数学（理）知识清单-专题18 算法、复数（考点解读）（原卷+解析版）.pdf

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1、1专题专题 18算法、复数算法、复数1.以客观题形式考查算法的基本逻辑结构，会与函数、数列、不等式、统计、概率等知识结合命题2.以客观题形式考查复数的运算、复数的相等、共轭复数和复数及其代数运算的几何意义，与其他知识较少结合，应注意和三角函数结合的练习3.推理与证明在选择、填空、解答题中都有体现，但很少单独命题，若单独命题，一般以客观题形式考查归纳与类比4.通常是以数列、三角、函数、解析几何、立体几何等知识为载体，考查对推理与证明的掌握情况，把推理思路的探求、推理过程的严谨，推理方法的合理作为考查重点一、算法框图与复数一、算法框图与复数1.算法框图(1)程序框图是由一些图框和带箭头的流程线组成

2、的，其中图框表示各种操作的类型，图框中的文字和符号表示操作的内容，带箭头的流程线表示操作的先后次序图框有输入、输出框、处理框、判断框、起止框四种(2)三种基本的算法结构依次进行多个处理的结构称为顺序结构先根据条件作出判断，再决定执行哪一种操作的结构称为选择结构需要重复执行同一操作的结构称为循环结构2复数(1)复数的相关概念及分类定义：形如 abi(a、bR)的数叫复数，其中 a 为实部，b 为虚部；i 是虚数单位，且满足 i21.分类：设复数 zabi(a、bR)zRb0；z 为虚数b0，z 为纯虚数a0b0.共轭复数：复数 abi 的共轭复数为 abi.复数的模：复数 zabi 的模|z|a

3、2b2.2(2)复数相等的充要条件abicdiac 且 bd(a、b、c、dR)特别地，abi0a0 且 b0(a、bR)(3)运算法则加减法：(abi)(cdi)(ac)(bd)i.乘法：(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i.除法：(abi)(cdi)acbdbcadic2d2.(4)复数加减法的几何意义加法：若复数 z1、z2对应的向量、不共线，则复数 z1z2是以、为邻边的平行四边形的对角线所对应的复数减法：复数 z1z2是连接向量、的终点，并指向的终点的向量对应的复数二、推理与证明二、推理与证明1.合情推理(1)归纳推理根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对

4、象都具有这样性质的推理，叫做归纳推理，归纳是由特殊到一般的推理归纳推理的思维过程：实验观察概括、推广猜测一般性结论(2)类比推理根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似(或相同)的性质的推理叫做类比推理，类比推理是由特殊到特殊的推理类比推理的思维过程：观察、比较联想、类推猜测新的结论2演绎推理根据一般性的真命题(或逻辑规则)导出特殊性命题为真的推理叫做演绎推理 演绎推理是由一般性命题到特殊性命题的推理(1)演绎推理的特点当前提为真时，结论必然为真(2)演绎推理的一般模式“三段论”大前提已知的一般原理；3小前提所研究的特殊情况；结论根据一般原理，对特殊情

5、况做出的判断3直接证明从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性的证明称为直接证明综合法和分析法是直接证明中最基本的两种方法，也是解决数学问题时常用的思维方法(1)综合法从已知条件和某些数学定义、公理、定理等出发，经过逐步的推理论证，最后达到待证的结论，这种证明方法叫综合法也叫顺推证法或由因导果法(2)分析法从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知的条件、定理、定义、公理等)为止这种证明方法叫分析法也叫逆推证法或执果索因法4间接证明(1)反证法的定义一般地，由证明 pq 转向证明：qrt，t 与假设

6、矛盾，或与某个真命题矛盾从而判断q 为假，推出 q 为真的方法，叫做反证法(2)反证法的特点先假设原命题不成立，再在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、公式或已被证明了的结论，或与公认的简单事实等矛盾5数学归纳法(理)一个与自然数相关的命题，如果(1)当 n 取第一值 n0时命题成立；(2)在假设当 nk(kN，且 kn0)时命题成立的前提下，推出当 nk1 时题命题也成立，那么可以断定，这个命题对 n 取第一个值后面的所有正整数成立高频考点一、程序框图高频考点一、程序框图例 1【2019 年高考天津卷理数】阅读下边的程序框图，运行相应的程序

