国家开放大学《常微分方程》形考任务1-6参考答案.docx

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1、国家开放大学常微分方程形考任务1-6参考答案形考任务11.本课程的教学内容共有五章，其中第三章的名称是（）。A.一阶线性微分方程组B.基本定理C.定性和稳定性理论简介D.初等积分法2.本课程安排了6次形成性考核任务，第2次形成性考核作业的名称是（）。A.第一章至第四章的单项选择题B.第二章基本定理的形成性考核书面作业C.初等积分法中的方程可积类型的判断D.第一章初等积分法的形成性考核书面作业3.网络课程主页的左侧第3个栏目名称是（）。A.自主学习B.课程信息C.系统学习D.课程公告4.网络课程的“系统学习”栏目中第一章初等积分法的第4个知识点的名称是（）。A.一阶隐式微分方程B.常数变易法C.

2、分离变量法D.全微分方程与积分因子5.网络课程的“视频课堂”栏目中老师讲课的电视课共有（）讲。A.18B.19C.20D.176.网络课程主页的左侧“考试复习”版块中第二个栏目名称是（）。A.考核说明B.各章练习汇总C.复习指导D.模拟测试7.请您按照课程的学习目标、学习要求和学习方法设计自己的学习计划，并在下列文本框中提交，字数要求在1001000字。答：常微分方程是研究自然现象，物理工程和工程技术的强有力工具，熟练掌握常微分方程的一些基本解法是学习常微分方程的主要任务，凡包含自变量，未知函数和未知函数的导数的方程叫做微分方程。满足微分方程的函数叫做微分方程的解，含有独立的任意常数的解称为微

3、分方程的通解。确定通解中任意常数后所得的解称为该方程的特解。一阶微分方程的初等解法中把微分方程的求解问题化为了积分问题，这类初等解法是，与我们生活中的实际问题密切相关的值得我们好好探讨。在高阶微分方程中我们学习的线性微分方程，作为研究线性微分方程的基础，它在物理力学和工程技术，自然科学中时存在广泛运用的，对于一般的线性微分方程，我们又学习了常系数线性微分变量的方程，其中涉及到复值与复值函数问题，相对来说是比较复杂难懂的。至于后面的非线性微分方程，其中包含的稳定性，定性基本理论和分支，混沌问题及哈密顿方程，非线性方程绝大部分的不可解不可积现象导致了我们只能通过从方程的结构来判断其解的性态问题，在

4、这一章节中，出现的许多概念和方法是我们从未涉及的，章节与章节中环环相扣，步步深入，由简单到复杂，其难易程度可见一斑。由此，常微分方程整体就是由求通解引出以后的知识点，以求解为基础不断拓展，我们所要学习的就是基础题解技巧，培养自己机制与灵活性，多反面思考问题的能力，敏锐的判断力也是不可缺少的。形考任务2-11.xdydx=y-x3答：（一阶线性非齐次微分）方程。2.y+y2+1=0答：（可降阶的高阶）方程。3.y=xy+2(y)3答：（克莱洛）方程。4.y+2xy+xy4=0答：（伯努利）方程。5.dydx=yx+1答：（一阶线性非齐次微分）方程。6.yy+y2+3x2=0答：（恰当倒数）方程。

5、7.dydx=xy1+x2答：（变量可分离）方程。8.yx-lny=1答：（一阶隐式微分）方程。9.eydx+xey+2ydy=0答：（全微分）方程。10.x+2ydx-xdy=0答：（齐次微分）方程。形考任务2-21. dydx+2xy=4x(一阶线性非齐次微分；24；1.34)2.2xydx+x2-1y2dy=0(全微分；33；1.50)3. x2-1y+2xy2=0(变量可分离；10；1.18)4. y+y=y2（cosx-sinx）(伯努利；28；1.44)5.xy-y=3x2(可降阶的高阶；50；1.78)6.xy-y2+y2cosx=0(恰当倒数；52；恰当倒数)7.(ex-yx2

6、)dx+1xdy=0(全微分；30；全微分)8.y=xy+y2(克莱洛；47；1.73)9.x2dydx=xy-y2(齐次微分；17；1.27)10.y2y2+1=0(一阶隐式微分；41；1.61)形考任务3一、填空题1.微分方程xyy+x(y)3-y4y=0是（二）阶微分方程。2.初值问题dydx=f(x,y)yx0=y0的解所满足的积分方程是（y=y0+x0xfs,yds）。3.微分方程ylnydx+x-lnydy=0是（一阶线性非齐次微分方程）。（就方程可积类型而言）4.微分方程eydx+xey+2ydy=0是（全微分方程）。（就方程可积类型而言）5.微分方程yy+(y)2+3x2=0是

