数学（理）知识清单-专题24 解答题解题方法与技巧（考点解读）（原卷+解析版）.pdf

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1、1专题专题 24解答题解题方法与技巧解答题解题方法与技巧解答题在高考数学试题中占据半壁江山，试题并不是单纯的知识叠加，而是知识、方法和能力的综合，且试题具有明显的区分度，前 3 题一般难度中等，最后两题一般难度较大、多为把关题结合近几年的高考试题，题目的设计一般围绕三角函数或解三角形、立体几何、函数、解析几何、数列这几个方面展开对于考生来说，想要得到高分，必须争取在前 3 个解答题上不丢分或少失分，这就需要考生在做题时计算准确、推理严谨、书写规范、步骤清晰，从根本上解决“会而不对，对而不全”的“老大难”问题高频考点一高频考点一三角函数或解三角形三角函数或解三角形【命题角度】(1)三角函数式的求

2、值与化简问题；(2)单纯三角函数知识的综合；(3)三角函数与平面向量交汇；(4)三角函数与解三角形的交汇；(5)单纯解三角形；(6)解三角形与平面向量的交汇.例 1、设函数 f(x)32 3sin2xsin xcos x(0)，且 yf(x)图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为4.(1)求的值；(2)求 f(x)在区间，32 上的最大值和最小值【增粉策略】解决此类问题还应注意：化简时，公式应用要准确；注意所给角或参数的范围；在求单调区间、对称轴和对称中心时要注意不能忽略 k 取整数；求最值或范围时，应满足在定义域内【变式探究】在ABC 中，a3，b2 6，B2A.(1)求 cos A 的值

3、；(2)求 c 的值2【增粉策略】解决三角形问题还应注意：不要忘记三角形中的隐含条件(ABC，abc)；注意边角互化，化为所求的问题；利用正、余弦定理解决实际问题时应明确仰角、俯角和方向角等有关术语的含义高频考点二高频考点二立体几何立体几何【命题角度】(1)证明空间线、面平行或垂直；(2)利用综合法计算空间中的线、面夹角；(3)立体几何中的探索性问题.例 2、如图，已知四棱锥 PABCD，PAD 是以 AD 为斜边的等腰直角三角形，BCAD，CDAD，PCAD2DC2CB，E 为 PD 的中点(1)证明：CE平面 PAB；(2)求直线 CE 与平面 PBC 所成角的正弦值【变式探究】如图，P-

4、ABD 和 Q-BCD 为两个全等的正棱锥，且 A，B，C，D 四点共面，其中 AB1，APB90.(1)求证：BD平面 APQ；(2)求直线 PB 与平面 PDQ 所成角的正弦值【增粉策略】解决此类题目应注意：证明线、面平行或垂直，应注意直线在平面内，两直线相交等情况；找到或作出线面角后，要证明所找或作的线面角为所求角；计算线面角的大小时一定要仔细高频考点三高频考点三函数、导数与不等式函数、导数与不等式3【命题角度】导数日益成为解决问题必不可少的工具，利用导数研究函数的单调性与极值(最值)是高考的常见题型，而导数与函数、不等式、方程、数列等的交汇命题，是高考的热点和难点解答题的热点题型有：(

5、1)利用导数研究函数的单调性、极值、最值；(2)利用导数证明不等式或探讨方程根；(3)利用导数求解参数的范围或值.（一）利用分类讨论思想探究函数性质（一）利用分类讨论思想探究函数性质例 1、设函数 f(x)x22aln x.(1)当 a1 时，求曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)求函数 f(x)的单调区间和极值【感悟提升】1解答这类题的模板定义域求导数零点列表回答遇见参数要讨论哪一步遇见就在哪一步展开讨论2解答这类题的难点(1)何时讨论参数？由于题目条件的不同，有的在求零点时讨论，有的在列表时讨论；(2)如何讨论参数？需要根据题目的条件确定，有时还需参考自变量的取值范围，讨

6、论的关键是做到不重不漏【变式探究】函数 f(x)13x3|xa|(xR，aR)(1)若函数 f(x)在 R 上为增函数，求 a 的取值范围；(2)若函数 f(x)在 R 上不单调时，记 f(x)在1,1上的最大值、最小值分别为 M(a)，m(a)，求 M(a)m(a)（二）利用数形结合思想探究函数的零点（二）利用数形结合思想探究函数的零点例 2、函数 f(x)axxln x 在 x1 处取得极值(1)求 f(x)的单调区间；(2)若 yf(x)m1 在定义域内有两个不同的零点，求实数 m 的取值范围【感悟提升】利用导数探究函数零点的一般思路(1)转化为可用导数研究其函数的图象与 x 轴(或直线

