2022年上海市春季高考数学试卷及答案解析.docx

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1、2022年上海市春季高考数学试卷一、单选题（本大题共4小题，共20.0分）1. 下列函数定义域为R的是()A. y=x12B. y=x1C. y=x13D. y=x122. 若abcd，则下列不等式恒成立的是()A. a+db+cB. a+cb+dC. acbdD. adbc3. 上海海关大楼的顶部为逐级收拢的四面钟楼，如图，四个大钟分布在四棱柱的四个侧面，则每天0点至12点(包含0点，不含12点)相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为()A. 0B. 2C. 4D. 124. 已知等比数列an的前n项和为Sn，前n项积为Tn，则下列选项判断正确的是()A. 若S2022S2021，则数列an是递

2、增数列B. 若T2022T2021，则数列an是递增数列C. 若数列Sn是递增数列，则a2022a2021D. 若数列Tn是递增数列，则a2022a2021二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5. 已知z=2+i(其中i为虚数单位)，则z=_6. 已知集合A=1,2，集合B=1,3，则AB=_7. 不等式x1x0)的右支上，若x1x2y1y2恒成立，则实数a的取值范围为_16. 已知函数y=f(x)为定义域为R的奇函数，其图像关于x=1对称，且当x(0,1时，f(x)=lnx，若将方程f(x)=x+1的正实数根从小到大依次记为x1，x2，x3，xn，则nlim(xn+1xn)=_三、解

3、答题（本大题共5小题，共76.0分）17. 如图，圆柱下底面与上底面的圆心分别为O、O1，AA1为圆柱的母线，底面半径长为1(1)若AA1=4，M为AA1的中点，求直线MO1与上底面所成角的大小；(结果用反三角函数值表示)(2)若圆柱过OO1的截面为正方形，求圆柱的体积与侧面积18. 已知在数列an中，a2=1，其前n项和为Sn(1)若an是等比数列，S2=3，求nlimSn；(2)若an是等差数列，S2nn，求其公差d的取值范围19. 为有效塑造城市景观、提升城市环境品质，上海市正在努力推进新一轮架空线入地工程的建设如图是一处要架空线入地的矩形地块ABCD，AB=30m，AD=15m.为保护

4、D处的一棵古树，有关部门划定了以D为圆心、DA为半径的四分之一圆的地块为历史古迹封闭区若空线入线口为AB边上的点E，出线口为CD边上的点F，施工要求EF与封闭区边界相切，EF右侧的四边形地块BCFE将作为绿地保护生态区(计算长度精确到0.1m，计算面积精确到0.01m2)(1)若ADE=20，求EF的长；(2)当入线口E在AB上的什么位置时，生态区的面积最大？最大面积是多少？20. 已知椭圆：x2a2+y2=1(a1)，A、B两点分别为的左顶点、下顶点，C、D两点均在直线l：x=a上，且C在第一象限(1)设F是椭圆的右焦点，且AFB=6，求的标准方程；(2)若C、D两点纵坐标分别为2、1，请判

5、断直线AD与直线BC的交点是否在椭圆上，并说明理由；(3)设直线AD、BC分别交椭圆于点P、点Q，若P、Q关于原点对称，求|CD|的最小值已知函数f(x)的定义域为R，现有两种对f(x)变换的操作：变换：f(x)f(xt)；变换：|f(x+t)f(x)|，其中t为大于0的常数(1)设f(x)=2x，t=1，g(x)为f(x)做变换后的结果，解方程：g(x)=2；(2)设f(x)=x2，(x)为f(x)做变换后的结果，解不等式：f(x)(x)；(3)设f(x)在(,0)上单调递增，f(x)先做变换后得到u(x)，u(x)再做变换后得到1(x)；f(x)先做变换后得到v(x)，v(x)再做变换后得

6、到2(x).若1(x)=2(x)恒成立，证明：函数f(x)在R上单调递增答案解析1.【答案】C【解析】解：y=x12=1x，定义域为x|x0，y=x1=1x，定义域为x|x0，y=x13=3x，定义域为R，y=x12=x，定义域为x|x0定义域为R的是y=x13故选：C化分数指数幂为根式，分别求出四个选项中函数的定义域得答案本题考查函数的定义域及其求法，是基础题2.【答案】B【解析】解：对于A，令a=2，b=1，c=1，d=2，满足abcd，但a+d=b+c，故A错误，对于B，abcd，即ab，cd，由不等式的可加性可得，a+cb+d，故B正确，对于C，令a=2，b=1，c=1，d=2，满足a