7、（恰当倒数方程）。（就方程可积类型而言）6.微分方程dydx=x2siny的所有常数解是（y=k,k=0,1,2,）。7.微分方程dydx=1-y2的常数解是（y=1）。8.微分方程x2y-y=x2e-1x的通解为（y=e-1x（x+C）。9.微分方程y=xy+12(y)2的通解是（y=Cx+12C2）。10.一阶微分方程的一个特解的图像是（二）维空间上的一条曲线。二、计算题1.指出下列方程的阶数，是否是线性方程。（1）dydx=y2+x2答：一阶，非线性（2）d4ydx4-2d3ydx3+d2ydx2=0答：四阶，线性（3）x+xx+x=t答：三阶，非线性2.用分离变量法求解下列方程。（1）

8、y=ex-y解：通积分为ey=ex+C（2）tanydx=cotxdy=0解：当tanycotx0时，分离变量，两端取积分得dytany=dxcotx+ln|C|即lnsiny=-lncosx+ln|C|通积分为sinycosx=C另外，y=k,x=k+2是常数解，k=0,1,2,（3）y2+xy2dx-x2+yx2dy=0y1=-1解：当x0,y0时，方程可变为x+1x2dx=y+1y2dy,通积分为lnx-1x=-1y+lny+C或xy=Ce1x-1y上式代入初值条件x=1，y=-1。得C=-e-2。于是初值问题解为xy=-e-2e1x-1y。3.解下列齐次线性微分方程（1）（y2-2xy

9、)dx+x2dy=0解：显然x=0是方程的解。 当x0时，原方程可化为dydx=-y2+2xyx2。令u=yx，则原方程可化为 u+xdudx=-u2+2u，即dudx=-u2+ux 易于看出，u=0，u=1是上面方程的解，从而y=x,y=0是原方程的解。 当u-u20时，分离变量得，du-u2+u=dxx两端积分得lnuu-1=ln|Cx|（C0）将u换成yx，便得到原方程的解 Cy=xx-y,( C0)故原方程的通解为Cy=xx-y,( C为任意常数)即y=0。（2）xy-y=xtanxy解：显然y=0是方程的解。 当y0时，原方程可化为dydx=tanyx+yx。令u=yx，则原方程可化

10、为 u+xdudx=tanu+u，即dudx=tanux 易于看出，u=0是上式的解，从而y=0是原方程的解。 当u0时，分离变量得，dutanu=dxx。两端积分得lnsinu=ln|C1x|(C10) 将u换成yx，便得到原方程的解sinyx=Cx(C0)。故原方程的通解为sinyx=Cx。4.解下列一阶线性微分方程.（1）xy-2y=2x4解：先解齐次方程xdydx=2y。其通解为y=Cx2用常数变易法，令非齐次方程通解为y=C（x）x2代入原方程，化简后可得Cx=2x积分得到Cx=x2+C代回后即得原方程通解为y=Cx2+x4（2）y+ytanx=secx解：先解齐次方程dydx=-y

11、tanx。其通解为y=Ccosx。用常数变易法，令非齐次方程通解为y=C(x)cosx代入原方程，化简后可得Cx=1cos2x积分得到Cx=tanx+C代回后即得原方程通解为y=sinx+Ccosx5.解下列伯努利方程（1）y+2xy+xy4=0解：显然y=0是方程解。当y0时，两端同除y4，得 1y4dydx+2xy3+x=0令z=1y3，代入有-dz3dx+2xz+x=0，它的解为z=-12+Ce3x2于是原方程的解为1y3=-12+Ce3x2，及y=0。（2）dydx+y=y2(cox-sinx)解：显然y=0是方程解。当y0时，两端同除y2，得 1y2dydx+1y-cosx-sinx

12、=0令z=1y，代入有dzdx-z+cosx-sinx=0它的解为z=Cex-sinx，于是原方程的解1y=Cex-sinx，及y=0。6.解下列全微分方程。（1）e-ydx-2y+xeydy=0解：因为My=-ey=Nx，所以这方程是全微分方程，M(x,y)及N(x,y)在整个xoy平面都连续可微，不妨选取x0=0,y0=0。故方程的通积分为0xeydx-0y2ydy=C即xe-y-y2=C（2）(1-y2sin2x)dx-ycos2xdy=0解：因为My=2ysin2x=Nx，所以这方程是全微分方程，M(x,y)及N(x,y)在整个平面都连续可微, 不妨选取x0=0,y0=0。故方程的通积

