2023年高考数学一轮复习新课标版题组层级快练41-50.pdf

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1、专题层级快练（四十一）一、单项选择题1.（2022天津耀华中学模拟）已知等差数列 斯 的各项均为正数，0 =1,且 如 加+|，an成等比数列.若 p q=1 0,则p劭=（）A.1 4B.1 5C.1 6D.1 7答 案 B解析 设等差数列 斯 的公差为 由题意分析知力0,因为“3,如+|,即 成等比数列，所以（他十号=俏01,即+3d）=（1+2 J）-（1 +1 0J）,即 44J2 36J45=0,所以 ,则由%,仇 的公共项组成的新数列 6 的通项公式c“=()A.3+4 B.6”+2C.6+4D.2 +2答 案 C解析 设 斯 的公差为小，九 的公差为d 2,E ,(16 (12

2、8 一则 产 7=尸 2.bkb i 1 2刈=彳 T=彳=3二斯=。2+(-2)x 2=2+4,bni 2+(n 2)x 3=3-2.二数列 如 为 6,8,1 0,1 2,1 4,1 6,1 8,2 0,2 2,数列 儿 为 1,4,7,1 0,1 3,1 6,1 9,2 2,.，是 以 1 0 为首项，以6为公差的等差数列.c”=1 0+(-1)x 6 6 n+4.5.(2 0 2 1 江西七校联考)在正项数列”“中，0=2,且点P(l n a“，I n 斯+i)(G N*)在直线X-y+l n 2=0 上.若数列 如 的 前 项 和 S,满足S.2 0 0,则的最小值为()A.2B.5

3、C.6D.7答 案 D解析 将点P的坐标(l n a“，l n 4 +i)(e N )代入x y+l n 2=0 中，可得知+|=2 斯，所以”2(12)是首项为2,公比为2的等比数列，Sn=,；=2 +1 2,令 S“2 0 0,则 2 +i 2 0 2,所1 2以n的最小值为7.6.谢尔宾斯基三角形(S i e r p i n s k i t r i a n g l e)是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基在1 9 1 5 年提出.其构造方法是：(1)取一个实心的等边三角形(图1);(2)沿三边中点的连线，将它分成四个小三角形：(3)挖去中间的那一个小三角形(图2)；(4)对其余三个小三角形

4、重复(2)(4)(图 3).制作出来的图形如图4,.图 1 图2 图3 图4若 图 1 的面积为1,则图4阴影部分的面积为()4-9A.C-6 4D 2 7答 案 C解析 设 图 1 的面积为a,因为图2被挖去的面积占图1 面积的;，则图2阴影部分的面积为前，同理图3被挖去的面积占图2面积 的/所以图3阴影部分的面积为（J m按此规律,3图 1、图 2、图 3、阴影部分的面积组成等比数列：a,示?,由已知图1 的面积为1,则图4阴影部分的面积为四2 7，选 C.二、多项选择题7.已知数列 中，。=1,4 2=2,且心1,七 N*,其前项和工满足工十I+S T=2（S+1）,则（）A.所=1 3

5、 B.“8=1 4C.7=4 3 D.$8=6 4答 案 B C解析 由 S+i+S-i=2（S+1）,得斯+i斯=2（N 2）,因为“2 a 1 =1,所以 斯 从第二项起为等差数列，且公差d=2.故7=2+5 d=2+5 x 2=1 2,8=2+6 d=1 4,所以A错误，B正 确；S 7=a 1 T6 X （敛+乃）,6 X (2+1 2)1 +2 =4 3 ,=4 7 X（s+恁）221 +7 X；+14）=5 7,所以c正确，D 错 误.故 选 B C.8.（2 0 2 2 沧 衡八校联盟）一个弹性小球从1 0 0 m 高处自由落下，每次着地后又跳回原来高度2的J 再落下.设它第次着

6、地时，经过的总路程记为S n，则当/2 时,下列说法正确的是（）A.5,5 0 0 B.5 4 0 0C.S,的最小值为竽 D.S.的最大值为4 0 0答 案 A C解 析 本题考查利用等比数列解决实际问题.第一次着地时，共经过了 1 0 0 m,第二次着地时，共 经 过 了 （1 0 0+1 0 0 X*）m ,第 三 次 着 地 时，共 经 过 了-2 2|21 0 0+1 0 0 X-X 2+1 0 0 X|j J X 2 m,，以此类推，第 次着地时，共经过了 1 0 0+1 0 0 0X 2 +1 0 0 x(T)X 2 H-H O O x 僚 X 2 J m.)()+)()以所4