7、，输出 S 的值为4A5B8C24D29【变式探究】【2017 课标 1，理 8】右面程序框图是为了求出满足 3n2n1000 的最小偶数 n，那么在和两个空白框中，可以分别填入AA1 000 和 n=n+1BA1 000 和 n=n+2CA1 000 和 n=n+1DA1 000 和 n=n+2【变式探究】执行右面的程序框图,如果输入的011xyn，,则输出 x,y 的值满足（A）2yx（B）3yx（C）4yx（D）5yx5【变式探究】执行如图所示的程序框图，输出 S 的值为()A32B.32C12D.12高频考点二高频考点二复数的概念复数的概念例 2【2019 年高考北京卷理数】已知复数2

8、iz，则z zA3B5C3D5【变式探究】已知aR,i 是虚数单位，若3,4zai z z，则 a=（A）1 或-1（B）7-7或（C）-3（D）36【变式探究】若i1 2z ，则4i1zz（）(A)1(B)-1(C)i(D)i【变式探究】设 i 是虚数单位，则复数2i1i在复平面内所对应的点位于()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限高频考点三高频考点三复数的四则运算复数的四则运算例 3【2019 年高考全国卷理数】若(1i)2iz，则 z=A1 i B1 i C1 iD1 i【变式探究】31ii（）A1 2iB1 2iC2iD2 i【变式探究】复数 i(2i)()A12iB12iC12

9、iD12i高频考点四、类比推理高频考点四、类比推理例 4、甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩。老师说：你们四人中有 2 位优秀，2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩。看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩。根据以上信息，则（）A.乙可以知道四人的成绩B.丁可以知道四人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩【变式探究】在 RtABC 中，CACB，斜边 AB 上的高为 h1，则1h211CA21CB2；类比此性质，如图，在四面体 PABC 中，若 PA、PB、PC 两两垂直，底面 ABC 上的高为 h，则得到的正确结论为_【

10、变式探究】在平面直角坐标系中，设ABC 的顶点分别为 A(0，a)、B(b,0)、C(c,0)，点 P(0，p)在线7段 AO 上(异于端点)，设 a、b、c、p 均为非零实数，直线 BP、CP 分别交 AC、AB 于点 E、F，一同学已正确算出 OE 的方程：(1b1c)x(1p1a)y0，则 OF 的方程为：(_)x(1p1a)y0.高频考点五、直接证明与间接证明高频考点五、直接证明与间接证明例 5、若数列 an：a1，a2，an(n2)满足|ak1ak|1(k1,2，n1)，则称 an为 E 数列记 S(an)a1a2an.(1)写出一个满足 a1a50，且 S(A5)0 的 E 数列

11、A5；(2)若 a112，n2000，证明：E 数列 an是递增数列的充要条件是 an2011.【变式探究】已知数列an满足：a112，31an11an21an1an1，anan10 且b1，b、r 均为常数)的图象上(1)求 r 的值；(2)当 b2 时，记 bn2(log2an1)(nN*)，证明对任意的 nN*，不等式b11b1b21b2bn1bn n1成立1【2019 年高考天津卷理数】阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出 S 的值为8A5B8C24D292【2019 年高考北京卷理数】执行如图所示的程序框图，输出的 s 值为A1B2C3D43【2019 年高考全国卷理数】如图是求

12、112122的程序框图，图中空白框中应填入9A12AAB12AAC112AAD112AA 4【2019 年高考全国卷理数】执行下边的程序框图，如果输入的为 001，则输出s的值等于A4122B5122C6122D71225【2019 年高考江苏卷】下图是一个算法流程图，则输出的 S 的值是_101【2019 年高考北京卷理数】已知复数2iz，则z zA3B5C3D52【2019 年高考全国卷理数】设复数 z 满足=1iz，z 在复平面内对应的点为(x，y)，则A22+11()xyB221(1)xyC22(1)1yx D22(+1)1yx 3【2019 年高考全国卷理数】设 z=3+2i，则在复

