数学（文）知识清单-专题23 数学思想方法及其应用（考点解读）（原卷+解析版）.pdf

《数学（文）知识清单-专题23 数学思想方法及其应用（考点解读）（原卷+解析版）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学（文）知识清单-专题23 数学思想方法及其应用（考点解读）（原卷+解析版）.pdf（52页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、1专题专题 23数学思想方法及其应用数学思想方法及其应用函数与方程思想在高考中也是必考内容，特别是在函数、解析几何、三角函数等处都可能考到，几乎大多数年份高考中大题都会涉及到因此认真体会函数与方程思想是成功高考的关键在高考题中，数形结合的题目出现在高中数学知识的方方面面上，把图象作为工具、载体，以此寻求解题思路或制定解题方案，真正体现数形结合的简捷、灵活特点的多是填空小题。因为对数形结合等思想方法的考查，是对数学知识在更高层次的抽象和概括能力的考查，是对学生思维品质和数学技能的考查，是新课标高考明确的一个命题方向。分类讨论思想是历年高考的必考内容，它不仅是高考的重点和热点，也是高考的考点，高考

2、中经常会有一道解答题，解题思路直接依赖于分类讨论预测以后的高考，将会一如既往地考查分类讨论思想，特别在解答题中(尤其导数与函数)，将有一道进行分类、求解的把关题，选择题、填空题也会出现不同情形的分类讨论求解题化归与转化的思想在高考中必然考到，主要可能出现在立体几何的大题中，将空间立体几何的问题转化为平面几何问题，解析几何大题中求范围问题的题转化为求函数值域范围问题等，总之将复杂问题转化为简单问题是高考中解决问题的重要思想方法知识点一、函数与方程思想知识点一、函数与方程思想一般地，函数思想就是构造函数从而利用函数的图象与性质解题，经常利用的性质是：单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换

3、等在解题中，善于挖掘题目的隐含条件，构造出函数解析式和巧用函数的性质，是应用函数思想的关键，它广泛地应用于方程、不等式、数列等问题1方程思想就是将所求的量(或与所求的量相关的量)设成未知数，用它表示问题中的其他各量，根据题中的已知条件列出方程(组)，通过解方程(组)或对方程(组)进行研究，使问题得到解决2方程思想与函数思想密切相关：方程 f(x)0 的解就是函数 yf(x)的图象与 x 轴的交点的横坐标；函数 yf(x)也可以看作二元方程 f(x)y0，通过方程进行研究，方程 f(x)a 有解，当且仅当 a 属于函数f(x)的值域函数与方程的这种相互转化关系十分重要可用函数与方程思想解决的相关

4、问题1函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：2(1)借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；(2)在研究问题中通过建立函数关系式或构造中间函数，把研究的问题化为讨论函数的有关性质，达到化难为易、化繁为简的目的2方程思想在解题中的应用主要表现在四个方面：(1)解方程或解不等式；(2)带参变数的方程或不等式的讨论，常涉及一元二次方程的判别式、根与系数的关系、区间根、区间上恒成立等知识的应用；(3)需要转化为方程的讨论，如曲线的位置关系等；(4)构造方程或不等式求解问题知识点知识点二、数形结合的数学思想二、数形结合的数学思想数形结合的数学思想：包含

5、“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。应用数形结合的思想，应注意以下数与形的转化：数形结合思想解决的问题常有以下几种：(1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围；(2)构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围；(3)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系；(4)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式

6、；(5)构建立体几何模型研究代数问题；(6)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；(7)构建方程模型，求根的个数；(8)研究图形的形状、位置关系、性质等常见适用数形结合的两个着力点是：以形助数常用的有：借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助数式的结构特征；借助于解析几何方法.以数助形常用的有：借助于几何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与几何定理的结合。数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥着奇特3功效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度具体操作时，应注意以下几点：(1)准确画出函数图象，注意函数的定义域

