数学（理）知识清单-专题24 解答题解题方法与技巧（原卷+解析版）.pdf

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1、1专练专练1.在三角形 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c.已知 b3，c2.(1)若 2acos C3，求 a 的值；(2)若cbcos C1cos B，求 cos C 的值2.如图，在四棱锥 PABCD 中，四边形 ABCD 为平行四边形，AC，BD 相交于点 O，点 E 为 PC 的中点，OPOC，PAPD.求证：(1)PA平面 BDE;(2)平面 BDE平面 PCD.3.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的离心率为23，C 为椭圆上位于第一象限内的一点(1)若点 C 的坐标为2，53，求 a，b 的值；(2)设 A 为椭圆的左顶

2、点，B 为椭圆上一点，且 AB12OC，求直线 AB 的斜率4已知函数 f(x)(a3)xa2ln x(aR)(1)若函数 f(x)在(1，)上为单调增函数，求实数 a 的最小值；(2)已知不等式 f(x)3x0 对任意 x(0,1都成立，求实数 a 的取值范围5已知数列an的前 n 项和为 Sn，且 Sn2an1.(1)求数列an的通项公式；(2)记集合 Mn|n(n1)an，nN*，若 M 中有 3 个元素，求的取值范围；(3)是否存在等差数列bn，使得 a1bna2bn1a3bn2anb12n1n2 对一切 nN*都成立？若存在，求出 bn；若不存在，说明理由6.如图，在四棱锥 EABC

3、D 中，平面 EAB平面 ABCD，四边形 ABCD 为矩形，EAEB，点 M，N 分别是AE，CD 的中点2求证：(1)MN平面 EBC；(2)EA平面 EBC.7ABC 中，AB AC27SABC(SABC表示ABC 的面积)(1)若 BC2，求ABC 外接圆的半径；(2)若 BC4，求 sin B 的值8如图是一座桥的截面图，桥的路面由三段曲线构成，曲线 AB 和曲线 DE 分别是顶点在路面 A，E 的抛物线的一部分，曲线 BCD 是圆弧，已知它们在接点 B，D 处的切线相同，若桥的最高点 C 到水平面的距离 H6 米，圆弧的弓高 h1 米，圆弧所对的弦长 BD10 米(1)求BCD所在

4、圆的半径；(2)求桥底 AE 的长.9.如图，已知椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)的左顶点 A(2,0)，且点1，32 在椭圆上，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点过点 A 作斜率为 k(k0)的直线交椭圆 E 于另一点 B，直线 BF2交椭圆 E 于点 C.(1)求椭圆 E 的标准方程；(2)若CF1F2为等腰三角形，求点 B 的坐标；(3)若 F1CAB，求 k 的值10数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 Sn4an.(1)求证：数列an为等比数列，并求通项公式 an；(2)是否存在自然数 c 和 k，使得ak1Skc1 成立？若存在，请求出 c 和 k 的值；若不存在，请说明理由

5、311已知二次函数 f(x)ax2bx1，g(x)a2x2bx1.(1)若 f(x)g(x)对任意实数 x 恒成立，求实数 a 的取值范围；(2)若函数 f(x)有两个不同零点 x1，x2，函数 g(x)有两个不同零点 x3，x4.若 x3x1x4，试比较 x2，x3，x4的大小关系；若 x1x3x2，m，n，p(，x1)，f(m)g(n)f(n)g(p)f(p)g(m)，求证：mnp.12已知向量 m(3cos x，1)，n(sin x，cos2x)(1)当 x3时，求 mn 的值；(2)若 x0，4，且 mn3312，求 cos 2x 的值13.如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABC

6、D 是矩形，点 E 在棱 PC 上(异于点 P，C)，平面 ABE 与棱 PD 交于点 F.(1)求证：ABEF；(2)若平面 PAD平面 ABCD，求证：AFEF.14.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，焦点在 x 轴上的椭圆 C：x28y2b21 经过点(b,2e)，其中 e 为椭圆 C 的离心率过点 T(1,0)作斜率为 k(k0)的直线 l 交椭圆 C 于 A，B 两点(A 在 x 轴下方)(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)过点 O 且平行于 l 的直线交椭圆 C 于点 M，N，求ATBTMN2的值；(3)记直线 l 与 y 轴的交点为 P.若 AP25TM，求直线 l 的斜率 k