13、平面内z对应的点位于A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限4【2019 年高考全国卷理数】若(1i)2iz，则 z=A1 i B1 i C1 iD1 i5【2019 年高考天津卷理数】i是虚数单位，则5|ii|1的值为_6【2019 年高考浙江卷】复数11iz（i为虚数单位），则|z=_7【2019 年高考江苏卷】已知复数(2i)(1i)a 的实部为 0，其中i为虚数单位，则实数 a 的值是_1.（2018 年天津卷）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入 N 的值为 20，则输出 T 的值为11A.1B.2C.3D.42.（2018 年江苏卷）一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后

14、输出的 S 的值为_3.（2018 年北京卷）执行如图所示的程序框图，输出的 s 值为12A.B.C.D.4.（2018 年全国卷理数）为计算，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入A.B.C.D.5.（2018 年全国卷理数）A.B.C.D.6.（2018 年浙江卷）复数(i 为虚数单位)的共轭复数是A.1+iB.1iC.1+iD.1i137.（2018 年全国 I 卷理数）设，则A.B.C.D.8.（2018 年全国卷理数）A.B.C.D.9.（2018 年北京卷）在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限10.（2018 年江苏卷）若复数 z

15、 满足，其中 i 是虚数单位，则 z 的实部为_11.（2018 年天津卷）已知圆的圆心为 C，直线(为参数)与该圆相交于 A，B 两点，则的面积为_.12.（2018 年天津卷）i 是虚数单位，复数_.1.【2017 课标 1，理 3】设有下面四个命题1p：若复数z满足1zR，则zR；2p：若复数z满足2z R，则zR；3p：若复数12,z z满足1 2z z R，则12zz；4p：若复数zR，则z R.其中的真命题为A.13,p pB14,p pC23,ppD24,pp2.【2017 课标 II，理 1】31ii（）A1 2iB1 2iC2iD2 i3.【2017 山东，理 2】已知aR,

16、i 是虚数单位，若3,4zai z z，则 a=（A）1 或-1（B）7-7或（C）-3（D）34.【2017 课标 3，理 2】设复数 z 满足(1+i)z=2i，则z=A12B22C2D2145.【2017 课标 II，理 8】执行右面的程序框图，如果输入的1a ，则输出的S（）A2B3C4D56.【2017 课标 1，理 8】右面程序框图是为了求出满足 3n2n1000 的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入AA1 000 和 n=n+1BA1 000 和 n=n+2CA1 000 和 n=n+1DA1 000 和 n=n+2157.【2017 天津，理 3】阅读右面的程序框图

17、，运行相应的程序，若输入N的值为 24，则输出N的值为（A）0（B）1（C）2（D）38.【2017 山东，理 6】执行两次右图所示的程序框图，若第一次输入的x的值为7，第二次输入的x的值为9，则第一次、第二次输出的a的值分别为（A）0，0（B）1，1（C）0，1（D）1，09.【2017 北京，理 2】若复数1 iai在复平面内对应的点在第二象限，则实数 a 的取值范围是（A）（，1）（B）（，1）（C）（1，+）（D）（1，+）10.【2017 天津，理 9】已知aR，i 为虚数单位，若i2ia 为实数，则 a 的值为.11.【2017 江苏，2】已知复数(1i)(12i),z 其中 i

18、是虚数单位，则z的模是.12.【2017 江苏，4】右图是一个算法流程图，若输入x的值为116,则输出的y的值是.161.【2016 高考新课标 1卷】执行右面的程序框图,如果输入的011xyn，,则输出 x,y 的值满足（A）2yx（B）3yx（C）4yx（D）5yx2.【2016 高考新课标 3 理数】执行下图的程序框图，如果输入的46ab，那么输出的n（）17（A）3（B）4（C）5（D）63.【2016 年高考四川理数】秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的数书九章中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法

19、求某多项式值的一个实例，若输入 n，x 的值分别为 3，2，则输出 v 的值为（A）9（B）18（C）20（D）354.【2016 高考新课标 2 理数】中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，下图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的2,2xn，依次输入的a为 2，2，5，则输出的s（）18（A）7（B）12（C）17（D）345.【2016 年高考北京理数】执行如图所示的程序框图，若输入的a值为 1，则输出的k值为（）A.1B.2C.3D.46.【2016 高考山东理数】执行右边的程序框图，若输入的 a,b 的值分别为 0 和 9，则输出的 i 的值为_.197.【2016 高考天津