7、0()l停J.则 S,是关于的增函数，所以当2时，S”的最小值为S 2,且$2=苧.又S.=lO O+4 o j l 停)1 0 0+4 0 0=5 0 0,故选 A C.三、填空题与解答题9.从盛满2升纯酒精的容器里倒出1 升纯酒精，然后填满水，再倒出1 升混合溶液后又用水填满，以此继续下去，则至少应倒 次后才能使纯酒精体积与总溶液的体积之比低于 1 0%.答 案 4解析 开始纯酒精体积与总溶液体积之比为1,操作一次后纯酒精体积与总溶液体积之比=1,设操作 次后，纯酒精体积与总溶液体积之比为如，则。+1=斯；，&)4，解得”24.1 0.用分期付款的方式购买一批总价为2 3 00万元的住房，

8、购买当天首付3 00万元，以后每月的这一天都交1 00万元，并加付此前欠款的利息，设月利率为1%.若从首付3 00万元之后的第一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第1 0个月应付 万元.答 案 1 1 1解析 购买时付款3 00万元，则欠款2 000万元，依题意分2 0次付清，则每次交付欠款的数额(万元)依次构成数列故 =1 00+2 000 x0.01 =1 2 0,a2=1 00+(2 000-1 00)x0.01 =1 1 9,的=1 00+(2 000-1 00 x2)x0.01 =1 1 8,4=1 00+(2 000-1 00 x3)x0.01 =1 1 7,a=I O O

9、+2 000-1 00(n-l)J x0.01 =1 2 1 -(1 W”0),g+3+3 d=11,6+15d=9q2,解得d=2,q=2.所以斯=2-1,bn=2n,2n-1(2)由(1)付 Cn=2 I52山+np3-21+-H=当2 一3,2n 1+5_23+3_22+1-212-2Ll2,.一，付口 1/尸 1 ,2,2,2.-b1 2F T-2 n7 1=1 +1 2。(t F1TJ、-2n 1 2+32=3 2,所以。=6一等提(2).又=1时，Ti=l也符合.,“2+3综上所述，T=6-2 -i.13.(2022 重庆一中模拟)已知S 是数列 斯 的 前 项 和,且0 =1,a

10、n+l-2 an=3.证明数歹U 斯+3 是等比数列，并求数列。“的通项；(2)是否存在整数比使得&2 021?若存在，求出上的最小值；若不存在，请说明理由.答 案(1)证 明 见 解 析an=2+-3 (2)见解析解 析(1)证明：由。+2a”=3,得 a”+i+3=2(。”+3),即,2.十J又 0 =1,故数列 斯+3 是以4为首项，2为公比的等比数列，所以m+3=4 21=2”，所以为=2+13.4(12)(2)由(1)得 S“=3=2+234,1 2又当“22 时，S,-S-l=2n+2-3 n-4-2,+1+3(n-l)+4=2+l-30,S9=2 -3X9-4=2 04 8-2

11、7-4=2 01 7 2 02 1,故存在整数/满足条件，k 的最小值为1 0.度|重点班选做题1 4.在“全面脱贫”行动中，贫困户小王2 0 2 1 年 1 月初向银行借了扶贫免息贷款1 0 0 0 0 元,用于农产品、土特产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不应求，据测算：每月获得的利润是该月初投入资金的2 0%,每月底缴房租8 0 0 元和水电费4 0 0 元，余款作为资金全部用于再进货，如此继续，预 计 2 0 2 1 年小王的农产品加工厂的年利润为（取 1.2=7.4,1.2|2=9）（）A.2 5 0 0 0 元 B.2 6 0 0 0 元C.3 1 5 2 0 元 D

12、.3 6 0 0 0 元答 案 C解 析 1 月月底小王手中现款为（1+2 0%）X1 0 0 0 0-8 0 0-4 0 0=1 0 8 0 0（元），设月月底小王手中现款为a,+1 月月底小王手中现款为a+i,则 a+i=1.2a,1 2 0 0,即 an+i-6 0 0 0=1.2（斯一6 0 0 0）,所以数列 斯-6 0 0 0 是首项为4 8 0 0,公比为1.2 的等比数列，故 0 1 2-6 0 0 0=4 8 0 0 x 1.2,即 6 ZI2=4 8 0 0 x l.2+6 0 0 0 =4 1 5 2 0,所以年利润为4 1 5 2 0-1 0 0 0 0=3 1 5 2

13、 0 元.故 选 C.1 5.（2 0 2 1 全国乙卷,文）设 如 是首项为1 的等比数列，数列 瓦 满足瓦=竽.已知，3 a 2,9 a 3 成等差数列.（1）求%和 d 的通项公式；记 S,和。分别为 小 和 也 的前项和.证明：Tn，b,-（I）（2）证明：由（1）得 S,=1r3 _ 32-2 3n，7；,=|+H-1-/,7；=学+豕1 H-+n，一可得-x（1-）1 2 _ 1 J_ J_ _ _ 3 以“3浦 _ _ _1 3_ n_ _ 1 _ 1 nW7-9 十 32+33+十*3 -j-3 卜 一2 3 2 一）3 -3W1 1，3+3-43n343-4343+2/7 2