7、 yk)在该区间上的交点问题4(2)利用导数研究该函数在该区间上的单调性、极值(最值)、端点值等性质，进而画出其图象(3)结合图象求解【变式探究】设函数 f(x)ln xmx，mR.(1)当 me(e 为自然对数的底数)时，求 f(x)的极小值；(2)讨论函数 g(x)f(x)x3零点的个数（三）利用函数思想证明不等式（三）利用函数思想证明不等式例 3、已知函数 f(x)1xaxln x 在(1，)上是增函数，且 a0.(1)求 a 的取值范围；(2)若 b0，试证明1ablnabbg(x)(f(x)0(f(x)g(x)0，不等式 f(x)axx21 恒成立，求实数 a 的取值范围【变式探究】

8、已知函数 f(x)ln xa2x2(a1)x.(1)若曲线 yf(x)在 x1 处的切线方程为 y2，求 f(x)的单调区间；(2)若 x0 时，fxxb0)的左焦点为(6，0)，e22.6(1)求椭圆 C 的方程；(2)如图，设 R(x0，y0)是椭圆 C 上一动点，由原点 O 向圆(xx0)2(yy0)24 引两条切线，分别交椭圆于点 P，Q，若直线 OP，OQ 的斜率存在，并记为 k1，k2，求证：k1k2为定值；(3)在(2)的条件下，试问|OP|2|OQ|2是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由（二）构造函数求最值构造函数求最值如图，已知抛物线 x2y，点 A12，14，B3

9、2，94，抛物线上的点 P(x，y)12xb0)的左、右两个焦点分别为 F1，F2，离心率 e22，短轴长为 2.求椭圆的方程；（三）寻找不等关系解范围已知椭圆 E：x2ty231 的焦点在 x 轴上，A 是 E 的左顶点，斜率为 k(k0)的直线交 E 于 A，M 两点，点 N 在 E 上，MANA.(1)当 t4，|AM|AN|时，求AMN 的面积；(2)当 2|AM|AN|时，求 k 的取值范围【感悟提升】解决有关范围问题时，先要恰当地引入变量(如点的坐标、角、斜率等)，寻找不等关系，其方法有：(1)利用判别式来构造不等式，从而确定参数的取值范围；7(2)利用已知参数的取值范围，求新参数

10、的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立相等关系；(3)利用隐含的不等关系，从而求出参数的取值范围；(4)利用已知不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；(5)利用函数值域的求法，确定参数的取值范围【变式探究】已知焦点在 y 轴上的椭圆 E 的中心是原点 O，离心率等于32，以椭圆 E 的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为 4 5.直线 l：ykxm 与 y 轴交于点 P，与椭圆 E 相交于 A，B 两个点(1)求椭圆 E 的方程；(2)若3，求 m2的取值范围（四）确定直线寻定点已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)，四点 P1(1,1)，P2(0，1)，P31，32，P41，3

11、2 中恰有三点在椭圆C 上(1)求 C 的方程；(2)设直线 l 不经过 P2点且与 C 相交于 A，B 两点若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为1，证明：l过定点【变式探究】已知动圆 M 恒过点(0,1)，且与直线 y1 相切(1)求圆心 M 的轨迹方程；(2)动直线 l 过点 P(0，2)，且与点 M 的轨迹交于 A，B 两点，点 C 与点 B 关于 y 轴对称，求证：直线AC 恒过定点（五）假设存在定结论(探索性问题)已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1(1,0)，F2(1,0)，点 A1，22 在椭圆 C 上(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)是否

12、存在斜率为 2 的直线，使得当直线与椭圆 C 有两个不同交点 M，N 时，能在直线 y53上找到一点 P，在椭圆 C 上找到一点 Q，满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由【方法策略】探索性问题的解题策略探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在8(1)当条件和结论不唯一时，要分类讨论(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径【变式探究】已知椭圆 x22y2m(m0)，以椭圆内一点 M(2,1)为中点作弦 AB，设线段 AB 的中垂线与椭圆相交于 C，

