数学（理）知识清单-专题11 空间几何体（考点解读）（原卷+解析版）.pdf

《数学（理）知识清单-专题11 空间几何体（考点解读）（原卷+解析版）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学（理）知识清单-专题11 空间几何体（考点解读）（原卷+解析版）.pdf（41页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、1专题专题 11空间几何体空间几何体1以选择、填空题形式考查空间位置关系的判断，及文字语言、图形语言、符号语言的转换，难度适中；2以熟悉的几何体为背景，考查多面体或旋转体的侧面积、表面积和体积计算，间接考查空间位置关系的判断及转化思想等，常以三视图形式给出几何体，辅以考查识图、用图能力及空间想象能力，难度中等3.几何体的三视图与表(侧)面积、体积计算结合；1柱体、锥体、台体、球的结构特征名称几何特征棱柱有两个面互相平行(底面可以是任意多边形)；其余各面都是平行四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行棱锥有一个面是多边形(底面)；其余各面是有公共顶点的三角形棱台底面互相平行；所有侧棱延长后交

2、于一点(即原棱锥的顶点)圆柱有两个互相平行的圆面(底面)；有一个侧面是曲面(母线绕轴旋转一周形成的)，且母线与底面垂直圆台底面互相平行；有一个侧面是曲面，可以看成母线绕轴旋转一周形成的球有一个曲面是球面；有一个球心和一条半径长 R，球是一个几何体(包括内部)，可以看成半圆以它的直径所在直线为旋转轴旋转一周形成的22.柱体、锥体、台体、球的表面积与体积名称体积表面积棱柱V棱柱Sh(S 为底面积，h 为高)S棱柱2S底面S侧面棱锥V棱锥13Sh(S 为底面积，h 为高)S棱锥S底面S侧面棱台V棱台13h(S SSS)(S、S为底面积，h 为高)S棱台S上底S下底S侧面圆柱V 圆柱r2h(r 为底面

3、半径，h 为高)S 圆柱2rl2r2(r 为底面半径，l 为母线长)圆锥V 圆锥13r2h(r 为底面半径，h 为高)S圆锥rlr2(r为底面半径，l 为母线长)圆台V 圆台13h(r2rrr2)(r、r为底面半径，h 为高)S 圆台(rr)lr2r2球V 球43R3(R 为球的半径)S 球4R2(R 为球的半径)3.空间几何体的三视图和直观图(1)空间几何体的三视图三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从物体的正前方、正左方、正上方看到的物体轮廓线的正投影围成的平面图形，三视图的画法规则为“长对正、高平齐、宽相等”(2)空间几何体的直观图空间几何体直观图的画法常采用斜二测画法用斜二测画法画平面

4、图形的直观图规则为“轴夹角 45(或135)，平行长不变，垂直长减半”4几何体沿表面某两点的最短距离问题一般用展开图解决；不规则几何体求体积一般用割补法和等积法求解；三视图问题要特别留意各种视图与观察者的相对位置关系.【误区警示】1识读三视图时，要特别注意观察者的方位与三视图的对应关系和虚实线2注意复合体的表面积计算，特别是一个几何体切割去一部分后剩余部分的表面积计算要弄清增加和减少的部分3展开与折叠、卷起问题中，要注意平面图形与直观图中几何量的对应关系3高频考点一高频考点一三视图、直观图三视图、直观图例 1（2018 年北京卷）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为

5、A.1B.2C.3D.4【变式探究】【2017 课标 1】某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为 2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为A10B12C14D16【变式探究】下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）（A）20（B）24（C）28（D）324【变式探究】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是()A2 5B4 5C22 5D5高频考点二高频考点二几何体的表面积几何体的表面积例 2(2019高考全国卷)学生到工厂劳动实践，利用 3D 打印技术制作模型如图，

6、该模型为长方体ABCDA1B1C1D1挖去四棱锥 OEFGH 后所得的几何体，其中 O 为长方体的中心，E，F，G，H 分别为所在棱的中点，ABBC6 cm，AA14 cm.3D 打印所用原料密度为 0.9 g/cm3.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为_g.【举一反三】(2018高考全国卷)已知圆锥的顶点为 S，母线 SA，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为 45.若SAB 的面积为 5 15，则该圆锥的侧面积为_【变式探究】(1)已知某几何体是一个平面将一正方体截去一部分后所得，该几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A202 3B182 3C18 3D

