数学（理）知识清单-专题16 圆锥曲线的综合应用（考点解读）（原卷+解析版）.pdf

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1、1专题专题 16圆锥曲线的综合应用圆锥曲线的综合应用圆锥曲线中的定点与定值、最值与范围问题是高考的热点，主要以解答题的形式呈现，往往作为考题的压轴题之一，以椭圆或抛物线为背景，尤其是与条件或结论相关存在性开放问题，对考生的代数恒等变形能力、计算能力有较高要求高频考点一高频考点一圆锥曲线中的最值、范围圆锥曲线中的最值、范围圆锥曲线中的范围、最值问题，可以转化为函数的最值问题(以所求式子或参数为函数值)，或者利用式子的几何意义求解例 1、如图所示，设抛物线 y22px(p0)的焦点为 F，抛物线上的点 A 到 y 轴的距离等于|AF|1.(1)求 p 的值；(2)若直线 AF 交抛物线于另一点 B

2、，过 B 与 x 轴平行的直线和过 F 与 AB 垂直的直线交于点 N，AN 与 x轴交于点 M，求 M 的横坐标的取值范围【变式探究】已知点 A(0，2)，椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)的离心率为32，F 是椭圆 E 的右焦点，直线 AF 的斜率为2 33，O 为坐标原点(1)求 E 的方程；(2)设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 P，Q 两点，当OPQ 的面积最大时，求 l 的方程【变式探究】在直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的方程为x2a2y2b21(ab0)，左右焦点分别为 F1，F2，R 为短轴的一个端点，且RF1F2的面积为 3.设过原点的直线 l 与椭圆 C 交

3、于 A，B 两点，P 为椭圆 C 上异于 A，B 的一点，且直线 PA，PB 的斜率都存在，kPAkPB34.(1)求 a，b 的值；2(2)设 Q 为椭圆 C 上位于 x 轴上方的一点，且 QF1x 轴，M、N 为曲线 C 上不同于 Q 的两点，且MQF1NQF1，设直线 MN 与 y 轴交于点 D(0，d)，求 d 的取值范围高频考点二高频考点二定点、定值问题探究定点、定值问题探究1由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式：yy0k(xx0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式：ykxm，则直线必过定点(0，m)2解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形

4、的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等与题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值例 2、已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为32，A(a，0)，B(0，b)，O(0，0)，OAB 的面积为1.(1)求椭圆 C 的方程；(2)设 P 是椭圆 C 上一点，直线 PA 与 y 轴交于点 M，直线 PB 与 x 轴交于点 N.求证：|AN|BM|为定值【方法规律】1求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得出定值2定值问题求解的基本思路是使用参数表示要

5、解决的问题，然后证明与参数无关，这类问题选择消元的方向是非常关键的【变式探究】如图，椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)经过点 A(0，1)，且离心率为22.(1)求椭圆 E 的方程；(2)经过点(1，1)，且斜率为 k 的直线与椭圆 E 交于不同的两点 P，Q(均异于点 A)，证明：直线 AP 与AQ 的斜率之和为定值【变式探究】已知焦距为 22的椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的右顶点为 A，直线 y43与椭圆 C 交于 P，Q 两点(P 在 Q 的左边)，Q 在 x 轴上的射影为 B，且四边形 ABPQ 是平行四边形3(1)求椭圆 C 的方程；(2)斜率为 k 的直线 l 与椭圆

6、 C 交于两个不同的点 M，N.若 M 是椭圆的左顶点，D 是直线 MN 上一点，且 DAAM.点 G 是 x 轴上异于点 M 的点，且以 DN 为直径的圆恒过直线 AN 和 DG 的交点，求证：点 G 是定点【方法规律】1动直线 l 过定点问题，设动直线方程(斜率存在)为 ykxt，由题设条件将 t 用 k 表示为 tmk，得yk(xm)，故动直线过定点(m，0)2 动曲线 C 过定点问题，引入参变量建立曲线 C 的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点【变式探究】已知两点 A(2，0)，B(2，0)，动点 P 在 x 轴上的投影是 Q，且 2|2.(1)求动点 P 的轨迹