14、n34-3;-夕4*0,所以+27?一4.3,y4+2,7-34以所3-431+342y3434产即&2-23为因4夕3433以所34 3 =*/1=742_户=超步,二圆 锥 的 体 积，产/=即7 13 o 1二、多项选择题9.（2022德州一中模拟）正三棱锥底面边长为3,侧棱长为2小，则下列叙述正确的是（）A.正三棱锥的高为3 B.正三棱锥的斜高为挈C.正三棱锥的体积为苧 D.正三棱锥的侧面积 为 里答 案 AB1 0.（2021.山东济南二模）已知圆锥的顶点为P,母线长为2,底面半径为 小，A,8 为底面圆周上的两个动点（A 与 B 不重合），则下列说法正确的是（）A.圆锥的体积为nB

15、.三角形以8为等腰三角形C.三角形网8面积的最大值为小nD.直线P A与圆锥底面所成角的大小为不答 案 A B D解 析 本题考查圆锥中的相关计算.如图所示，点。为 点P在圆锥底面上的射影，连 接OA,OB.PO=正 一（小）1,圆锥的体积k=g x “义（小）2 X 1=m ,A正确；PA=PB=2,B正确；易知直线 以 与 圆锥底面所成的角为/以。=5，D正确；取 AB中点C,连接 P C,设/%C=。，则看，2 9 e.-y,n）,S 始 s=2 s i n 0,2 c o s S=2 s i n 20,当20=2，即 0=5时，面积取得最大值2,C错 误.故 选 A B D.三、填空题

16、1 1.一个圆台上、下底面的半径分别为3 cm和 8 c m,若两底面圆心的连线长为1 2 c m,则这个圆台的母线长为 c m.答 案 1 3解析 如图，过点A作A C _ L O B,交 08于点C.在 R t Z X A B C 中，A C=1 2 c m,5 c=8 3=5（c m）.,.A B=/1 22+52=1 3（c m）.1 2.（2 0 2 2 沧衡八校联盟）一个半径为2 1 的球形冰块融化在一个半径为1 4 的圆柱形的水桶内，则 水 面 的 高 度 为.答 案 6 34兀X 2 户解析 设水面的高度为，则 一 3=H X 1 42X/7,解得/?=6 3,所以水面高度为6

17、 3.1 3.已知圆锥的表面积是底面积的3倍，那么这个圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为答 案 n解 析 如图，门 虫 尸 n ，S 4,sS 底=n r2,n r SA=2 n r.SA=2r.2 n r圆心角9=5 八=n .1 4.如 图 1 是一个正三棱柱容器，底面边长为a,高为2 a,内装水若干，将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图2,这时水面恰好为中截面，则 图 1 中容器内水面的高度是.3答 案2a解 析 设题图1中容器内液面的高度为,液体的体积为V,则V=SAABch,题图2中液体组成了一个直四棱柱，其 底 面 积 为 为 诋=否 刖，高度为2 ,3 日SA A B C 2。3则*

18、2 a,h=S-ABC=11 5.（2 0 2 2 上海徐汇中学模拟）用一个半径为1 0 c m 的半圆纸片卷成一个最大的无底圆锥，放在水平桌面上，被一阵风吹倒，如图所示，则被吹倒后该无底圆锥的最高点到桌面的距离为答 案 5 小c m解析 设圆锥的底面半径为r,母线长为/.根据题意知/=1 0 c m,且 2 r=n/,故 r=5 c m.所以圆锥的轴截面为等边三角形，且边长为1 0 c m.故被吹倒后该无底圆锥的最高点到桌面的距离为边长为1 0 cm的等边三角形的高，此高为5 小 c m.回重点班选做题.1 6.（2 0 2 2 高考调研原创题）如 图 1 所示，已知正方体的面对角线长为“，

19、沿阴影面将正方体切割成两块，拼成如图2 所示的几何体,图1答 案(2+啦)廿解析 由已知得正方体的棱长为挈?，则正方体的表面积为3a2,新几何体的表面积比原来多了两个阴影部分的面积，少了正方体两个面的面积，故所求几何体的表面积为3/+2X 乎/2X；“2=(2+啦)次1 7.(201 9课标全国IH)学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型.如图，该模型为长方体ABC。一A山iC Q i挖去四棱锥OEFG”后得到的几何体，其中。为长方体的中心，E,F,G,H 分别为所在棱的中点，AB=BC=6cm,A4i=4 cm.3D打印所用原料密度为0.9g/cn?.不考虑打印损耗，制作该模型所需原