7、20 3(2)已知某几何体的三视图如图，则该几何体的表面积是()5A3943 3B4543 3C232D494【变式探究】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A3B4C24D34高频考点三高频考点三几何体的体积几何体的体积例 3（2018 年江苏卷）如图所示，正方体的棱长为 2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为_【变式探究】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()6A.13B.23C.132D.232【变式探究】已知一所有棱长都是 2的三棱锥，则该三棱锥的体积为_高频考点四高频考点四与球有关的切、接问题与球有关的切、接问题例 4(2019高考全国卷)已知三棱锥 P

8、ABC 的四个顶点在球 O 的球面上，PAPBPC，ABC 是边长为 2 的正三角形，E，F 分别是 PA，AB 的中点，CEF90，则球 O 的体积为()A8 6B4 6C2 6D 6【举一反三】(2018高考全国卷)设 A，B，C，D 是同一个半径为 4 的球的球面上四点，ABC 为等边三角形且其面积为 9 3，则三棱锥 DABC 体积的最大值为()A12 3B18 3C24 3D54 3【变式探究】(2017高考全国卷)已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为()AB34C2D4【变式探究】如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为

9、菱形，PB底面 ABCD，O 为对角线 AC 与 BD的交点，若 PB1，APBBAD3，则三棱锥 PAOB 的外接球的体积是_【举一反三】在四棱锥 PABCD 中，四边形 ABCD 是边长为 2a 的正方形，PD底面 ABCD，且 PD2a，若在这个四棱锥内放一个球，则该球半径的最大值为_71【2019 年高考全国卷理数】已知三棱锥 PABC 的四个顶点在球 O 的球面上，PA=PB=PC，ABC是边长为 2 的正三角形，E，F 分别是 PA，AB 的中点，CEF=90，则球 O 的体积为A68B64C62D62【2019 年高考浙江卷】祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，

10、则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式 V柱体=Sh，其中 S 是柱体的底面积，h 是柱体的高若某柱体的三视图如图所示（单位：cm），则该柱体的体积（单位：cm3）是A158 B162C182D3243【2019 年高考全国卷理数】学生到工厂劳动实践，利用 3D 打印技术制作模型.如图，该模型为长方体1111ABCDABC D挖去四棱锥 OEFGH 后所得的几何体，其中 O 为长方体的中心，E，F，G，H 分别为所在棱的中点，16cm4cmAB=BC=,AA=，3D 打印所用原料密度为 0.9 g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为_g.84【2019 年高

11、考北京卷理数】某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示如果网格纸上小正方形的边长为 1，那么该几何体的体积为_5【2019 年高考天津卷理数】已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为5若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为_6【2019 年高考江苏卷】如图，长方体1111ABCDABC D的体积是 120，E 为1CC的中点，则三棱锥EBCD 的体积是.1.（2018 年北京卷）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为A.1B.29C.3D.42.（2018 年全国卷）中国古建筑借助榫

12、卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是A.AB.BC.CD.D3.（2018 年浙江卷）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是A.2B.4C.6D.84.（2018 年浙江卷）已知四棱锥 SABCD 的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段 AB 上的点（不含端点），设 SE 与 BC 所成的角为1，SE 与平面 ABCD 所成的角为2，二面角 SABC 的平面角为3，则A.123B.321C.132D.2315.（201

13、8 年全国 I 卷）已知正方体的棱长为 1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为A.B.C.D.6.（2018 年全国 I 卷）某圆柱的高为 2，底面周长为 16，其三视图如右图圆柱表面上的点在正视6.（2018 年全国 I 卷）某圆柱的高为 2，底面周长为 16，其三视图如右图圆柱表面上的点在正视图上10的对应点为，圆柱表面上的点 在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到 的路径中，最短路径的长度为A.B.C.D.27.（2018 年全国卷）设是同一个半径为 4 的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为A.B.C.D.8.（201

14、8 年全国卷）在长方体中，则异面直线与所成角的余弦值为A.B.C.D.9.（2018 年天津卷）已知正方体的棱长为 1，除面外，该正方体其余各面的中心分别为点 E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥的体积为_.10.（2018 年江苏卷）如图所示，正方体的棱长为 2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为_11.（2018 年全国卷）已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为 45，若的面积为，则该圆锥的侧面积为_111.【2017 课标 1，理 7】某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为 2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体