7、C 的方程；(2)过 F(1，0)作互相垂直的两条直线交轨迹 C 于点 G，H，M，N，且 E1，E2分别是 GH，MN 的中点求证：直线 E1E2恒过定点高频考点三高频考点三圆锥曲线中的存在性问题圆锥曲线中的存在性问题存在性问题的解题步骤：(1)先假设存在，引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组)(2)解此方程(组)或不等式(组)，若有解则存在，若无解则不存在(3)得出结论例 3、已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1(1，0)，F2(1，0)，点 A1，22在椭圆 C 上(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)是否存在斜率为 2 的直线，使得

8、当该直线与椭圆 C 有两个不同交点 M，N 时，能在直线 y53上找到一点 P，在椭圆 C 上找到一点 Q，满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由【方法规律】1此类问题一般分为探究条件、探究结构两种若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，不成立则不存在；若探究结论，则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论2求解步骤：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定4系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在，否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在【变式探究】已知椭圆 C：x2a

9、2y2b21(ab0)的离心率为12，且过点 P1，32，F 为其右焦点(1)求椭圆 C 的方程；(2)设过点 A(4，0)的直线 l 与椭圆相交于 M，N 两点(点 M 在 A，N 两点之间)，是否存在直线 l 使AMF与MFN 的面积相等？若存在，试求直线 l 的方程；若不存在，请说明理由【变式探究】已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1、F2，且点 F1到椭圆 C 上任意一点的最大距离为 3，椭圆 C 的离心率为12.(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)是否存在斜率为1 的直线 l 与以线段 F1F2为直径的圆相交于 A、B 两点，与椭圆相交于 C、D，且|C

10、D|AB|8 37？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，说明理由1（2019全国高考）已知曲线2:,2xC yD，为直线12y 上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为,A B.（1）证明：直线AB过定点：（2）若以50,2E为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程.2（2018北京高考）已知抛物线 C：2y=2px 经过点P（1，2）过点 Q（0，1）的直线 l 与抛物线 C有两个不同的交点 A，B，且直线 PA 交 y 轴于 M，直线 PB 交 y 轴于 N（）求直线 l 的斜率的取值范围；（）设 O 为原点，QMQO，QNQO，求证：11为定值3(2018天津卷

11、)设椭圆x2a2y2b21(ab0)的左焦点为 F，上顶点为 B已知椭圆的离心率为53，点 A的坐标为(b,0)，且|FB|AB|6 2.5(1)求椭圆的方程；(2)设直线 l：ykx(k0)与椭圆在第一象限的交点为 P，且 l 与直线 AB 交于点 Q.若|AQ|PQ|5 24sinAOQ(O为原点)，求 k 的值4(2018江苏卷)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 过点3，12，焦点 F1(3，0)，F2(3，0)，圆 O 的直径为 F1F2.(1)求椭圆 C 及圆 O 的方程；(2)设直线 l 与圆 O 相切于第一象限内的点 P.若直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，求

12、点 P 的坐标；直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点若OAB 的面积为2 67，求直线 l 的方程5(2018全国卷)设椭圆 C：x22y21 的右焦点为 F，过 F 的直线 l 与 C 交于 A，B 两点，点 M 的坐标为(2,0)(1)当 l 与 x 轴垂直时，求直线 AM 的方程；(2)设 O 为坐标原点，证明：OMAOMB6(2018浙江卷)如图，已知点 P 是 y 轴左侧(不含 y 轴)一点，抛物线 C：y24x 上存在不同的两点 A，B 满足 PA，PB 的中点均在 C 上(1)设 AB 中点为 M，证明：PM 垂直于 y 轴；(2)若 P 是半椭圆 x2y241(xb0），四

13、点 P1（1,1），P2（0,1），P3（1，32），P4（1，32）中恰有三点在椭圆 C 上.（1）求 C 的方程；（2）设直线 l 不经过 P2点且与 C 相交于 A，B 两点.若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为1，证明：l过定点.3.【2017 山东，理 21】在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：22221xyab0ab的离心率为22，焦距为2.（）求椭圆E的方程；7（）如图，动直线l：132yk x交椭圆E于,A B两点，C是椭圆E上一点，直线OC的斜率为2k，且1224k k，M是线段OC延长线上一点，且:2:3MCAB，M的半径为MC，,OS OT是M的两条切线，切点分别为