7、；(2)用图象法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有时可能先作适当调整，以便于作图)，然后作出两个函数的图象，由图求解这种思想方法体现在解题中，就是指在处理数学问题时，能够将抽象的数学语言与直观的几何图象有机结合起来思索，促使抽象思维和形象思维的和谐复合，通过对规范图形或示意图形的观察分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到简捷解决。1数形结合的途径（1）通过坐标系形题数解借助于建立直角坐标系、复平面可以将图形问题代数化。这一方法在解析几何中体现的相当充分（在高考中主要也是以解析几何作为知识载体来考

8、察的）；值得强调的是，形题数解时，通过辅助角引入三角函数也是常常运用的技巧（这是因为三角公式的使用，可以大大缩短代数推理）实现数形结合，常与以下内容有关：实数与数轴上的点的对应关系；函数与图象的对应关系；曲线与方程的对应关系；以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。4)1()2(22yx如等式。常见方法有：解析法：建立适当的坐标系（直角坐标系，极坐标系），引进坐标将几何图形变换为坐标间的代数关系。三角法：将几何问题与三角形沟通，运用三角代数知识获得探求结合的途径。向量法：将几何图形向量化，运用向量运算解决几何中的平角、垂直、夹

9、角、距离等问题。把抽象的几何推理化为代数运算。特别是空间向量法使解决立体几何中平行、垂直、夹角、距离等问题变得有章可循。（2）通过转化构造数题形解许多代数结构都有着对应的几何意义，据此，可以将数与形进行巧妙地转化.例如，将 a0 与距离互化，将 a2与面积互化，将 a2+b2+ab=a2+b22)12060(cos或ba与余弦定理沟通，将 abc0 且b+ca 中的 a、b、c 与三角形的三边沟通，将有序实数对（或复数）和点沟通，将二元一次方程与直线、将二元二次方程与相应的圆锥曲线对应等等.这种代数结构向几何结构的转化常常表现为构造一个图形（平面的或立体的）。另外，函数的图象也是实现数形转化的

10、有效工具之一，正是基于此，函数思想和数形结合4思想经常借助于相伴而充分地发挥作用。常见的转换途径为：方程或不等式问题常可以转化为两个图象的交点位置关系的问题，并借助函数的图象和性质解决相关的问题。利用平面向量的数量关系及模AB 的性质来寻求代数式性质。（3）构造几何模型。通过代数式的结构分析，构造出符合代数式的几何图形，如将2a与正方形的面积互化，将abc与体积互化，将22ac与勾股定理沟通等等。（4）利用解析几何中的曲线与方程的关系，重要的公式（如两点间的距离221212()()xxyy，点到直线的距离0022|AxByCdAB，直线的斜率，直线的截距）、定义等来寻求代数式的图形背景及有关性

11、质。2数形结合的原则（1）等价性原则在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞.有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，但它同时也是抽象而严格证明的诱导。（2）双向性原则在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方面相辅相成，仅对代数问题进行几何分析（或仅对几何问题进行代数分析）在许多时候是很难行得通的。例如，在解析几何中，我们主要是运用代数的方法来研究几何问题，但是在许多时候，若能充分地挖掘利用图形的几何特征，将会使得复杂的问题简单化。（3）简单性原则就是找到解题思路之后，至于用几何方法还

12、是用代数方法、或者兼用两种方法来叙述解题过程，则取决于那种方法更为简单.而不是去刻意追求一种流性的模式代数问题运用几何方法，几何问题寻找代数方法。知识点知识点三、分类三、分类讨论的思想讨论的思想分类讨论思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略对问题实行分类与整合，分类标准等于是增加的一个已知条件，实现了有5效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度1由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等2由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有

13、的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前 n 项和公式、函数的单调性等3由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同时乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等4由图形的不确定性引起的分类讨论：有的图形类型、位置需要分类，如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等5由参数的变化引起的分类讨论：某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法6由实际意义引起的讨论：此类问题在应用题中，特别是在解决排列、组

14、合中的计数问题时常用知识点四、化归与转化的思想知识点四、化归与转化的思想1、化归与转化的思想方法解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题(相对来说，是自己较熟悉的问题)，通过新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想方法我们称之为“化归与转化的思想方法”2、化归与转化的思想方法应用的主要方向化归与转化思想的实质是揭示联系，实现转化除极简单的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的从这个意义上讲，解决数学问题就是从未知向已知转化的过程化归与转化思想是解决数学问题的根本思想，

