人教A版高中数学选修2-1基础知识梳理及达标训练.doc

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1、高中数学选修2-1基础知识梳理及达标训练第一章 常用逻辑用语1.1命题及其关系第1课时1.1.1命题1.1.2四种命题1一般地，在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题2一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题，其中一个叫原命题，另一个叫原命题的逆命题3对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，我们把这样的两个命题叫做互否命题如果把其中的一个叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命题4对于两个命题，如果

2、一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆否命题知识点一命题的概念1下列语句是命题的个数是()(1)若ab，则acbc；(2)x212x；(3)空集是任何集合的真子集；(4)一个整数不是偶数就是奇数；(5)正弦函数的图象关于原点对称A1 B2C3 D4解析：(2)不是命题，当x1时，x212x不成立，当x1时，x212x成立，由于不能判断其真假，所以不是命题其余4个都是陈述句，且分别能判断真假，所以(1)(3)(4)(5)是命题答案：D2下列语句不是命题的是_0是自然数；求证：是无理

3、数；你是高一的学生吗？x22x10，xR；单位向量的模是1.解析：可以判断真假，是命题；是祈使句，不是命题；是疑问句，不是命题答案：知识点二命题的构成形式3(2019牡丹江高二检测)命题“垂直于同一条直线的两个平面平行”的条件是()A两个平面B一条直线C垂直D两个平面垂直于同一条直线解析：把命题改为“若p则q”的形式为“若两个平面垂直于同一条直线，则这两个平面平行”，故条件为两个平面垂直于同一条直线，故选D答案：D4把下列命题改写成“若p则q”的形式(1)实数的平方是非负数；(2)等底等高的两个三角形面积相等；(3)能被3整除的数一定能被6整除；(4)弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对的弧解

4、：(1)原命题可以写成：如果一个数是实数，则它的平方是非负数(2)原命题可以写成：若两个三角形等底等高，则这两个三角形面积相等(3)原命题可以写成：如果一个数能被3整除，那么这个数也能被6整除(4)原命题可以写成：若一条直线是弦的垂直平分线，则这条直线过圆心，且平分弦所对的弧知识点三真命题与假命题的判断5(2019合肥高二月考)下列命题：若xy1，则x，y互为倒数；四条边相等的四边形是正方形；平行四边形是梯形；若ac2bc2，则ab.其中真命题的序号是_解析：为真命题；四条边相等的四边形可能是菱形，不一定是正方形，故为假命题；显然为假命题答案：6若a，b，cR，写出命题“若ac0，则ax2bx

5、c0有两个相异实根”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假解：逆命题：若ax2bxc0有两个相异实根，则ac0.是假命题否命题：若ac0，则ax2bxc0至多有一个实根是假命题逆否命题：若ax2bxc0至多有一个实根，则ac0.是真命题一、选择题1下列命题是真命题的是()A若xy，则 B若xy，则x2bc2，则abDsin 45解析：当|a|b|时，a与b的模相等，方向不一定相同，故B是假命题答案：B4在下列给出的命题中，正确命题的个数为()函数y2x33x1的图象关于点(0,1)成中心对称；若实数x，y满足x2y21，则的最大值为；若ABC为锐角三角形，则sin A90，90A90B0

6、，sin Asin(90B)cos B，即sin Acos B，故不正确答案：B5下列命题是真命题的是()A有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱B过点P(x0，y0)的所有直线的方程都可以表示为yy0k(xx0)C已知点A(x0，y0)是圆C：x2y21内一点，则直线x0xy0y1与圆C相交D圆柱的俯视图可能为矩形解析：A错，缺少条件各侧面的交线互相平行；B错，不包括xx0这条直线；C错，圆心C(0,0)到直线x0xy0y10的距离d1，所以直线与圆C相离；D正确，当圆柱横放时，其俯视图是矩形答案：D二、填空题6(2019乾安县七中高二质量检测)函数f(x)的定义域为A，若当

7、x1，x2A且f(x1)f(x2)时，总有x1x2，则称f(x)为单函数例如，函数f(x)2x1(xR)是单函数下列命题：函数f(x)x2(xR)是单函数；指数函数f(x)2x(xR)是单函数；在定义域上具有单调性的函数一定是单函数其中的真命题是_(填序号)解析：由xx，未必有x1x2，故为假命题；对于f(x)2x，当f(x1)f(x2)时一定有x1x2，故为真命题；当函数在其定义域上单调时，一定有“若f(x1)f(x2)，则x1x2”，故为真命题故真命题是.答案：7若“x2,5或xx|x1或x5”是假命题，则x的取值范围是_解析：由题意知x2,5且xx|x1或x5是真命题，即为真命题，1x2

