2021年全国甲卷高考理科数学真题及答案（精品真题）.docx

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1、2021年全国甲卷高考理科数学真题及答案1.设集合M=x|0x4，N=x|x5，则MN=A. x|0xB. x|x4C. x|4x5D. x|0x52.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间3.已知，则z=A.-1-iB. -1+iC. -+i

2、D. -i4.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记数法的数据V满足L=5+lgV。已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记数法的数据约为（1.259）A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.65.已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且F1PF2=60，|PF1|=3|PF2|，则C的离心率为A.B.C.D.6.在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E,F,G.该正方体截去三棱锥A-EFG后，所得多面体的三视图中，正试图如右图所示，则相应的侧视图是A. B. C.

3、D. 7.等比数列an的公比为q，前n项和为Sn，设甲：q0，乙:Sn是递増数列，则A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8.2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m）,三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.右图是三角高程测量法的一个示意图，现有以A，B, C三点，且A，B,C在同一水平而上的投影A,B，C满足.由c点测得B点的仰角为15，曲，与的差为100 :由B点测得A点的仰角为45，则A,C两点到水平面的高度差约为A.346 B.373 C. 446

4、D.4739.若,，则A. B. C. D.10.将4个1和2个0随机排成一行，则2个0 不相邻的概率为A. B. C. D.11.已知A,B,C是半径为1的求O的球面上的三个点，且ACBC,AC=BC=1，则三棱锥O-ABC的体积为A. B. C. D.12.设函数f(x)的定义域为R，f(x+1)为奇函数，f(x+2)为偶函数，当时，.若,则A. B. C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.曲线在点（-1，-3）处的切线方程为_。14.已知向量a=(3,1)，b=(1,0)，若ac，则k=_。15.已知F1，F2为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点堆成的

5、两点，且，则四边形PF1QF2的面积为_。16.已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数x为_。三、解答題：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。 17.（12 分)甲、乙两台机床生产同种产品,产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异? 附： 18.(12 分)已知数

6、列an的各项均为正数，记Sn为an的前n项和，从下面中选取两个作为条件，证明另外一个成立. 数列an是等差数列：数列是等差数列；a2=3a1注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.19.(12分)已知直三棱柱ABC-A1B1C1.中，侧面AA1B1B为正方形, AB= BC = 2, E, F分别为AC和CC1的中点，D为棱A1B1上的点，BF丄A1B1.(1) 证明：BFDE； 当为B1D何值时，面BB1C1C与面DFE所成的二面角的正弦值最小？ 20.（12分）抛物线C的顶点为坐标原点O,焦点在x轴上，直线L：x = 1交C于P，Q两点, 且OP丄OQ.已知点M（2,0）,且M与

7、L相切，（1） 求C , M的方程；（2） 设A1,A2,A3,是C上的三个点,直线A1 A2, A1 A3均与 M相切，判断A2A3与M的位置关系，并说明理由.21.（12 分）己知a0且a1，函数f（x）=（x0），（1）当a=2时，求f（x）的单调区间；（2）若曲线y= f（x）与直线y=1有且仅有两个交点，求a的取值范围.（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22.选修4一4：坐标系与参数方程（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为=2cos.（1）将C的极坐标方程化为直

8、角坐标方程；（2）设点A的直角坐标为（1,0）,M为C上的动点，点P满足 = ,写出 P的轨迹C1的参数方程，并判断C与C1是否有公共点.23.选修4一5：不等式选讲（10分）已知函数f（x）=|x-2|， g（x） =|2x + 3|-|2x-1|.（1）画出f（x）和y=g（x）的图像；（2）若f（x+a）g（x）,求a的取值范围.参考答案选择：1、B2、C3、B4、C5、A6、D7、B8、B9、A10、C11、A12、D填空：13：5x-y+2=014：15：816：2大题：17：（1）由题意可知：甲机床生产的产品中一级品的频率是：150/200=3/4乙机床生产的产品中一级品的频率是：

9、120/200=3/5（2）由于所以，有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异。18：情况一：选择为条件，即数列为等差数列，且证明：设等差数列的公差为d，由题意可知，0，d0，且=所以，d=2，所以所以=(n*2n)/2=所以=n，=(n+1)=，为常数，所以数列为等差数列。情况二：选择为条件。证明：设等差数列的公差为d，则 d0因为为等差数列，所以，即等式两边平方得：4=即：等式两边平方：=0也就是：=0，即d=2a1，所以a2=a1+d=3a1情况三：选择为条件。证明：因为为等差数列，且0，所以可设=Kn+b（k0）其中k,b为常数，kn+b0对任意n属于成立所以：=，=