15、解题的过程实际上就是一步步转化的过程数学中的转化比比皆是，如未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化，新知识向旧知识的转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面的转化，高维向低维的转化，多元向一元的转化，高次向低次的转化，超越式向代数式的转化，函数与方程的转化等，都是转化思想的体现3、等价转化和非等价转化转化有等价转化和非等价转化之分等价转化前后是充要条件，所以尽可能使转化具有等价性；在不得已的情况下，进行不等价转化，应附加限制条件，以保持等价性，或对所得结论进行必要的验证6高频考点一、高频考点一、函数与方程思想在三角函数、平面向量中的应用函数与方程思想在三角函数、平面向量中的应用例 1(1

16、)若方程 cos2xsin xa0 在0，2上有解，则 a 的取值范围是_(2)已知 a，b，c 为平面上三个向量，又 a，b 是两个相互垂直的单位向量，向量 c 满足|c|3，ca2，cb1，则对于任意实数 x，y，|cxayb|的最小值为_【感悟提升】(1)研究此类含参数的三角函数方程的问题，通常有两种处理思路：一是分离参数构建函数，将方程有解转化为求函数的值域二是换元，将复杂方程问题转化熟悉的二次方程，进而利用二次方程解的分布情况构建不等式或构造函数加以解决(2)平面向量中含函数(方程)的相关知识，对平面向量的模进行平方处理，把模问题转化为数量积问题，再利用函数与方程思想来分析与处理，这

17、是解决此类问题一种比较常见的思维方式【变式探究】在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，C已知ABC 的面积为 3 15，bc2，cos A14，则 a_.高频考点二、函数与方程思想在数列中的应用高频考点二、函数与方程思想在数列中的应用例 2、已知数列an是各项均为正数的等差数列，a12，且 a2，a3，a41 成等比数列(1)求数列an的通项公式 an；(2)设数列an的前 n 项和为 Sn，bn1Sn11Sn21S2n，若对任意的 nN*，不等式 bnk 恒成立，求实数 k 的最小值【规律方法】本题完美体现了函数与方程思想的应用，第(1)问直接列方程求公差；第(2)问求出

18、bn的表达式，说明要求 bnk 恒成立时 k 的最小值，只需求 bn的最大值，从而构造函数 f(x)2x1x(x1)，利用函数求解【变式探究】设数列an，bn满足 a1a0，an1n12nan，且 bnln(1an)12a2n，nN*，【证明】2an2anbn1.高频考点三、高频考点三、运用函数与方程思想解决不等式问题运用函数与方程思想解决不等式问题例 3已知函数 f(x)x3，xa，x2，xa，若存在实数 b，使函数 g(x)f(x)b 有两个零点，则 a 的取值范围是_【规律方法】(1)在解决值的大小比较问题时，通过构造适当的函数，利用函数的单调性或图象解决是一种重要思想7方法(2)在解决

19、不等式恒成立问题时，一种重要的思想方法就是构造适当的函数，利用函数的图象和性质解决问题同时要注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更明朗化，一般地，已知存在范围的量为变量，而待求范围的量为参数(3)在解决不等式证明问题时，构造适当的函数，利用函数方法解题是近几年各省市高考的一个热点 用导数来解决不等式问题时，一般都要先根据欲证的不等式构造函数，然后借助导数研究函数的单调性情况，再结合在一些特殊点处的函数值得到欲证的不等式【变式探究】设函数 f(x)2x33ax23bx8c 在 x1 及 x2 时取到极值(1)求 a，b 的值；(2)若对于任意的 x