20、料的质量为 g.答 案 1 1 8.8解析 由题易得长方体的体积为6x6x4=1 44(cm3),四边形EFG”为平行四边形，如图所示，连接GE,H F,易知四边形EFGH的面积为矩形BCGBi面积的一半，即(X 6X 4=1 2(cm 2),所以 V gf0-EFG=；X3X 1 2=1 2(cm3),所以该模型的体积为 1 44一1 2=1 32(cm3),所以制作该模型所需原料的质量为1 32x0.9=1 1 8.8(g).专题层级快练(四十三)一、单项选择题1 .已知直三棱柱ABC-ABC的 6 个顶点都在球。的球面上，若 AB=3,AC=4,ABLAC,AAi=l2,则球O 半径为（

21、）B.2VWC.y D.3 答 案 C解 析 由球心O 作平面ABC的垂线，由题可知垂足为8 c 的中点，设其为点M.又AA/=|BC=|,O M=A A =6,所以球。的半径R=O A+0M?=7（习+6?=呈2.（2022郑州市第三次质量检测）古希腊数学家阿基米德在 论球和圆柱中，运用穷竭法证明了与球的面积和体积相关的公式.其中包括他最得意的发现“圆柱容球”.设圆柱的高为2,且圆柱以球的大圆（球大圆为过球心的平面和球面的交线）为底，以球的直径为高,则球的表面积与圆柱的体积的数值之比为（）A.4：3 B.3：2C.2：1 D.8：3答 案 C解 析 作轴截面如图，m可知圆柱的底面半径为1,高

22、为2,球的半径为1.卜 则球的表面积为S=4n X 1=4 it.圆柱的体积为V n X 12X2=2 Jt.二球的表面积与圆柱的体积的数值之比为2：1.3.（2022唐山一中模拟）正三棱锥的高和底面边长都等于6,则其外接球的表面积为（）A.64 n B.32 nC.1 6 nD.8 n答 案 A解析 如图，作 P M,平面ABC于点M,则球心。在 PM 上，P M=6,连接 入AM,A O,则。P=OA=R（R 为外接球半径），在 RtZkOA例中，0A/=6 一凡/OA R,又 A B 6,且ABC 为等边三角形，故 AM=1/6232=2y?）,贝（I Cl BR 2-（6-R）2=（2

23、巾）2,则 R=4,所以外接球的表面积S=4nR2=64兀.4.（2022.山东荷泽市联考）鳖席（bie n豆 o）是我国古代对四个面均为直角三角形的三棱锥的称呼.已知三棱锥A-B C D 是一个鳖腌，其中AB_LBC,ABLBD,B C L C D,且 AB=6,BC=3,DC=2,则三棱锥4 8 8 外接球的体积为（）49 Ji343 nA.B.2C.49 JiD.343 n6答 案 D解析 本题考查三棱锥外接球的体积.由题意，三棱锥A-8 C O 可放置在长方体中，如图所示.易得三棱锥A-B C D外接球的直径为A。,且AD=/62+32+22=7,故三棱锥A-B C D7外接球的半径R

24、=所以三棱锥4 一BCD外 接 球 的 体4积 X团=今343一 a.5.（2021.全国甲卷，理）已知A,B,C 是半径为1 的球。的球面上的三个点，S.ACBC,A C=8 C=1,则三棱锥OABC的体积为（）C坐D号答 案 A解析 如图所示，因为A C L B C,所以A B为截面圆。的直径，且 4 8=也.连 接。”则0。1，平面ABC,0 0尸y j 竽 2=一（乎）2=坐，所以三棱锥。一ABC的体积丫=54489*OOi=X X 1 X 1 X 2=|2-6.（2022.安徽合肥模拟）已知球的直径SC=6,A,B 是该球球面上的两点，且 4B=SA=SB=3,则三棱锥SABC的体积

25、为（）A.平B.乎 妪n22 2 2答 案 D解析 设该球球心为O,因为球的直径SC=6,A,8 是该球球面上的两点，且 AB=SA=S8=3,所以三棱锥S-0 A 8 是棱长为3 的正四面体，其体积-OA8=：XX3X乎X =乎,9A历9A历同理 Vo-A8C=4，故三棱锥 SABC 的体积 Vs-A8C=%-OAs+VO-A8C=2，故选 D.7.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 c m,将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 c m,如果不计容器的厚度，则球的体积为（）500 nA.-cm866 nB.-cm、1 372 nl 2 048