15、的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为A10B12C14D162.【2017 课标 II，理 4】如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（）A90B63C42D363.【2017 北京，理 7】某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（A）32（B）23（C）22（D）2124.【2017 山东，理 13】由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如右图，则该几何体的体积为.5.【2017 课标 1，理 16】如图，圆形纸片的圆心为 O，半径为 5 cm，该纸片上的等边三角形 AB

16、C 的中心为 O.D、E、F 为圆 O 上的点，DBC，ECA，FAB 分别是以 BC，CA，AB 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以 BC，CA，AB 为折痕折起DBC，ECA，FAB，使得 D、E、F 重合，得到三棱锥.当ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_.1、【2016 高考新课标 1 卷】如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是283,则它的表面积是（）（A）17（B）18（C）20（D）282.【2016 高考新课标 2】下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）13（A）2

17、0（B）24（C）28（D）323.【2016 年高考北京】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A.16B.13C.12D.14.【2016 高考新课标 3】如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）（A）18 36 5（B）54 18 5（C）90（D）81145.【2016 高考山东】一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为（）（A）1233（B）1233（C）1236（D）21615专题专题 11空间几何体空间几何体1以选择、填空题形式考查空间位置关系的判断，及文字语言、图形语言、符号语言的转换，难

18、度适中；2以熟悉的几何体为背景，考查多面体或旋转体的侧面积、表面积和体积计算，间接考查空间位置关系的判断及转化思想等，常以三视图形式给出几何体，辅以考查识图、用图能力及空间想象能力，难度中等3.几何体的三视图与表(侧)面积、体积计算结合；1柱体、锥体、台体、球的结构特征名称几何特征棱柱有两个面互相平行(底面可以是任意多边形)；其余各面都是平行四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行棱锥有一个面是多边形(底面)；其余各面是有公共顶点的三角形棱台底面互相平行；所有侧棱延长后交于一点(即原棱锥的顶点)圆柱有两个互相平行的圆面(底面)；有一个侧面是曲面(母线绕轴旋转一周形成的)，且母线与底面垂直圆

19、台底面互相平行；有一个侧面是曲面，可以看成母线绕轴旋转一周形成的球有一个曲面是球面；有一个球心和一条半径长 R，球是一个几何体(包括内部)，可以看成半圆以它的直径所在直线为旋转轴旋转一周形成的162.柱体、锥体、台体、球的表面积与体积名称体积表面积棱柱V棱柱Sh(S 为底面积，h 为高)S棱柱2S底面S侧面棱锥V棱锥13Sh(S 为底面积，h 为高)S棱锥S底面S侧面棱台V棱台13h(S SSS)(S、S为底面积，h 为高)S棱台S上底S下底S侧面圆柱V 圆柱r2h(r 为底面半径，h 为高)S 圆柱2rl2r2(r 为底面半径，l 为母线长)圆锥V 圆锥13r2h(r 为底面半径，h 为高)

20、S圆锥rlr2(r为底面半径，l 为母线长)圆台V 圆台13h(r2rrr2)(r、r为底面半径，h 为高)S 圆台(rr)lr2r2球V 球43R3(R 为球的半径)S 球4R2(R 为球的半径)3.空间几何体的三视图和直观图(1)空间几何体的三视图三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从物体的正前方、正左方、正上方看到的物体轮廓线的正投影围成的平面图形，三视图的画法规则为“长对正、高平齐、宽相等”(2)空间几何体的直观图空间几何体直观图的画法常采用斜二测画法用斜二测画法画平面图形的直观图规则为“轴夹角 45(或135)，平行长不变，垂直长减半”4几何体沿表面某两点的最短距离问题一般用展开图解

21、决；不规则几何体求体积一般用割补法和等积法求解；三视图问题要特别留意各种视图与观察者的相对位置关系.【误区警示】1识读三视图时，要特别注意观察者的方位与三视图的对应关系和虚实线2注意复合体的表面积计算，特别是一个几何体切割去一部分后剩余部分的表面积计算要弄清增加和减少的部分3展开与折叠、卷起问题中，要注意平面图形与直观图中几何量的对应关系17高频考点一高频考点一三视图、直观图三视图、直观图例 1（2018 年北京卷）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】由三视图可得四棱锥，在四棱锥中，由勾股定理可知：，则在四棱锥中，直角三角形