14、,S T.求SOT的最大值，并求取得最大值时直线l的斜率.4.【2017 北京，理 18】已知抛物线 C：y2=2px 过点 P（1，1）.过点（0，12）作直线 l 与抛物线 C 交于不同的两点 M，N，过点 M 作 x 轴的垂线分别与直线 OP，ON 交于点 A，B，其中 O 为原点.（）求抛物线 C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（）求证：A 为线段 BM 的中点.5.【2017 天津，理 19】设椭圆22221(0)xyabab的左焦点为F，右顶点为A，离心率为12.已知A是抛物线22(0)ypx p的焦点，F到抛物线的准线l的距离为12.（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II）

15、设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于点A），直线BQ与x轴相交于点D.若APD的面积为62，求直线AP的方程.6.【2017 江苏，17】如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆2222:1(0)xyEabab的左、右焦点分别为1F,2F,离心率为12,两准线之间的距离为 8.点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点1F作 直线1PF的垂线1l,过点2F作直线2PF的垂线2l.（1）求椭圆E的标准方程；（2）若直线E的交点Q在椭圆E上,求点P的坐标.89专题专题 16圆锥曲线的综合应用圆锥曲线的综合应用圆锥曲线中的定点与定值、最值与范围问题是高考的热点，主要以解答题的形式呈现

16、，往往作为考题的压轴题之一，以椭圆或抛物线为背景，尤其是与条件或结论相关存在性开放问题，对考生的代数恒等变形能力、计算能力有较高要求高频考点一高频考点一圆锥曲线中的最值、范围圆锥曲线中的最值、范围圆锥曲线中的范围、最值问题，可以转化为函数的最值问题(以所求式子或参数为函数值)，或者利用式子的几何意义求解例 1、如图所示，设抛物线 y22px(p0)的焦点为 F，抛物线上的点 A 到 y 轴的距离等于|AF|1.(1)求 p 的值；(2)若直线 AF 交抛物线于另一点 B，过 B 与 x 轴平行的直线和过 F 与 AB 垂直的直线交于点 N，AN 与 x轴交于点 M，求 M 的横坐标的取值范围【

17、解析】(1)由题意可得，抛物线上点 A 到焦点 F 的距离等于点 A 到直线 x1 的距离，由抛物线的定义得p21，即 p2.(2)由(1)得，抛物线方程为 y24x，F(1，0)，可设 A(t2，2t)，t0，t1.故直线 FN 的斜率为t212t，从而得直线 FN：yt212t(x1)，直线 BN：y2t，所以 Nt23t21，2t.【变式探究】已知点 A(0，2)，椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)的离心率为32，F 是椭圆 E 的右焦点，直10线 AF 的斜率为2 33，O 为坐标原点(1)求 E 的方程；(2)设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 P，Q 两点，当OPQ 的面

18、积最大时，求 l 的方程【解析】(1)设 F(c，0)，由条件知，2c2 33，得 c 3.又ca32，所以 a2，b2a2c21.故 E 的方程为x24y21.(2)当 lx 轴时不合题意，故设 l：ykx2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)将 ykx2 代入x24y21，得(14k2)x216kx120.当16(4k23)0，即 k234时，x1，28k24k234k21.从而|PQ|k21|x1x2|4 k21 4k234k21.又点 O 到直线 PQ 的距离 d2k21.所以OPQ 的面积 SOPQ12d|PQ|44k234k21.设 4k23t，则 t0，SOPQ4tt244t4t

19、.因为 t4t4，当且仅当 t2，即 k72时等号成立，且满足0.所以当OPQ 的面积最大时，l 的方程为 y72x2 或 y72x2.【变式探究】在直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的方程为x2a2y2b21(ab0)，左右焦点分别为 F1，F2，R 为短轴的一个端点，且RF1F2的面积为 3.设过原点的直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，P 为椭圆 C 上异于 A，B 的一点，且直线 PA，PB 的斜率都存在，kPAkPB34.(1)求 a，b 的值；(2)设 Q 为椭圆 C 上位于 x 轴上方的一点，且 QF1x 轴，M、N 为曲线 C 上不同于 Q 的两点，且MQF1NQF1，设