20、理数】阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出 S 的值为（）（A）2（B）4（C）6（D）88.【2016 高考江苏卷】如图是一个算法的流程图，则输出的 a 的值是.201.【2016 新课标理】设其中x,y实数,则i=xy()（A）1（B）2（C）3（D）22.【2016 高考新课标 3 理数】若i1 2z ，则4i1zz（）(A)1(B)-1(C)i(D)i 3.【2016 高考新课标 2 理数】已知(3)(1)izmm在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是（）（A）(31)，（B）(13)，（C）(1,)+（D）(3)-，4.【2016 年高考北京理数】设aR，若复数(1

21、)()i ai在复平面内对应的点位于实轴上，则a _.5.【2016 高考山东理数】若复数 z 满足232i,zz其中 i 为虚数单位，则 z=（）（A）1+2i（B）12i（C）12i（D）12i 6.【2016 高考天津理数】已知,a bR，i 是虚数单位，若，则ab的值为_.7.【2016 高考江苏卷】复数(12i)(3i),z 其中 i 为虚数单位，则 z 的实部是_.21专题专题 18算法、复数算法、复数1.以客观题形式考查算法的基本逻辑结构，会与函数、数列、不等式、统计、概率等知识结合命题2.以客观题形式考查复数的运算、复数的相等、共轭复数和复数及其代数运算的几何意义，与其他知识较

22、少结合，应注意和三角函数结合的练习3.推理与证明在选择、填空、解答题中都有体现，但很少单独命题，若单独命题，一般以客观题形式考查归纳与类比4.通常是以数列、三角、函数、解析几何、立体几何等知识为载体，考查对推理与证明的掌握情况，把推理思路的探求、推理过程的严谨，推理方法的合理作为考查重点一、算法框图与复数一、算法框图与复数1.算法框图(1)程序框图是由一些图框和带箭头的流程线组成的，其中图框表示各种操作的类型，图框中的文字和符号表示操作的内容，带箭头的流程线表示操作的先后次序图框有输入、输出框、处理框、判断框、起止框四种(2)三种基本的算法结构依次进行多个处理的结构称为顺序结构先根据条件作出判

23、断，再决定执行哪一种操作的结构称为选择结构需要重复执行同一操作的结构称为循环结构2复数(1)复数的相关概念及分类定义：形如 abi(a、bR)的数叫复数，其中 a 为实部，b 为虚部；i 是虚数单位，且满足 i21.分类：设复数 zabi(a、bR)zRb0；z 为虚数b0，z 为纯虚数a0b0.共轭复数：复数 abi 的共轭复数为 abi.复数的模：复数 zabi 的模|z|a2b2.22(2)复数相等的充要条件abicdiac 且 bd(a、b、c、dR)特别地，abi0a0 且 b0(a、bR)(3)运算法则加减法：(abi)(cdi)(ac)(bd)i.乘法：(abi)(cdi)(ac

24、bd)(adbc)i.除法：(abi)(cdi)acbdbcadic2d2.(4)复数加减法的几何意义加法：若复数 z1、z2对应的向量OZ1、OZ2不共线，则复数 z1z2是以OZ1、OZ2为邻边的平行四边形的对角线所对应的复数减法：复数 z1z2是连接向量OZ1、OZ2的终点，并指向OZ1的终点的向量对应的复数二、推理与证明二、推理与证明1.合情推理(1)归纳推理根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这样性质的推理，叫做归纳推理，归纳是由特殊到一般的推理归纳推理的思维过程：实验观察概括、推广猜测一般性结论(2)类比推理根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性，

25、推测其中一类事物具有与另一类事物类似(或相同)的性质的推理叫做类比推理，类比推理是由特殊到特殊的推理类比推理的思维过程：观察、比较联想、类推猜测新的结论2演绎推理根据一般性的真命题(或逻辑规则)导出特殊性命题为真的推理叫做演绎推理 演绎推理是由一般性命题到特殊性命题的推理(1)演绎推理的特点当前提为真时，结论必然为真(2)演绎推理的一般模式“三段论”23大前提已知的一般原理；小前提所研究的特殊情况；结论根据一般原理，对特殊情况做出的判断3直接证明从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性的证明称为直接证明综合法和分析法是直接证明中最基本的两种方法，也是解决数学问题