13、分为0x(1+y2)dx-0yydy=C即2x-y2scos2x=C7.求下列方程的积分因子和积分。（1）（x2+y2+x）dx-xydy=0答：因为My-NxN=1x，与y无关，故原方程存在只含 x 的积分因子。由公式（1. 58）得积分因子x=e1xdx，即x=x于是方程x2+y2+xdx-xydy=0为全微分方程。取x0=0,y0=0。于是方程的通积分为0xxx2+y2+xdx=0即3x4+4x3+6x2y2=C（2）（x4+y4）dx-xy3dy=0答：因为My-NxN=-5x，与y 无关, 故原方程存在只含 x 的积分因子。由公式（1. 58）得积分因子x=e-5xdx，即x=1x5

14、于是方程1x5(x4+y4）dx-y3x4dy=0为全微分方程。取x0=1,y0=0。于是方程的通积分为1x1x5x4+y4dx-0yy3dy=C1即y4=4x4lnx+Cx48.求解下列一阶隐式微分方程。（1）y2y-y=y2sin2x解：将方程改写为-y2+2yy=y2(1-cos2x)即y2-2yy+y2=y2cos2x或(y-y)2=y2cos2x解y=yycosx得通积分为：lnCy=xsinx又y=0是常数解。（2）y2-2yy=y2(ex-1)解：y=0显然是方程的解。当y0，方程可变为（yy）2-2yy=ex-1，令yy=u，则上面的式子可变为u2-2u=ex-1。得出u得，u

15、=1ex。即yy=1ex。对上式两端积分得到方程的通解为lny=x2ex+C9.求解下列方程。（1）(xy-y)2=(y)2+1解：令y=p，则y=p。代入原式得(xp-p)2=p2+1解出p得p=xpp2+1这是克莱洛方程，通解为p=xC1C12+1即y=xC1C12+1解之得y=C16x3x22C12+1+C2x+C3(C1,C2,C3为任意常数）。（2）yy-y2+1=0解：化简得（yy）+1=0，即yy=-x+C1求积分得y22=-12-x+C12+C22或y2+(x-C1)2=C2三、证明题1.设函数p(x)，f(x)在0,+)上连续，且limx+px=a0，|f(x)|b（a,b为

16、常数）。求证：方程y+px=f(x)的一切解在0,+)上有界。证明：设y=y(x)是方程任一解，且满足y(x0)=y0，则yx=y0e-x0xpsds+e-x0xpsdsx0xfsex0xptdtds由于limx+px=a0，所以对任意0，存在x1x0，使得xx1时有0-px+令1=-，2=+，则yxy0e-x1x1ds+x1xfse-x0x2dtds于是得到yxy0+b2(1-e-a2(x-x1) y0+b2=M1又在x0,x1上yx有界设为M2，现取M=max(M1, M2)则yxM，xx0,+)2.设f(x)在0,+)上连续，且limx+fx=0，求证:方程dydx+y=f(x)的一切解

17、y(x)，均有limx+yx=0。证明：设y=yx是方程任一解，满足y0=yx0，该解的表达式为yx=y0ex-x0+x0xfse(s-x0)dsex-x0取极限limx+yx=limx+fxy0ex-x0+limx+x0xfse(s-x0)dsex-x0 =0+0,若x0fse(s-x0)ds0,或不含x轴的上半平面）。9.方程dydx=y(1-y)1+x2+y2满足解的存在惟一性定理条件的区域是（全平面）。10.一个不可延展解的存在在区间一定是区间（开）。二、计算题1.判断下列方程在怎样的区域上保证初值解存在且惟一？（1）y=x2+y2解：因为fx,y=x2+y2及yx,y=2y在整个xo

