2023年湖南省沅江市高考冲刺模拟数学试题含解析.pdf

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1、2023年高考数学模拟试卷请考生注意：1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请 用 0.5 毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2.答题前，认真阅读答题纸上的 注意事项，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设 X、八 z 是空间中不同的直线或平面，对下列四种情形：X、八 z 均为直线；X、y是直线，z 是平面；z 是直线，x、y是平面；x、八 z 均为平面.其中使“x _ Lz 且为真命题的是（）A.B.C.D.2 22.设双曲线

2、C：鼻 一 方=1（。0/0）的左右焦点分别为6,乙，点 E（O,r）（r 0）.已知动点p在双曲线C的右支上，且点P,E,巴不共线.若A PE 的周长的最小值为4 b,则双曲线C 的离心率。的取值范围是（）3.若 数 列 为 等 差 数 列，且满足3+%=%+%，S,为 数 列 的 前 项 和，则 品=（）A.27 B.33 C.39 D.4 44 .如图在直角坐标系尤Oy中，过原点。作曲线=/+1（X（）的切线，切点为，过点p分别作x、y轴的垂线,垂足分别为A、B,在矩形加有中随机选取一点，则它在阴影部分的概率为（）5.如图所示，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图，则

3、该几何体的体积是（）6.设数列%是等差数列，6+%+%=6，%=6.则这个数列的前7项和等于()A.12 B.21 C.24 D.367.设 加，是空间两条不同的直线，。，夕是空间两个不同的平面，给出下列四个命题：若?/0,/4，a I/P,则?；若a_L尸，ml./3,则 m/a；若 a 1 1 (3,则/月；若a_L尸，a C B =l,m/a,m i l,则 加 力.其 中 正 确 的 是()A.B.C.D.8.设片，工分别是双曲线*-=1(2。，。)的左右焦点若双曲线上存在点P，使“=6 0。，且|尸制=2归国,则双曲线的离心率为()A.6 B,2 C.75 D.769.已知抛物线C：

4、/=2 0，(0 0)的焦点为尸(0,1),若抛物线C上的点A关于直线/：y=2x+2对称的点3恰好在射线y=U(x 0力0)的右焦点为尸，过右顶点A且与X轴垂直的直线交双曲线的一条渐近线于Ma b点，M F的中点恰好在双曲线C上，则C的离心率为()A.V5-1 B.4 2 C.73 D.V5二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。1 3.某部队在训练之余，由同一场地训练的甲、乙、丙三队各出三人，组成3x3小方阵开展游戏，则来自同一队的战士既不在同一行，也 不 在 同 一 列 的 概 率 为.14.点尸是A A 3 C所在平面内一点且方+定=而，在 ABC内任取一点，则此点取自 P 3

5、 C内的概率是15.AABC 内角 A，B,C 的对边分别为。，h,c,若 2c c o s B=2a +/?,则 NC=.16.在编号为1,2,3,4,5且大小和形状均相同的五张卡片中，一次随机抽取其中的三张，则抽取的三张卡片编号之 和 是 偶 数 的 概 率 为.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)在平面直角坐标系x O y中，直线/的参数方程为 (/为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半I y=-t轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为=三.(1)若 a=-2,求曲线。与/的交点坐标；(2)过曲线C上任意一点P作与/夹角为45。的直线，交/于点

6、A，且 归 川 的 最 大 值 为 布，求。的值.718.(12分)已知公比为正数的等比数列 4 的前项和为S“，且q=2,S3=-.(1)求数列%的通项公式；(2)设a =(2；)%,求 数 列 低 的前项和T.19.(12 分)已 知 函 数=f-(a+2)x+a l n x (a为实常数).(1)讨论函数/(x)在 l,e 上的单调性；(2)若存在使得/(x)0成立，求实数。的取值范围.20.(12 分)在 AABC中，Z f i =,c o s C=.4 3(1)求c o s A的值；(2)点 D 为边B C 上的动点(不与。点重合)，设A O =/IO C,求力的取值范围.21.(1

7、2分)已知函数/(x)=J c o s 2x-s i n 2x,将/(x)的图象向左移a(a 0)个单位，得到函数y =g(x)的图JT(1)若a =求y =g(x)的单调区间;(2)若a 0,y =g(x)的一条对称轴是*=一-JT，求y =g(x)在x e 0,JT的值域.1，422.(10 分)已知函数/a x Y +lnx.(1)若函数g(x)=/(x)+(a-l)ln x的图象与x轴有且只有一个公共点，求实数。的取值范围;(2)若/。)一(2加一l)x 2PF-2a=4b即可得到2a+4方 2(a+c),从而求出双曲线的离心率的取值范围；【详解】解：依题意可得如下图象，CSPEFi=