7、.15定义：从一个数列an中抽取若干项(不少于三项)按其在an中的次序排列的一列数叫做an的子数列，成等差(比)的子数列叫做an的等差(比)子列(1)求数列 1，12，13，14，15的等比子列；4(2)设数列an是各项均为实数的等比数列，且公比 q1.试给出一个an，使其存在无穷项的等差子列(不必写出过程)；若an存在无穷项的等差子列，求 q 的所有可能值16已知函数 f(x)mxxln x(m0)，g(x)ln x2.(1)当 m1 时，求函数 f(x)的单调增区间；(2)设函数 h(x)f(x)xg(x)2，x0.若函数 yh(h(x)的最小值是3 22，求 m 的值；(3)若函数 f(

8、x)，g(x)的定义域都是1，e，对于函数 f(x)的图象上的任意一点 A，在函数 g(x)的图象上都存在一点 B，使得 OAOB，其中 e 是自然对数的底数，O 为坐标原点求 m 的取值范围17.已知椭圆 M：x2a2y2b21(ab0)的右焦点 F 的坐标为(1,0)，P，Q 为椭圆上位于 y 轴右侧的两个动点，使PFQF，C 为 PQ 的中点，线段 PQ 的垂直平分线交 x 轴，y 轴于点 A，B(线段 PQ 不垂直 x 轴)，当 Q 运动到椭圆的右顶点时，|PF|22.(1)求椭圆 M 的标准方程；(2)若 SABOSBCF35，求直线 PQ 的方程18正项数列an满足 a2nan3a

9、2n12an1，a11.(1)求 a2的值；(2)证明对任意的 nN*，an2an1；(3)记数列an的前 n 项和为 Sn，证明对任意的 nN*,212n1Snan；(2)【证明】an232n1；(3)设数列1an的前 n 项和为 Sn，求证：123nSnb0)右焦点 F(1,0)的直线与椭圆 C 交于 A，B 两点，自 A，B 向直线 x5 作垂线，垂足分别为 A1，B1，且|AA1|AF|5.(1)求椭圆 C 的方程；(2)记AFA1，FA1B1，BFB1的面积分别为 S1，S2，S3，证明S1S3S22是定值，并求出该定值24设 anxn，bn1n2，Sn为数列anbn的前 n 项和，

10、令 fn(x)Sn1，xR，nN*.(1)若 x2，求数列2n1an的前 n 项和 Tn；(2)求证：对任意 nN*，方程 fn(x)0 在 xn23，1 上有且仅有一个根；(3)求证：对任意 pN*，由(2)中 xn构成的数列xn满足 0 xnxnp1n.6高考押题专练高考押题专练1.在三角形 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c.已知 b3，c2.(1)若 2acos C3，求 a 的值；(2)若cbcos C1cos B，求 cos C 的值【解析】(1)由余弦定理得，2aa2b2c22ab3，将 b3，c2 代入，解得 a2.(2)由正弦定理，得sin Csin Bc

11、os C1cos B，即 sin Csin Ccos Bsin Bcos C，则 sin Csin Bcos Ccos Bsin Csin(BC)因为 0CB，所以 0BCb0)的离心率为23，C 为椭圆上位于第一象限内的一点(1)若点 C 的坐标为2，53，求 a，b 的值；(2)设 A 为椭圆的左顶点，B 为椭圆上一点，且12，求直线 AB 的斜率【解析】(1)因为椭圆的离心率为23，所以a2b2a23，即b2a259.又因为点 C2，53 在椭圆上，所以4a2259b21.由解得 a29，b25.因为 ab0，所以 a3，b 5.(2)由(1)知，b2a259，所以椭圆方程为x2a29y

12、25a21，即 5x29y25a2.设直线 OC 的方程为 xmy(m0)，B(x1，y1)，C(x2，y2)由xmy，5x29y25a2消去 x，得 5m2y29y25a2，所以 y25a25m29.因为 y20，所以 y25a5m29.因为12，所以 ABOC.可设直线 AB 的方程为 xmya.由xmya，5x29y25a2消去 x，得(5m29)y210amy0，所以 y0 或 y10am5m29，得 y110am5m29.因为12，所以(x1a，y1)12x2，12y2，于是 y22y1，8即5a5m2920am5m29(m0)，所以 m35.所以直线 AB 的斜率为1m5 33.4