26、时常用的思维方法(1)综合法从已知条件和某些数学定义、公理、定理等出发，经过逐步的推理论证，最后达到待证的结论，这种证明方法叫综合法也叫顺推证法或由因导果法(2)分析法从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知的条件、定理、定义、公理等)为止这种证明方法叫分析法也叫逆推证法或执果索因法4间接证明(1)反证法的定义一般地，由证明 pq 转向证明：qrt，t 与假设矛盾，或与某个真命题矛盾从而判断q 为假，推出 q 为真的方法，叫做反证法(2)反证法的特点先假设原命题不成立，再在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与

27、假设矛盾，或与定义、公理、定理、公式或已被证明了的结论，或与公认的简单事实等矛盾5数学归纳法(理)一个与自然数相关的命题，如果(1)当 n 取第一值 n0时命题成立；(2)在假设当 nk(kN，且 kn0)时命题成立的前提下，推出当 nk1 时题命题也成立，那么可以断定，这个命题对 n 取第一个值后面的所有正整数成立高频考点一、程序框图高频考点一、程序框图例 1【2019 年高考天津卷理数】阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出 S 的值为24A5B8C24D29【答案】B【解析】1,2Si；11,1 2 25,3jSi ；8,4Si，结束循环，输出 S=8故选 B【变式探究】【2017 课

28、标 1，理 8】右面程序框图是为了求出满足 3n2n1000 的最小偶数 n，那么在和两个空白框中，可以分别填入AA1 000 和 n=n+1BA1 000 和 n=n+2CA1 000 和 n=n+1DA1 000 和 n=n+225【答案】D【解析】由题意，因为321000nn，且框图中在“否”时输出，所以判定框内不能输入1000A，故填1000A，又要求n为偶数且初始值为 0，所以矩形框内填2nn，故选 D.【变式探究】执行右面的程序框图,如果输入的011xyn，,则输出 x,y 的值满足（A）2yx（B）3yx（C）4yx（D）5yx【答案】C【解析】当0,1,1xyn时，1 10,1

29、 1 12xy ，不满足2236xy；2 112,0,2 1222nxy ，不满足2236xy；13 133,2 36222nxy ，满足2236xy；输出3,62xy，则输出的,x y的值满足4yx，故选 C.【变式探究】执行如图所示的程序框图，输出 S 的值为()A32B.3226C12D.12【解析】每次循环的结果依次为：k2，k3，k4，k54，Ssin5612.选 D.【答案】D高频考点二高频考点二复数的概念复数的概念例 2【2019 年高考北京卷理数】已知复数2iz，则z zA3B5C3D5【答案】D【解析】由题2iz，则(2i)(2i)5z z，故选 D【变式探究】已知aR,i

30、是虚数单位，若3,4zai z z，则 a=（A）1 或-1（B）7-7或（C）-3（D）3【答案】A【解析】由3,4zai z z得234a，所以1a ，故选 A.【变式探究】若i1 2z ，则4i1zz（）(A)1(B)-1(C)i(D)i【答案】C【解析】4i4ii(12i)(12i)11zz，故选 C【变式探究】设 i 是虚数单位，则复数2i1i在复平面内所对应的点位于()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【解析】2i1i2i（1i）（1i）（1i）2i（1i）2i11i，其对应点坐标为(1，1)，位于第二象限，故选 B.【答案】B27高频考点三高频考点三复数的四则运算复数的四则

31、运算例 3【2019 年高考全国卷理数】若(1i)2iz，则 z=A1 i B1 i C1 iD1 i【答案】D【解析】()(2i2i 1 i1 i1 i1 i 1 i)()z 故选 D【变式探究】31ii（）A1 2iB1 2iC2iD2 i【答案】D【解析】由复数除法的运算法则有：3+13212iiiii，故选 D。【变式探究】复数 i(2i)()A12iB12iC12iD12i【解析】i(2i)2ii212i.【答案】A高频考点四、类比推理高频考点四、类比推理例 4、甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩。老师说：你们四人中有 2 位优秀，2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成