20、0，3都有 f(x)0)在区间8，8上有四个不同的根 x1，x2，x3，x4，则 x1x2x3x4_高频考点七、用数形结合思想解决参数、代数式的最值、取值范围问题高频考点七、用数形结合思想解决参数、代数式的最值、取值范围问题例 7、(1)已知 x，y 满足条件x216y2251，求 y3x 的最大值与最小值10(2)已知实数 x，y 满足不等式组x2y24，x0，求函数 zy3x1的值域误区警示：此题很容易犯的错误是由 zy3x1得到点(1，3)的坐标时，很容易写成(1，3)，所以做题时要看清顺序【规律方法】如果参数、代数式的结构蕴含着明显的几何特征，一般考虑用数形结合的方法来解题，即所谓的几

21、何法求解，比较常见的对应有：(1)ykxb 中 k 表示直线的斜率，b 表示直线在 y 轴上的截距(2)bnam表示坐标平面上两点(a，b)，(m，n)连线的斜率(3)（am）2（bn）2表示坐标平面上两点(a，b)，(m，n)之间的距离(4)导函数 f(x0)表示曲线在点(x0，f(x0)处切线的斜率只要具有一定的观察能力，再掌握常见的数与形的对应类型，就一定能得心应手地运用数形结合的思想方法【变式探究】已知 x，y 满足条件x216y2251，求 5x4y 的最大值与最小值高频考点八、数形结合思想在立体几何中的应用高频考点八、数形结合思想在立体几何中的应用例 8、如图所示，在三棱锥 VAB

22、C 中，VC底面 ABC，ACBC，D 是 AB 的中点，且 ACBCa，VDC02.(1)求证：平面 VAB平面 VCD；(2)当角变化时，求直线 BC 与平面 VAB 所成的角的取值范围【规律方法】(1)应用空间向量可以解决的常见问题有空间角中的异面直线所成的角、线面角、二面角；位置关系中的平行、垂直及点的空间位置其一般思路是：尽量建立空间直角坐标系，将要证、要求的问题转化为坐11标运算(2)解析几何问题的求解往往将题目所给信息先转换成几何图形性质，结合该类图形的几何性质，将条件信息和结论信息结合在一起，观察图形特征，为代数法求解找到突破口【变式探究】如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD

23、A1B1C1D1中，P 是侧棱 CC1上的一点，CPm.(1)试确定 m，使得直线 AP 与平面 BDD1B1所成角的正切值为 3 2；(2)在线段 A1C1上是否存在一定点 Q，使得对任意的 m，D1Q 在平面 APD1上的射影垂直于 AP.并证明你的结论【感悟提升】1数形结合是解决许多数学问题的重要方法，它可以将抽象数学问题具体化、准确化、形象化我们用好数形结合可以使我们更深入准确的理解数学问题2数形结合主要应用于：函数、三角、集合、立体几何、解几、向量、不等式等3是否选择应用数形结合的原则是：是否有利于解决问题，用最简单的办法解决问题为最终目的高频考点九、数形结合思想在解决方程的根或函数

24、零点问题中的应用高频考点九、数形结合思想在解决方程的根或函数零点问题中的应用例 9、若关于 x 的方程|x|x4kx2有四个不同的实数解，则 k 的取值范围为_【感悟提升】用图象法讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解(或函数零点)的个数是一种重要的方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉的函数表达式(不熟悉时，需要作适当的变形转化为两个熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解(或函数零点)的个数【变式探究】已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且 f(x1)f(x1)，当 x1，0时，f(x)x3，则关于 x 的方

25、程 f(x)|cos x|在52，12上的所有实数解之和为_高频考点十高频考点十数形结合思想在求解不等式或参数范围中的应用数形结合思想在求解不等式或参数范围中的应用例 10、设函数 f(x)是奇函数 f(x)(xR)的导函数，f(1)0，当 x0 时，xf(x)f(x)012成立的 x 的取值范围是()A(，1)(0,1)B(1,0)(1，)C(，1)(1,0)D(0,1)(1，)【感悟提升】(1)本例利用了数形结合思想，由条件判断函数的单调性，再结合 f(1)0 可作出函数的图象，利用图象即可求出 x 的取值范围(2)求参数范围或解不等式问题经常用到函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当