20、直线 MN 与 y 轴交于点 D(0，d)，求 d 的取值范围11解析：(1)设 A(x1，y1)，P(x2，y2)，则 B(x1，y1)，进一步得，x21a2y21b21，x22a2y22b21，两个等式相减得，x21x22a2y21y22b20，所以y1y2x1x2y1y2x1x2b2a2，所以 kPAkPBb2a2，因为 kPAkPB34，所以b2a234，即ba32，设 b 3t，a2t(t0)，因为 a2b2c2，所以 ct，由RF1F2的面积为 3得，2cb2 3，即 bc 3，即3t2 3，t1，所以 a2，b 3.(2)设直线 QM 的斜率为 k，因为MQF1NQF1，所以 Q

21、M，QN 关于直线 QF1对称，所以，直线 QN 的斜率为k，计算得 F1(1,0)，Q1，32，所以直线 QM 的方程是 y32k(x1)，设 M(x3，y3)，N(x4，y4)，由y32kx1，x24y231消去 y 得(34k2)x2(128k)kx(4k212k3)0，所以1x34k212k334k2，所以 x34k212k334k2，将上式中的 k 换成k 得，x44k212k334k2，所以 kMNy3y4x3x4kx3x42x3x4k8k2634k2224k34k212，所以直线 MN 的方程是 y12xd，代入椭圆方程x24y231 得，x2dxd230，所以(d)24(d23

22、)0，所以2d12(1)d，所以2db0)的左、右焦点分别为 F1、F2，且点 F1到椭圆 C 上任意一点的最大距离为 3，椭圆 C 的离心率为12.19(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)是否存在斜率为1 的直线 l 与以线段 F1F2为直径的圆相交于 A、B 两点，与椭圆相交于 C、D，且|CD|AB|8 37？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，说明理由解析：(1)根据题意，设 F1，F2的坐标分别为(c,0)，(c,0)，由题意可得ac3，ca12，解得 a2，c1，则 b2a2c23，故椭圆 C 的标准方程为x24y231.(2)假设存在斜率为1 的直线 l，设为 yxm，由(1

23、)知 F1，F2的坐标分别为(1,0)，(1,0)，所以以线段 F1F2为直径的圆为 x2y21，由题意知圆心(0,0)到直线 l 的距离 d|m|21，得|m|0，解得 m27，设 C(x1，y1)，D(x2，y2)，则 x1x28m7，x1x24m2127，|CD|2|x1 x2|2 8m7244m21272 33648m2494 677m28 37|AB|8 37 2 2m2，解得 m2137，得 m33.即存在符合条件的直线 l，其方程为yx33.201（2019全国高考）已知曲线2:,2xC yD，为直线12y 上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为,A B.（1）证明：直线AB过

24、定点：（2）若以50,2E为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程.【答案】(1)见详解；(2)225()42xy或225()22xy.【解析】(1)证明：设1(,)2D t,11(,)A x y,则21112yx.又因为212yx，所以 yx.则切线 DA 的斜率为1x，故1111()2yx xt，整理得112210txy.设22(,)B xy，同理得112210txy.11(,)A x y,22(,)B xy都满足直线方程2210txy.于是直线2210txy 过点,A B，而两个不同的点确定一条直线，所以直线AB方程为2210txy.即2(21)0txy，当20,2

25、10 xy 时等式恒成立.所以直线AB恒过定点1(0,)2.(2)由(1)得直线AB方程为2210txy，和抛物线方程联立得：2221012txyyx 化简得2210 xtx.于是122xxt,21212()121yyt xxt 设M为线段AB的中点，则21(,)2M t t 由于EMAB ，而2(,2)EMt t,AB 与向量(1,)t平行，所以2(2)0tt t，解得0t 或1t .当0t 时，(0,2)EM ，2EM 所求圆的方程为225()42xy;当1t 时，(1,1)EM 或(1,1)EM ，2EM 所求圆的方程为225()22xy.所以圆的方程为225()42xy或225()22