22、有：共三个，故选 C。【变式探究】【2017 课标 1】某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为 2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为18A10B12C14D16【答案】B【解析】由题意该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成，如下图，则该几何体各面内只有两个相同的梯形，则这些梯形的面积之和为12242122，故选 B.【变式探究】下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）（A）20（B）24（C）28（D）32【答案】C【解析】由题意可知，圆柱的侧面积为12 2 416

23、S ，圆锥的侧面积为2 2 48S ，圆柱的底面面积为23 24S，故该几何体的表面积为12328SSSS，故选 C.【变式探究】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是()19A2 5B4 5C22 5D5【解析】该三棱锥的直观图如图所示：过 D 作 DEBC，交 BC 于 E，连接 AE，则 BC2，EC1，AD1，ED2，S表SBCDSACDSABDSABC122212 5112 51122 522 5.【答案】C高频考点二高频考点二几何体的表面积几何体的表面积例 2(2019高考全国卷)学生到工厂劳动实践，利用 3D 打印技术制作模型如图，该模型为长方体ABCDA1B1C1D1挖

24、去四棱锥 OEFGH 后所得的几何体，其中 O 为长方体的中心，E，F，G，H 分别为所在棱的中点，ABBC6 cm，AA14 cm.3D 打印所用原料密度为 0.9 g/cm3.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为_g.【解析】由题易得长方体 ABCDA1B1C1D1的体积为 664144(cm3)，四边形 EFGH 为平行四边形，如图所示，连接 GE，HF，易知四边形 EFGH 的面积为矩形 BCC1B1面积的一半，即126412(cm2)，所以V四棱锥OEFGH1331212(cm3)，所以该模型的体积为 14412132(cm3)，所以制作该模型所需原料的质量为 1320.911

25、8.8(g)20【答案】118.8【举一反三】(2018高考全国卷)已知圆锥的顶点为 S，母线 SA，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为 45.若SAB 的面积为 5 15，则该圆锥的侧面积为_【解析】如图所示，设 S 在底面的射影为 S，连接 AS，SS.SAB 的面积为12SASBsinASB12SA2 1cos2ASB1516SA25 15，所以 SA280，SA4 5.因为 SA 与底面所成的角为 45，所以SAS45，ASSAcos 454 5222 10.所以底面周长 l2AS4 10，所以圆锥的侧面积为124 54 1040 2.【答案】40 2【变式探究】(1

26、)已知某几何体是一个平面将一正方体截去一部分后所得，该几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A202 3B182 3C18 3D20 3(2)已知某几何体的三视图如图，则该几何体的表面积是()21A3943 3B4543 3C232D494【解析】(1)如图所示，ABCDA1B1C1D1是棱长为 2 的正方体，根据三视图，还原几何体的直观图为图中多面体ABCDA1C1D1，其表面积为S正方形ABCDS正方形 ADD1A1S正方形 DCC1D1SABA1SA1C1D1SBCC1SA1BC1444222348182 3，故选 B(2)由三视图知，该几何体为圆锥挖掉14圆台后剩余部分，其表

27、面积 S表3422141212342241214212(12)3223943 3.故选 A【答案】(1)B(2)A【变式探究】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A3B4C24D3422【解析】由三视图可知原几何体为半圆柱，底面半径为 1，高为 2，则表面积为：S2121212212222434.【答案】D高频考点三高频考点三几何体的体积几何体的体积例 3（2018 年江苏卷）如图所示，正方体的棱长为 2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为_【答案】【解析】由图可知，该多面体为两个全等正四棱锥的组合体，正四棱锥的高为 1，底面正方形的边长等于，所以该多面体的体积为【变式探究

28、】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.13B.23C.132D.232【解析】这是一个三棱锥与半个圆柱的组合体，V12122131212113，选 A.【答案】A【变式探究】已知一所有棱长都是 2的三棱锥，则该三棱锥的体积为_23【解析】记所有棱长都是 2的三棱锥为 PABC，如图所示，取 BC 的中点 D，连接 AD，PD，作 POAD于点O，则PO平面ABC，且OP63 22 33，故三棱锥PABC的体积V13SABCOP1334(2)22 3313.【答案】13高频考点四高频考点四与球有关的切、接问题与球有关的切、接问题例 4(2019高考全国卷)已知三棱锥 PABC 的