13、D 两点(1)求椭圆的离心率；(2)试判断是否存在这样的 m，使得 A，B，C，D 在同一个圆上，并说明理由【方法策略】圆锥曲线解答题的常见类型是：第 1 小题通常是根据已知条件，求曲线方程或离心率，一般比较简单第 2 小题往往是通过方程研究曲线的性质弦长问题、中点弦问题、动点轨迹问题、定点与定值问题、最值问题、相关量的取值范围问题等等，这一小题综合性较强，可通过巧设“点”“线”，设而不求在具体求解时，可将整个解题过程分成程序化的三步：第一步，联立两个方程，并将消元所得方程的判别式与根与系数的关系正确写出；第二步，用两个交点的同一类坐标的和与积，来表示题目中涉及的位置关系和数量关系；第三步，求

14、解转化而来的代数问题，并将结果回归到原几何问题中在求解时，要根据题目特征，恰当的设点、设线，以简化运算【变式探究】已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的右焦点为 F(1,0)，且点 P1，32 在椭圆 C 上，O 为坐标原点(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)设过定点 T(0,2)的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 A，B，且AOB 为锐角，求直线 l 的斜率 k 的取值范围；(3)过椭圆 C1：x2a2y2b2531 上异于其顶点的任一点 P，作圆 O：x2y243的两条切线，切点分别为 M，N(M，N 不在坐标轴上)，若直线 MN 在 x 轴、y 轴上的截距分别为 m，n，证明：

15、13m21n2为定值【方法技巧】解决直线与圆锥曲线位置关系问题的步骤(1)设方程及点的坐标；(2)联立直线方程与曲线方程得方程组，消元得方程(注意二次项系数是否为零)；9(3)应用根与系数的关系及判别式；(4)结合已知条件、中点坐标公式、斜率公式及弦长公式求解【变式探究】已知点 F 为椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线x4y21 与椭圆 E 有且仅有一个交点 M.(1)求椭圆 E 的方程；(2)设直线x4y21 与 y 轴交于 P，过点 P 的直线 l 与椭圆 E 交于不同的两点 A，B，若|PM|2|PA|PB|，求实数的取值范围

16、10专题专题 24解答题解题方法与技巧解答题解题方法与技巧解答题在高考数学试题中占据半壁江山，试题并不是单纯的知识叠加，而是知识、方法和能力的综合，且试题具有明显的区分度，前 3 题一般难度中等，最后两题一般难度较大、多为把关题结合近几年的高考试题，题目的设计一般围绕三角函数或解三角形、立体几何、函数、解析几何、数列这几个方面展开对于考生来说，想要得到高分，必须争取在前 3 个解答题上不丢分或少失分，这就需要考生在做题时计算准确、推理严谨、书写规范、步骤清晰，从根本上解决“会而不对，对而不全”的“老大难”问题高频考点一高频考点一三角函数或解三角形三角函数或解三角形【命题角度】(1)三角函数式的

17、求值与化简问题；(2)单纯三角函数知识的综合；(3)三角函数与平面向量交汇；(4)三角函数与解三角形的交汇；(5)单纯解三角形；(6)解三角形与平面向量的交汇.例 1、设函数 f(x)32 3sin2xsin xcos x(0)，且 yf(x)图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为4.(1)求的值；(2)求 f(x)在区间，32 上的最大值和最小值【解析】(1)f(x)32 3sin2xsin xcos x32 31cos 2x212sin 2x32cos 2x12sin 2xsin2x3.11因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为4，又0，所以2244，)因此1.(2)由(1)知 f

18、(x)sin2x3.当x32时，532x383.(10 分)所以32sin2x3 1.因此1f(x)32故 f(x)在区间，32 上的最大值和最小值分别为32，1【增粉策略】解决此类问题还应注意：化简时，公式应用要准确；注意所给角或参数的范围；在求单调区间、对称轴和对称中心时要注意不能忽略 k 取整数；求最值或范围时，应满足在定义域内【变式探究】在ABC 中，a3，b2 6，B2A.(1)求 cos A 的值；(2)求 c 的值【解析】(1)因为 a3，b2 6，B2A，所以在ABC 中，由正弦定理得3sin A2 6sin 2A.所以2sin Acos Asin A2 63.故 cos A6

19、3，(2)由(1)知 cos A63，所以 sin A1cos2A33.又 B2A，所以cos B2cos2A113所以 sin B1cos2B2 23在ABC 中，sin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B5 39.12所以 casin Csin A5【增粉策略】解决三角形问题还应注意：不要忘记三角形中的隐含条件(ABC，abc)；注意边角互化，化为所求的问题；利用正、余弦定理解决实际问题时应明确仰角、俯角和方向角等有关术语的含义高频考点二高频考点二立体几何立体几何【命题角度】(1)证明空间线、面平行或垂直；(2)利用综合法计算空间中的线、面夹角；(3)立体几何中的探索