13、已知函数 f(x)(a3)xa2ln x(aR)(1)若函数 f(x)在(1，)上为单调增函数，求实数 a 的最小值；(2)已知不等式 f(x)3x0 对任意 x(0,1都成立，求实数 a 的取值范围【解析】(1)法一：因为 f(x)a32x(x0),当 a3 时，f(x)0，f(x)在(0，)上单调递减；当 a3 时，由 f(x)0，得 0 x2a3，f(x)在0，2a3 上单调递减，由 f(x)0，得 x2a3，f(x)在2a3，上单调递增.因为函数 f(x)在(1，)上为单调增函数，所以 a3 且2a31，所以 a5,所以实数 a 的最小值为 5.法二：因为函数 f(x)在(1，)上为单

14、调增函数，所以 f(x)a32x0 在(1，)上恒成立，所以 a32x在(1，)上恒成立，又当 x1 时，32x5,所以 a5，所以实数 a 的最小值为 5.(2)令 g(x)f(x)3xa(x1)2ln x，x(0,1，所以 g(x)a2x.当 a2 时，由于 x(0,1，所以2x2，所以 g(x)0，g(x)在(0,1上单调递减，所以 g(x)ming(1)0，所以对任意 x(0,1，g(x)g(1)0，即对任意 x(0,1不等式 f(x)3x0 都成立，所以 a2;9当 a2 时，由 g(x)0，得 0 x2a，g(x)在0，2a 上单调递减；由 g(x)0，得 x2a，g(x)在2a，

15、1上单调递增所以，存在2a(0,1)，使得 g2a g(1)0，不合题意综上所述，实数 a 的取值范围为(，25已知数列an的前 n 项和为 Sn，且 Sn2an1.(1)求数列an的通项公式；(2)记集合 Mn|n(n1)an，nN*，若 M 中有 3 个元素，求的取值范围；(3)是否存在等差数列bn，使得 a1bna2bn1a3bn2anb12n1n2 对一切 nN*都成立？若存在，求出 bn；若不存在，说明理由【解析】(1)当 n1 时，S12a11，得 a11.当 n2 时，由 Sn2an1，得 Sn12an11，得 an2an1，即anan12(n2)因此an是首项为 1，公比为 2

16、 的等比数列，所以 an2n1.(2)由已知可得n(n1)2n1，令 f(n)n（n1）2n1，则 f(1)2，f(2)3，f(3)3，f(4)52，f(5)158，下面研究 f(n)n（n1）2n1的单调性，因为 f(n1)f(n)（n1）（n2）2nn（n1）2n1（n1）（2n）2n，所以，当 n3 时，f(n1)f(n)0，f(n1)f(n)，即 f(n)单调递减.因为 M 中有 3 个元素，所以不等式n（n1）2n1解的个数为 3，所以 252，即的取值范围为2，52.(3)设存在等差数列bn使得条件成立，10则当 n1 时，有 a1b122121，所以 b11.当 n2 时，有 a

17、1b2a2b123224，所以 b22.所以等差数列bn的公差 d1，所以 bnn.设 Sa1bna2bn1a3bn2anb1，S1n2(n1)22(n2)2n222n11，所以 2S2n22(n1)23(n2)2n122n1，得Sn222232n12nn2（12n）122n1n2，所以存在等差数列bn，且 bnn 满足题意6.如图，在四棱锥 EABCD 中，平面 EAB平面 ABCD，四边形 ABCD 为矩形，EAEB，点 M，N 分别是AE，CD 的中点求证：(1)MN平面 EBC；(2)EA平面 EBC.【证明】(1)取 BE 中点 F，连结 CF，MF，又 M 是 AE 的中点，所以

18、MF12AB.又 N 是矩形 ABCD 边 CD 的中点，所以 NC12AB，所以 MFNC，所以四边形 MNCF 是平行四边形，所以 MNCF.又 MN平面 EBC，CF平面 EBC，所以 MN平面 EBC.(2)在矩形 ABCD 中，BCAB，又平面 EAB平面 ABCD，平面 ABCD平面 EABAB，BC平面 ABCD，所以 BC平面 EAB.11又 EA平面 EAB，所以 BCEA.又 EAEB，BCEBB，EB平面 EBC，BC平面 EBC，所以 EA平面 EBC.7ABC 中，27SABC(SABC表示ABC 的面积)(1)若 BC2，求ABC 外接圆的半径；(2)若 BC4，求