26、的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化为数量关系来解决问题，往往可以避免繁琐的运算，获得简捷的解答【变式探究】设 A(x，y)|x2(y1)21，B(x，y)|xym0，则使 AB 成立的实数 m 的取值范围是_高频考点十一高频考点十一数形结合思想在解析几何中的应用数形结合思想在解析几何中的应用例 11、设双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的左、右顶点分别为 A1，A2，左、右焦点分别为 F1，F2，以F1F2为直径的圆与双曲线左支的一个交点为 P.若以 A1A2为直径的圆与直线 PF2相切，则双曲线 C 的离心率为()A 2B 3C2D 5【感悟提升】(1)在解

27、析几何的解题过程中，通常要数形结合，这样使数更形象，更直白，充分利用图象的特征，挖掘题中所给的代数关系式和几何关系式，避免一些复杂的计算，给解题提供方便(2)应用几何意义数形结合法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：比值可考虑直线的斜率；二元一次式可考虑直线的截距；根式分式可考虑点到直线的距离；根式可考虑两点间的距离【变式探究】已知抛物线的方程为 x28y，F 是其焦点，点 A(2,4)，在此抛物线上求一点 P，使APF的周长最小，此时点 P 的坐标为_【总结升华】运用数形结合思想分析解决问题的 3 个原则(1)等价性原则在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解

28、题将会出现漏洞，有时，由于图形的局限性，不能完整地表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明13(2)双向性原则在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方面相辅相成，仅对代数问题进行几何分析(或仅对几何问题进行代数分析)在许多时候是很难行得通的(3)简单性原则找到解题思路之后，至于用几何方法还是用代数方法或者兼用两种方法来叙述解题过程，则取决于哪种方法更为简单高频考点十二、根据数学的概念分类讨论高频考点十二、根据数学的概念分类讨论例 12、等比数列an的各项均为实数，其前 n 项和为 Sn.已知 S374，S6634，则 a8_.【变式探究】设 0 x1，

29、a0 且 a1，比较|loga(1x)|与|loga(1x)|的大小【规律方法】本题是由对数函数的概念内涵引起的分类讨论，我们称为概念分类型由概念内涵引起的分类还有很多：如绝对值|a|分 a0，a0，a0 三种情况；直线的斜率分倾斜角90，斜率 k 存在，倾斜角90，斜率不存在；指数、对数函数yax(a0 且 a1)与 ylogax(a0 且 a1)可分为 a1，0a1 两种类型；直线的截距式分直线过原点时为 ykx，不过原点时为xayb1等高频考点十三、根据运算的要求或性质、定理、公式的条件分类讨论高频考点十三、根据运算的要求或性质、定理、公式的条件分类讨论例 13、一条直线过点(5,2)，

30、且在 x 轴，y 轴上截距相等，则这条直线的方程为()Axy70B2x5y0Cxy70 或 2x5y0Dxy70 或 2y5x0【变式探究】在等差数列an中，a11，满足 a2n2an，n1，2，(1)求数列an的通项公式；(2)记 bnanpan(p0)，求数列bn的前 n 项和 Tn.【规律方法】(1)一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的单调性，均值定理，等比数列的求和公式等性质、定理与公式在不同的条件下有不同的结论，或者在一定的限制条件下才成立，这时要小心，应根据题目条件确定是否进行分类讨论(2)分类讨论的有些问题是由运算的需要引发的比如除法运算中分母能否为零的讨论；解方程及不等14

31、式两边同乘以一个数是否为零，是正数，还是负数的讨论；二次方程运算中对两根大小的讨论；求函数单调性时，导数正负的讨论；排序问题；差值比较中的差的正负的讨论；有关去绝对值或根号问题中等价变形引发的讨论等高频考点十四、根据字母的取值情况分类讨论高频考点十四、根据字母的取值情况分类讨论例 14、已知函数 f(x)2x33x.(1)求 f(x)在区间2，1上的最大值；(2)若过点 P(1，t)存在 3 条直线与曲线 yf(x)相切，求 t 的取值范围；(3)问过点 A(1，2)，B(2，10)，C(0，2)分别存在几条直线与曲线 yf(x)相切(只需写出结论)?【规律方法】题目中含有参数的问题(含参型)