20、性问题.例 2、如图，已知四棱锥 P-ABCD，PAD 是以 AD 为斜边的等腰直角三角形，BCAD，CDAD，PCAD2DC2CB，E 为 PD 的中点(1)证明：CE平面 PAB；(2)求直线 CE 与平面 PBC 所成角的正弦值【解析】(1)证明：如图，设 PA 的中点为 F，连接 EF，FB.因为 E，F 分别为 PD，PA 的中点，所以 EFAD 且EF12AD.又因为 BCAD，BC12AD，所以 EFBC 且 EFBC，即四边形 BCEF 为平行四边形，所以 CEBF.因为 BF平面 PAB，CE 平面 PAB，13所以 CE平面 PAB(2)分别取 BC，AD 的中点为 M，N

21、.连接 PN 交 EF 于点 Q，连接 MQ，BN.因为 E，F，N 分别是 PD，PA，AD 的中点，所以 Q 为 EF 的中点，在平行四边形 BCEF 中，MQCE.由PAD 为等腰直角三角形得 PNAD.由 DCAD，N 是 AD 的中点得 BNAD.又 PNBNN，所以 AD平面 PBN.由 BCAD 得 BC平面 PBN，那么平面 PBC平面 PBN过点 Q 作 PB 的垂线，垂足为 H，连接 MH.则 MH 是 MQ 在平面 PBC 上的射影，所以QMH 是直线 CE 与平面 PBC 所成的角设 CD1.在PCD 中，由 PC2，CD1，PD 2得 CE 2，在PBN 中，由 PN

22、BN1，PB 3得 QH14，在 RtMQH 中，QH14，MQ 2，所以 sinQMH28，所以直线 CE 与平面 PBC 所成角的正弦值是28【变式探究】如图，P-ABD 和 Q-BCD 为两个全等的正棱锥，且 A，B，C，D 四点共面，其中 AB1，APB90.(1)求证：BD平面 APQ；(2)求直线 PB 与平面 PDQ 所成角的正弦值14【解析】由已知得 P-ABD 和 Q-BCD 是顶角处三条棱两两垂直，底面是正三角形的正棱锥，其中侧棱长为22.(1)证明：易知底面 ABCD 是菱形，连接 AC(图略)，则 ACBD.易证 PQAC，所以 PQBD.由已知得 P-ABD 和 Q-

23、BCD 是顶角处三条棱两两垂直，所以 AP平面 PBD，所以 BDAP，因为 APPQP，所以 BD平面 APQ.(2)法一：由(1)知 PQBD，取 PQ 中点 M，连接 DM，BM，分别过点 P，Q 做 AC 的垂线，垂足分别为 H，N.由正棱锥的性质可知 H，N 分别为ABD，BCD 的重心，可知四边形 PQNH 为矩形其中 PQ13AC33，PH66.DM PD2PM2156，SBDM12BDPH12166612，SPQD12PQDM1233156512.令 B 到平面 PQD 的距离为 h，则 V三棱锥PBDM12V三棱锥BPQD，即13612361213512h，解得 h105.设

24、 BP 与平面 PQD 所成角为，则 sin h|PB|105222 55.法二：设 AC 与 BD 交于点 O，取 PQ 的中点 M，连接 OM，易知 OM，OB，OC 两两垂直，以 O 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，15则 O(0,0,0)，B12，0，0，D12，0,0，P0，36，66，Q0，36，66，所以 PB12，36，66，PQ0，33，0，PD12，36，66，令 m(a，b，c)为平面 PQD 的法向量，则m PQ0，m PD0，即b0，12a36b66c0.令 a2，则 m(2,0，6)设直线 PB 与平面 PDQ 成角为，所以 sin|cosm，PB|m PB

25、|m|PB|101|10222 55.【增粉策略】解决此类题目应注意：证明线、面平行或垂直，应注意直线在平面内，两直线相交等情况；找到或作出线面角后，要证明所找或作的线面角为所求角；计算线面角的大小时一定要仔细高频考点三高频考点三函数、导数与不等式函数、导数与不等式【命题角度】导数日益成为解决问题必不可少的工具，利用导数研究函数的单调性与极值(最值)是高考的常见题型，而导数与函数、不等式、方程、数列等的交汇命题，是高考的热点和难点解答题的热点题型有：(1)利用导数研究函数的单调性、极值、最值；(2)利用导数证明不等式或探讨方程根；(3)利用导数求解参数的范围或值.16（一）利用分类讨论思想探究

