中国人民大学《高等数学》2021-2022学年第一学期期末试卷.docx

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1、考试日期: 2022-01-03 8:30-11:00中国人民大学2021 2022 学年第 一 学期 高等数学课程考试试卷(A 卷)一. 单项选择题(每小题 3 分, 6 个小题共 18 分, 将结果涂在答题卡上.)1. 设函数 f (x) 在(-, +) 内单调有界，xn 为数列，下列命题正确 的是【 B 】A. 若xn 收敛，则 f (xn ) 收敛B. 若xn 单调，则 f (xn ) 收敛C. 若 f (xn ) 收敛，则xn 收敛.D. 若 f (xn ) 单调，则xn 收敛.72. 函数 f (x) = limxn + 2n的间断点及类型是【 C 】n x + 1A. x = 1

2、 是第一类间断点， x = -1 是第二类间断点B. x = 1 是第二类间断点， x = -1 是第一类间断点C. x = 1 均是第一类间断点D. x = 1 均是第二类间断点2,| x | 1x1+ x1-xx3. 当 x 0+ 时，与等价的无穷小量是【 C 】1+xA. 1- e x .B.-1 .C.ln.D.1- cos.分析1- e x : - x ；1+ x- 1 : 11+x2x ； ln(1 + x) x,xx1- ln(1 -xx) 1-xln= ln(1 + x) -ln(1 -x) ；1- cos:x .故选 C.24. 设函数 f (x) 在 x = 0 处连续，下

3、列命题错误 的是【 D 】A. 若lim f (x) 存在，则 f (0) = 0 .B. 若lim f (x) + f (-x) 存在，则 f (0) = 0 .x0xx0xC.若lim f (x) 存在，则 f (0) 存在.D. 若lim f (x) - f (-x) 存在，则 f (0) 存在.x0xx0x5. 曲线 y = x ln(e + 1)(x 0) 的渐近线条数为【】.xA.0B.1C.2D.3分析 lim x ln(e + 1) = + ，曲线无水平渐近线；x+xlim x ln(e + 1) = lim ln(e + t) = 0 ，曲线无铅直渐近线；x0+xt +tk

4、= lim f (x) = 1 ， lim ( f ( x) - kx) = lim ln(e + t) -1 = 1 ，曲线有斜渐近线 y = x + 1 .x+x故选 B .x+t 0+tee6. 设 F (x) = x +2 esin t sin tdt ，则 F (x) 【 A 】xA. 为正常数.B. 为负常数.C. 恒为零.D. 不为常数.分析被积函数是以 2 为周期的函数，故 F (x) 为常数，且F (x) = x+2 esin t sin tdt = esin t sin tdt = (esin t - e -sin t ) sin tdt 0 .x故选 A.-0二.填空题（

5、每小题 4 分, 4 个小题共 16 分, 将计算结果写在答题卡上. ）x = arctan t1 + t 27. 曲线 y = ln对应于t = 1处的法线方程为 y + x -ln 2 -= 0.124t解当t = 1时， x = , y = 1 ln 2 ，42y|t =1= 1 + t 211 + t 2|t =1= 1，所以法线方程为 y - 1 ln 2 = -1 (x - ) ，也就是 y + x - 1 ln 2 - = 0 24248. 曲线 y = x sin x + 2 cos x(- x 0,+15. 设函数 f (x) = 0,x 0 ，l 0 ，求- x f (x)

6、dx .+解- x f (x)dx= -0= -0dx + + xle-lxdx0+ xde-lx = - xe-lx+ + e-lxdx（3 分）（5 分）0= - 1+1e-lx=00（7 分）l0l16. 求微分方程xy + y - ex = 0 ， y(2) = 1 的特解.解原方程改写为y +1exy =，xx所求通解为y = e- 1 dx x(C +e exx1 dx xdx)（3 分）= 1 (C + ex ) .（5 分）x或(xy) = ex 直接得到 xy = C + ex .将初始条件 y(2) = 1带入，得C = 2 - e2 ，特解为 y = 1 (2 - e2

7、+ e x )x（7 分）四. 综合题（每小题 7 分, 2 个小题共 14 分, 必须写出主要过程. ）17. 已知 f (x) 在（-, +）上连续， f (x) = (x +1)2 + 2 x f (t)dt ，求 f (n) (0) 的值（n 2）.0解一 积分方程两边求导得f (x) = 2(x +1) + 2 f (x) ，（2 分）解得 f (x) = Ce2 x - x - 3 ，又 f (0) = 1，故 f (x) = 5 e2 x - x - 3 ，（5 分）222n 2 时， f (n) (0) = 5 2n .（7 分）2解二f (x) = 2(x +1) + 2 f

