。2+为=8 1 且4+%+即）=1 7 1，则公差（1;答 案 1 01 1.（2009 南京一模）已知等比数列 a,J 的各项均为正数，若4=3,前三项的和为21 ,则 a4+a5+a6=答 案

33、1 681 2.（2009 上海九校联考）已知数列%的前项和为S“，若 S 0=2 l,则=.答 案 1 28三、解答题,11 3.（2009 龙岩一中）设正整数数列%满足：%=2,%=6,当 2 2 时，有I 片一%_ 口“+1（I）求生、%的值;（I I）求数列 4 的通项;(I I I)记 7；I2 22 32 n2-F-1-F H-9-4q%a91解(I )=2 时，I a?，由已知 q =2,%=6,得 1 3 6-2%1 1，因为为正整数，所以%=18，同理4=54.2 分（H）由（I ）可猜想：.3 分证明：=1,2时，命题成立；假设当=攵1 与=%时 成 立，即4=2-3 i,

34、4 T=2-3-2。.4分于是l a/_%T 4+i I；4T,整理得：1 冬4+|1 ，.5 分2 a.,22 1由归纳假设得：l2-3&-%+Jgn2-3*g%+1 2 3人+；,.6分因为4M为正整数，所以%M=2 3,即当=%+1时命题仍成立。综上：由知知对于V w N*,有a“=2-3T成立.7分22 32 2(III)证明：由2 =1 +1 +系+下7 式减式得4=1+3 三5+-一+乌2/2丁-1 二n土2 3 3 32 3T 39分1 3-1-+3 322M-3 2 一 1-3-1i-1-3-2n式减式得(I)?3”11分2d-3+1 2(2-3+6)/乙-:-L13分9-47

35、 2且 e N*).(1)求%的通项公式；(2)求 证:数 列 也_ 4 为等比数列;(3)求 爆 前项和的最小值.解：由 2s“=2 S,i+2 a,i+l 得 2a“=2a,_|+l,an-an_=2 分cin=q +(-l)d 二一n,.4 分2 2 ；32 一/=n,六 bn J%+%,a -4=1 ,a-+I ”_1 5 “+I a=1,_1 k +I a=1 z,s，i _1 ,”+3、；,1 z 1 X 1 ,1 3%_ an_=&_1-y(n-l)+-=%_/+a由上面两式得b a=，又乙一卬=_丝 一 L =一 303 1 1 4 4数列 一6 是以-30为首项，1为公比的等

36、比数列.由 得 b-an=-30 x c i)-1,bl t=%30 x (I)-8分-n-3 0 x(l)z,-2 4 3=:_：_30 X(；尸 _g(”_l)+；+30 x(；尸=1 +30 x (1)2(1 -1+2 0 x(j)12 0 a 是递增数列.1 1 分1 1 9 3 5 1 0 7 1 0当炉1 时，h.-0；当炉2 时，/?=-1 0 0；当炉3 H 寸，b-.-0,1 4 2 4 3 4 3 4 4 9所以，从第4 项起的各项均大于0,故前3 项之和最小.1 3分9月份更新一、选择题1.（20 0 9 滨州一模）等差数列 4.中，%+。“=30,%=7 ,则 的 值

37、为（)A.1 5 B.23C.25D.37答 案 B2.（20 0 9 上 海 I 四校联考）无穷等比数列1,Y 2,L,412 2 4，各项的和等于()A.2 V 2 B.2+C.V 2+1D.V 2 1答案B3.（20 0 9 聊城一模）两个正数a、b的等差中项是5,等比例中项是4,若 2 1 3,则双曲线-二=1的离心a b率 e 等 于（）23A.显2R亚D,-2 V 1 7C.-50D.V 3答案B二、填空题21.（20 0 9 上海十四校联考）若数列%满 足 智=p（p 为正常数,eN*）,则称%为“等方比数列”。则an“数列 七 是等方比数列”是“数列%是等方比数列”的,条件2.