26、xy.212（2018北京高考）已知抛物线 C：2y=2px 经过点P（1，2）过点 Q（0，1）的直线 l 与抛物线 C有两个不同的交点 A，B，且直线 PA 交 y 轴于 M，直线 PB 交 y 轴于 N（）求直线 l 的斜率的取值范围；（）设 O 为原点，QMQO，QNQO，求证：11为定值【答案】(1)取值范围是（-，-3）（-3，0）（0，1）(2)证明过程见解析【解析】（）因为抛物线 y2=2px 经过点 P（1，2），所以 4=2p，解得 p=2，所以抛物线的方程为 y2=4x由题意可知直线 l 的斜率存在且不为 0，设直线 l 的方程为 y=kx+1（k0）由241yxykx得

27、222410k xkx 依题意2224410kk ，解得 k0 或 0kb0)的左焦点为 F，上顶点为 B已知椭圆的离心率为53，点 A的坐标为(b,0)，且|FB|AB|6 2.(1)求椭圆的方程；(2)设直线 l：ykx(k0)与椭圆在第一象限的交点为 P，且 l 与直线 AB 交于点 Q.若|AQ|PQ|5 24sinAOQ(O为原点)，求 k 的值【解析】(1)设椭圆的焦距为 2c，由已知有c2a259，又由 a2b2c2，可得 2a3b.由已知可得|FB|a，|AB|2b，由|FB|AB|6 2，可得 ab6，从而 a3，b2.所以，椭圆的方程为x29y241.(2)设点 P 的坐标

28、为(x1，y1)，点 Q 的坐标为(x2，y2)由已知有 y1y20，故|PQ|sinAOQy1y2.又因为|AQ|y2sinOAB，而OAB4，所以|AQ|2y2.由|AQ|PQ|5 24sinAOQ，可得 5y19y2.由方程组ykx，x29y241消去 x，可得 y16k9k24.易知直线 AB 的方程为 xy20，23由方程组ykx，xy20消去 x，可得 y22kk1.由 5y19y2，可得 5(k1)3 9k24，两边平方，整理得 56k250k110，解得 k12或 k1128.所以 k 的值为12或1128.4(2018江苏卷)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 过点

29、3，12，焦点 F1(3，0)，F2(3，0)，圆 O 的直径为 F1F2.(1)求椭圆 C 及圆 O 的方程；(2)设直线 l 与圆 O 相切于第一象限内的点 P.若直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，求点 P 的坐标；直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点若OAB 的面积为2 67，求直线 l 的方程【解析】解法一：(1)因为椭圆 C 的焦点为 F1(3，0)，F2(3，0)，所以可设椭圆 C 的方程为x2a2y2b21(ab0)又点3，12在椭圆 C 上，所以3a214b21，a2b23，解得a24，b21.因此，椭圆 C 的方程为x24y21.因为圆 O 的直径为 F1F2，所

30、以其方程为 x2y23.(2)设直线 l 与圆 O 相切于 P(x0，y0)(x00，y00)，则 x20y203，所以直线 l 的方程为 yx0y0(xx0)y0，即 yx0y0 x3y0.24由x24y21，yx0y0 x3y0，消去 y，得(4x20y20)x224x0 x364y200.(*)因为直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，所以(24x0)24(4x20y20)(364y20)48y20(x202)0.因为 x00，y00，所以 x0 2，y01.因此，点 P 的坐标为(2，1)因为OAB 的面积为2 67，所以12ABOP2 67，从而 AB4 27.设 A(x1，y1

31、)，B(x2，y2)，由(*)得 x1,224x048y20 x20224x20y20，所以 AB2(x1x2)2(y1y2)21x20y2048y20 x2024x20y202.因为 x20y203，所以 AB216x202x20123249，即 2x4045x201000，解得 x2052(x2020 舍去)，则 y2012，因此 P 的坐标为102，22.则直线 l 的方程为 y 5x3 2.解法二：(1)由题意知 c 3，所以圆 O 的方程为 x2y23，因为点3，12在椭圆上，所以2a3 3212023 3212024，25所以 a2.因为 a2b2c2，所以 b1，所以椭圆 C 的