29、四个顶点在球 O 的球面上，PAPBPC，ABC 是边长为 2 的正三角形，E，F 分别是 PA，AB 的中点，CEF90，则球 O 的体积为()A8 6B4 6C2 6D 6【答案】D【解析】因为点 E，F 分别为 PA，AB 的中点，所以 EFPB，因为CEF90，所以 EFCE，所以 PBCE.取 AC 的中点 D，连接 BD，PD，易证 AC平面 BDP，所以 PBAC，又 ACCEC，AC，CE平面 PAC，所以 PB平面 PAC，所以 PBPA，PBPC，因为 PAPBPC，ABC 为正三角形，所以 PAPC，即 PA，PB，PC 两两垂直，将三棱锥 PABC 放在正方体中如图所示

30、因为 AB2，所以该正方体的棱长为 2，所以该正方体的体对角线长为 6，所以三棱锥 PABC 的外接球的半径 R62，所以球 O 的体积 V43R343623 6，故选 D【举一反三】(2018高考全国卷)设 A，B，C，D 是同一个半径为 4 的球的球面上四点，ABC 为等边24三角形且其面积为 9 3，则三棱锥 DABC 体积的最大值为()A12 3B18 3C24 3D54 3【答案】B【解析】设等边三角形 ABC 的边长为 x，则12x2sin 609 3，得 x6.设ABC 的外接圆半径为 r，则2r6sin 60，解得 r2 3，所以球心到ABC 所在平面的距离 d 42(2 3)

31、22，则点 D 到平面 ABC 的最大距离 d1d46，所以三棱锥 DABC 体积的最大值 Vmax13SABC6139 3618 3.【变式探究】(2017高考全国卷)已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为()AB34C2D4【答案】B【解析】设圆柱的底面半径为 r，则 r21212234，所以，圆柱的体积 V34134，故选 B【变式探究】如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为菱形，PB底面 ABCD，O 为对角线 AC 与 BD的交点，若 PB1，APBBAD3，则三棱锥 PAOB 的外接球的体积是_【解析】因为四边形 ABC

32、D 是菱形，所以 ACBD，即 OAOB，因为 PB平面 ABCD，所以 PBAO，又 OBPBB，所以 AO平面 PBO，所以 AOPO，即PAO 是以 PA 为斜边的直角三角形，因为 PBAB，所以PAB 是以 PA 为斜边的直角三角形，所以三棱锥 PAOB 的外接球的直径为 PA，因为 PB1，APB3，所以 PA2，所以三棱锥 PAOB 的外接球的半径为 1，所以三棱锥 PAOB 的外接球的体积为43.【答案】43【举一反三】在四棱锥 PABCD 中，四边形 ABCD 是边长为 2a 的正方形，PD底面 ABCD，且 PD2a，若在这个四棱锥内放一个球，则该球半径的最大值为_25【解析

33、】方法一：由题意知，球内切于四棱锥 PABCD 时半径最大，设该四棱锥的内切球的球心为 O，半径为 r，连接 OA，OB，OC，OD，OP，则 VPABCDVOABCDVOPADVOPABVOPBCVOPCD，即132a2a2a134a22122a2a2122a2 2ar，解得 r(2 2)a.方法二：易知当球内切于四棱锥 PABCD，即与四棱锥 PABCD 各个面均相切时，球的半径最大，作出相切时的侧视图如图所示，设四棱锥 PABCD 内切球的半径为 r，则122a2a12(2a2a2 2a)r，解得 r(2 2)a.【答案】(2 2)a1【2019 年高考全国卷理数】已知三棱锥 PABC

34、的四个顶点在球 O 的球面上，PA=PB=PC，ABC是边长为 2 的正三角形，E，F 分别是 PA，AB 的中点，CEF=90，则球 O 的体积为A68B64C62D6【答案】D【解析】解法一：,PAPBPCABC为边长为 2 的等边三角形，PABC为正三棱锥，PBAC，又E，F分别为PA，AB的中点，EFPB，EFAC，又EFCE，,CEACCEF平面PAC，PB 平面PAC，2APBPAPBPC，PABC为正方体的一部分，22226R，即36446 6,62338RVR，故选 D26解法二：设2PAPBPCx，,E F分别为,PA AB的中点，EFPB，且12EFPBx，ABC为边长为

35、2 的等边三角形，3CF，又90CEF，213,2CExAEPAx，AEC中，由余弦定理可得2243cos2 2xxEACx，作PDAC于D，PAPC，D为AC的中点，1cos2ADEACPAx，2243142xxxx，221221222xxx，2PAPBPC，又=2AB BC AC，,PA PB PC两两垂直，22226R，62R，3446 66338VR，故选 D.2【2019 年高考浙江卷】祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式 V柱体=Sh，其中 S 是柱体的底面积，h 是柱体的高若某柱体的三视图如图所示（单位：