10、N大于等于2时，又因为a2=3a1，所以3=3，解得b=0或者4k+3b=0当b=o时，a1=，n大于等于2时，n=1时同所以，所以数列为等差数列。当4k+3b=0时，b=4/3k，=K+b=-1/3k0，舍去。综合，数列为等差数列19：（1）直棱柱ABC-A1B1C1，侧面AA1B1B为正方形所以A1B1=B1B=AB=BC=2所以侧面BB1C1C为正方形取BC中点M，连接B1M和EM因为F为CC1重点，所以B1MBF由已知BFA1B1且A1B1B1M=B1所以BF平面A1B1M由于E为AC中点，所以EMA1B1所以EM平面A1B1M，所以BFDE（2）由（1）可知，A1B1BF，且A1B1

11、B1B，所以A1B1平面B1BCC1以B为原点，BC，BY，BB1为xyz轴建立空间直角坐标系设C（2，0，0），A（0，-2，0），B1（0，0，2）C1（2，0，2），A1（0，-2，2），E（1，-1，0），F（2，0，1），D（0，n，2）则向量EF=（1，1，1），向量FD=（-2，n，1）设向量m平面BB1C1C，则向量m=（0，1，0）向量n平面DEF，则向量n=（x，y，z）由： 得：得：得：=（n-1，3，-n-2）设平面BB1C1C与平面DEF所称角为QcosQ=|cos|=设=所以，当n=-1/2时，cosQ最大为=此时sinQ 最小为所以，当B1D=1/2时，sinQ最

12、小为20：（1）由题可得，C：，p0，点P（1，Q（1，）因为OPOQ，所以1-2P=0，2P=1，所以抛物线C为：M（2，0），L：x=1且圆M与L相切，所以圆M的方程为：（2）设A1（）， A2（）， A3（）由抛物线及圆M对称性，不妨设0若A1A2，A1A3中有一条切线斜率不存在，不妨设为A1A2则：A1（3，），A2（3，-），设A1A3：y-=k（x-3）即kx-y-3k+=0因为A1A3与圆M相切，所以=1解得：k=即=所以，即A3（0，0）此时，直线A2A3与A1A3关于x轴对称，所以直线A2A3与圆M相切。若A1A2，A1A3斜率均存在，则且，=直线A1A2：y-=，即x-(同

13、设A1A3：x-()y+=0，直线A2A3：x-(因为直线A1A2，A1A3均与圆M相切，所以，即：所以、关于y的方程：即=0的两个根所以：，设M到直线A2A3距离为d则=1所以直线A2A3与圆M相切21：（1）f(x)定义域为（0，+）因为a0且a1，所以f(x)=，且lna0所以f(x)=当a=2时，f(x) =所以f(x)增区间为（0，减区间为（(2)题目等价于f(x)=1在（0，上有且只有两个解当0a1时，0，所以x-0所以f(x)0，所以f(x)=1至少有一个解，所以a1此时lna0，0，将f(x)定义域改为0，+此时f(0)=0f()=1=又y=(a1)在（0，+）上，所以得到（l

14、naln(lna)，得到lna-1ln(lna) （*）令g(x)=x-1-lnx，x（0，+）g(x)=1-0-1/x=(x-1)/x所以g(x)g(1)=1-1-ln1=0由a1得到lna0，得到：g(lna)0所以，f(所以，a1且ae令b=，又a1，所以b1则f(x)=由贝努力不等式得：=当xmax时，所以，（0，1），得到f(x)（0，1）由f(x)单调性可知：f(x)=1，在（0，和（，+）上各有一解。综上，a取值范围为（1，e）（e，+）22：（1）=2，得到：2即：C：0（2）C：设P（，则向量AP= （向量AM=AP=（，）所以向量DM=向量OA+向量AM=（，）又因为M在上

15、，所以即：所以，C1：C1：，QR圆心距CC1=3=3半径分别为2和因为3，所以C在圆C1内部，没有公共点。23：当x时，2x+30，2x-1g(x)=-(2x+3)+(2x-1)=-4当时，2x+3，2x-1g(x)=2x+3+2x-1=4x+2当x时，2x+3，2x-1g(x)=2x+3-(2x-1)=4（2） f(x+a)g(x)|x+a-2|g(x)|2-a+a-2|g(2-a)g(2-a)0 有图像可知2-aaa+3f(+a)g()a+4a下证当a时，f(x+a)g(x)当x，g(x)0f(x+a)当x时，g(x)=4x+ax+a+a+=5f(x+a)=|x+a-2|=x+a-2x+a-2-（4x-2）=a-3x-4综上，a取值范围为，+)