32、绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩。看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩。根据以上信息，则（）A.乙可以知道四人的成绩B.丁可以知道四人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩【答案】D【解析】四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，甲不知自己的成绩乙丙必有一优一良,(若为两优,甲会知道自己的成绩;若是两良,甲也会知道自己的成绩)乙看到了丙的成绩，知自己的成绩丁看到甲、丁也为一优一良，丁知自己的成绩，28故选：D.【变式探究】在 RtABC 中，CACB，斜边 AB 上的高为 h1，则1h211CA21CB2；类比此性质，如图，在四面体 PABC 中，若 PA、PB、

33、PC 两两垂直，底面 ABC 上的高为 h，则得到的正确结论为_【答案】1h21PA21PB21PC2【解析】本题考查了合情推理的能力连接 CO 并延长交 AB 于点 D，连接 PD，由已知可得 PCPD，在直角三角形 PDC 中，DChPDPC，则 PD2PC2hPDPC，所以1h2PD2PC2PD2PC21PC21PD2.容易知道 AB平面 PDC，所以 ABPD，在直角三角形 APB 中，ABPDPAPB，所以 PA2PB2PDPAPB，1PD2PA2PB2PA2PB21PA21PB2，故1h21PA21PB21PC2.(也可以由等体积法得到)【变式探究】在平面直角坐标系中，设ABC 的

34、顶点分别为 A(0，a)、B(b,0)、C(c,0)，点 P(0，p)在线段 AO 上(异于端点)，设 a、b、c、p 均为非零实数，直线 BP、CP 分别交 AC、AB 于点 E、F，一同学已正确算出 OE 的方程：(1b1c)x(1p1a)y0，则 OF 的方程为：(_)x(1p1a)y0.29【答案】1c1b【解析】方法 1：类比法E 在 AC 上，OE 的方程为(1b1c)x(1p1a)y0.F 在 AB 上，它们的区别在于 B、C 互换因而 OF 的方程应为(1c1b)x(1p1a)y0.括号内应填：1c1b.方法 2：画草图如右，由对称性可猜想填1c1b.事实上，由截距式可得直线

35、AB：xbya1，直线 AP：xcyp1，两式相减得(1c1b)x(1p1a)y0，显然直线 AB 与 CP 的交点 F 满足此方程，又原点 O 也满足此方程，故为所求直线 OF 的方程高频考点五、直接证明与间接证明高频考点五、直接证明与间接证明例 5、若数列 an：a1，a2，an(n2)满足|ak1ak|1(k1,2，n1)，则称 an为 E 数列记 S(an)a1a2an.(1)写出一个满足 a1a50，且 S(A5)0 的 E 数列 A5；(2)若 a112，n2000，证明：E 数列 an是递增数列的充要条件是 an2011.【解析】(1)0,1,2,1,0 是一个满足条件的 E 数

36、列 A5.(答案不唯一.0,1,0,1,0 也是一个满足条件的 E 数列 A5)(2)必要性：因为 E 数列 an是递增数列，所以 ak1ak1(k1,2，1999)所以 an是首项为 12，公差为 1 的等差数列所以 a200012(20001)12011.30充分性：由于 a2000a19991，a1999a19981，a2a11，所以 a2000a11999，即 a2000a11999.又因为 a112，a20002011，所以 a2000a11999.故 ak1ak10(k1,2，1999)，即 an是递增数列综上，结论得证【变式探究】已知数列an满足：a112，31an11an21a

37、n1an1，anan10，anan10，故 an(1)n113423n1.bna2n1a2n13423n13423n11423n1.(2)用反证法证明31假设数列bn中存在三项 br、bs、bt(rst)按某种顺序成等差数列，由于数列bn是首项为14，公比为23的等比数列，于是有 btbsbr，则只可能有 2bsbrbt成立21423s11423r11423t1.两边同乘以 3t121r，化简得 3tr2tr22sr3ts，由于 rsa1，即 a22.令 n1,2a1a2，所以 a24，所以 a2(2,4(2)数列an不能为等比数列用反证法证明：假设数列an是公比为 q 的等比数列，a120，