8、.答案：1,2)8命题“存在xR，使ax22ax30不成立”是真命题，则实数a的取值范围是_解析：当a0时，30不成立；当a0时，若ax22ax30不成立，则有ax22ax30恒成立解得3a1，即m2.命题p和q中有且只有一个是真命题，则p真q假或p假q真，即或所以1m2.故实数m的取值范围是(1,2)第2课时1.1.3四种命题间的相互关系四种命题之间的关系1一般地，用p和q分别表示一个命题的条件和结论用p、q表示p和q的否定于是四种命题的形式就是：原命题：若p则q(pq)；逆命题：若q则p(qp)；否命题：若p则q(pq)；逆否命题：若q则p(qp)2四种命题间的关系知识点一四种命题的相互关

9、系1已知a，bR，则命题“若ab1，则a2b2”的逆否命题是()A若ab1，则a2b2B若ab1，则a2b21C若a2b2，则ab1D若a2b2，则ab1解析：命题“若ab1，则a2b2”的逆否命题是“若a2b2b，则acbc；“梯形的对角线相等”的逆命题；若“xy0，则x，y中至少有一个为0”的否命题其中真命题的序号是_解析：由44k0，知是假命题，是真命题，逆命题为“对角线相等的四边形是梯形”是假命题，否命题“若xy0，则x，y都不为0”是真命题答案：知识点三等价命题的应用5与命题“若mM，则nM”等价的命题是()A若mM，则nMB若nM，则mMC若mM，则nMD若nM，则mM解析：因为原

10、命题与逆否命题等价，所以命题“若mM，则nM”的等价命题是“若nM，则mM”答案：D6(教材P8练习改编)证明：若a24b22a10，则a2b1.证明：“若a24b22a10，则a2b1”的逆否命题为“若a2b1，则a24b22a10”因为a2b1，所以a24b22a1(2b1)24b22(2b1)14b214b4b24b210，所以命题“若a2b1，则a24b22a10”为真命题由原命题与其逆否命题具有相同的真假性可知，原结论正确一、选择题1命题“若ABA，则ABB”的否命题是()A若ABA，则ABBB若ABB，则ABAC若ABA，则ABBD若ABA，则ABB解析：命题“若ABA，则ABB”

11、的否命题是“若ABA，则ABB”故选A答案：A2已知命题p：垂直于平面内无数条直线的直线l垂直于平面，q是p的否命题，下面结论正确的是()Ap真，q真 Bp假，q假Cp真，q假 Dp假，q真解析：当直线l垂直平面内无数条互相平行的直线时，直线与平面不一定垂直，故p假，p的逆命题为真，所以它的否命题q也为真答案：D3命题p的逆命题是q，命题p的逆否命题是r，则q是r的()A逆命题 B否命题C逆否命题 D以上判断都不对解析：特殊化：假设命题p为：“若ab，则a2b2”，则命题q为：“若a2b2，则ab”命题r为：“若a2b2，则ab”因此知，q是r的否命题答案：B4有下列四个命题：“若xy0，则x

12、，y互为相反数”的逆命题；“相似三角形的周长相等”的否命题；若“b0，则方程x22bxb2b0有实根”的逆否命题；“若ABB，则AB”的逆否命题其中真命题是()A BC D解析：写出相应的命题后并判断真假“若x，y互为相反数，则xy0”为真命题；“不相似的三角形的周长不相等”为假命题；“若方程x22bxb2b0没有实根，则b0”为真命题；因为“ABB，则AB”是假命题，所以它的逆否命题也是假命题答案：C5设mR，命题“若m0，则方程x2xm0有实根”的逆否命题是()A若方程x2xm0有实根，则m0B若方程x2xm0有实根，则m0C若方程x2xm0没有实根，则m0D若方程x2xm0没有实根，则m

13、0解析：一个命题的逆否命题是将这个命题的条件和结论交换，同时加以否定，结合选项知，应选D答案：D二、填空题6甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市由此可判断乙去过的城市为_解析：根据甲和丙的回答推测乙没有去过B城市，又知乙没有去过C城市，故乙去过A城市答案：A7命题“已知不共线的向量e1，e2，若e1e20，则0”的等价命题为_，是_(填“真”或“假”)命题解析：因为原命题与逆否命题等价，所以只要写出已知命题的逆否命题即可已知命题的逆否命题为“已知不共线的向量e1，e2，若，不同时为0，则

14、e1e20”是真命题答案：已知不共线的向量e1，e2，若，不同时为0，则e1e20真8下列命题中：若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；若一个四边形对角互补，则它内接于圆；正方形的四条边相等；对角不互补的四边形不内接于圆；圆内接四边形对角互补；若一个四边形的四条边相等，则它是正方形其中互为逆命题的有_；互为否命题的有_；互为逆否命题的有_(填序号)答案：，三、解答题9若方程x22axb0(a，bR)没有实数根，则ab.(1)判断上述命题的真假，并说明理由；(2)试写出上述命题的逆命题，并判断真假，并说明理由解：(1)x22axb0没有实数根，(2a)241(b)4a24b0，即ba2.a