19、 sin B 的值【解析】(1)因为27SABC，所以 ABACcos A2712ABACsin A，即 cos A17sin A，又因为 cos2Asin2A1，A(0，)，解得 sin A7 210，cos A210.设ABC 外接圆的半径为 R，则 2RBCsin A27 21010 27，所以 R5 27，即ABC 外接圆的半径为5 27.(2)因为 ABC，所以 sin(BC)sin(A)sin A7 210，cos(BC)cos(A)cos A210，则 cos 2Bcos(BC)(BC)cos（BC）4cos(BC)cos4sin(BC)sin4210227 2102245.又

20、cos 2B12sin2B，所以 sin2B1cos 2B21452910，又因为 B(0，)，12所以 sin B0，所以 sin B3 1010.8如图是一座桥的截面图，桥的路面由三段曲线构成，曲线 AB 和曲线 DE 分别是顶点在路面 A，E 的抛物线的一部分，曲线 BCD 是圆弧，已知它们在接点 B，D 处的切线相同，若桥的最高点 C 到水平面的距离 H6 米，圆弧的弓高 h1 米，圆弧所对的弦长 BD10 米(1)求BCD所在圆的半径；(2)求桥底 AE 的长.【解析】(1)设BCD所在圆的半径为 r(r0)，由题意得 r252(r1)2，r13.(2)以线段 AE 所在直线为 x

21、轴，线段 AE 的中垂线为 y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系H6 米，BD10 米，弓高 h1 米，B(5,5)，D(5,5)，C(0,6)，设BCD所在圆的方程为 x2(yb)2r2(r0)，则(6b)2r2，52(5b)2r2，b7，r13.BCD的方程为 x2(y7)2169(5y6)设曲线 AB 所在抛物线的方程为 ya(xm)2，点 B(5,5)在曲线 AB 上，5a(5m)2，又BCD与曲线段 AB 在接点 B 处的切线相同，且BCD在点 B 处的切线的斜率为512，由 ya(xm)2，得 y2a(xm)，2a(5m)512，2a(5m)512，13由得 m29，A(29,0)

22、，E(29,0).桥底 AE29(29)58 米9.如图，已知椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)的左顶点 A(2,0)，且点1，32 在椭圆上，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点过点 A 作斜率为 k(k0)的直线交椭圆 E 于另一点 B，直线 BF2交椭圆 E 于点 C.(1)求椭圆 E 的标准方程；(2)若CF1F2为等腰三角形，求点 B 的坐标；(3)若 F1CAB，求 k 的值【解析】(1)由题意得a2，a2b2c2，1494b21，解得a2，b 3，c1.椭圆 E 的标准方程为x24y231.(2)CF1F2为等腰三角形，且 k0，点 C 在 x 轴下方，若 F1CF2C，则 C(

23、0，3)；若 F1F2CF2，则 CF22，C(0，3)；若 F1CF1F2，则 CF12，C(0，3)，C(0，3)直线 BC 的方程 y 3(x1)，由y 3(x1)，x24y231，得x0，y 3或x85，y3 35.B85，3 35.(3)设直线 AB 的方程为 yk(x2)，14由yk（x2），x24y231消去 y，得(34k2)x216k2x16k2120，xAxB2xB16k21234k2，xB8k2634k2，yBk(xB2)12k34k2，B8k2634k2，12k34k2.若 k12，则 B1，32，C1，32，F1(1,0)，kCF134，F1C 与 AB 不垂直；k1

24、2，F2(1,0)，kBF24k14k2，kCF11k，直线 BF2的方程为 y4k14k2(x1)，直线 CF1的方程为 y1k(x1)，由y4k14k2(x1)，y1k（x1），解得x8k21，y8k.C(8k21，8k)由点 C 在椭圆上，得(8k21)24(8k)231，即(24k21)(8k29)0，即 k2124，k0，k612.10数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 Sn4an.(1)求证：数列an为等比数列，并求通项公式 an；(2)是否存在自然数 c 和 k，使得ak1Skc1 成立？若存在，请求出 c 和 k 的值；若不存在，请说明理由15【解析】(1)【证明】当 n1