7、bcd，但ac=bd，故C错误，对于D，令a=2，b=1，c=1，d=2，满足abcd，但adS2021，但是数列an不是递增数列，所以A不正确；如果数列a1=1，公比为12，满足T2022T2021，但是数列an不是递增数列，所以B不正确；如果数列a1=1，公比为12，Sn=1(12)n12=2(112n)，数列Sn是递增数列，但是a2022Tn1，可得an1，所以q1，可得a2022a2021正确，所以D正确；故选：D反例判断A；反例判断B；构造等比数列，结合等比数列的性质判断C；推出数列公比以及数列项的范围，即可判断D本题考查数列的应用，等比数列的性质的应用，是中档题5.【答案】2i【解

8、析】解：z=2+i，z=2i故答案为：2i根据已知条件，结合共轭复数的概念，即可求解本题主要考查共轭复数的概念，属于基础题6.【答案】【解析】解：集合A=1,2，集合B=1,3，AB=故答案为：利用交集定义直接求解本题考查集合的运算，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题7.【答案】(0,1)【解析】解：由题意得x(x1)0，解得0xy1y2，得x1x2y1y20，即OP1OP30恒成立， P1OP3恒为锐角，即MON90，其中一条渐近线y=1ax的斜率1a1，a1，所以实数a的取值范围为1,+)故答案为：1,+)取P2的对称点P3(x2,y2)，结合x1x2y1y2，可得OP1O

9、P30，然后可得渐近线夹角MON90，代入渐近线斜率计算即可求得本题考查了双曲线的性质，是中档题16.【答案】2【解析】解：函数y=f(x)为定义域为R的奇函数，其图像关于x=1对称，且当x(0,1时，f(x)=lnx，f(x)是周期为4的周期函数，图象如图： 将方程f(x)=x+1的正实数根从小到大依次记为x1，x2，x3，xn，则nlim(xn+1xn)的几何意义是两条渐近线之间的距离2，nlim(xn+1xn)=2故答案为：2f(x)是周期为4的周期函数，作出图象，nlim(xn+1xn)的几何意义是两条渐近线之间的距离，由此能求出结果本题考查极限的求法，考查函数的周期性、函数图象、极限

10、的几何意义等基础知识，考查运算求解能力，是中档题17.【答案】解：(1)因为AA1为圆柱的母线，所以AA1垂直于上底面，所以MO1A1是直线MO1与上底面所成角，tanMO1A1=A1MO1A1=21=2，所以MO1A1=arctan2(2)因为圆柱过OO1的截面为正方形，所以AA1=2，所以圆柱的体积为V=r2=122=2，圆柱的侧面积为S=2r=212=4【解析】(1)转化为解直角三角形问题求解；(2)用圆柱体积和侧面积公式求解本题考查了直线与平面成角问题，考查了圆柱的体积与侧面积计算问题，属于中档题18.【答案】解：(1)在等比数列an中，a2=1，S2=3，则a1=2，公比q=12，则

11、Sn=a1(1qn)1q=4(112n)，nlimSn=nlim4(112n)=4；(2)若an是等差数列，则S2n=(a2+a2n1)2n2=2dn2+(23d)nn，即(32n)d1，当n=1时，d1；当n2时，d132n恒成立，132n1,0)，d0综上所述，d0,1【解析】(1)由已知求得等比数列的公比，再求出前n项和，求极限得答案；(2)求出等差数列的前2n项和，代入S2nn，对n分类分析得答案本题考查等差数列与等比数列前n项和，考查数列极限的求法，考查数列的函数特性及应用，是中档题19.【答案】解：(1)作DHEF，垂足为H，则EF=EH+HF=15tan20+15tan5023.