26、函数性质（一）利用分类讨论思想探究函数性质例 1、设函数 f(x)x22aln x.(1)当 a1 时，求曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)求函数 f(x)的单调区间和极值【解析】(1)当 a1 时，f(x)x22ln x，则 f(x)x1x，所以 f(1)0，又 f(1)12，所以曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为 y12.(2)由 f(x)x22aln x，得 f(x)xaxx2ax(x0)当 a0 时，f(x)0，函数 f(x)在(0，)上单调递增，函数既无极大值，也无极小值；当 a0 时，由 f(x)0，得 x a或 x a(舍去)于是，当 x 变化时

27、，f(x)与 f(x)的变化情况如下表：x(0，a)a(a，)f(x)0f(x)a1ln a2函数 f(x)在 x a处取得极小值 f(a)a(1ln a)2，无极大值综上可知，当 a0 时，函数 f(x)的单调递增区间为(0，)，函数 f(x)既无极大值也无极小值；当 a0 时，函数 f(x)的单调递减区间是(0，a)，单调递增区间为(a，)，函数 f(x)有极小值a(1ln a)2，无极大值【感悟提升】1解答这类题的模板定义域求导数零点列表回答遇见参数要讨论哪一步遇见就在哪一步展开讨论2解答这类题的难点(1)何时讨论参数？由于题目条件的不同，有的在求零点时讨论，有的在列表时讨论；(2)如何

28、讨论参数？需要根据题目的条件确定，有时还需参考自变量的取值范围，讨论的关键是做到不17重不漏【变式探究】函数 f(x)13x3|xa|(xR，aR)(1)若函数 f(x)在 R 上为增函数，求 a 的取值范围；(2)若函数 f(x)在 R 上不单调时，记 f(x)在1,1上的最大值、最小值分别为 M(a)，m(a)，求 M(a)m(a)【解析】由已知得，f(x)13x3xa，xa，13x3xa，x0，所以 g(x)在a，)上为增函数令 h(x)13x3xa，则 h(x)x21.令 h(x)0，得 x1，所以 h(x)在(，1)和(1，)上是增函数，在(1,1)上为减函数(1)因为 f(x)在

29、R 上是增函数，所以 h(x)在(，a)上为增函数，所以 a1.故 a 的取值范围为(，1(2)因为函数 f(x)在 R 上不单调，所以 a1.当1a1 时，f(x)在(，1)上是增函数，在(1，a)上是减函数，在a，)上是增函数，所以 m(a)a33，M(a)maxh(1)，g(1)maxa23，43a.当43aa23，即1a13时，M(a)43a，M(a)m(a)13(a33a4)；当43aa23，即13a1 时，M(a)a23，M(a)m(a)13(a33a2)当 a1 时，f(x)在1,1上是减函数，所以 m(a)h(1)a23，M(a)h(1)a23.故 M(a)m(a)43.18综

30、上，M(a)m(a)13(a33a4)，1a13，13(a33a2)，13a0)，f(1)a10，解得 a1，当 a1 时，f(x)xxln x，即 f(x)ln x，令 f(x)0，解得 x1；令 f(x)0，解得 0 x1，即 m2，当 0 x1 时，f(x)x(1ln x)0 且 x0 时，f(x)0；当 x时，显然 f(x).如图，由图象可知，m10，即 m1，由可得2m0.(1)求 a 的取值范围；(2)若 b0，试证明1ablnabb0，所以 ax10，即 x1a，所以1a1，即 a1.故 a 的取值范围为1，(2)证明：因为 b0，a1，所以abb1，又 f(x)1xaxln x

31、 在(1，)上是增函数，21所以 fabbf(1)，即1abbaabblnabb0，化简得1ablnabb，lnabbab等价于 lnabbabln1ab ab0，令 g(x)ln(1x)x(x(0，)，则 g(x)11x1x1x0，所以函数 g(x)在(0，)上为减函数，所以 gab ln1ab ablnabbabg(0)0，即 lnabbab.综上，1ablnabbg(x)(f(x)0(f(x)g(x)1)，则 p(x)ex11(x1)20.所以函数 p(x)h(x)ex11x1在(1，)上单调递增因为 h12 e1220，h(0)e10，所以函数 h(x)ex11x1在(1，)上有唯一零