38、an2qn1.因为an单调递增，所以 q1.因为对任意 nN*，(n1)anna2n都成立所以 nN*,11nqn.因为 q1，所以n0N*，使得当 nn0时，qn2.因为 11n2(nN*)所以n0N*，当 nn0时，qn11n，与矛盾，故假设不成立(3)证明：观察：b1c13，b2154c292，b313532c3214，猜想：bncn.用数学归纳法证明：32当 n1 时，b1c13，故 b1c1成立；假设当 nk 时，bkck成立；当 nk1 时，bk1bk(112k1)ck(112k1)6(112k)(112k1)6(112k112k122k1)6(112k1122k1)6(112k1

39、)Ck1，所以 bk1ck1.根据可知，对任意 nN*，都有 bncn，即 bncn0.由已知得，a2n(11n)an.所以 a2n(112n1)a2n1(112n1)(112)(11)a1.所以当 n2 时，a2n2bn12cn112(112n1)12.因为 a2a412.所以对任意 nN*，a2n12.对任意 nN*，存在 mN*，使得 n2m，因为数列an单调递增，所以 ana2m12，an120 且b1，b、r 均为常数)的图象上(1)求 r 的值；(2)当 b2 时，记 bn2(log2an1)(nN*)，证明对任意的 nN*，不等式b11b1b21b2bn1bn n1成立【解析】(

40、1)由题意：Snbnr，当 n2 时，Sn1bn1r.所以 anSnSn1bn1(b1)，由于 b0 且 b1，所以 n2 时，an是以 b 为公比的等比数列又 a1br，a2b(b1)，a2a1b，即b(b1)brb，解得 r1.33(2)证明：由于 b2，则根据(1)得 an2n1，因此 bn2n(nN*)，所证不等式为2124142n12n n1当 n1 时，左式32，右式 2.左式右式，所以结论成立，假设 nk(kN*)时结论成立，即2124142k12k k1，则当 nk1 时，2124142k12k2k32(k1)k12k32(k1)2k32 k1要证当 nk1 时结论成立，只需证

41、2k32 k1 k2，即证2k32(k1)(k2)，由基本值不等式2k32(k1)(k2)2(k1)(k2)成立，所以，当 nk1 时，结论成立由可知，nN*时，不等式b11b1b21b2bn1bn n1成立1【2019 年高考天津卷理数】阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出 S 的值为A5B834C24D29【答案】B【解析】1,2Si；11,1 2 25,3jSi ；8,4Si，结束循环，输出 S=8故选 B2【2019 年高考北京卷理数】执行如图所示的程序框图，输出的 s 值为A1B2C3D4【答案】B【解析】初始：1s，1k，运行第一次，22 123 1 2s，2k，运行第二次，2

42、2 223 22s，3k，运行第三次，22 223 22s，结束循环，输出2s，故选 B353【2019 年高考全国卷理数】如图是求112122的程序框图，图中空白框中应填入A12AAB12AAC112AAD112AA【答案】A【解析】初始：1,122Ak，因为第一次应该计算1122=12A，1kk=2；执行第 2 次，22k，因为第二次应该计算112122=12A，1kk=3，结束循环，故循环体为12AA，故选 A4【2019 年高考全国卷理数】执行下边的程序框图，如果输入的为 001，则输出s的值等于36A4122B5122C6122D7122【答案】C【解析】输入的为0.01，11,0

43、1,0.01?2xsx不满足条件；110 1,0.01?24sx 不满足条件；61110 1,0.00781250.01?22128Sx 满足条件，结束循环；输出676111112(1)22222S ，故选 C5【2019 年高考江苏卷】下图是一个算法流程图，则输出的 S 的值是_37【答案】5【解析】执行第一次，1,1422xSSx 不成立，继续循环，12xx；执行第二次，3,2422xSSx不成立，继续循环，13xx；执行第三次，3,342xSSx不成立，继续循环，14xx；执行第四次，5,442xSSx成立，输出5.S 1【2019 年高考北京卷理数】已知复数2iz，则z zA3B5C3

44、D5【答案】D【解析】由题2iz，则(2i)(2i)5z z，故选 D2【2019 年高考全国卷理数】设复数 z 满足=1iz，z 在复平面内对应的点为(x，y)，则A22+11()xyB221(1)xyC22(1)1yx D22(+1)1yx【答案】C【解析】由题可得i,i(1)i,zxy zxy 22i(1)1,zxy 则22(1)1xy故选 C3【2019 年高考全国卷理数】设 z=3+2i，则在复平面内z对应的点位于A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】C【解析】由32i,z 得32i,z 则32iz 对应的点（-3，-2）位于第三象限故选 C4【2019 年高考全国卷理数】

