数学（文）知识清单-专题09 等差数列、等比数列（考点解读）（原卷+解析版）.pdf

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1、1专题专题 9等差数列、等比数列等差数列、等比数列高考侧重于考查等差、等比数列的通项 an，前 n 项和 Sn的基本运算，另外等差、等比数列的性质也是高考的热点备考时应切实文解等差、等比数列的概念，加强五个量的基本运算，强化性质的应用意识1等差数列(1)定义式：an1and(nN*，d 为常数)；(2)通项公式：ana1(n1)d；(3)前 n 项和公式：Snna1an2na1nn1d2；(4)性质：anam(nm)d(n、mN*)；若 mnpq(m、n、p、qN*)，则 amanapaq.2等比数列(1)定义式：an1anq(nN*，q 为非零常数)；(2)通项公式：ana1qn1；(3)前

2、 n 项和公式：Snna1q1，a11qn1qq1.(4)性质：anamqnm(n，mN*)；若 mnpq，则 amanapaq(p、q、m、nN*)3复习数列专题要把握等差、等比数列两个定义，牢记通项、前 n 项和四组公式，活用等差、等比数列的性质，明确数列与函数的关系，巧妙利用 an与 Sn的关系进行转化，细辨应用问题中的条件与结论是通项还是前 n 项和，集中突破数列求和的五种方法(公式法、倒序相加法、错位相减法、分组求和法、裂项相消法).【误区警示】1应用 an与 Sn的关系，等比数列前 n 项和公式时，注意分类讨论2等差、等比数列的性质可类比掌握注意不要用混23讨论等差数列前 n 项和

3、的最值时，不要忽视 n 为整数的条件和 an0 的情形4等比数列an中，公比 q0，an0.高频考点一高频考点一等差数列的运算等差数列的运算例 1、（2018 年江苏卷）已知集合，将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列记为数列的前 n 项和，则使得成立的 n 的最小值为_【变式探究】(2017高考全国卷)记 Sn为等差数列an的前 n 项和若 a4a524，S648，则an的公差为()A1B2C4D8【变式探究】(1)已知等差数列an前 9 项的和为 27，a108，则 a100()A100B99C98D97(2)设 Sn是等差数列an的前 n 项和，若 a1a3a53，则 S5()A5B7

4、C9D11【方法规律】1通解是寻求 a1与 d 的关系，然后用公式求和优解法是利用等差中项性质转化求和公式2在等差数列中，当已知 a1和 d 时，用 Snna1nn12d 求和当已知 a1和 an或者 a1ana2an1形式时，常用 Sna1ann2a2an1n2求解【变式探究】若数列an满足1an11and(nN*，d 为常数)，则称数列an为调和数列，已知数列1xn为调和数列，且 x1x2x20200，则 x5x16()A10B20C30D40高频考点二高频考点二等比数列的运算等比数列的运算3例 2(2019高考全国卷)已知各项均为正数的等比数列an的前 4 项和为 15，且 a53a34

5、a1，则a3()A16B8C4D2【举一反三】(2018高考全国卷)记 Sn为数列an的前 n 项和若 Sn2an1，则 S6_.【变式探究】【2017 江苏，9】等比数列na的各项均为实数,其前n项的和为nS,已知3676344SS,则8a=.【变式探究】(1)(2016高考全国卷)设等比数列an满足 a1a310，a2a45，则 a1a2an的最大值为_(2)已知等比数列an满足 a114，a3a54(a41)，则 a2()A2B1C.12D.18【方法规律】1解题关键：抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解2运用函数性质：数列是一种特殊的函数，具有

6、函数的一些性质，如单调性、周期性等，可利用函数的性质解题【变式探究】等比数列an中，a42，a55，则数列lg an的前 8 项和等于()A6B5C4D3高频考点三高频考点三数列递推关系的应用数列递推关系的应用例 3、（2018 年天津卷）设an是等差数列，其前 n 项和为 Sn（nN*）；bn是等比数列，公比大于 0，其前 n 项和为 Tn（nN*）已知 b1=1，b3=b2+2，b4=a3+a5，b5=a4+2a6（）求 Sn和 Tn；（）若 Sn+（T1+T2+Tn）=an+4bn，求正整数 n 的值【变式探究】已知an是公差为 3 的等差数列，数列bn满足 b11，b213，anbn1

7、bn1nbn.(1)求an的通项公式(2)求bn的前 n 项和4【方法规律】判断和证明数列是等差(比)数列的方法1定义法：对于 n1 的任意自然数，验证 an1an或an1an为与正整数 n 无关的一常数2中项公式法：(1)若 2anan1an1(nN*，n2)，则an为等差数列；(2)若 a2nan1an1(nN*，n2)，则an为等比数列【变式探究】已知等差数列an的公差 d0，an的部分项 ak1，ak2，akn构成等比数列，若 k11，k25，k317，求 kn.1【2019 年高考全国 III 卷文数】已知各项均为正数的等比数列 na的前 4 项和为 15，且53134aaa，则3a