36、cm），则该柱体的体积（单位：cm3）是27A158 B162C182D324【答案】B【解析】由三视图得该棱柱的高为 6，底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一个上底为 4，下底为 6，高为 3，另一个的上底为 2，下底为 6，高为 3，则该棱柱的体积为264633616222.故选 B.3【2019 年高考全国卷理数】学生到工厂劳动实践，利用 3D 打印技术制作模型.如图，该模型为长方体1111ABCDABC D挖去四棱锥 OEFGH 后所得的几何体，其中 O 为长方体的中心，E，F，G，H 分别为所在棱的中点，16cm4cmAB=BC=,AA=，3D 打印所用原料密度为 0.9

37、g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为_g.【答案】118.8【解析】由题意得，214 642 312cm2EFGHS 四边形，四棱锥 OEFGH 的高为 3cm，3112 312cm3O EFGHV又长方体1111ABCDABC D的体积为324 6 6144cmV ，所以该模型体积为32144 12132cmO EFGHVVV，28其质量为0.9 132118.8g4【2019 年高考北京卷理数】某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示如果网格纸上小正方形的边长为 1，那么该几何体的体积为_【答案】40【解析】如图所示，在棱长为 4 的正方体中，三视图对应

38、的几何体为正方体去掉棱柱1111MPD ANQC B之后余下的几何体，则几何体的体积314242 4402V .5【2019 年高考天津卷理数】已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为5若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为_【答案】429【解析】由题意，四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为5，借助勾股定理，可知四棱锥的高为5 12.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，故圆柱的高为1，圆柱的底面半径为12，故圆柱的体积为21124.6【2019 年高考江苏卷】如图，长方体11

39、11ABCDABC D的体积是 120，E 为1CC的中点，则三棱锥EBCD 的体积是.【答案】10【解析】因为长方体1111ABCDABC D的体积为 120，所以1120AB BC CC，因为E为1CC的中点，所以112CECC，由长方体的性质知1CC 底面ABCD，所以CE是三棱锥EBCD的底面BCD上的高，所以三棱锥EBCD的体积1132VAB BC CE111111201032212AB BCCC.1.（2018 年北京卷）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为A.1B.230C.3D.4【答案】C【解析】由三视图可得四棱锥，在四棱锥中，由勾股定理可知：，则

40、在四棱锥中，直角三角形有：共三个，故选 C。2.（2018 年全国卷）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是A.AB.BC.CD.D【答案】A【解析】观擦图形图可知，俯视图为，故答案为 A.3.（2018 年浙江卷）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是31A.2B.4C.6D.8【答案】C【解析】根据三视图可得几何体为一个直四棱柱，高为 2，底面为直角梯形，上下底分别为 1，2，梯形的高为 2，因此几何体

41、的体积为选 C.4.（2018 年浙江卷）已知四棱锥 SABCD 的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段 AB 上的点（不含端点），设 SE 与 BC 所成的角为1，SE 与平面 ABCD 所成的角为2，二面角 SABC 的平面角为3，则A.123B.321C.132D.231【答案】D【解析】设 O 为正方形 ABCD 的中心，M 为 AB 中点，过 E 作 BC 的平行线 EF，交 CD 于 F，过 O 作ON 垂直 EF 于 N，连接 SO，SN，OM，则 SO 垂直于底面 ABCD，OM 垂直于 AB，因此从而因为，所以即，选 D.5.（2018 年全国 I 卷）已知正方体的棱长为

42、1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为A.B.C.D.【答案】A【解析】根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的，所以在正方体中，平面与线所成的角是相等的，所以平面与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的，同理平面也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等，要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个面与中间的，32且过棱的中点的正六边形，且边长为，所以其面积为，故选 A.6.（2018 年全国 I 卷）某圆柱的高为 2，底面周长为 16，其三视图如右图圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点 在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到 的路径