26、 n aC.-cm D.-cm,答 案 A解析 设球心为O,半径为R c m,正方体上底面中心为A,上底面一边的中点为8,在 Rt OAB 中，0A=R2,AB=4,O B=R,由 /?2=（7?-2）2+42,得 R=5,.V墟=兀 2=（cm3）.故选 A.8.如图所示的粮仓可近似看作个圆锥和圆台的组合体，且圆锥的底面圆与圆台的较大底面圆重合.已知圆台的较小底面圆的半径为1,圆锥与圆台的高分别为小一1 和 3,则此组合体外接球的表面积是（经过圆锥的顶点且圆台的下底面是球的截面）（）C.24页 D.28n答 案 B解析 本题考查组合体外接球的表面积.设外接球半径为R,球心为O,圆台较小底面圆

27、的圆心为。1,则。|2+1 2=汽2,而。0=小一 1+3-R,故 片=1 +（小+2-R）2,解得R=小,此 组 合 体 外 接 球 的 表 面 积 故 选B.9.在封闭的直三棱柱A8CAIBIG 内有一个体积为V的 球.若 A8LBC,AB=6,BC=8,A 4=3,则 V的最大值是（）9 兀A.4 nB.答 案 B解析 易知AC=1 0.设底面AABC的内切圆的半径为r,W j|x 6 X 8=1 x（6+8+1 0）-r,所以r=2,因为2 r=4 3,所以当球与三棱柱的上、下底面相切时，体积最大，所以最大球的直3 4 9 工径 2 R=3,则 R=,此时球的体积V=gn一.故选B.1

28、 0.（2022湖 南衡阳八中月考）如图，平面四边形ABC D 中，AB=AD=C D,8 0=也，C D,将其沿对角线8。折成四面体A BCD,使平面A BO_L平面BCD若四面体ABCD的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（）A.3 nB.坐 itC.4 n D坐 n答 案 A解 析 本题考查四面体外接球的表面积.设 BC的中点是E,连接O f,A E,过点4 作 A OJ_B。于点O,连接O E,如图.VA,B=A D=l,B D=y2,由勾股定理得 84 _LA D,：.A 0=坐平面 A 801.平面 B C),且平面 A 8 0 n 平面 BCD=B。，A OU平面 4 BD,A

29、 O1BD,.A 0J_ 平面 BCD,；.A OVOE：O=1 cD=1,/.A,E=y/A，。+0：2=坐又即三角形BC。为直角三角形，.8 E=C E=O E=4 E,即 E 为四面体A BC的外接球球心,，该球的表面积S=4 Ji X=3 n.故选A.二、填空题1 1.（201 7课标全国H）长方体的长、宽、高分别为3,2,1,其顶点都在球O 的球面上，则球0的表面积为.答 案 14”解析 设长方体的外接球半径为R,则 2 R=花 立 4m，所以球。的表面积S=4 n炉=n(2/?)2=14 n.1 2.已知三棱锥P-DE F的各顶点都在球面上，P D 工ED,平 面PD E,DE=4

30、,E F=3.若该球的体积为 耳 更“，则三棱链P-DE F的表面积为.答 案 27解析 本题考查三棱锥及其外接球的有关计算.如图所示，因为平面P DE,所以EFLD E,EFLPE,EFLD P.因为P_L瓦)，E F C DE=E,所以PD_L平面力E F,所以PD LD F.设 P F 的中点为。，则 P 0=0 尸=。=。旦 所以0 为三棱锥尸一Q E F 外接球的球心，设球的半径为/.由题 知 耳 更 人=,“六，解得r=华，所以P尸=取.在 RtZOEF1中，D E=4,EF=3,所以 D F=qD E2+EF2=5.在 Rt/PD F 中，PD=y)PF2-D F2=3.在 Rt

31、zPDE 中，P E=7 P U+D E 2=5.所以三棱锥 P Q E F 的表面积为 SAOEF+SAPOE+S 户OF+SAPEF=X 3 X 4+2 X 3 X 4+SX3X5+gx3X5=27.13.(2021 八 省 联考)圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面半径分别为4 和 5,则 该 圆 台 的 体 积 为.答 案 61 n解析 方法一：I球的直径为10,半径为5,而圆台的下底面半径为5,，如图将圆台补为圆锥E O 2,O2C=5.二。2。1=y/O2C2-OlC2=3.设 E O i=x,则 r+3 =5,x 1 2.二A圆锥 E 0 i=；X1 6