8、PE+PF2+EF2=PE+PF2+EFPE+PF+EFx-2 aN2PF2a=4b2PF=2a+4/?2（a+c）所以2/?c贝！14cn-4a2 c2所以3c2 4/所以e?=彳 *a2 3所以e竿，即e e 竽,+oo【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，属于中档题.3.B【解析】利用等差数列性质，若/+=，+4，则%,+%=%,+4求出4=3,再利用等差数列前项和公式得 1 1 3 Lu =311 2 6【详解】解：因 为3+%=%+4，由等差数列性质，若m+=p+q,则,“+%=4+%得,二 4=3.s“为数列 凡 的前项和，则S,尸11回；即)=11=33.故选：B.【点睛】本题考

9、查等差数列性质与等差数列前项和.如果%为等差数列，若加+=，+*则4“+%=%,+%(m,n,p,q w N*).要注意等差数列前项和公式的灵活应用，如$2,1=(2 -1),.4.A【解析】设所求切线的方程为y =，联立卜 二丘(”,),消去)得出关于X的方程，可得出A=0,求出左的值，进而求得切点P的坐标，利用定积分求出阴影部分区域的面积，然后利用几何概型概率公式可求得所求事件的概率.【详解】设所求切线的方程为y =&,则左0,联立卜=与(,),消去y得/一 米+1 =0，由A=公一4=0,解得左=2,y =x-+l方 程 为2x+l =0,解得x =l,则点尸。,2),所以，阴影部分区域

10、的面积为S=J(f+l-2x)公=鼻 3-/+|=S 1矩形。4P 8的面积为S=l x 2=2,因此，所求概率为=1 =.S 6故选：A.【点睛】本题考查定积分的计算以及几何概型，同时也涉及了二次函数的切线方程的求解，考查计算能力，属于中等题.5.A【解析】由三视图还原出原几何体，得出几何体的结构特征，然后计算体积.【详解】由三视图知原几何体是一个四棱锥，四棱锥底面是边长为2的正方形，高为2,1Q直观图如图所示，V =-x 2x 2x 2=-.3 3故选：A.【点睛】本题考查三视图，考查棱锥的体积公式，掌握基本几何体的三视图是解题关键.6.B【解析】根据等差数列的性质可得的，由等差数列求和公

11、式可得结果.【详解】因为数列 4 是等差数列，%+%+%=6,所以 3a 3 =6,即%=2,又 叫=6,所以“二2 =1,a,=0,7-3故 5 =7（。;）=21故选：B【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，性质，等差数列的和，属于中档题.7.C【解析】根据线面平行或垂直的有关定理逐一判断即可.【详解】解：加、也可能相交或异面，故错：因为a J尸，m L/3,所以加ua或加/0,因为We,所以/a,故对：/或u,故错：如图因 为a _ L尸，=在 内。过 点E作直线/的垂线则 直 线 尸，al又 因 为m/a,设 经 过?和a相 交 的 平 面 与a交 于 直 线，则m/。又m d J

12、 ,所以匕_ U因 为a _ U,bl,b u a,a u a所 以h/a/z,所 以 加，尸，故对.故选：C【点 睛】考查线面平行或垂直的判断，基础题.8.A【解 析】由归耳|=2归 国 及 双 曲 线 定 义 得 归 用 和 伊 名|(用 表 示)，然后由余弦定理得出a,c的齐次等式后可得离心率.【详 解】由题意11尸耳|=2|尸 闻，.由双曲线定义得|P耳|一|尸同=2,从而得|尸耳|=4匹|P闾=2a,在 中，由余弦定理得(2c)2=(4a)2+(2a)22x 4a x 2a c o s 60 ,化 简 得e =J5.a故选：A.【点 睛】本题考查求双曲线的离心率，解题关键是应用双曲线

13、定义用。表 示 出P到两焦点的距离，再由余弦定理得出凡c的齐次式.9.B【解 析】由焦点得抛物线方程设A点的坐标为(如，/)根 据 对 称 可 求 出 点A的坐标 写出直线A尸方程 联立抛物线求交点，计算弦长即可.【详解】抛物线C：x 2=2p y(p 0)的焦点为尸(0,1)，则 K=l,即=2,2设A点 的 坐 标 为 府 3点 的 坐 标 为 D “3.解得m=6 =2,或34m=-35 3（舍去）n-9A A(6,9)4直线A F的方程为y=-x+l,设直线A F与抛物线的另一个交点为D，由，4,y =x +13,解得*x2=4yx-6j=9或 0,6 0）的右顶点为A（a,0）,右焦