32、，主要包括：含有参数的不等式的求解；含有参数的方程的求解；对于解析式系数是参数的函数，求最值与单调性问题；二元二次方程表示曲线类型的判定等求解这类问题的一般思路是：结合参数的意义及对结果的影响而进行分类讨论讨论时，应全面分析参数变化引起结论的变化情况，参数有几何意义时还要考虑适当地运用数形结合思想高频考点十五、根据图形位置或形状变动分类讨论高频考点十五、根据图形位置或形状变动分类讨论例 15、设 F1，F2为椭圆x29y241 的两个焦点，P 为椭圆上一点已知 P，F1，F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|PF2|，求|PF1|PF2|的值【感悟提升】(1)本题中直角顶点的位置不定，影

33、响边长关系，需按直角顶点不同的位置进行讨论(2)破解此类题的关键点：确定特征，一般在确立初步特征时将能确定的所有位置先确定分类，根据初步特征对可能出现的位置关系进行分类得结论，将“所有关系”下的目标问题进行汇总处理【变式探究】长方形 ABCD 中，|AB|4，|BC|8，在 BC 边上取一点 P，使|BP|t，线段 AP 的垂直平分线与长方形的边的交点为 Q，R 时，用 t 表示|QR|.【规律方法】一般由图形的位置或形状变动引发的讨论包括：二次函数对称轴位置的变动；函数问题中区间的变动；15函数图象形状的变动；直线由斜率引起的位置变动；圆锥曲线由焦点引起的位置变动或由离心率引起的形状变动；立

34、体几何中点、线、面的位置变动等高频考点十六高频考点十六由参数变化引起的分类讨论由参数变化引起的分类讨论例 16、设函数 f(x)x3axb，xR，其中 a，bR，求 f(x)的单调区间【感悟提升】(1)本题研究函数性质对参数 a 进行分类讨论，分为 a0 和 a0 两种情况(2)若遇到题目中含有参数的问题，常常结合参数的意义及对结果的影响进行分类讨论，此种题目为含参型，应全面分析参数变化引起结论的变化情况，参数有几何意义时还要考虑适当地运用数形结合思想，分类要做到分类标准明确、不重不漏【变式探究】设 f(x)x，0 x1，2x1，x1.若 f(a)f(a1)，则 f1a()A2B4C6D8【总

35、结升华】【总结升华】1分类讨论的原则(1)不重不漏；(2)标准要统一，层次要分明；(3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论2分类讨论的本质与思维流程(1)分类讨论思想的本质是“化整为零，积零为整”(2)分类讨论的思维流程：明确讨论的对象和动机确定分类的标准逐类进行讨论归纳综合结论检验分类是否完备(即检验分类对象彼此交集是否为空集，并集是否为全集)高频考点十七、高频考点十七、数列问题化归为函数问题解决数列问题化归为函数问题解决例 17、某厂 2017 年生产利润逐月增加，且每月增加的利润相同，但由于厂方正在改造建设，1 月份投入资金建设恰好与 1 月份的利润相等，随着投入资金的逐月

36、增加，且每月增加投入的百分率相同，到 12 月投入建设资金又恰好与 12 月的生产利润相同，则全年总利润 M 与全年总投入 N 的大小关系是()AMNBMN16CMND无法确定高频考点十八、立体几何问题通过转化得以解决高频考点十八、立体几何问题通过转化得以解决例 18、在三棱锥 PABC 中，已知 PABC，PABCl，PA，BC 的公垂线 EDh.求证：三棱锥 PABC的体积 V16l2h.高频考点十九、二项式定理应用问题通过化归解决高频考点十九、二项式定理应用问题通过化归解决例 19、在(x23x2)5的展开式中 x 的系数为()A160B240C360D800高频考点二十、函数与不等式中

37、变换主元将二次函数问题化归为一次函数解决高频考点二十、函数与不等式中变换主元将二次函数问题化归为一次函数解决例 20、若不等式 x2px4xp3 对一切 0p4 均成立，试求实数 x 的取值范围【感悟提升】【感悟提升】1化归与转化应遵循的基本原则：(1)熟悉化原则将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决(2)简单化原则将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据(3)和谐化原则化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的