18、y平面上连续，且满足存在唯一性定理条件, 所以在整个xoy平面上, 初值解存在且唯一。（2）y=x+siny解：因为fx,y=x+siny及yx,y=cosy在整个xoy平面上连续，且满足存在唯一性定理条件, 所以在整个xoy平面上, 初值解存在且唯一。2.讨论方程dydx=32y13在怎样的区域中满足定理2.2的条件。并求通过（0，0）的一切解。解：因为方程fx,y=32y13在整个xoy平面上连续，yfx,y=12y23除x轴外, 在整个xoy平面上有界, 所以除x轴外在整个xoy平面上都满足定理2.1的条件。 而后分离变量并积分可求出方程的通解为y=(x-c)32, xc,其中c0。另外

19、容易验证y=0是方程的特解. 因此通过(0,0)的解有无穷多个, 分别是:y=0;y=0;xc(x-c)32,xc;0;xc-(x-c)32,xc3.判断下列方程是否有奇解？如果有奇解，求出奇解.（1）dydx=y-x解：因为fx,y=y-x在半平面yx上连续，yx,y=12y-x当y=x时无界, 所以如果存在奇解只能是y=x, 但y=x不是方程的解, 故方程无奇解.（2）dydx=-xx2+2y解：因为fx,y=-xx2+2y在y-x22的区域上连续， yx,y=1x2+2y当y=-x22时无界，所以如果方程有奇解，则奇解只能是y=-x22。显然y=-x22是方程的解, 是否为奇解还需要进一

20、步讨论。为此先求出 方程的通解y=cx+12c2。由此可见对于x轴上点 (0,0), 存在通过该点的两个解: y=-x22及y=0故y=-x22是奇解。三、证明题1.试证明:对于任意的x0及满足条件0y1的y0，方程dydx=y(y-1)1+x2+y2的解y=y(x)在(-,+)上存在。证明：首先y=1和y=0是方程在(-,+)的解。易知方程的右端函数满足解的延展定理以及存在唯一性定理的条件，现在考虑过初值（x0，y0）(0y01)的解，根据唯一性，该解不能穿过直线y=1和y=0。因此只有可能向左右两侧延展，从而该初值解应在(-,+)上存在。2.设fx,y在整个平面上连续有界，对y有连续偏导数

21、，试证明方程dydx=fx,y的任一解y=（x）在区间(-,+)上有定义。证明：不妨设fx,yM（x-x0），x,yR2。过点（x0，y0）分别作直线l1:y=y0+M（x-x0）和l2:y=y0-M（x-x0）设过点（x0，y0）的初值解为y=y(x)。因为| y(x0) |x0不能与直线l1相交。若不然，x1x0使得yx1=y0+M(x1-x0)且yxx0不能与直线l1相交。同理可证，当xx0时，它也不能与l2相交。故当xx0时解曲线y=y(x)位于直线l1，l2之间。由延展定理，y=yx的存在区间为(-,+)。同理可证，当xx0时，解曲线y=y(x)也位于直线l1, l2之间由延展定理，

22、y=y(x)的存在区间为(-,+)。3.设（x）在区间(-,+)上连续。试证明方程dydx=（x）siny的所有解的存在区间必为(-,+)。证明：由已知条件，该方程在整个xoy平面上满足解的存在唯一及解的延展定理条件。显然y=1是方程的两个常数解。任取初值（x0，y0），其中x0(-,+)，|y0|1。记过该点的解为y=y(x)， 由上面分析可知，一方面y=y(x)可以向平面无穷远处无限延展；另一方面又上方不能穿过y=1，下方不能穿过y=-1，否则与惟一性矛盾。故该解的存在区间必为(-,+)。4.在方程dydx=fy(y)中，已知fy，(y)在(-,+)上连续，且1=0。求证：对任意x0和|y

23、0|1，满足初值条件的解的存在区间必为yx0=y0的解y(x)的存在区间必为(-,+)。证明：由已知条件可知，该方程在整个xoy平面上满足解的存在惟一及延展定理条件，又存在常数解y=k,k=0,1,2,对平面内任一点（x0，y0），若y0=k ，则过该点的解是y=k，显然是在(-,+)上有定义。 若y0k，则y0(k,(k+1)，记过该点的解为y=y(x)，那么一方面解y=y(x)可以向平面的无穷远无限延展；另一方面在条形区域 (x,y)|- x+,ky(k+1)内y(x)不能上、下穿过解y=(k+1)和y= k，否则与解的惟一性矛盾。因此解的存在区间必为(-,+)。5.假设方程dydx=fx