25、 时，S1a14，得 a12,由 Sn4an，得 Sn14an1，得，Sn1Snanan1，即 an112an,所以an1an12，且 a12，所以数列an是首项为 2，公比为12的等比数列，且 an12n2.(2)法一：因为 an12n2，所以 ak112k1，Sk4112k，要使ak1Skc24(2k1)c2k1 成立，只要使(c4)2k6(c4)2k4c，且 2Sk4，所以 c 的可能取值为 0,1,2,3)当 c0 时，12k32，不存在自然数 k 使(*)成立；当 c1 时，432k2，不存在自然数 k 使(*)成立；当 c2 时，22k3，不存在自然数 k 使(*)成立；当 c3

26、时，42k1 成立.法二：要使ak1Skc1，只要Sk1cSkc2，即只要c32Sk2cSk0，因为 Sk4112k0，故只要32Sk2cSk.因为 Sk1Sk，16所以32Sk232S121.又 Sk4，故要使成立，c 只能取 2 或 3.当 c2 时，因为 S12，所以当 k1 时，cSk不成立，从而不成立当 k2 时，因为32S2252c，由 SkSk1，得32Sk232Sk12，故当 k2 时，32Sk2c，从而不成立.当 c3 时，因为 S12，S23，所以当 k1，k2 时，cSk不成立，从而不成立因为32S32134c，又32Sk232Sk12，所以当 k3 时，32Sk2c，从

27、而不成立.综上所述，不存在自然数 c，k，使ak1Skc1 成立11已知二次函数 f(x)ax2bx1，g(x)a2x2bx1.(1)若 f(x)g(x)对任意实数 x 恒成立，求实数 a 的取值范围；(2)若函数 f(x)有两个不同零点 x1，x2，函数 g(x)有两个不同零点 x3，x4.若 x3x1x4，试比较 x2，x3，x4的大小关系；若 x1x3x2，m，n，p(，x1)，f(m)g(n)f(n)g(p)f(p)g(m)，求证：mnp.【解析】(1)因为 f(x)g(x)对任意实数 x 恒成立，所以 ax2a2x2对任意实数 x 恒成立，所以 a2a0，解得 0a1.又由题意可得

28、a0，所以实数 a 的取值范围为(0,1(2)因为函数 g(x)的图象开口向上，且其零点为 x3，x4，故 g(x)0，得 x3xx4.因为 x1，x2是 f(x)的两个不同零点，故 f(x1)f(x2)0.因为 x3x1x4，故 g(x1)0f(x1)，于是(a2a)x210.17注意到 x10，故 a2a0.因为 g(x2)f(x2)(a2a)x220，故 g(x2)f(x2)0，从而 x3x2x4，于是 x3x2x4.【证明】记 x1x3t，故 f(t)at2bt10，g(t)a2t2bt10，于是(aa2)t20.因为 a0，且 t0，故 a1.所以 f(x)g(x)且函数图象开口向上

29、.所以当 x(，x1)时，f(x)单调递减，f(x)单调递增且 f(x)0，g(x)单调递减且 g(x)0.若 mn，则 f(n)1 时，|q|n1，取 nk1log|q|d|a1|q|1，从而|q|nk1|d|a1|q|1，故|ank1ank|a1qnk11a1qnk1|21|a1|q|nk1|qnk1nk1|a1|q|nk1(|q|1)|d|，这与|ank1ank|d|矛盾，故舍去当|q|1 时，|q|n1log|q|d|2|a1|，从而|q|nk1|d|2|a1|，故|ank1ank|a1|q|nk1|qnk1nk1|a1|q|nk1|q|nk1nk1|2|a1|q|nk10)，g(x)

30、ln x2.(1)当 m1 时，求函数 f(x)的单调增区间；(2)设函数 h(x)f(x)xg(x)2，x0.若函数 yh(h(x)的最小值是3 22，求 m 的值；(3)若函数 f(x)，g(x)的定义域都是1，e，对于函数 f(x)的图象上的任意一点 A，在函数 g(x)的图象上都存在一点 B，使得 OAOB，其中 e 是自然对数的底数，O 为坐标原点求 m 的取值范围【解析】(1)当 m1 时，f(x)1xxln x，f(x)1x2ln x1.因为 f(x)在(0，)上单调递增，且 f(1)0，所以当 x1 时，f(x)0；当 0 x1 时，f(x)0.所以函数 f(x)的单调增区间是