14、点为F（c,o）,a bzM所在直线为x=。，不妨设.M尸的中点坐标为（巴 芋3 .代入方程可得 工 J 力2 2-：-ra b.（+；）=*,+2 _ 4 =0 e-/5 1 （负值舍去）.4 a 2 4故选：A.【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意构造a，c的齐次方程.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共2 0分。【解析】分两步进行：首先，先排第一行，再排第二行，最后排第三行；其次，对每一行选人；最后，利用计算出概率即可.【详解】首先，第一行队伍的排法有用种；第二行队伍的排法有2种；第三行队伍的排法有1种；然后，

15、第一行的每个位置的人员安排有C c；c；种；第二行的每个位置的人员安排有CCC种；第三行的每个位置的人员安排有1 X 1 X 1种.所以来自同一队的战士既不在同一行，也不在同一列的概率P =11 4 0故答案为：1 4 0【点睛】本题考查了分步计数原理，排列与组合知识，考查了转化能力，属于中档题.11 4.-3【解析】S 1设。是 中 点，根据已知条件判断出A P,。三点共线且P是线段AO靠近O的三等分点，由此求得 三 皿=.,结合几何概型求得点取自三角形P8C的概率.【详解】设。是8 c中点，因 为 方+定=丽，所以2丽=而，所以A、P、。三点共线且点P是线段AO靠近O的三等分点,故 沁！=

16、所以此点取自APBC内的概率是1.、JBC$3【点睛】本小题主要考查三点共线的向量表示，考查几何概型概率计算，属于基础题.15.120【解析】2+r2-h2V 2ccosB=2a+b,A 2cx-2a+h,B P a2+b2-c2-a b lac16.35【解析】先求出所有的基本事件个数，再求出“抽取的三张卡片编号之和是偶数”这一事件包含的基本事件个数，利用古典概型的概率计算公式即可算出结果.【详解】一次随机抽取其中的三张，所有基本事件为：1,2,3；1,2,4；1,2,5；1,3,4；1,3,5；1,4,5；2,3,4；2,3,5；2,4,5；3,4,5；共有 10 个,其中“抽取的三张卡片

17、编号之和是偶数”包 含6个基本事件，因此“抽取的三张卡片编号之和是偶数”的概率为：=|.故答案为：【点 睛】本题考查了古典概型及其概率计算公式，属于基础题.三、解答题：共7 0分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 7.(1)(-2,0),卜 弓)；(2)a =l或a =1【解 析】(1)将 曲 线C的极坐标方程和直线/的参数方程化为直角坐标方程，联立方程，即可求得曲线。与/的 交 点 坐 标；(2)由直线/的 普 通 方程 为x+2 y 。=0,故C上 任 意 一 点P(2 co s a百s i n a),根据点到直线距离公式求得。到直 线/的 距 离，根据三角函数的有界性，即可求得

18、答案.【详 解】(1)：户123+sin2 03 P 2+s i r?。=1 2.X-QCOS。y=psin 0得 3/+4/=1 2,2 2曲 线。的直角坐标方程为三+匕=1.4 3当a =2时，直 线/的 普 通 方 程 为x+2 y+2 =0 x+2 y+2=0 /_x 乙由f y2 解得 八+2-=1 y =04 3x-或，3.从 而。与/的 交 点 坐 标 为(-2,0),(2)由题意知直线/的普通方程为x+2 y a =o,尤=2 co s aC的参数方程为 厂.(。为参数)y =s i n a故C上 任 意 一 点P Q co s a,V 3 s i n a)至!)/的距离为厂

19、4sin a +-a12cos a+2V3 sin a -tz|6）d=-忑-=忑则|PA|=一=/=sin 45V2 4sina+J-a忑当a N O时，|P 4|的 最 大 值 为 芈 上 心=JM所 以“=1；当。0时，I P A I的最大值为回答=7 1 0,所 以a =l.综上所述，。=1或4 =一1【点 睛】解题关键是掌握极坐标和参数方程化为直角坐标方程的方法，和点到直线距离公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.【解 析】（2）1=6-（2 +3(1)判 断 公 比4不 为1,运用等比数列的求和公式，解方程可得公比4,进而得到所求通项公式;求 得b,=(2 .1)g，运用数列