24、,y在全平面上满足解的存在惟一性定理条件，且y1x,y2x，是定义在区间I上的两个解。求证：若y1x0y2x0，x0I，则在区间I上必有y1xy2x(y1x=y2x)不可能出现，否则与解惟一矛盾。令yx=y1x-y2x，那么yx0=y1x0-y2x00由连续函数介值定理，存在x*(x0,x)，使得yx*=y1x*-y2x*=0即y1x*=y2x*这与解唯一矛盾。6.设y(x)是方程d2ydx2+Pxdydx+qxy=0的非零解，其中Px, qx在(-,+)上连续。求证：当yx0=0时，必有dydx|x=x00。证明：由已知条件知方程存在零解。该方程满足解的存在惟一性定理条件。设yx是方程的一个

25、非零解，假如它满足yx0=0，dydx|x=x0=0由于零解也满足上述条件，以及方程有零解存在，那么由解的惟一性有 yx=0，这与yx是非零解矛盾。7.设fy在(-,+)上连续可微，求证：对任意的x0(-,+)，|y0|1，方程dydx=(y2-1) fy满足初值条件yx0=y0的解必在(-,+)上存在。证明：该方程在全平面上满足解的存在惟一性定理及解的延展定理。又y=1是该方程的两个常数解。现取x0-,+，|y0|1，记过点（x0，y0）的解为yx。一方面该解可向平面的无穷远无限延展，另一方面又不能上下穿越y=1，否则将破坏解的惟一性。因此，该解只能在区域内G=(x,y)|y1,x-,+沿x

26、轴两侧无限延展，显然其定义区间必是(-,+)。8.证明：一阶微分方程dydx=sinyx2+y2+1的任一解的存在区间必是(-,+)。证明：方程在全平面上满足解的存在唯一性定理的条件，又y=k,k=0,1,2,是方程的常数解。对平面上任取的（x0，y0）若y0=k则对应的是常数解y=k其存在区间显然是-,+若y0(k,k+1)则过该点的解可以向平面无穷远无限延展，但是上下又不能穿越y=k和y=k+1，于是解的存在区间必是-,+。四、应用题1.求一曲线，具有如下性质：曲线上任一点的切线，在x,y轴上的截距之和为1。解：首先，由解析几何知识可知，满足a+b=1的直线xa+yb=1都是所求曲线。设(

27、 x , y )为所求曲线上的点，( X , Y )为其切线上的点, 则过(x , y )的切线方程为Y-y=y(X-x)显然有a=x-yy，b=y-xy，此处a与b分别为切线在Ox轴与Oy轴上的截距。故x-yy+y-xy=1解出y,得到克莱洛方程y=xy+yy-1通解为y=Cx+CC-1,C1所以y=Cx+CC-1x-1C-12=0，即y=Cx+CC-1x=1C-12为所求曲线方程。2.求一曲线，此曲线的任一切线在两个坐标轴间的线段长等于常数。解：设(x, y)为所求曲线上的点, (X, Y) 为其切线上的点, 则过(x, y)的切线方程为Y-y=y(X-x)显然有a=x-yy，b=y-xy

28、，此处a与b分别为切线在Ox轴与Oy轴上的截距。故1+1y2(y-xy)2=a2即x-yy2(y-xy)2=a2解出y得y=xyay1+y2故曲线的方程为y=cxac1+c2x=a(1+c2)32消去c即得曲线方程为x23+y23=a23形考任务51.n维方程组dYdx=F(x,Y)的任一解的图像是n+1维空间（x,Y）中的（）。A.n个曲面B.n条曲线C.一个曲面D.一条曲线2.常微分方程的一个不可延展解的存在区间一定是（）。A.开区间B.闭区间3.方程xy2-1dx+yx2-1dy=0的所有常数解是（）。A.x=1B.y=1C.y=1,x=1D.y=1,x=14.方程dydx=y(0y)过

29、点（0,0）有（）。A.一个解B.两个解C.三个解D.无数个解5.方程dydx=1-y2+1（）。A.无奇解B.有奇解C.有奇解y=-1D.有奇解6.方程x+2x+x=et的任一解的图像是三维空间(t, x,x)中的（）。A.一个曲面B.一族曲线C.一族曲面D.一条曲线7.方程y+2y=0的任一非零解在(x,y)平面的轴上任意有限区间内（）零点。A.无B.只有一个C.有无限个D.只有有限个8.方程x+x=0的任一非零解在(t,x)平面上（）零点。A.只有一个B.只有两个C.有无穷多个D.无9.方程x+4x+4x=tcost的任一解的最大存在区间必为（）。A.(-,+)10.方程y+x2y+xy