31、(1，)(2)h(x)mx2x 2，则 h(x)2mx22x2mx2，令 h(x)0，得 xm2，当 0 xm2时，h(x)m2时，h(x)0，函数 h(x)在m2，上单调递增所以 h(x)minhm2 2 2m 2.当 2(2 m1)m2，即 m49时，22函数 yh(h(x)的最小值 h(2 2m 2)2m2（2 m1）2（2 m1）13 22，即 17m26 m90，解得 m1 或 m917(舍去)，所以 m1.当 0 2(2 m1)m2，即14m0 在1，e上恒成立，所以函数 yln x2x在1，e上单调递增，故 kOB2，1e，所以 kOA12，e，即12mx2ln xe 在1，e上

32、恒成立，即x22x2ln xmx2(eln x)在1，e上恒成立设 p(x)x22x2ln x，则 p(x)2xln x0 在1，e上恒成立，所以 p(x)在1，e上单调递减，所以 mp(1)12.设 q(x)x2(eln x)，则 q(x)x(2e12ln x)x(2e12ln e)0 在1，e上恒成立，所以 q(x)在1，e上单调递增，所以 mq(1)e.综上所述，m 的取值范围为12，e.17.已知椭圆 M：x2a2y2b21(ab0)的右焦点 F 的坐标为(1,0)，P，Q 为椭圆上位于 y 轴右侧的两个动点，使PFQF，C 为 PQ 的中点，线段 PQ 的垂直平分线交 x 轴，y 轴

33、于点 A，B(线段 PQ 不垂直 x 轴)，当 Q 运动23到椭圆的右顶点时，|PF|22.(1)求椭圆 M 的标准方程；(2)若 SABOSBCF35，求直线 PQ 的方程【解析】(1)由题意知，当 Q 运动到椭圆的右顶点时，PFx 轴，则|PF|b2a22，又 c1，a 2，b1.椭圆 M 的标准方程为x22y21.(2)设直线 PQ 的方程为 ykxb，显然 k0，联立椭圆方程得(2k21)x24kbx2(b21)0，则8(2k2b21)0，设点 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，A(xA，yA)，B(xB，yB)，由根与系数的关系得x1x22（b21）2k210，x1x24kb2k2

34、10，y1y2(kx1b)(kx2b)2b2k21，y1y2(kx1b)(kx2b)b22k22k21，由0(1x1)(1x2)y1y20，得 3b214kb0，点 C2kb2k21，b2k21，线段 PQ 的中垂线 AB 的方程为yb2k211kx2kb2k21.分别令 x0，y0 可得 Akb2k21，0，B0，b2k21，显然 A 为 BC 的中点，24SBCFSABO2SABFSABO2|AF|AO|2（1xA）xA21xA1，由式得 k13b24b，则 xAkb2k216b42b29b42b21，SBCFSABO21xA16b48b226b42b253，得 b23(b26 舍去)，b

35、 3，k2 33或 b 3，k2 33.经检验，满足条件，故直线 PQ 的方程为 y2 33x 3或 y2 33x 3.18正项数列an满足 a2nan3a2n12an1，a11.(1)求 a2的值；(2)证明对任意的 nN*，an2an1；(3)记数列an的前 n 项和为 Sn，证明对任意的 nN*,212n1Sn0，所以 a2713.(2)【证明】由 a2nan3a2n12an14a2n12an1(2an1)22an1，又因为二次函数 yx2x 在 x(0，)上单调递增，故对任意 nN*，an12，an1an212，a2a112，由上面(n1)个式子相乘得 an12n1a112n1，又 a

36、112111，所以 an12n1，故 Sna1a2an2511212n1212n1，另一方面，由于 a2nan3a2n12an12a2n12an12(a2n1an1)，令 a2nanbn，则 bn2bn1，于是bnbn112，bn1bn212，b2b112，由上面(n1)个式子相乘得 bn12n1b112n2，即 a2nanbn12n2，故 Sna1(a2an)111212n2312n23.所以对任意的 nN*,212n1Snan；(2)【证明】an232n1；(3)设数列1an的前 n 项和为 Sn，求证：123nSn0，an1an.(2)2an14a2n2anan(an2)，an12an2