20、的错位相减法求和，以及等比数列的求和公式，计算可得所求和.【详 解】7解：设 公 比4为 正 数 的等比数列 q的前项和为S“，且q=2,S3=,7可 得4 =1时，S 3 =3 4=6 w ,不成立；当时，2（l q 即q 2+g +=2.,-q 2 41 3解 得4 =彳（一大舍去），2 2w-1前项和 Z,=l(g)+3,()+5,(；)+(2 1)(,+3 0 +5.出+-+(2 -1咱,两 式 相 减 可 得=1 +20+出+出+.+(一(2一1).出/、T化简可得q=6(2 +3 -.【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，考查方程思想和运算能

21、力，属于中档题.1 9.(1)见 解 析(2)a-【解析】(1)分类讨论。的值，利用导数证明单调性即可；(2)利用导数分别得出a W 2,2 a 0,此时，x)在 l,e上单调递增；当l e即2 a 2 e时，时，/(x)0,“X)在 上 单 调 递 增；当即a N 2 e时，x e l,e,_/(x)0,此时，x)在 l,e上单调递减:(2)当a 2时，因为/(x)在 l,e上单调递增，所以/(x)的最小值为/(1)=一0一1,所以-lW a2当 2 v Q 2e 时,4)在上单调递减，在 上 单 调 递 增2所以“X)的最小值为了a.a.aa a a J-a+aln =a In-1 .42

22、2 4E d c c m s 1 。3 a e 因为2 v a 2 e,所以0ln 1,+1+1.2 2 4 2所 以/31=0(呜一、一l)0,所以2a三至，所以/(e)-.e-1【点睛】本题主要考查了利用导数证明函数的单调性以及利用导数研究函数的存在性问题，属于中档题.2。.F(2)%2,+【解析】(1)先利用同角的三角函数关系求得sin C,再由cos A=cos71 乃一彳-C j求解即可2(2)在 ADC中，由正弦定理可得ADDCsinCsin C sin Z.DACEC AO，则 A=-=DC sin ZDAC 3sin ADAC，再由0 ZDAC W ABAC求解即可.【详解】解

23、：(1)在 AA 5 C 中,COS C=好，所以 sin C=J1-cos?C323,7t J (7T I.7 1.71所以 cos A-cos 7t-C=-cos -C=sin sin C-coscos CI 4 J l4 J 4 47t7t71444V2 2 V2 V5 2V2-V10-X-X.-2 3 2 36(2)由(D 可知C O SA =2近一W ,6 2._ .E ALA。D C .A D s i n C 2在 A D C中，因为-=-，所以2 =-=-=-,s i n C s i n Z D A C D C s i n A D A C 3 s i n A D A C因为 0

24、0,a=-2 ej(2)-1,0【解析】(1)求出g(x)及其导函数g Q),利用g(x)研究g(x)的单调性和最值，根据零点存在定理和零点定义可得。的范围.(2)令(=/(兀)一(2加+1户一(1-加卜2=如2 _(2加+1)兀+1 1 1工，题意说明x e(l,+8)时，(x)0,所以g(x)在(0,+8)上单调递增.取x =则g1 2，二7-l +(e)2 c o7又g(i)=i,所以g艇-g(i)o,此时函数以幻有且只有一个零点;7当a 0时，令g(x)=0,解得x=-(舍)或x =当0 x 门时,g(x)0所以8。)在(旧,+8上单调递增.据题意，得g 旧)=aln旧一=0,所以。=

25、0(舍)或a=2e综上，所求实数。的取值范围为 a 0或a=-2e.(2)令/z(x)=/(x)-(2w+l)x-(l-2)f =如2-(2 z+l)x+lnx,根据题意知,当xc(l,+8)时，h(x)01S成立.又(x)=2 皿-(2 7 +l)+L(l)(2 w l)XX讨论：若0 机 0恒成立，所以/z(x)在 ，一,+81上是增函数.2 V 2?)2/%+、又函数6(力=初/(2m+1卜 在 ,+8 上单调递增，”(力=111%在(0,+8)上单调递增，所以存在%(0,+。)使/?(幻0,不符合题意.若加之；，则当xe(l,+8)时，(x)0恒成立，所以(X)在(l,y)上是增函数，据求解知，加2,不符合题意.2若根0,则当x e(l,+s)时，恒有(幻0,故*)在(1,+功上是减函数，于是“A(x)0对任意xe(l,-H)成立”的充分条件是“0 ,即加一(2加+1)W 0,解得7Tl之一1,故一1根0综上，所求实数?的取值范围是-1,0.【点睛】本题考查函数零点问题，考查不等式恒成立问题，考查用导数研究函数的单调性.解题关键是通过分类讨论研究函数的单调性.本题难度较大，考查掌握转化与化归思想，考查学生分析问题解决问题的能力.