30、=x2ex的任一解的最大存在区间必为（）。A.(-,+)11.方程y-x2y+x3y=xsinx的任一解的最大存在区间必为（）。A.(-,+)12.方程dydx=x2cosy的所有常数解是（A）。A.y=2+k,k=0,1,2,13.方程dydx=y过点（0,0）的积分曲线（）。A.不存在B.有无穷多条C.只有二条D.有惟一一条14.方程dydx=3y23过点（0,0）的解（）。A.只有三个B.只有一个C.只有两个D.有无数个15.方程dydx=1-y2过点(0,0)的解为y=sinx，此解的存在区间是（A）。A.-2,216.方程dydx=y2过点（1,1）的解的存在区间是（）。A.(-,2

31、)17.方程dydx=|y|满足解的存在唯一性定理条件的区域是（）。A.y0的下半平面B.y0的上半平面C.除去x轴的全平面D.全平面18.方程dydx=0,当y=0ylny,当y0在xoy平面上任一点的解都（）。A.与x轴相交B.是惟一的C.与x轴相切D.不是惟一的19.方程dydx=x-y+2x在xoy平面上任一点的解都（）。B.是惟一的20.方程dydx=0,当y=0ylny,当y0在xoy平面上（）。A.无奇解B.有奇解C.有奇解D.有奇解21.方程组dydt=x+y+sintdydt=3x+2y+et的任一解的图像是(t,x,y)空间中的（）。A.一条曲线B.一个曲面C.两条曲线D.

32、两个曲面22.积分方程yx=1+1x1sysds的解是（）。A.y=x23.积分方程yx=1+0x3t2ytdt的解是（）。 A.y=ex324.李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的（）条件。A.充分必要B.必要C.充分D.既非必要也非充分25.若A(x),F(x)0在(-,+)上连续，那么线性非齐次方程组dYdx=AxY+F(x), xR,YRn的任一非零解（）。A.构成一个n维线性空间B.不可以与x轴相交C.构成一个n+1维线性空间D.可以与x轴相交26.若1x,2x是二阶线性齐次微分方程的两个线性无关解，则它们（）共同零点。A.在处有B.在处有C.在处有D.没有27.若在全平面

33、上连续且对满足李普希兹条件，那么方程的任一解的存在区间（）。A.必为B.必为C.因解而定D.必为28.三阶线性齐次微分方程的所有解构成一个（）线性空间。A.2维B.4维C.1维D.3维29.微分方程y=xy+y的通解是（）。A.y=cx+c30.微分方程x2y-y=x2e-1x的通解为y=（）。A. e-1x(x+C)31.线性非齐次方程组dYdx=AxY+Fx,xR,YR2的所有解（）。A.构成一个n+1维线性空间B.不是线性空间C.构成一个n维线性空间D.构成一个无穷维线性空间32.向量函数组在区间上线性相关的是它们的朗斯基行列式W(x)在区间上恒等于零的（）。A.既不充分也步必要条件B.

34、充分且必要条件C.充分但非必要条件D.必要但非充分条件33.一阶变量可分离微分方程MxNydx+PxQydy=0的积分因子是（）。A.=1NyPx34.一阶线性非齐次方程组dYdx=AxY+Ex,Y=(y1,yn)T的任一解的图像是维空间(x,y)中的（）。A.一族曲线B.一条曲线C.一族曲面D.一个曲面35.一阶线性非齐次方程组的任意两个非零解之差（）。A.不是其对应齐次方程组的解B.是其对应齐次方程组的解C.是原方程组的一个解D.是原方程组的通解36.一阶线性微分方程dydx+pxy=q(x)的积分因子是（）。A.=epxdx37.已知方程xy+y=4x的一个特解为x2，又对应齐次方程xy

35、+y=0有一个特解为lnx，则原方程的通解为（）。A.y=C1+C2lnx+x238.用特定系数法求方程y+y=2sinx的非齐次特解y1时，y1应设为（A）。A. y1=x(Asinx+Bcosx)39.用特定系数法求方程y-6y+5y=-3ex+5x2的非齐次特解y1时，y1应设为（A）。A. y1=Axex+Bx2+Cx+D40.用特定系数法求方程y+y=xsinx的非齐次特解y1时，y1应设为（A）。A. y1=xAx+Bsinx+xCx+Dcosx41.用特定系数法求方程y+2y+y=ex的非齐次特解y1时，y1应设为（A）。A. y1=Ax2ex形考任务6一、填空题1.若A(x)在