32、点 x0，且 x012，0.因为 h(x0)0，所以 e01x 1x01，即 ln(x01)(x01)当 x(1，x0)时，h(x)0；当 x(x0，)时，h(x)0，所以当 xx0时，h(x)取得最小值 h(x0)所以 h(x)h(x0)e01x ln(x01)21x01(x01)20.综上可知，当 m1 时，f(x)g(x)x3.（四）利用转化与化归思想求解恒成立问题（四）利用转化与化归思想求解恒成立问题例 4、已知函数 f(x)ln x.(1)求函数 g(x)f(x1)x 的最大值；(2)若对任意 x0，不等式 f(x)axx21 恒成立，求实数 a 的取值范围【解析】(1)f(x)ln

33、 x，g(x)f(x1)xln(x1)x(x1)，g(x)1x11xx1.23当 x(1,0)时，g(x)0，g(x)在(1,0)上单调递增；当 x(0，)时，g(x)0，不等式 f(x)axx21 恒成立，aln xx，ax1x在 x0 上恒成立，进一步转化为ln xxmaxax1xmin，设 h(x)ln xx，则 h(x)1ln xx2，当 x(1，e)时，h(x)0；当 x(e，)时，h(x)0 时，x1x2，当且仅当 x1 时等号成立，要使 axx21 恒成立，必须 a2，满足条件的 a 的取值范围是1e，2.【变式探究】已知函数 f(x)ln xa2x2(a1)x.(1)若曲线 y

34、f(x)在 x1 处的切线方程为 y2，求 f(x)的单调区间；(2)若 x0 时，fxx0)，f(x)1x2x3.由 f(x)1x2x32x23x1x0，得 0 x1，由 f(x)1x2x30，得12x1，f(x)的单调递增区间为0，12 和(1，)，f(x)的单调递减区间为12，1.(2)若fxxfx2，则ln xxa2x(a1)12xa2xa12，即ln xx12x0，得 0 xe，因而 h(x)在(0，e)上单调递增，由 h(x)e，因而 h(x)在(e，)上单调递减h(x)的最大值为 h(e)e，a12e，故 a2e1.从而实数 a 的取值范围为(2e 1，)【感悟提升】函数与导数压

35、轴题堪称“庞然大物”，所以征服它需要一定的胆量和勇气，可以参变量分离、把复杂函数分离为基本函数、可把题目分解成几个小题、也可把解题步骤分解为几个小步，也可从逻辑上重新换叙注重分步解答，这样，即使解答不完整，也要做到尽可能多拿步骤分同时要注意分类思想、数形结合思想、化归与转化等数学思想的运用高频考点四、圆锥曲线的综合问题高频考点四、圆锥曲线的综合问题【命题角度】解析几何是数形结合的典范，是高中数学的主要知识板块，是高考考查的重点知识之一，在解答题中一般会综合考查直线、圆、圆锥曲线等试题难度较大，多以压轴题出现热点题型有：(1)直线与圆锥曲线位置关系；(2)圆锥曲线中定点、定值、最值及范围的求解；

36、(3)轨迹方程及探索性问题的求解.（一）巧妙消元证定值（一）巧妙消元证定值例 4、已知椭圆 C：x2a2y2b21，过 A(2,0)，B(0,1)两点(1)求椭圆 C 的方程及离心率；25(2)设 P 为第三象限内一点且在椭圆 C 上，直线 PA 与 y 轴交于点 M，直线 PB 与 x 轴交于点 N，求证：四边形 ABNM 的面积为定值【解析】(1)由题意得，a2，b1，所以椭圆 C 的方程为x24y21.又 c a2b2 3，所以离心率 eca32.(2)证明：设 P(x0，y0)(x00，y00)，则 x204y204.又 A(2,0)，B(0,1)，所以直线 PA 的方程为 yy0 x

37、02(x2)令 x0，得 yM2y0 x02，从而|BM|1yM12y0 x02.直线 PB 的方程为 yy01x0 x1.令 y0，得 xNx0y01，从而|AN|2xN2x0y01.所以四边形 ABNM 的面积 S12|AN|BM|122x0y0112y0 x02x204y204x0y04x08y042x0y0 x02y022x0y02x04y04x0y0 x02y022.从而四边形 ABNM 的面积为定值【方法策略】解答圆锥曲线的定值问题的策略(1)从特殊情形开始，求出定值，再证明该值与变量无关；(2)采用推理、计算、消元得定值消元的常用方法为整体消元(如本例)、选择消元、对称消元等【变