43、中，最短路径的长度为A.B.C.D.2【答案】B【解析】根据圆柱的三视图以及其本身的特征，可以确定点 M 和点 N 分别在以圆柱的高为长方形的宽，圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线的端点处，所以所求的最短路径的长度为，故选 B.7.（2018 年全国卷）设是同一个半径为 4 的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为A.B.C.D.【答案】B【解析】如图所示，点 M 为三角形 ABC 的重心，E 为 AC 中点，33当平面时，三棱锥体积最大此时，,点 M 为三角形 ABC 的重心中，有故选 B.8.（2018 年全国卷）在长方体中，则异面直线与所成角的余弦值为A

44、.B.C.D.【答案】C【解析】以 D 为坐标原点，DA,DC,DD1为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系，则,所以,因为，所以异面直线与所成角的余弦值为，选 C.9.（2018 年天津卷）已知正方体的棱长为 1，除面外，该正方体其余各面的中心分别为点 E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥的体积为_.【答案】34【解析】由题意可得，底面四边形为边长为的正方形，其面积，顶点到底面四边形的距离为，由四棱锥的体积公式可得：.10.（2018 年江苏卷）如图所示，正方体的棱长为 2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为_【答案】【解析】由图可知，该多面体为两个全等正四棱锥的组合体，正四棱锥的高为 1

45、，底面正方形的边长等于，所以该多面体的体积为11.（2018 年全国卷）已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为 45，若的面积为，则该圆锥的侧面积为_【答案】【解析】先根据三角形面积公式求出母线长，再根据母线与底面所成角得底面半径，最后根据圆锥侧面积公式求结果.因为母线，所成角的余弦值为，所以母线，所成角的正弦值为，因为的面积为，设母线长为 所以，因为与圆锥底面所成角为 45，所以底面半径为因此圆锥的侧面积为1.【2017 课标 1，理 7】某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为 2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各

46、个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为35A10B12C14D16【答案】B【解析】由题意该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成，如下图，则该几何体各面内只有两个相同的梯形，则这些梯形的面积之和为12242122，故选 B.2.【2017 课标 II，理 4】如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（）B90B63C42D36【答案】B【解析】由题意，该几何体是一个组合体，下半部分是一个底面半径为 3，高为 4 的圆柱，其体积213436V，上半部分是一个底面半径为 3，高为 6 的圆柱的一半，其体积

47、3622136272V，故该组合体的体积12362763VVV故选 B3.【2017 北京，理 7】某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（A）32（B）23（C）22（D）2【答案】B【解析】几何体是四棱锥PABCD，如图.最长的棱长为补成的正方体的体对角线，即该四棱锥的最长棱的长度2222222 3l，故选B.4.【2017 山东，理 13】由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如右图，则该几何体的体积为.37【答案】22【解析】由三视图可知，长方体的长、宽、高分别为 2，1，1，圆柱的高为 1，底面圆半径为 1，所以2 12 1 121242V .5.【2017

48、课标 1，理 16】如图，圆形纸片的圆心为 O，半径为 5 cm，该纸片上的等边三角形 ABC 的中心为 O.D、E、F 为圆 O 上的点，DBC，ECA，FAB 分别是以 BC，CA，AB 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以 BC，CA，AB 为折痕折起DBC，ECA，FAB，使得 D、E、F 重合，得到三棱锥.当ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_.【答案】4 15【解析】如下图，连接 DO 交 BC 于点 G，设 D，E，F 重合于 S 点，正三角形的边长为 x(x0)，则1332OGx36x.356FGSGx，222233566SOhSGGOxx35

49、53x，三棱锥的体积211335 53343ABCVShxx451535123xx.38设 45353n xxx，x0，则 345 3203n xxx，令 0n x，即43403xx，得4 3x，易知 n x在4 3x 处取得最大值.max1548544 1512V.【考点】简单几何体的体积1、【2016 高考新课标 1 卷】如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是283,则它的表面积是（）（A）17（B）18（C）20（D）28【答案】A【解析】该几何体直观图如图所示：39是一个球被切掉左上角的18,设球的半径为R,则37428VR833,解得

50、R2,所以它的表面积是78的球面面积和三个扇形面积之和2271=42+32=1784S故选 A2.【2016 高考新课标 2】下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）（A）20（B）24（C）28（D）32【答案】C【解析】由题意可知，圆柱的侧面积为12 2 416S ，圆锥的侧面积为2 2 48S ，圆柱的底面面积为23 24S，故该几何体的表面积为12328SSSS，故选 C.3.【2016 年高考北京】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）40B.16B.13C.12D.1【答案】A【解析】分析三视图可知，该几何体为一三棱锥PABC，其体积1 111