36、(-,+)上连续，那么线性齐次方程组dYdx=AxY,YRn的任一非零解在Rn+1空间（不能）与x轴相交。2.方程组dYdx=Fx,Y,xR,YRn的任何一个解的图象是（n+1）维空间中的一条积分曲线。3.向量函数组Y1(x),Y2(x),Yn(x)线性相关的（必要）条件是它们的朗斯期行列式W(x)=0。4.线性齐次微分方程组dYdx=AxY,xR,YRn的一个基本解组的个数不能多于（n+1）个。5.若函数组1x, 2x在区间(a,b)上线性相关，则它们的朗斯基行列式Wx在区间上(a,b)上恒等于零。6.函数组y1=sinxy2=cosx的朗斯基行列式Wx是(Wx=sinx cosxcosx

37、-sinx)。7.二阶方程y+xy+x2y=0的等价方程组是(y=y1y1=-xy1-x2y)。8.若y=1x和y=2x是二阶线性齐次方程的基本解组，则它们（没有）共同零点。9.二阶线性齐次微分方程的两个解=1x, y=2x成为其基本解组的充要条件是（线性无关）（或：它们的朗斯基行列式不等于零）。10.n阶线性齐次微分方程线性无关解的个数最多为（N）个。11.在方程y+p(x)y+q(x)y=0中，p(x),q(x)在(-,+)上连续，则它的任一非零解在xOy平面上（可以）与x轴横截相交。12.二阶线性方程y+2y+y=0的基本解组是（e-x,xe-x）。13.线性方程y+y=0的基本解组是（

38、cos x,sin x）。14.方程y+xy+x2y=0的所有解构成一个（2）维线性空间。15.n阶线性齐次微分方程的所有解构成一个（n）维线性空间。二、计算题1.将下列方程式化为一阶方程组（1）x+fxx+gx=0解：dxdt=ydydt=-fxy-g(x)（2）y+a1xy+a2xy+a3xy=0解：dydx=y1dy1dx=y2dy2dx=-a1xy2-a2xy1-a3xy02.求解下列方程组.（1）dxdt=5y+4xdydt=4y+5x解：方程组的系数阵为A=5445特征方程为：det(A-E)=5-445-=(-1)(-9)=0其特征根为1=1，2=9当1=1时，y1z1=etab

39、,其中a,b满足（A-E）ab=4444ab=0则有a+b=0，取a=1，b=-1，则得一特解y1z1=et1-1同理，当2=9时y2z2=e9t11所以方程组的解为y(t)z(t)=C1et-e-t+C2e9te9t（2）dxdt=ax+ydydt=-x+y解：方程组的系数阵为A=-特征方程为：det(A-E)= -=(-)2+2=0特征根为=i当1=+i时，x1y1=e+ib其中a,b满足（A-E）b=-i-ib=0故有-ai+b=0-a-bi=0即b= ai取a=1,b=i,于是方程组对应于x1*y1*=ea+t1i=eatcost+isint-sint+icost故特征根=ai所对应的

40、实解为x1y1=etcost-sint, x2y2=etsintcost所以方程组的解为x(t)y(t)=eatcostsint-sintcostC1C23.求解下列方程组.（1）x=x+yy=3y-2x解：方程组的系数阵为A=11-23特征方程为：det(A-E)= 1-1-23-=2-4+5=0特征根为1=2+i,2=2-i当1=2+i时，x1y1=e（2+i）tab,其中a,b满足1-i1-11-ib=0即-1-ia+b=0-a+1-ib=0第一个方程x1-i有-2a+1+ib=0令a=1,则b=1+i于是由x(t)y(t)=e2t(cost+isint) 11+i解得通解x(t)y(t)=e2tcostsintcost-sintcost+sintC1C2（2）x=2x-y+zy=x+2y-zz=x-y+2z解：系数矩阵为A=2-1112-11-12特征方程为：det(A-E)= 2-1112-11-12-=-1-2-3=0特征根为1=1，2=2，3=3通解为x(t)y(t)z(t)= 0e2te3tete2t0ete2te3tC1C2C34.求解下列方程组.（1）dxdt=3x+ydydt=3y解：方程组的系数阵为A=3103，其特征方程为：det(A-E)= 3-103-=-32=0特征根为1=2=3,方程组有如下形式的解:x