8、 (x)（2 分）f (x) = 2 + 2 f (x) ， f(x) = 2 f (x)（3 分）f (n) (x) = 2n -2 f (x)(n 2)（5 分）f (0) = 1，f (0) = 2+2=4，f (0) = 10 , f (n) (0) = 10 2n -2 =5 2n -1（7 分）18. 设抛物线 y = ax2 + bx + c 过原点，当0 x 1 时， y 0 ，又该抛物线与直线 x = 1 及 x 轴1围成平面图形的面积为3，求 a, b, c 使该图形绕 x 轴旋转一周而成的旋转体体积V 最小.解 由抛物线过原点知c = 0 ，（1 分）且 1 (ax2 +

9、 bx)dx = 1 a + 1 b = 1 ，即b = 2 (1- a) ，（3 分）03233从而V = 1 (ax2 + bx)2dx = (1 a2 + 1 ab + 1 b2 ) = ( 2a2 + 1a + 4 )（5 分）05231352727由 dV = (4 a + 1) = 0 得 a = - 5 ，又d2V4= 0 ，da135274da2135故当 a = -5 , b =43 , c = 0 时，旋转体体积最小.（7 分）2五. 证明题（每小题 5 分, 2 个小题共 10 分, 必须写出主要过程. ）19. 证明方程ln x = x - 2021 在区间（0, +）

10、内只有两个不同的实根.e证令 F (x) = x - ln x - 2021 ，则 lim F (x) = + ， lim F ( x) = + .（2 分）ex+x0+F (x) = 1 - 1 = x -e ， F (e) = 0 ，当0 x e 时， F (x) e 时， F (x) 0 ; exe x所以 F (x) 在(0, e) 内单调下降，在(e，+) 内单调上升， (4 分） F (e) = -2021 0 ，由零点定理知， F (x) 在(0, e) 和(e，+) 内分别有唯一的零点，故原方程在（0, +）内仅有两个不同的实根，分别在(0, e) 和(e，+) 内.（5 分）

11、20. 设 f (x) 在0, 2 上连续且 f (x) M ， f (1) = 0 ，证明： 2 f ( x)dx M .03证法一将 f (x) 在 x0 = 1 展开为一阶泰勒公式f (x) =f (1) + f (1)(x -1) + 12!f (x)(x -1)2 ，x介于 x 与1之间（2 分）2注意 f (1) = 0 ， 0 (x -1)dx = 0,2f (x)dx = 1 2 f (x)(x -1) 2dx 1 2 | f (x) | (x -1) 2dx（3 分）02 02 0M (x -1)3232= M 2 (x - 1)2dx = M（5 分）2003 .x证法二记

12、 F (x) = 0f (t)dt ，将 F (x) 在 x0 = 1 展开为二阶泰勒公式F (x) = F (1) + f (1)(x -1) + f (1) (x -1) 2 + f (x) (x -1) 3 ，26注意 f (1) = 0 ，分别令 x = 0, x = 2 ，则$x1 (0,1) ，x2 (1, 2) 使F (0) = F (1) +f (1) +f (x1 ) (0 -1) 3 ，26F (2) = F (1) +f (1) +f (x2 ) (2 -1) 3 ，262二式相减， 得 0 f (x)dx = F (2) - F (0) = 2 f ( x)dx M .

13、f (x1 ) + f (x2 ) 6， 由条件f (x) M立即得03证法三 先证结论：若 f 二次可微，则$x (a, b) 使b f (x)dx = f ( a + b)(b - a) + f (x) (b - a) 3 .（*）a224（可以用证法一，证法二，以下处理也有其特点）x设 F (x) = af (t)dt - f (a + x2)(x - a), G(x) = (x - a)3 ，则F (x) = f (x) - f ( a + x) - f ( a + x) x - a , G(x) = 3(x - a) 2222F (b) - F (a)F (h)由柯西中值定理$h (a, b) 使 G(b) - G(a) = G(h) ,即f (h) - f ( a +h - f ( a +hh- aF (b) =)222G(b)3(h- a) 2a +h对分子用泰勒公式知存在x(,h) (a, b) ，使2)(f (h) - f ( a +h - f ( a +h h- a =f (x) h- a) 2 ，22222F (b)f (x)故=，即（*）式成立.G(b)24利用题设条件f (x) M ， f (1) = 0 得 2 f (x)dx = | f (x) | (2 - 0)3 M .0243