38、(20 0 9 上海八校联考)在数列同 中，q =0,4 =2,且 an+2-an l+(-1)(/?G N*),S 0 0答 案 2550三、解答题1.（20 0 9 滨州一模）已知曲线C:孙=1,过 C上一点A,（x,%）作一斜率为kn=的直线交曲线C于x“+2另一点i y“M）,点列 4 的横坐标构成数列上,其 中 须=9（I）求 乙与%十1 的关系式;（I I）令么,=一 +1，求证:数列 2 是等比数列;%一 2 3（I I I）若C“=3-/L b”（入为非零整数，nG N*）,试 确 定 X的值，使得对任意nG N*,都有C C 成立。（1）解：过 4,（乙，线）的直线方程为y%

39、=一一二（x f）x.+2联立方程1 ,、y f=一 二？（1人 士%+2 消去y得盯 二1在九）+。x”x “+I=X.+2即%4 +2x.241Xn+2(2)=b _L-2 31一 十 一-2 3%-21+-3%1 1-十 一3-42 f 31 1-+-x2 33x”+2 -x“3(2-x“)3+X-23区 一2)，b,是等比数列,1 1 cb,=-+=-21 x,-2 3，q-2(III)由 （n ）知b.=(2)要使c“+i 与 恒成立由=3 向/l(2)+-3 2(2)=23+34(2)”0 恒成立,3即(-1)nX -(-)I 恒成立.2i o 当为奇数时，即 人3(-)T 恒成立

40、.23又（士）1 的最小值为1.2A1.10分3i i o 当刀为偶数时，即入 一（-）a 恒成立,23 3 3又一（2）1 的最大值为一士，久 一二.2 2 2即一3 4 cn.12 分2.（2 009上海青浦区）设数列 册 的前n和为S“,已知S,=1,S2=y ,S3=y ,S4=y一般地,S,=-2出 止+&(2 T-1),(当 为奇数时)1 2 3/浦 *、k n e N*).二+：4(2-1).(当 为偶数时)12 3(1)求。4 ；(2)求。2(3)求和:+。3。4+a5a6+a2n-la2n -(1)明16；3 分(2)当”=2 上时，(k GN*)o o(2k),4。2&、r

41、(2%)2 ,4“2-2=2 一$2 1=-j-+1(2 -+-(2-1)=2 ,6 分2 5所以，a2n=4n(n eN*).8分(3)与(2)同理可求得：一 1)，1。分设 为出+&3a4+。5a6 +4,1。2.=，1,.Ijlij 7；,=j 4+3x 42+5 x 43+-+(2M-l)x 4,(用 等 比 数 列 前 n项 和 公 式 的 推 导 方 法)47；=1 42+3 x 43+5x 4,+(2-1)X4 M ,相减得-37；,=1 4+2(42+43+-+4,r)-(2n-l)x 4n+1,所以Tn=llx4,+l-x(4H-1)-.1 4 分 9 27 9X3.(20

42、0 9 上海八校联考)已知点列4(1,y),4(2,%)，纥(，%)，(e N*)顺 次 为 直 线 上 的点，点列4(苞，0),A2(X2,0),，An(x,0),(wN*)顺次为x轴上的点，其 中 玉=。(0 “是等差数列.4分(2)由题意得”七 用=，即 x“+x,+I =2 ,(”e N*)所以又有招+2 +X“+l =2(+1).由 得：乙+2 一%二 2,所以与+2 一与是常数.6 分由 X ,X 3，X 5,.；X2,X4,X6,.都是等差数列.X 1=a(0 a l),x2=2-a ,那么得 犬2 i =匹 +2(左 一 1)=2攵+。一2,x2k=x2+2(k-1)=2 Q+

43、2(k-1)=2k-a.G N*).8 分2 6n+a-l(为奇数)n-a(为 偶数).1 0分(3)提出问题：若等腰三角形4纥4用中，是否有直角三角形，若有，求出实数a提出问题：若等腰三角形4纥A的 中，是否有正三角形，若有，求出实数a解：问题.11分当n 为奇数时，A“(+a 1,0),4用(/?+l-a,0),所以%出用|=2(1-a);当 n 为偶数时，An(-a,0),All+(n+a,0),所以|A“A“+J =2a;作BnCn，x轴，垂 足 为C,，则 怛与J =%要 使 等 腰 三 角 形ABAn+i为 直 角 三 角 形，必须且只须:|A,A1+,|=2|B C|.1 3 分

44、当”为奇数时，有2(1 a)=2xL即a =l 3 4 43 1?.当n=l时，a =;当n=3时，a =,当 2 5,a 0不合题意.15分4 4当”为偶数时，有2 a =2 x 3 ,a =2,同理可求得 当 门=2时2 =，4 4 2当n N4时，a 0不合题意.17分3 1 1综 上 所 述，使 等 腰 三 角 形A “纥A,m中，有 直 角 三 角 形，。的 值 为 一 或 一 或 一4 4 2.1 8分解：问题.11分当n 为奇数时,A”(n+a-l,0),A+1(+l-a,0),所以%出用|=2(1-a);当n 为偶数时，A”(-a,0),4+1(+a,0),所以|A“4用|=2