32、n X 1 2 =6 4。，丫圆锥 E O 2=3 X2 5 n 义1 5=1 2 5 口./.V 回 台=1 2 5 五6 4 冗=6 1 n .方法二：依题意可知圆台的下底面为球的大圆，作球的轴截面如图所示,则圆台的高为力=4 5 2-4 2=3,故体积为 V=|x J T X 3X（52+42+5X4）=61 n .1 4.（2 0 2 2 浙江台州高三月考）半球内有一个内接正方体，若正方体的 棱 长 为#,则这个半球的体积为.答 案 1 8 n解析 方法一：过正方体的对角面44GC作截面如图所示，设半球的半径 为 凡 半球球心为 O,因为正方体的棱长为 优,所以CG=加，OC=坐又,=

33、木.-7、A O C在 R t Z G c o 中，由勾股定理，得C C，+O C2=OG2,即（、同+（小）2=氏 2,所以=3.故2 ,半 球=1兀 H =1 8 7 1.方法二：将其补成球和内接长方体，原正方体的棱长为 优,则（2 R）2=6+6+（2 班）2,所以R2=3.故V半 球=冗 R 3=1 8 冗.重点班选做题1 5.【多选题】（2 0 2 2 青岛市高三质量检测）在南方不少地区，经常看到人们头上戴一种用木片、竹蔑或苇蒿等材料制作的斗笠，用来遮阳或避雨，随着旅游和文化交流活动的开展，斗笠也逐渐成为一种时尚旅游产品，有一种外形为圆锥形的斗笠，称 为“灯罩斗笠”，根据人的体型、高

34、矮等制作成大小不一的型号供人选择使用，不同型号的斗笠大小经常用帽坡长（母线长）和帽底宽（底面圆直径长）两个指标进行衡量.现有一个“灯罩斗笠”（如图），帽坡长为2 0 厘米，帽底宽2M厘米，关于此斗笠，下面说法正确的是（）A.斗笠轴截面（过顶点和底面中心的截面图形）的顶角为1 20B.过斗笠顶点和斗笠侧面上任意两母线的截面三角形的最大面积为1 0即平方厘米C.若此斗笠顶点和底面圆上所有点都在同一球上，则该球的表面积为1 600”平方厘米D.此斗笠放在平面上，可以盖住的球（保持斗笠不变形）的最大半径为（2队&-30）厘米答 案 ACD解析 斗笠的轴截面如图所示，由题意可知S8=20,A B=2 S

35、 p,设。为AB的中点，连接S O,贝！1 sin/O S B=9 f=峥=好，所以/O SB=60,则NAS8=1 20,所以选项 A 正do ZU Z确；当截面三角形过斗笠顶点和斗笠侧面上两条互相垂直的母线时，截面三角形的面积最大，且最大值为x202=200（平方厘米），所以选项B 错误；若此斗笠的顶点和底面圆上所有点都在同一个球上，则该球为外接球，设此球的半径为R,球心为。1,则 O i到 S,A,8 的距离相等，。|在 SO 的延长线上，作出点。|,连接AOi,因为此斗笠的高1=SO=、2（）2 （1 加）2=1 0,所以0 0|=/?1 0,在AOOi中有R 2=（R-1 0）2+（

36、1 0J3）2,解得R=2 0,则该球的表面积S=4n/?2=i 600兀（平方厘米），所以选项c正确；将此斗笠放在平面上，可以盖住的球的半径最大，则此时球为圆锥的内切球，设内切球的半径为r,即轴截面三角形的内切圆的半径为r,所以SAB的面积SA S A B=；（2 0+2 0+2 S/5）厂=1 x2O j3X 10,解得厂=2砧-30（厘米），所以选项D 正 确.故 选 ACD.1 6.（2022.湖北武汉适应性测试）已知一圆锥底面圆的直径为3,圆锥的高为 呼，在该圆锥内放置一个棱长为的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则 a 的最大值为（）A.3B.小C.去小 一 也）D.

37、2答 案 B解 析 依题意，正四面体可以在圆锥内任意转动，故该正四面体最大时内接于圆锥的内切球.设内切球球心为P,半径为r,圆锥底面圆半径为R,圆锥及其内切球的轴截面如图所示，S为圆锥顶点，。为底面圆圆心，连接SO.则 O A=O B=|,因为5 0=平，所以 S 4=S 8 K s e 082=3,所以SAB为等边三角形，故 P 是SAB的中心.连接8 P,则 B P平分所以NP8O=30,所以tan 30=余X近3-近3r-V233-2即即正四面体的外接球的半径=坐.又正四面体可以从正方体中截得，如图，正四面体4 B O G 可由正方体ABC。一4 B 1 G G 截得，则可知,当正四面体