15、baa22.ab.故原命题是真命题(2)逆命题为：若a，bR，ab2，则p2q22”现证明逆否命题为真pq2，(pq)24.p2q22pq4.2pqp2q2，p2q22pq2(p2q2)，2(p2q2)4，p2q22，即p2q22.1.2充分条件与必要条件第3课时1.2.1充分条件与必要条件1.2.2充要条件1一般地，命题“若p则q”为真，可记作“pq”；“若p则q”为假，可记作“pq”2一般地，如果pq，那么称p是q的充分条件，同时称q是p的必要条件3如果pq且qp，那么称p是q的充分必要条件，简称p是q的充要条件，记作pq.同时q也是p的充要条件知识点一充分条件、必要条件的判断1(2018

16、北京卷)设a，b，c，d是非零实数，则“adbc”是“a，b，c，d成等比数列”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：a，b，c，d是非零实数，若a，b，c，d成等比数列，则adbc，反之若adbc，a，b，c，d不一定是等比数列，如a1，d2，b2，c1，有adbc2，但a，b，c，d不成等比数列答案：B2(2018天津卷)设xR，则“x38”是“|x|2”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：xR，x38x2|x|2.而|x|2x2或x8，“x38”是“|x|2”的充分不必要条件答案：A知识点二充分条件、必要条件的

17、应用3已知命题p：实数x满足212；命题q：实数x满足x22x(1m2)0(m0)若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是_解析：令Ax|2x10，Bx|x22x(1m2)0，m0x|1mx1m，m0p是q的必要不充分条件，p是q的充分不必要条件即AB，m9.答案：9，)4若“xa”是“x22x30”的充分不必要条件，则a的取值范围是_解析：x22x30，x3或x1.“xc”是“ac且bc”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：可以举例说明“abc”是“ac且bc”的既不充分也不必要条件答案：D2(2019湄潭求是高中月考)给定空间中的点P，直线l，

18、平面与平面，若Pl，P，则“l”是“l” 的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：两平面互相垂直，一平面中的线不一定垂直另一平面，ll，所以“l”是“l”的不充分条件过一点与一平面垂直的直线有且只有一条，过P作，的交线的直线垂直.ll，“l”是“l”的必要条件，故选B答案：B3设xR，则“x1”是“x|x|20”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：x|x|20或解得x，“x1”是“x|x|20，b0，则“ab4”是“ab4”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析：解法一：数形结合

19、考虑ab4表示的区域为：ab4，即b表示的区域为：画在同一坐标系下如图所示：由图可知，ab4是ab4的真子集，“ab4”是“ab4”的充分不必要条件解法二：4ab2，ab4，ab4ab4，当ab4时，可令a，b4，此时ab4不成立ab4ab4，“ab4”是“ab4”的充分不必要条件答案：A5(2019全国卷)设，为两个平面，则的充要条件是()A内有无数条直线与平行B内有两条相交直线与平行C，平行于同一条直线D，垂直于同一平面解析：A中与相交时，内也可有无数条直线与交线平行，这些线均平行，A不正确；B选项即两平面平行的判定定理，内有两条相交直线与平行能推出，反过来，与没有公共点内肯定有两相交直线

20、与平行，故B为充要条件，C、D显然不正确答案：B二、填空题6函数yx2bxc在0，)上是单调函数的充要条件是_解析：抛物线yx2bxc开口向上，要使在x0，)时为单调函数，只要对称轴x0，即b0.答案：b07(2019昆明模拟)已知Px|a4xa4，Qx|1x5”是“x4”的必要不充分条件；“xy0”是“x0且y0”的充要条件；“x24”是“x5”是“x4”的充分不必要条件，错；“xy0”的充要条件是“x0或y0”，错；由x24可以推出x2.错答案：三、解答题9给出以下命题，判断p是q的什么条件：(1)p：AB，q：sin Asin B；(2)p：x2且y3，q：xy5；(3)p：ab，q：.