45、 a;作 纥轴，垂 足 为C“，则|B Cn|=：,要 使 等 腰 三 角 形A*“A“+1为 正 三 角 形，必 须 且 只 须：2144+11 =忸.。卜 .1 3 分当为奇数时，有2(1 a)=x2,即a =l追 !百4 12当n=l时，a =l-;当n=3时,a =l-且;n=50 ,a =l-,当AN 7时，.a 0不合题12 4 12意.15分27当为偶数时，有2 a =2x2,a=，同理可求得 当门=2 时 a =也.V 3 4 12 6当n=4 时 a =；当n=6时 a =；当AN 8 时，a 5|7 D、S|8答 案 B2 .（山东省潍坊市2 0 0 72 0 0 8 学年

46、度高三第一学期期末考试）各项都是正数的等比数列 七 的公比q H 1 ,且%一 小，%成等差数列，则 的 值 为（）2a4+a5答 案 C3.（湖南省2 0 0 8 届十二校联考第一次考试）在等比数列 七 中=6,%+%0 =5,则巴生=（）“1 0“2-3 n 2 八 3 r 2T3A.J 2 X,B.-C.-D.J P C -3 2 3 2 3 2答 案 D4.（2 0 0 8 年天津市十二区县重点学校高三毕业班联考（一）正 项 等 比 数 列 满 足a2a4=1,S 3=1 3,4=l og3 ，贝 I 数歹i j J 的前 1 0 项 和 是（）A.6 5B.-6 5C.25D.-25

47、28答 案 D5.（上海市嘉定一中20 0 7学年第一学期高三年级测试（二）等差数列 aj 共有2n 项，其中奇数项的和为9 0,偶数项的和为72,且勺“为=-33,则该数列的公差为（）A.3 B-3 C.-2 D.-1答案 B二、填空题6 .（江苏省省阜中20 0 8届高三第三次调研考试数学）在等差数列 可 中，至-1,若它的前项和S“有最ao大值，则使5“取得最小正数的”=.答 案 1 97.（20 0 720 0 8学年湖北省黄州西湖中学二月月考试卷）5”为等差数列%的前项利，若9=例二1,则 2-1S*答案 4解析:由丁铝即得苧,或n(at+an)n2d，=，2 2=(2)-=4 s

48、,故 雇=4.2 8.（山东省潍坊市20 0 8年高三教学质量检测）设等差数列 a,的前项和为S,若 4+4=2 0,则S 产 _ _答 案 1 9 09 .（江西省临川一中20 0 8届高三模拟试题）等差数列有如下性质，若数列 乐 是等差数列，则当a 4-n+b“=巴一=-时，数列 也是等差数歹!；类比上述性质，相应地%是正项等比数列，当数列乙=n时，数列 d“也是等比数列。答案 NGCC三、解答题1 0.（20 0 8江苏省阜中20 0 8届高三第三次调研考试试题）设集合/是满足下列两个条件的无穷数列 为 的集合：一 丁 w%；其中 e N*,是与无关的常数.（D若 对 是等差数列，5“是

49、其前项的和，4=4，5,=1 8,试探究 5,与集合 之间的关系；设 数 么 的通项为4=5 -2,且也JeW,求的取值范围；（4分）2 9解（1）设等差数列%的公差是d ,则当+2出4,3 a+3 户1 8,解得囱=8,=一 2,所以 S“=I）=-n2+9 ,（2 分）,5”+5“+2 _s _（S”+2二S“+i）（S,+i 二S“）_%+2-+i _ d2 i-2 2 2 ,V +V得苗,+2.s+适合条件.（4分）；又 Sn=-n2+9n =-（n -）2+号，所以当 =4 或 5时，S取得最大值2 0,即 S,W 20,适合条件，（3 分），综上，5“e W.（1 分）因 为bn+

50、t-b,=5（n+1）-T+-5n+2 =5-2 ,（2 分）,所 以 当 时，b+l-h,0,即&,因此数列伍 中的最大项是加7,所以，底 7.（3分）1 1.（山东省潍坊市20 0 720 0 8学年度高 三 第 学期期末考试）已知数列,是首项为q=公比q =J的等比数歹U，设。“+2=3 1（吗%（%*）,数列 g 满 足 的=%也。4 4-4（1）求证：,是等差数列；（2）求数列 g 的前n项和S.；1 ,（3）若c“4 /+?-1 对一切正整数n 恒成立，求实数m 的取值范围。解：（1）由题意知，%=（：）（eN*）.1 分b“=3 1 0 g L 怎-2,仇=S lo g,%-2=