38、式探究】已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左焦点为(6，0)，e22.26(1)求椭圆 C 的方程；(2)如图，设 R(x0，y0)是椭圆 C 上一动点，由原点 O 向圆(xx0)2(yy0)24 引两条切线，分别交椭圆于点 P，Q，若直线 OP，OQ 的斜率存在，并记为 k1，k2，求证：k1k2为定值；(3)在(2)的条件下，试问|OP|2|OQ|2是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由【解析】(1)由题意得，c 6，e22，解得 a2 3，b 6，椭圆 C 的方程为x212y261.(2)证明：由已知，直线 OP：yk1x，OQ：yk2x，且与圆 R 相切，|k1x0y

39、0|1k212，化简得(x204)k212x0y0k1y2040，同理，可得(x204)k222x0y0k2y2040，k1，k2是方程(x204)k22x0y0ky2040 的两个不相等的实数根，x2040，0，k1k2y204x204.点 R(x0，y0)在椭圆 C 上，x2012y2061，即 y20612x20，k1k2212x20 x20412.故 k1k2为定值(3)|OP|2|OQ|2是定值设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立方程yk1x，x212y261，解得x211212k21，y2112k2112k21，x21y2112(1k21)12k21，27同理，可得 x22

40、y2212(1k22)12k22.由 k1k212，得|OP|2|OQ|2x21y21x22y2212(1k21)12k2112(1k22)12k2212(1k21)12k2112 112k121212k121836k2112k2118.综上，|OP|2|OQ|2为定值，且为 18.（二）构造函数求最值构造函数求最值如图，已知抛物线 x2y，点 A12，14，B32，94，抛物线上的点 P(x，y)12x32.过点 B 作直线AP 的垂线，垂足为 Q.(1)求直线 AP 斜率的取值范围；(2)求|PA|PQ|的最大值【解析】(1)设直线 AP 的斜率为 k，kx214x12x12，因为12xb

41、0)的左、右两个焦点分别为 F1，F2，离心率 e22，短轴长为 2.求椭圆的方程；【解析】由题意得eca22，2b2，a2b2c2，解得a 2，b1，c1，故椭圆的标准方程为x22y21.（三）寻找不等关系解范围已知椭圆 E：x2ty231 的焦点在 x 轴上，A 是 E 的左顶点，斜率为 k(k0)的直线交 E 于 A，M 两点，点 N 在 E 上，MANA.(1)当 t4，|AM|AN|时，求AMN 的面积；(2)当 2|AM|AN|时，求 k 的取值范围29【解析】设 M(x1，y1)，则由题意知 y10.(1)当 t4 时，E 的方程为x24y231，A(2,0)由已知及椭圆的对称性

42、知，直线 AM 的倾斜角为4.因此直线 AM 的方程为 yx2.将 xy2 代入x24y231，得 7y212y0.解得 y0 或 y127，所以 y1127.因此AMN 的面积 SAMN21212712714449.(2)由题意 t3，k0，A(t，0)将直线 AM 的方程 yk(x t)代入x2ty231 得(3tk2)x22 ttk2xt2k23t0.由 x1(t)t2k23t3tk2，得 x1t（3tk2）3tk2，故|AM|x1 t|1k26 t1k23tk2.由题设，直线 AN 的方程为 y1k(x t)，故同理可得|AN|6k t1k23k2t.由 2|AM|AN|，得23tk2

43、k3k2t，即(k32)t3k(2k1)当 k32时上式不成立，因此 t3k2k1k32.t3 等价于k32k2k2k32k2k21k320，即k2k320，k320或k20，解得32kb0)，焦距为 2c，由已知得ca32，c32a，b2a2c2a24.以椭圆 E 的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为 4 5，4 a2b22 5a4 5，a2，b1.椭圆 E 的方程为 x2y241.(2)根据已知得 P(0，m)，设 A(x1，kx1m)，B(x2，kx2m)，由ykxm，4x2y240消去 y，得(k24)x22mkxm240.由已知得4m2k24(k24)(m24)0，即 k2m240，

44、且 x1x22kmk24，x1x2m24k24.由 AP3 PB，得 x13x2.3(x1x2)24x1x212x2212x220.12k2m2k2424(m24)k240，即 m2k2m2k240.当 m21 时，m2k2m2k240 不成立，k24m2m21.k2m240，314m2m21m240，即(4m2)m2m210.解得 1m2b0)，四点 P1(1,1)，P2(0，1)，P31，32，P41，32 中恰有三点在椭圆C 上(1)求 C 的方程；(2)设直线 l 不经过 P2点且与 C 相交于 A，B 两点若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为1，证明：l过定点【解析】(1)由