8、 A16B8C4D22【2019 年高考浙江卷】设 a，bR，数列an满足 a1=a，an+1=an2+b，nN，则A 当101,102baB 当101,104baC 当102,10ba D 当104,10ba 3【2019 年高考全国 I 卷文数】记 Sn为等比数列an的前 n 项和.若13314aS，则 S4=_4【2019 年高考全国 III 卷文数】记nS为等差数列 na的前n项和，若375,13aa，则10S_.5【2019年高考江苏卷】已知数列*()nanN是等差数列，nS是其前n项和.若25890,27a aaS，则8S的值是_6【2019 年高考全国 I 卷文数】记 Sn为等差

9、数列an的前 n 项和，已知 S9=-a5（I）若 a3=4，求an的通项公式；（II）若 a10，求使得 Snan的 n 的取值范围7【2019 年高考全国 II 卷文数】已知na是各项均为正数的等比数列，1322,216aaa.5（I）求na的通项公式；（II）设2lognnba，求数列 nb的前 n 项和8【2019 年高考北京卷文数】设an是等差数列，a1=10，且 a2+10，a3+8，a4+6 成等比数列（）求an的通项公式；（）记an的前 n 项和为 Sn，求 Sn的最小值9【2019 年高考天津卷文数】设na是等差数列，nb是等比数列，公比大于 0，已知1123323,43ab

10、ba ba.（）求na和 nb的通项公式；（）设数列 nc满足21nnncbn，为奇数,，为偶数.求*1 12222()nna ca ca cnN.10【2019 年高考江苏卷】定义首项为 1 且公比为正数的等比数列为“M数列”.（I）已知等比数列an()nN满足：245132,440a aa aaa，求证:数列an为“M数列”；（II）已知数列bn()nN满足:111221,nnnbSbb，其中 Sn为数列bn的前 n 项和求数列bn的通项公式；设 m 为正整数，若存在“M数列”cn()nN，对任意正整数 k，当 km 时，都有1kkkcbc成立，求 m 的最大值1.（2018 年浙江卷）已

11、知成等比数列，且若，则A.B.C.D.2.（2018 年北京卷）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为 f，则第八个单音的频率为A.B.C.D.63.（2018 年江苏卷）已知集合，将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列记为数列的前 n 项和，则使得成立的 n 的最小值为_4.（2018 年浙江卷）已知等比数列an的公比 q1，且 a3+a4+a5=28，a4+2 是 a3，a5的等差

12、中项数列bn满足 b1=1，数列（bn+1bn）an的前 n 项和为 2n2+n（）求 q 的值；（）求数列bn的通项公式5.（2018 年天津卷）设an是等差数列，其前 n 项和为 Sn（nN*）；bn是等比数列，公比大于 0，其前 n 项和为 Tn（nN*）已知 b1=1，b3=b2+2，b4=a3+a5，b5=a4+2a6（）求 Sn和 Tn；（）若 Sn+（T1+T2+Tn）=an+4bn，求正整数 n 的值6.（2018 年北京卷）设是等差数列，且.（）求的通项公式；（）求.7.（2018 年江苏卷）设，对 1，2，n 的一个排列，如果当 st 时，有，则称是排列的一个逆序，排列的所

13、有逆序的总个数称为其逆序数 例如：对 1，2，3 的一个排列 231，只有两个逆序(2，1)，(3，1)，则排列 231 的逆序数为 2记为 1，2，n 的所有排列中逆序数为 k 的全部排列的个数（1）求的值；（2）求的表达式(用 n 表示)1(2017高考全国卷)记 Sn为等差数列an的前 n 项和 若 a4a524，S648，则an的公差为()A1B2C4D82(2017高考全国卷)等差数列an的首项为 1，公差不为 0.若 a2，a3，a6成等比数列，则an前 6 项的和为()A24B3C3D83(2017高考全国卷)设等比数列an满足 a1a21，a1a33，则 a4_.4(2017高

14、考全国卷)记 Sn为等比数列an的前 n 项和已知 S22，S36.7(1)求an的通项公式；(2)求 Sn，并判断 Sn1，Sn，Sn2是否成等差数列1.【2016 高考新课标 1 卷】已知等差数列 na前 9 项的和为 27,108a,则100a（）（A）100（B）99（C）98（D）972【2016 高考浙江文数】如图，点列An，Bn分别在某锐角的两边上，且1122,nnnnnnA AAAAAn*N，1122,nnnnnnB BBBBBn*N，（PQPQ表示点 与 不重合）.若1nnnnnnndA BSA B B，为的面积，则（）AnS是等差数列B2nS是等差数列Cnd是等差数列D2n