45、若(1i)2iz，则 z=A1 i B1 i C1 iD1 i【答案】D38【解析】()(2i2i 1 i1 i1 i1 i 1 i)()z 故选 D5【2019 年高考天津卷理数】i是虚数单位，则5|ii|1的值为_【答案】13【解析】5i(5i)(1 i)|23i|131 i(1 i)(1 i)6【2019 年高考浙江卷】复数11iz（i为虚数单位），则|z=_【答案】22【解析】由题可得112|1 i|22z 7【2019 年高考江苏卷】已知复数(2i)(1i)a 的实部为 0，其中i为虚数单位，则实数 a 的值是_【答案】2【解析】2(2i)(1 i)i 2i 2i2(2)iaaaaa

46、，令20a，解得2a 1.（2018 年天津卷）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入 N 的值为 20，则输出 T 的值为39A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】结合流程图运行程序如下：首先初始化数据：，结果为整数，执行，此时不满足；，结果不为整数，执行，此时不满足；，结果为整数，执行，此时满足；跳出循环，输出，本题选择 B 选项.2.（2018 年江苏卷）一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的 S 的值为_40【答案】8【解析】由伪代码可得，因为，所以结束循环，输出3.（2018 年北京卷）执行如图所示的程序框图，输出的 s 值为A.B.C.D.【答案】B【解析】初始化

47、数值，循环结果执行如下：第一次：不成立；第二次：成立，循环结束，输出，故选 B.414.（2018 年全国卷理数）为计算，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入A.B.C.D.【答案】B【解析】由得程序框图先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减.因此在空白框中应填入，选 B.5.（2018 年全国卷理数）A.B.C.D.【答案】D【解析】，故选 D.6.（2018 年浙江卷）复数(i 为虚数单位)的共轭复数是A.1+iB.1iC.1+iD.1i【答案】B【解析】，共轭复数为，选 B.7.（2018 年全国 I 卷理数）设，则A.B.C.D.【答案】C【解析】因为，所以，故选 C.428.（2

48、018 年全国卷理数）A.B.C.D.【答案】D【解析】选 D.9.（2018 年北京卷）在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】的共轭复数为，对应点为，在第四象限，故选 D.10.（2018 年江苏卷）若复数 z 满足，其中 i 是虚数单位，则 z 的实部为_【答案】2【解析】因为，则，则 z 的实部为 2.11.（2018 年天津卷）已知圆的圆心为 C，直线(为参数)与该圆相交于 A，B 两点，则的面积为_.【答案】【解析】由题意可得圆的标准方程为：，直线的直角坐标方程为：，即，则圆心到直线的距离：，由弦长公式可得：，则.12

49、.（2018 年天津卷）i 是虚数单位，复数_.【答案】4i【解析】由复数的运算法则得：.431.【2017 课标 1，理 3】设有下面四个命题1p：若复数z满足1zR，则zR；2p：若复数z满足2z R，则zR；3p：若复数12,z z满足1 2z z R，则12zz；4p：若复数zR，则z R.其中的真命题为A.13,p pB14,p pC23,ppD24,pp【答案】B【解析】令i,zab a bR，则由2211iiabRzabab得0b，所以zR，故1p正确；当iz 时，因为22i1zR ，而izR 知，故2p不正确；当12izz时，满足121zzR ，但12zz，故3p不正确；对于4

50、p，因为实数的共轭复数是它本身，也属于实数，故4p正确，故选 B.2.【2017 课标 II，理 1】31ii（）A1 2iB1 2iC2iD2 i【答案】D【解析】由复数除法的运算法则有：3+13212iiiii，故选 D。3.【2017 山东，理 2】已知aR,i 是虚数单位，若3,4zai z z，则 a=（A）1 或-1（B）7-7或（C）-3（D）3【答案】A【解析】由3,4zai z z得234a，所以1a ，故选 A.4.【2017 课标 3，理 2】设复数 z 满足(1+i)z=2i，则z=A12B22C2D2【答案】C【解析】由题意可得：21izi，由复数求模的法则：1121