45、于 P3，P4两点关于 y 轴对称，故由题设知椭圆 C 经过 P3，P4两点又由1a21b21a234b2知，椭圆 C 不经过点 P1，所以点 P2在椭圆 C 上因此1b21，1a234b21，解得a24，b21.故椭圆 C 的方程为x24y21.(2)证明：设直线 P2A 与直线 P2B 的斜率分别为 k1，k2.如果 l 与 x 轴垂直，设 l：xt，由题设知 t0，且|t|0.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x28km4k21，x1x24m244k21.32而 k1k2y11x1y21x2kx1m1x1kx2m1x22kx1x2(m1)(x1x2)x1x2.由题设 k1k

46、21，故(2k1)x1x2(m1)(x1x2)0.即(2k1)4m244k21(m1)8km4k210.解得 km12.当且仅当 m1 时，0，于是 l：ym12xm，即 y1m12(x2)，所以 l 过定点(2，1)【变式探究】已知动圆 M 恒过点(0,1)，且与直线 y1 相切(1)求圆心 M 的轨迹方程；(2)动直线 l 过点 P(0，2)，且与点 M 的轨迹交于 A，B 两点，点 C 与点 B 关于 y 轴对称，求证：直线AC 恒过定点【解析】(1)由题意得，点 M 与点(0,1)的距离始终等于点 M 到直线 y1 的距离，由抛物线的定义知圆心 M 的轨迹是以点(0,1)为焦点，直线

47、y1 为准线的抛物线，则p21，p2.圆心 M 的轨迹方程为 x24y.(2)证明：设直线 l：ykx2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 C(x2，y2)，联立方程x24y，ykx2消去 y，得 x24kx80，x1x24k，x1x28.kACy1y2x1x2x214x224x1x2x1x24，直线 AC 的方程为 yy1x1x24(xx1)即 yy1x1x24(xx1)x1x24xx1x24x1x214x1x24xx1x24，x1x28，yx1x24xx1x24x1x24x2，即直线 AC 恒过定点(0,2).33（五）假设存在定结论(探索性问题)已知椭圆 C：x2a2y2b21(a

48、b0)的左、右焦点分别为 F1(1,0)，F2(1,0)，点 A1，22 在椭圆 C 上(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)是否存在斜率为 2 的直线，使得当直线与椭圆 C 有两个不同交点 M，N 时，能在直线 y53上找到一点 P，在椭圆 C 上找到一点 Q，满足 PM NQ？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由【解析】(1)设椭圆 C 的焦距为 2c，则 c1，因为 A1，22 在椭圆 C 上，所以 2a|AF1|AF2|2 2，因此 a 2，b2a2c21，故椭圆 C 的方程为x22y21.(2)不存在满足条件的直线，证明如下：假设存在斜率为 2 的直线，满足条件，则设直线的方程为

49、 y2xt，设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，Px3，53，Q(x4，y4)，MN 的中点为 D(x0，y0)，由y2xt，x22y21消去 x，得 9y22tyt280，所以 y1y22t9，且4t236(t28)0，故 y0y1y22t9，且3t3.由 PM NQ，得x1x3，y153(x4x2，y4y2)，所以有 y153y4y2，y4y1y25329t53.也可由 PM NQ，知四边形 PMQN 为平行四边形，而 D 为线段 MN 的中点，因此，D 也为线段 PQ的中点，所以 y053y42t9，可得 y42t159又3t3，所以73y40)，以椭圆内一点 M(2,1)为中点作弦

50、 AB，设线段 AB 的中垂线与椭圆相交于 C，D 两点(1)求椭圆的离心率；(2)试判断是否存在这样的 m，使得 A，B，C，D 在同一个圆上，并说明理由【解析】(1)将方程化成椭圆的标准方程x2my2m21(m0)，则 a m，cmm2m2，故 eca22.(2)由题意，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，直线 AB 的斜率存在，设为 k，则直线 AB的方程为 yk(x2)1，代入 x22y2m(m0)，消去 y，得(12k2)x24k(12k)x2(2k1)2m0(m0)所以 x1x24k(2k1)12k24，即 k1，此时，由0，得 m6.则直线