21、解：(1)当AB时，sin Asin B；反之，当sin Asin B时，AB不一定成立，比如sinsin，但.故p是q的充分不必要条件(2)当x2且y3时，xy5成立；当xy5时，不一定有x2且y3成立，比如x1，y6.故p是q的充分不必要条件(3)当ab时，不一定成立，比如a1，b1；当时，ab也不一定成立，比如a1，b1.故p是q的既不充分也不必要条件10已知条件p：Ax|2axa21，条件q：Bx|x23(a1)x2(3a1)0若p是q的充分条件，求实数a的取值范围解：对集合B，由x23(a1)x2(3a1)0得，(x2)x(3a1)0，当a时，Bx|2x3a1；当a0恒成立，则m，命

22、题q：在ABC中，AB是sin Asin B的充要条件，则()Ap真q假 B“pq”为真C“pq”为假 D“(p)(q)”为真解析：由x2xm0恒成立，得14m，命题p为真命题在ABC中，ABab2Rsin A2Rsin Bsin AsinB命题q为真命题p且q为真答案：B知识点三利用命题的真假求参数的取值范围5已知命题p：函数f(x)2ax2x1在(0,1)内恰有一个零点；命题q：函数yx2a在(0，)上是减函数，若p(q)为真命题，则实数a的取值范围是()A(1，) B(，2C(1,2 D(，1解析：若p(q)为真，则p真，q假由p为真，得f(0)f(1)0，即1(2a2)1.由q为真得，

23、2a2.q为a2.由p(q)为真，得1a2.答案：C6(2019江口中学高二阶段测试)设命题p：方程x2(2m4)xm0有两个不等的实数根；命题q：x2,3，不等式x24x13m2恒成立(1)若命题p为真命题，求实数m的取值范围；(2)若命题pq为真命题，命题pq为假命题，求实数m的取值范围解：(1)由p真：x2(2m4)xm0有两个不等的实数根得，(2m4)24m0，得m4或m1.(2)若pq为真，pq为假，所以p与q一真一假q真：x24x13(x2)29，最小值为x2时，得m29，3m3.当p真q假时，得m4；当p假q真时，得1m3.m的取值范围为(，3)1,3(4，)一、选择题1若命题p

24、：若aR，则方程ax10有解；命题q：若直线xmy0与直线2xy10平行，则mb，则0，命题q：1，若“q且p”为真，则x的取值范围是_解析：由x22x30，得x1，所以p：x1.由1，得0，所以2x3.所以q：2x3，q：x2或x3.若“q且p”为真，则有所以x3或10恒成立若pq为假命题，则m的取值范围是_解析：由题意知，若命题p为真，则m1.若命题q为真，则m240，即2m2.若pq为假，有下列三种情况：(1)当p真q假时，m2；(2)当p假q真时，1m1.答案：(，2(1，)三、解答题9分别指出下列命题的形式及构成它的命题，并判断真假(1)相似三角形周长相等或对应角相等；(2)9的算术

25、平方根不是3；(3)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两段弧解：(1)这个命题是pq的形式，其中p：相似三角形周长相等；q：相似三角形对应角相等，因为p假q真，所以pq为真故原命题为真(2)这个命题是p的形式，其中p：9的算术平方根是3，因为p假，所以p为真故原命题为真(3)这个命题是pq的形式，其中p：垂直于弦的直径平分这条弦；q：垂直于弦的直径平分这条弦所对的两段弧，因为p真q真，所以pq为真故原命题为真10设命题p：实数x满足x24mx3m20，其中m0；命题q：(x2)(x3)0.(1)若m2，且pq为真，求实数x的取值范围；(2)若q是p的充分不必要条件，求实数m的取值范围解

26、：(1)m2时，x28x120，得2m6，q：2x3，由pq为真，取交集得2x3.即实数x的取值范围为2,3(2)q是p的充分不必要条件，所以p是q的充分不必要条件，p：mx3m，q：2x3，m2且3m3，2m1.即实数m的取值范围为2,114全称量词与存在量词第5课时1.4.1全称量词1.4.2存在量词1全称量词(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号表示(2)含有全称量词的命题叫做全称命题(3)全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为xM，p(x)，读作对任意x属于M，有p(x)成立2存在量词(1)短语“存在一个”，“至少有一个”在逻辑中通常叫做

27、存在量词，并用符号表示(2)含有存在量词的命题，叫做特称命题(3)特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为x0M，p(x0)，读作存在一个x0属于M，使p(x0)成立知识点一全称命题与特称命题的判断1下列命题中全称命题的个数为()至少有一个偶数是质数；平行四边形的对角线互相平分；对任意实数，有sin2cos21；存在一条直线，其斜率不存在A1B2 C3D4解析：是特称命题，是全称命题答案：B2(2019常州高二阶段测试)以下四个命题既是特称命题又是真命题的是()A锐角三角形的内角是锐角或钝角B到少有一个实数x，使x20C两个无理数的和必是无理数D存在一个负数x，使2解析：A中锐角三角形的内角都是锐角，所以是假命题；B中x0时，x20，所以B既是特称命题又是真命题；C中因为()0，所以C是假命题；D中对于任意一个负数x，都有0，所以D是假命题答案：B知识点二全称命题与特殊命题的真假判断3(2018江苏无锡模拟)下列命题中的假