32、方程为x24y21.(2)由题意知直线 l 与圆 O 和椭圆 C 均相切，且切点在第一象限，所以直线 l 的斜率 k 存在且 k0，设直线 l 的方程为 ykxm(k0，m0)，将直线 l 的方程代入圆 O 的方程，得 x2(kxm)23，整理得(k21)x22kmxm230，因为直线 l 与圆 O 相切，所以(2km)24(k21)(m23)0，整理得 m23k23，将直线 l 的方程代入椭圆 C 的方程，得x24(kxm)21，整理得(4k21)x28kmx4m240，因为直线 l 与椭圆 C 相切，所以(8km)24(4k21)(4m24)0，整理得 m24k21，所以 3k234k21

33、，因为 k0，所以 k 2，则 m3，将 k 2，m3 代入(k21)x22kmxm230，整理得 x22 2x20，解得 x1x2 2，将 x 2代入 x2y23，解得 y1(y1 舍去)，所以点 P 的坐标为(2，1)设 A(x1，kx1m)，B(x2，kx2m)，由知 m23k23，且 k0，m0，因为直线 l 和椭圆 C 相交，所以 m24k21，解得 k 2，将直线 l 的方程和椭圆 C 的方程联立可得(4k21)x28kmx4m240，解得 x1,28km4 4k21m224k21，所以|x1x2|4 4k21m24k21，因为 ABx1x22kx1kx22|x1x2|k214 4

34、k21m24k21 k21，O 到 l 的距离 d26|m|k21 3，所以 SOAB124 4k21m24k21 k21|m|k21124 k224k21 k21 32 67，解得 k25，因为 k0，所以 k 5，则 m3 2，即直线 l 的方程为 y 5x3 2.5(2018全国卷)设椭圆 C：x22y21 的右焦点为 F，过 F 的直线 l 与 C 交于 A，B 两点，点 M 的坐标为(2,0)(1)当 l 与 x 轴垂直时，求直线 AM 的方程；(2)设 O 为坐标原点，证明：OMAOMB【解析】(1)由已知得 F(1,0)，l 的方程为 x1.由已知可得，点 A 的坐标为1，22或

35、1，22.又 M(2,0)，所以 AM 的方程为 y22x 2或 y22x 2.(2)证明：当 l 与 x 轴重合时，OMAOMB0.当 l 与 x 轴垂直时，直线 OM 为 AB 的垂直平分线，所以OMAOMB当 l 与 x 轴不重合也不垂直时，设 l 的方程为yk(x1)(k0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1 2，x2 2，直线 MA，MB 的斜率之和为 kMAkMBy1x12y2x22.由 y1kx1k，y2kx2k 得kMAkMB2kx1x23kx1x24kx12x22.将 yk(x1)代入x22y21，得(2k21)x24k2x2k220，所以 x1x24k22k21

36、，x1x22k222k21.则 2kx1x23k(x1x2)4k4k34k12k38k34k2k210.从而 kMAkMB0，故 MA，MB 的倾斜角互补所以OMAOMB27综上，OMAOMB6(2018浙江卷)如图，已知点 P 是 y 轴左侧(不含 y 轴)一点，抛物线 C：y24x 上存在不同的两点 A，B 满足 PA，PB 的中点均在 C 上(1)设 AB 中点为 M，证明：PM 垂直于 y 轴；(2)若 P 是半椭圆 x2y241(x0)上的动点，求PAB 面积的取值范围【解析】(1)证明：设 P(x0，y0)，A14y21，y1，B14y22，y2.因为 PA，PB 的中点在抛物线上

37、，所以 y1，y2为方程yy022414y2x02，即 y22y0y8x0y200 的两个不同的实根所以 y1y22y0，因此，PM 垂直于 y 轴(2)由(1)可知y1y22y0，y1y28x0y20，所以|PM|18(y21y22)x034y203x0，|y1y2|22y204x0.因此，PAB 的面积SPAB12|PM|y1y2|3 24(y204x0)32.因为 x20y2041(x0b0)由题意得a2，ca32，解得 c 3.所以 b2a2c21.所以椭圆 C 的方程为x24y21.(2)证明：设 M(m，n)，则 D(m,0)，N(m，n)由题设知 m2，且 n0.直线 AM 的斜