38、思维规律(4)直观化原则将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决(5)正难则反原则当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解2熟练、扎实地掌握基础知识、基本技能和基本方法是转化的基础；丰富的联想、机敏细微的观察、比较、类比是实现转化的桥梁；培养训练自己自觉的化归与转化意识，需要对定理、公式、法则有本质上的深刻理解和对典型习题的总结和提炼，要积极主动有意识地去发现事物之间的本质联系“抓基础，重转化”是学好中学数学的金钥匙3为了实施有效的化归，既可以变更问题的条件，也可以变更问题的结论；既可以变换问题的内部结构，也可以变换问题的外部形式；既可以从代数的角度去认

39、识问题，也可以从几何的角度去认识问题17专题专题 23数学思想方法及其应用数学思想方法及其应用函数与方程思想在高考中也是必考内容，特别是在函数、解析几何、三角函数等处都可能考到，几乎大多数年份高考中大题都会涉及到因此认真体会函数与方程思想是成功高考的关键在高考题中，数形结合的题目出现在高中数学知识的方方面面上，把图象作为工具、载体，以此寻求解题思路或制定解题方案，真正体现数形结合的简捷、灵活特点的多是填空小题。因为对数形结合等思想方法的考查，是对数学知识在更高层次的抽象和概括能力的考查，是对学生思维品质和数学技能的考查，是新课标高考明确的一个命题方向。分类讨论思想是历年高考的必考内容，它不仅是

40、高考的重点和热点，也是高考的考点，高考中经常会有一道解答题，解题思路直接依赖于分类讨论预测以后的高考，将会一如既往地考查分类讨论思想，特别在解答题中(尤其导数与函数)，将有一道进行分类、求解的把关题，选择题、填空题也会出现不同情形的分类讨论求解题化归与转化的思想在高考中必然考到，主要可能出现在立体几何的大题中，将空间立体几何的问题转化为平面几何问题，解析几何大题中求范围问题的题转化为求函数值域范围问题等，总之将复杂问题转化为简单问题是高考中解决问题的重要思想方法知识点一、函数与方程思想知识点一、函数与方程思想一般地，函数思想就是构造函数从而利用函数的图象与性质解题，经常利用的性质是：单调性、奇

41、偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等在解题中，善于挖掘题目的隐含条件，构造出函数解析式和巧用函数的性质，是应用函数思想的关键，它广泛地应用于方程、不等式、数列等问题1方程思想就是将所求的量(或与所求的量相关的量)设成未知数，用它表示问题中的其他各量，根据题中的已知条件列出方程(组)，通过解方程(组)或对方程(组)进行研究，使问题得到解决2方程思想与函数思想密切相关：方程 f(x)0 的解就是函数 yf(x)的图象与 x 轴的交点的横坐标；函数 yf(x)也可以看作二元方程 f(x)y0，通过方程进行研究，方程 f(x)a 有解，当且仅当 a 属于函数f(x)的值域函数与方程的这种相互转化关

42、系十分重要可用函数与方程思想解决的相关问题1函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：18(1)借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；(2)在研究问题中通过建立函数关系式或构造中间函数，把研究的问题化为讨论函数的有关性质，达到化难为易、化繁为简的目的2方程思想在解题中的应用主要表现在四个方面：(1)解方程或解不等式；(2)带参变数的方程或不等式的讨论，常涉及一元二次方程的判别式、根与系数的关系、区间根、区间上恒成立等知识的应用；(3)需要转化为方程的讨论，如曲线的位置关系等；(4)构造方程或不等式求解问题知识点知识点二、数形结合的数学思想二、数

43、形结合的数学思想数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。应用数形结合的思想，应注意以下数与形的转化：数形结合思想解决的问题常有以下几种：(1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围；(2)构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围；(3)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系；(4)构建函数模型并结合