38、AiBDG的棱长为a时，正方体A B C D-A IiG d 的棱长为乎a而正四面体的外接球即为截得它的正方体的外接球，所以2s冬=冬=小,所以a=小.即“的最大值为啦.1 7.（2022沧州联考）某中学开展劳动实习，学习加工制作模具，有一个模具的毛坯直观图如图所示，是由一个圆柱体与两个半球对接而成的组合体，其中圆柱体的底面半径为1,高为2,半球的半径为1.现要在该毛坯的内部挖出一个中空的圆柱形空间，该中空的圆柱形空间的上、下底面与毛坯的圆柱体底面平行，挖出中空的圆柱形空间后模具制作完成，则该模具体 积 的 最 小 值 为.答 案 刃 n解析 设中空圆柱的底面半径为r,高为2 +（0 （2+/

39、z）.Vr=-n （h2+h-l）.2 2可得当力（0,1）时，S 0,当力（？2）时，V1,所以NEHG=90.因为E F=E H=y5,所以 E G=,故 sin/G E H=乎.5.（2022江西景德镇模拟）将图中的等腰直角三角形ABC沿斜边8 c 上的中线折起得到空间四面体ABCZ）（如图），则在空间四面体ABCO中，AQ与 8 c 的位置关系是（）A.相交且垂直C.异面且垂直答 案 CD.异面但不垂直解析在题图中，A D 1 B C,故在题图中,AD1.BD,A D L D C,又因为 8 0 n o e=,所以AD_L平面BC D,又 BCU平面BC D,力不在BC上，所以ADJ_

40、8C,且与BC异面,故选C.6.如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABC。一A B iG G 中，AA=2AB=2,则异面直线A由 与 A Q 所成角的余弦值为（）A-5Ct答 案 D解析 连接B G,易证BCi/AD,则NAiBG即为异面直线A】B 与 所 成 的 角.连 接 A C”I n 2 _ A 2由 A 8=l,AA=2,易得 AIC=A C 144点 即异面直线A 3 与A。所成角的余弦值为青7.（2022 华中师大附中模拟）已知正四棱锥S4BCZ）的侧棱长与底面边长相等，点 E 为 SC的中点，则 SA与 BE所成角的余弦值为（）答 案 C解析 如图，设 A C C

41、8 Z X 0,连接0 E,则 0 E 是SAC的中位线，所以EO/SA,则N8E0为 BE 与 SA 所成的角.设 S A=A B=2 a,则 0 E=；S4=a,B E=S A=g,0 B=y2a,所以EOB为直角三角形，所以c o s/B E O=.故选C.8.在如图所示的正四棱柱ABCO-AiBiGOi中，E,F 分别是棱8/,AQ的中点，则直线BF与平面4 9 E 的位置关系是（）A.平行C.垂直答 案 AB.相交但不垂直D.异面9.如图,在正方体ABCO-A iB iG Q 中，M,N 分别是BC”C。的中点，则下列说法错误的是（）A.M N与C G 垂直C.与 BQ平行答 案 D

42、解 析 如图，连接Ci。,B.MN与 AC垂直D.MN与 AiBi平行在 C Q B中，M N/B D,故C正确；因为CC 平面A 5 C D,所以CC48,所以M N与C G垂直，故A正确；因为 AC_LBO,MN/BD,所以M N与A C垂直，故B正确；因为与8。异面，MN/BD,所以M N与4 8不可能平行，故D错误.10.（2022雅礼中学模拟）我们打印用的A 4纸的长与宽的比约为啦，之所以是这个比值，是因为把纸张对折，得到的新纸的长与宽之比仍为 噌，纸张的形状不变.已知圆柱的母线长小于底面圆的直径长（如图所示），它的轴截面A8C。为一张A 4纸，若点E为上底面圆上弧A B的中点，则异

43、面直线Q E与A B所成的角约为（）答 案C解析,.AB/CD,二/E O C（或其补角）为异面直线D E与A B所成的角，设C D的中点为。，过E作底面。交弧C O于尸，连接OE,OF,是瓠A 3的中点，二尸是弧C O的中点，J.CD VO F,又 EF_L平面0 0,J.E FLC D,E FC O F=F,.（:。，平面。,：.ODOE.设 A D=1,则。=也，故0/=乎，E F ,于是OE=、J F+（坐）2=坐,姐 t.anN7 rZn?nO_ Q0O._r_ yA/3,2n；.NEO=y.故选 C.二、多项选择题1 1 .已知a,2 是两个不同的平面，m,是两条平行的直线，且加，

44、nd a,m,M 万，给出下列四个论断：a.；加”；机a；以其中三个论断为条件，剩余论断为结论组成四个命题，其中正确的命题有（）A.=B.0 C.0 D.答 案 AC解 析 本题考查空间线线、线面、面面的位置关系.若a 4，m/n,机 a,且 加 ,则有/?成立，则 A 正确；若a 夕，加a,n/则相，”可能相交、平行或异面，则 B 错误；若a 5，m/n,且a,则有小a 成立，则 C 正确；若机，M I a,则平面a,可能相交、平行，则 D 错 误.故 选 AC.1 2.如图所示，A8CDAiBiG。是长方体，。是 以。的中点，直线4 C 交 平 面 于 点M,则下列结论正确是（）A.A,M