38、率 kAMnm2，故直线 DE 的斜率 kDEm2n.所以直线 DE 的方程为 ym2n(xm)，直线 BN 的方程为 yn2m(x2)联立ym2nxm，yn2mx2，解得点 E 的纵坐标 yEn4m24m2n2.由点 M 在椭圆 C 上得 4m24n2，所以 yE45n.又 SBDE12|BD|yE|25|BD|n|，SBDN12|BD|n|，所以BDE 与BDN 的面积之比为 45.9.（2017全国高考）在直角坐标系 xOy 中，曲线22yxmx与 x 轴交于 A，B 两点，点 C 的坐标为(0,1).当 m 变化时，解答下列问题：（1）能否出现 ACBC 的情况？说明理由；（2）证明过

39、 A，B，C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值.【答案】（1）不会；（2）详见解析30【解析】（1）不能出现 ACBC 的情况，理由如下：设1,0A x（）,2,0B x（）,则12xx，满足220 xmx，所以122x x .又 C 的坐标为（0，1），故 AC 的斜率与 BC 的斜率之积为121112xx，所以不能出现 ACBC 的情况.（2）BC 的中点坐标为（2122x，），可得 BC 的中垂线方程为22x122yx x（）.由（1）可得12xxm，所以 AB 的中垂线方程为2mx .联立222122mxxyx x，又22220 xmx，可得212mxy ，所以过 A、B、C 三点

40、的圆的圆心坐标为（122m，），半径292mr，故圆在 y 轴上截得的弦长为22232mr（），即过 A、B、C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值.1(2017全国卷)设点 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C：x22y21 上，过点 M 作 x 轴的垂线，垂足为 N，点 P 满足NP 2NM.(1)求点 P 的轨迹方程；(2)设点 Q 在直线 x3 上，且OPPQ1.证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F.(1)【解析】设 P(x，y)，M(x0，y0)，则 N(x0，0)，NP(xx0，y)，NM(0，y0)，由NP 2NM得 x0 x，y022y，因为 M(

41、x0，y0)在 C 上，所以x22y221，因此点 P 的轨迹方程为 x2y22.(2)证明：由题意知 F(1，0)，设 Q(3，t)，P(m，n)，则OQ(3，t)，PF(1m，n)，OQPF3133mtn，OP(m，n)，PQ(3m，tn)，由OPPQ1，得3mm2tnn21，又由(1)知 m2n22，故 m3mtn0.2.【2017 课标 1，理 20】已知椭圆 C：2222=1xyab（ab0），四点 P1（1,1），P2（0,1），P3（1，32），P4（1，32）中恰有三点在椭圆 C 上.（1）求 C 的方程；（2）设直线 l 不经过 P2点且与 C 相交于 A，B 两点.若直线

42、P2A 与直线 P2B 的斜率的和为1，证明：l过定点.【答案】（1）2214xy.（2）见解析。【解析】（1）由于3P，4P两点关于 y 轴对称，故由题设知 C 经过3P，4P两点.又由222211134abab知，C 不经过点 P1，所以点 P2在 C 上.因此222111314bab，解得2241ab.故 C 的方程为2214xy.（2）设直线 P2A 与直线 P2B 的斜率分别为 k1，k2，如果 l 与 x 轴垂直，设 l：x=t，由题设知0t，且2t，可得 A，B 的坐标分别为（t，242t），（t，242t）.则22124242122ttkktt，得2t，不符合题设.从而可设 l

43、：ykxm（1m）.将ykxm代入2214xy得32222418440kxkmxm由题设可知22=16 410km.设 A（x1，y1），B（x2，y2），则 x1+x2=2841kmk，x1x2=224441mk.而12121211yykkxx121211kxmkxmxx12121221kx xmxxx x.由题设121kk，故12122110kx xmxx.即22244821104141mkmkmkk.解得12mk.当且仅当1m 时，0，欲使 l：12myxm，即1122myx ，所以 l 过定点（2，1）3.【2017 山东，理 21】在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：22221xyab