44、其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式；(5)构建立体几何模型研究代数问题；(6)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；(7)构建方程模型，求根的个数；(8)研究图形的形状、位置关系、性质等常见适用数形结合的两个着力点是：以形助数常用的有：借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助数式的结构特征；借助于解析几何方法.以数助形常用的有：借助于几何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与几何定理的结合。数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥着奇特19功效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度具体操作时，应注意以下几点

45、：(1)准确画出函数图象，注意函数的定义域；(2)用图象法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有时可能先作适当调整，以便于作图)，然后作出两个函数的图象，由图求解这种思想方法体现在解题中，就是指在处理数学问题时，能够将抽象的数学语言与直观的几何图象有机结合起来思索，促使抽象思维和形象思维的和谐复合，通过对规范图形或示意图形的观察分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到简捷解决。1数形结合的途径（1）通过坐标系形题数解借助于建立直角坐标系、复平面可以将图形问题代数化。这一方法在解析几何中体现的相当充分（

46、在高考中主要也是以解析几何作为知识载体来考察的）；值得强调的是，形题数解时，通过辅助角引入三角函数也是常常运用的技巧（这是因为三角公式的使用，可以大大缩短代数推理）实现数形结合，常与以下内容有关：实数与数轴上的点的对应关系；函数与图象的对应关系；曲线与方程的对应关系；以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。4)1()2(22yx如等式。常见方法有：解析法：建立适当的坐标系（直角坐标系，极坐标系），引进坐标将几何图形变换为坐标间的代数关系。三角法：将几何问题与三角形沟通，运用三角代数知识获得探求结合的途径。向量法：将几何图形向量

47、化，运用向量运算解决几何中的平角、垂直、夹角、距离等问题。把抽象的几何推理化为代数运算。特别是空间向量法使解决立体几何中平行、垂直、夹角、距离等问题变得有章可循。（2）通过转化构造数题形解许多代数结构都有着对应的几何意义，据此，可以将数与形进行巧妙地转化.例如，将 a0 与距离互化，将 a2与面积互化，将 a2+b2+ab=a2+b22)12060(cos或ba与余弦定理沟通，将 abc0 且b+ca 中的 a、b、c 与三角形的三边沟通，将有序实数对（或复数）和点沟通，将二元一次方程与直线、将二元二次方程与相应的圆锥曲线对应等等.这种代数结构向几何结构的转化常常表现为构造一个图形（平面的或立

48、体的）。另外，函数的图象也是实现数形转化的有效工具之一，正是基于此，函数思想和数形结合20思想经常借助于相伴而充分地发挥作用。常见的转换途径为：方程或不等式问题常可以转化为两个图象的交点位置关系的问题，并借助函数的图象和性质解决相关的问题。利用平面向量的数量关系及模AB 的性质来寻求代数式性质。（3）构造几何模型。通过代数式的结构分析，构造出符合代数式的几何图形，如将2a与正方形的面积互化，将abc与体积互化，将22ac与勾股定理沟通等等。（4）利用解析几何中的曲线与方程的关系，重要的公式（如两点间的距离221212()()xxyy，点到直线的距离0022|AxByCdAB，直线的斜率，直线的

49、截距）、定义等来寻求代数式的图形背景及有关性质。2数形结合的原则（1）等价性原则在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞.有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，但它同时也是抽象而严格证明的诱导。（2）双向性原则在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方面相辅相成，仅对代数问题进行几何分析（或仅对几何问题进行代数分析）在许多时候是很难行得通的。例如，在解析几何中，我们主要是运用代数的方法来研究几何问题，但是在许多时候，若能充分地挖掘利用图形的几何特征，将会使得复杂的问题简单化。（3）简单

50、性原则就是找到解题思路之后，至于用几何方法还是用代数方法、或者兼用两种方法来叙述解题过程，则取决于那种方法更为简单.而不是去刻意追求一种流性的模式代数问题运用几何方法，几何问题寻找代数方法。知识点知识点三、分类三、分类讨论的思想讨论的思想分类讨论思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略对问题实行分类与整合，分类标准等于是增加的一个已知条件，实现了有21效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度1由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数