37、an232，an232(an12)322(an22)32n1(a12)32n1，an232n1.(3)2(an12)an(an2)，12（an12）1an（an2）121an21an，1an121an21an，1an1an21an12，27Sn1a11a21an1a121a221a221a321an21an121a121an1211an12，由(2)知 an1232n，01an1223n，123nSn11an120：当 n1 时，a1130；假设 nk 时，ak0，则 ak1aka2kk20.所以由得 an0，nN*.所以 an1ana2nn20，即 an1an，数列an为递增数列(3)【证明

38、】由(2)知 an0，nN*且数列an为递增数列，29由 an1ana2nn2anan1n2得1an1an11n21n2141n121n12，1an11an1n1121n112，1a21a312121212，1a11a211121112，因此1a11an121n12，所以1a11an21n12(当且仅当 n1 时，等号成立)，故 an2n12n1.由 an2n12n11 得 an1ana2nn2n2n21an1，故 an1ana2nn2anan1n21，所以1an1an11n211n2n1n1n1，1an11an1n11n，1an21an11n21n1，1a11a2112，因此1a11an11

39、1n1，所以1a11an11n(当且仅当 n1 时，等号成立)，故 ann2n1.综上所述，对任意的 nN*，n2n1an2n12n1.23过椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)右焦点 F(1,0)的直线与椭圆 C 交于 A，B 两点，自 A，B 向直线 x5 作垂线，垂足分别为 A1，B1，且|AA1|AF|5.(1)求椭圆 C 的方程；(2)记AFA1，FA1B1，BFB1的面积分别为 S1，S2，S3，证明S1S3S22是定值，并求出该定值【解析】(1)设 A(x，y)，则|AA1|5x|，|AF|（x1）2y2，由|AA1|AF|5，得x25y241，而 A 是椭圆 C30上的任一点

40、，椭圆 C 的方程为x25y241.(2)【证明】由题意知，直线 AB 的斜率不可以为 0，而可以不存在，可设直线 AB 的方程为 xmy1.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由xmy1，x25y241，得(4m25)y28my160，y1y28m4m25，y1y2164m25.由题意，S112|AA1|y1|12|5x1|y1|，S312|BB1|y2|12|5x2|y2|，S212|A1B1|42|y1y2|，S1S3S22116（5x1）（5x2）（y1y2）（y1y2）2116（4my1）（4my2）（y1y2）（y1y2）2116y1y2164m（y1y2）m2y1y2（y1y

41、2）24y1y2，将代入，化简并计算可得S1S3S2214，S1S3S22是定值，且该定值为14.24设 anxn，bn1n2，Sn为数列anbn的前 n 项和，令 fn(x)Sn1，xR，nN*.(1)若 x2，求数列2n1an的前 n 项和 Tn；(2)求证：对任意 nN*，方程 fn(x)0 在 xn23，1 上有且仅有一个根；(3)求证：对任意 pN*，由(2)中 xn构成的数列xn满足 0 xnxnp0 时，由函数 fn(x)1xx222x332xnn2(xR，nN*)，可得 f(x)1x2x23xn1n0，函数 f(x)在(0，)上是增函数令 fn(xn)0，当 n2 时，fn(1

42、)1221321n20，即 fn(1)0.又 fn23 12323222233322344223nn21314错误!23i1314232123n11231323n10 时，fn1(x)fn(x)xn1n12fn(x)，fn1(xn)fn(xn)fn1(xn1)0.由 fn1(x)在(0，)上单调递增，可得 xn10，故数列xn为递减数列，即对任意的 n，pN*，xnxnp0.由于 fn(xn)1xnx2n22x3n32xnnn20，fnp(xnp)1xnpx2np22x3np32xnnpn2xn1npn12xn2npn22xnpnpnp20，用减去并移项，利用 0 xnp1，可得xnxnp错误!xknpxknk2错误!xknpk232错误!xknpk2错误!1k2错误!1k（k1）1n1np1n.综上可得，对于任意 pN*，由(2)中 xn构成的数列xn满足 0 xnxnp1n.