45、,。三点共线C.A,M,C,。不共面答 案 ADB.A,M,O,Ai 不共面D.B,Bi，O,M 不共面解析 连接AiG,A C,则 A AC,；.Ai,Ci,A,C 四点共面，.A C U 平面 ACGA,.,MGAIC,平面 A C G 4,又 M e 平面 AB。，在平面ACCiAi与平面ABtD t的交线上，同理。也在平面ACCiAi与平面ABIOI的交线上.又 4 为两平面的公共点，；.A,M,。三点共线.又 8所 与 平 面 仅 有 8 一个交点，所以B 与0,M 不共面.1 3.（2022广东茂名联考）一正方体的平面展开图如图所示，在这个正方体中，有下列四个结论，其中正确的是（）

46、A.AFGCB.8。与 GC为异面直线且夹角为60C.BD/MND.BG与平面A8CO所成的角为45答 案 AB解 析 将平面展开图还原成正方体，如图所示.G N对于A,由图形知A尸与GC异面垂直，故 A 正确；对于B,BQ 与 G C显然是异面直线.如图，连接EB,E D,则 BMG C,所以/M B。即为异面直线8。与 GC所成的角（或其补角）.在等边中，NMBD=60,所以异面直线B力与G C所成的角为60,故 B 正确；对于C,8 0 与 MN为异面垂直，故 C 错误；对于D,由题意得，GO1,平面A8C。，所以NG8。是 8 G 与平面A8C。所成的角.但在RtBOG中，/G 8 O

47、 不等于45,故 D 错误.综上可得A、B 正确.度|重点班选做题1 4.（2022江西莲塘一中、临川二中联考）如图，正方体ABCQ-Ai8 1 G A 的棱长为1,P 为B C 的中点，。为线 段 C G 上的动点，过点4,P,。的平面截正方体所得的截面为S,当CQ=1 EI寸，S 的面积为.答 案坐解析 当C Q=1 时，。与 G 重合.如图，取AQi,A。的中点分别为F,G.连接AF,AP,PG,CiF,PG,DiG,AG,为 A Q i的中点，P 为 B C 的中点，G 为 A。的中点，：.A F=F C=A P=P C,PG 统 CD,A厂统 01 G.由题意易知 CD 统 Q D,

48、：.PG 统 CD,二四边形G O iG P为平行四边形，：.P C D G,J.P C tA F,：.A,P,G,尸四点共面,二四边形A P G F 为菱形.：A G=S，P F=y2,过点A,P,。的平面截正方体所得的截面 S 为菱形APGF,.,其面积为*4G-PF=g义小义小=坐.1 5.如图所示，平面ABEEL平面ABCQ,四边形A8EF与ABC。都是直角梯形，NBA=/48=90,BC/AD S.BC=AD,BE/AF S.BE=AF,G,，分别为布，F。的中点.(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C,D,F,E 四点是否共面？为什么？答案 略(2)共面，理由略解 析(1

49、)证明：G,”分别为必，产力的中点,/.GH 统%D.又,?BC 展 AC,GH统 8c.四边形BCHG为平行四边形.(2)C,D,F,E 四点共面.理由如下：由8 E 玛 4/，G 是阳的中点，得BE统GF.所以EF统BG.由(1)知，BG统C H,所以EF统CH.所以ECFH.所以C,D,F,E 四点共面.题组层级快练（四十五）一、单项选择题1 .（2022陕西省宝鸡市模拟）已知a,2 是两个不同的平面，又/,m,是三条不同的直线，则不正确的命题是（）A.若，n/a ,则？B.若?a,n/a ,贝?C.若 U a,/,贝 D.若 a 4，I d J 3,且/a,则/产答 案 B解析 A 中

50、，若a,则在a 中存在一条直线/,使得/，又，w_La,/U a,则 机 又I/n,那么，故正确；B 中，若机 a,n/a,则,或相交或异面，故不正确；C中，若 1 3则存在a U ,使/“，又 LLa,则故正确；D 中，若 a 小且/a,则/U 8 或/.，又 I QB,./？，故正确.故选B.2.已知a,b 是互不重合的直线，。，是互不重合的平面，下列四个命题中正确的是（）A.若 a/h,b U a ,则 a/a B.若 a/a,a/B,a A B=b,则 a/bC.若 a a,a H 3,则“D.若 a ll a,a ll,贝 U a 答 案 B3.过三棱柱A B C-A Q的任意两条棱