44、0ab的离心率为22，焦距为2.（）求椭圆E的方程；（）如图，动直线l：132yk x交椭圆E于,A B两点，C是椭圆E上一点，直线OC的斜率为2k，且1224k k，M是线段OC延长线上一点，且:2:3MCAB，M的半径为MC，,OS OT是M的两条切线，切点分别为,S T.求SOT的最大值，并求取得最大值时直线l的斜率.33【答案】（I）2212xy.（）SOT的最大值为3，取得最大值时直线l的斜率为122k .【解析】（I）由题意知22cea，22c，所以2,1ab，因此 椭圆E的方程为2212xy.（）设1122,A x yB xy，联立方程2211,23,2xyyk x得221142

45、4 310kxk x，由题意知0，且1121222112 31,212 21kxxx xkk，所以221121122111 81221kkABkxxk.由题意可知圆M的半径r为22112111 82 2321kkrk34由题设知1224k k，所以2124kk因此直线OC的方程为124yxk.联立方程2211,22,4xyyxk得2221221181,1414kxykk，因此2221211 81 4kOCxyk.由题意可知1sin21SOTrOCrOCr，而21212211211 81411 82 2321kOCkrkkk212211123 24141kkk，令2112tk，则11,0,1tt

46、，因此2223313112221121119224OCtrttttt，当且仅当112t，即2t 时等号成立，此时122k ，35所以1sin22SOT，因此26SOT，所以SOT最大值为3.综上所述：SOT的最大值为3，取得最大值时直线l的斜率为122k .4.【2017 北京，理 18】已知抛物线 C：y2=2px 过点 P（1，1）.过点（0，12）作直线 l 与抛物线 C 交于不同的两点 M，N，过点 M 作 x 轴的垂线分别与直线 OP，ON 交于点 A，B，其中 O 为原点.（）求抛物线 C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（）求证：A 为线段 BM 的中点.【答案】（）方程为2y

47、x，抛物线 C 的焦点坐标为（14，0），准线方程为14x .（）详见解析.【解析】（）由抛物线 C：22ypx过点 P（1，1），得12p.所以抛物线 C 的方程为2yx.抛物线 C 的焦点坐标为（14，0），准线方程为14x .（）由题意，设直线 l 的方程为12ykx（0k），l 与抛物线 C 的交点为11,M x y，22,N xy.由212ykxyx，得2244410k xkx.则1221kxxk，12214x xk.因为点 P 的坐标为（1，1），所以直线 OP 的方程为yx，点 A 的坐标为11,x y.直线 ON 的方程为22yyxx，点 B 的坐标为2112,y yxx.因为

48、21122112112222y yy yy yx xyxxx36122112211222kxxkxxx xx122121222kx xxxx222112242kkkkx0，所以211122y yyxx.故 A 为线段 BM 的中点.5.【2017 天津，理 19】设椭圆22221(0)xyabab的左焦点为F，右顶点为A，离心率为12.已知A是抛物线22(0)ypx p的焦点，F到抛物线的准线l的距离为12.（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II）设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于点A），直线BQ与x轴相交于点D.若APD的面积为62，求直线AP的方程.【答案】（

49、）22413yx，24yx.（）3630 xy，或3630 xy.【解析】（）【解析】设F的坐标为,0c.依题意，12ca，2pa，12ac，解得1a，12c，2p，于是22234bac.所以，椭圆的方程为22413yx，抛物线的方程为24yx.（）【解析】设直线AP的方程为10 xmym，与直线l的方程1x 联立，可得点21,Pm，37故21,Qm.将1xmy与22413yx 联立，消去x，整理得223460mymy，解得0y，或2634mym.由点B异于点A，可得点222346,3434mmBmm.由21,Qm，可学*科.网得直线BQ的方 程 为222623421103434mmxymmm

50、m，令0y，解 得222332mxm，故2223,032mDm.所 以222223613232mmADmm.又 因 为APD的 面 积 为62，故2216262322mmm，整理得232 620mm，解得63m，所以63m .所以，直线AP的方程为3630 xy，或3630 xy.6.【2017 江苏，17】如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆2222:1(0)xyEabab的左、右焦点分别为1F,2F,离心率为12,两准线之间的距离为 8.点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点1F作 直线1PF的垂线1l,过点2F作直线2PF的垂线2l.（1）求椭圆E的标准方程；（2）若直线E的交点Q在椭圆E