12、3m；(2)设ADE=，则AE=15tan，FH=15tan(902)，SEFD=152(30tan+15cot2)=152(30tan+151+tan22tan)=2254(3tan+1tan)22533，当且仅当3tan=1tan，即tan=33时取等号，此时AE=15tan=53，最大面积为45022532255.14m2【解析】(1)作DHEF，然后结合锐角三角函数定义表示出EF，(2)设ADE=，结合锐角三角函数定义可表示AE，FH，然后表示出面积，结合同角基本关系进行化简，再由基本不等式可求本题主要考查了利用基本不等式在求解最值中的应用，解题的关键是由实际问题抽象出数学问题，属于中

13、档题20.【答案】解：(1)由题可得B(0,1)，F(c,0)，因为AFB=6，所以tanAFB=bc=1c=tan6=33，解得c=3，所以a=1+(3)=4，故的标准方程为x24+y=1；(2)直线AD与直线BC的交点在椭圆上，由题可得此时A(a,0)，B(0,1)，C(a,2)，D(a,1)，则直线BC：y=3ax1，直线AD：y=12ax+12，交点为(3a5,45)，满足(3a5)2a2+(45)2=1，故直线AD与直线BC的交点在椭圆上；(3)B(0,1)，P(acos,sin)，则直线BP：y=sin+1acosx1，所以C(a,sin+1cos1)，A(a,0)，Q(acos,

14、sin)，则直线AQ：y=sinacosa(x+a)，所以D(a,2sincos1)，所以|CD|=sin+1cos12sincos1=2sin2cos2+sin22+cos22cos22sin224sin2cos22sin221，设tan2=t，则|CD|=2(11t+1t)2，因为1a+1b4a+b，所以11t+1t41t+t=4，则|CD|6，即|CD|的最小值为6【解析】(1)根据条件可得tanAFB=1c，解出c，利用a=b+c，求得a，即可求得答案；(2)分别表示出此时直线BC、直线AD的方程，求出其交点，验证即可；(3)设P(acos,sin)，Q(acos,sin)，表示出直线

15、BP、直线AQ方程，解出C、D坐标，表示出|CD|，再利用基本不等式即可求出答案本题考查直线与椭圆的综合，涉及椭圆方程的求解，直线交点求解，基本不等式的应用，属于中档题21.【答案】解：(1)f(x)=2x，t=1，g(x)为f(x)做变换后的结果，g(x)=2，g(x)=f(x)f(x1)=2x2x1=2x1=2，解得x=2(2)f(x)=x2，(x)为f(x)做变换后的结果，f(x)(x)，x2|(x+t)2x2|=|2tx+t2|，当xt2时，f(x)(x)恒成立；当xt2时，2tx+t2x2，解得x(1+2)t，(舍)或x(12)，综上，不等式：f(x)(x)的解集为(,(12)t(3

16、)证明：f(x)先做变换后得到u(x)，u(x)再做变换后得到1(x)，u(x)=f(x)f(xt)，1(x)=|f(x+t)f(x)f(x)f(xt)|，f(x)先做变换后得到v(x)，v(x)再做变换后得到2(x)，v(x)=|f(x+t)f(x)|，2(x)=|f(x+t)f(x)|f(x)f(xt)|，1(x)=2(x)，f(x)在(,0)上单调递增，|f(x+t)f(x)f(x)f(xt)|=|f(x+t)f(x)|f(x)f(xt)|，t0，f(x+t)f(t)f(t)f(t1)f(x+t)f(x)0f(x)f(xt)，函数f(x)在R上单调递增【解析】(1)推导出g(x)=f(x

17、)f(x1)=2x2x1=2x1=2，由此能求出x(2)推导出x2|(x+t)2x2|=|2tx+t2|，当xt2时，f(x)(x)恒成立；当xt2时，2tx+t2x2，由此能求出f(x)(x)的解集(3)先求出u(x)=f(x)f(xt)，从而1(x)=|f(x+t)f(x)f(x)f(xt)|，先求出v(x)=|f(x+t)f(x)|，从而2(x)=|f(x+t)f(x)|f(x)f(xt)|，由1(x)=2(x)，得|f(x+t)f(x)f(x)f(xt)|=|f(x+t)f(x)|f(x)f(xt)|，再由f(x)在(,0)上单调递增，能证明函数f(x)在R上单调递增本题考查方程、不等式的解的求法，考查函数是增函数的证明，考查函数变换的性质、抽象函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题第11页，共12页