15、d是等差数列3.【2016 年高考北京文数】已知 na为等差数列，nS为其前n项和，若16a，350aa，则6=S_.4.【2016 高考江苏卷】已知na是等差数列，S n是其前n项和.若21253,S=10aa，则9a的值是.5、【2016高考新课标1卷】设等比数列 na满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2an的最大值为6.【2016 高考江苏卷】（本小题满分 16 分）记1,2,100U，.对数列*nanN和U的子集 T，若T ,定义0TS;若12,kTt tt，定义12+kTtttSaaa.例如：=1,3,66T时，1366+TSaaa.现设*nanN是公比为 3 的等比数列

16、，且当=2,4T时，=30TS.（1）求数列 na的通项公式；8（2）对任意正整数1100kk，若1,2,kT，求证：1TkSa；（3）设,CDCU DU SS,求证：2CCDDSSS.9专题专题 9等差数列、等比数列等差数列、等比数列高考侧重于考查等差、等比数列的通项 an，前 n 项和 Sn的基本运算，另外等差、等比数列的性质也是高考的热点备考时应切实文解等差、等比数列的概念，加强五个量的基本运算，强化性质的应用意识1等差数列(1)定义式：an1and(nN*，d 为常数)；(2)通项公式：ana1(n1)d；(3)前 n 项和公式：Snna1an2na1nn1d2；(4)性质：anam(

17、nm)d(n、mN*)；若 mnpq(m、n、p、qN*)，则 amanapaq.2等比数列(1)定义式：an1anq(nN*，q 为非零常数)；(2)通项公式：ana1qn1；(3)前 n 项和公式：Snna1q1，a11qn1qq1.(4)性质：anamqnm(n，mN*)；若 mnpq，则 amanapaq(p、q、m、nN*)3复习数列专题要把握等差、等比数列两个定义，牢记通项、前 n 项和四组公式，活用等差、等比数列的性质，明确数列与函数的关系，巧妙利用 an与 Sn的关系进行转化，细辨应用问题中的条件与结论是通项还是前 n 项和，集中突破数列求和的五种方法(公式法、倒序相加法、错位

18、相减法、分组求和法、裂项相消法).【误区警示】1应用 an与 Sn的关系，等比数列前 n 项和公式时，注意分类讨论2等差、等比数列的性质可类比掌握注意不要用混103讨论等差数列前 n 项和的最值时，不要忽视 n 为整数的条件和 an0 的情形4等比数列an中，公比 q0，an0.高频考点一高频考点一等差数列的运算等差数列的运算例 1、（2018 年江苏卷）已知集合，将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列记为数列的前 n 项和，则使得成立的 n 的最小值为_【答案】27【解析】设，则由得所以只需研究是否有满足条件的解，此时，为等差数列项数，且.由得满足条件的 最小值为 27.【变式探究】(20

19、17高考全国卷)记 Sn为等差数列an的前 n 项和若 a4a524，S648，则an的公差为()A1B2C4D8解析：通解：选 C.设an的公差为 d，则由a4a524，S648，得a13da14d24，6a1652d48，解得 d4.故选 C.优解：由 S648 得 a4a316，(a4a5)(a4a3)8，11d4，故选 C.【变式探究】(1)已知等差数列an前 9 项的和为 27，a108，则 a100()A100B99C98D97解析：通解：an是等差数列，设其公差为 d，由题意得S99a1982d27a10a19d8，a11，d1.a100a199d199198，选 C.优解：设等

20、差数列an的公差为 d，因为an为等差数列，且 S99a527，所以 a53.又 a108，解得5da10a55，所以 d1，所以 a100a595d98，选 C.答案：C(2)设 Sn是等差数列an的前 n 项和，若 a1a3a53，则 S5()A5B7C9D11解析：通解：a1a3a5a1(a12d)(a14d)3a16d3，a12d1，S55a1542d5(a12d)5，故选 A.优解：a1a52a3，a1a3a53a33，a31，S55a1a525a35，故选 A.答案：A【方法规律】1通解是寻求 a1与 d 的关系，然后用公式求和优解法是利用等差中项性质转化求和公式2在等差数列中，当

21、已知 a1和 d 时，用 Snna1nn12d 求和当已知 a1和 an或者 a1ana2an1形式时，常用 Sna1ann2a2an1n2求解【变式探究】若数列an满足1an11and(nN*，d 为常数)，则称数列an为调和数列，已知数列1xn为调和数列，且 x1x2x20200，则 x5x16()12A10B20C30D40解析：选 B.数列1xn为调和数列，11xn111xnxn1xnd，xn是等差数列，x1x2x2020020 x1x202，x1x2020，又x1x20 x5x16，x5x1620.高频考点二高频考点二等比数列的运算等比数列的运算例 2(2019高考全国卷)已知各项均

22、为正数的等比数列an的前 4 项和为 15，且 a53a34a1，则a3()A16B8C4D2解析：由题意知a10，q0，a1a1qa1q2a1q315，a1q43a1q24a1，解得a11，q2，a3a1q24.故选 C.答案：C【举一反三】(2018高考全国卷)记 Sn为数列an的前 n 项和若 Sn2an1，则 S6_.解析：本题主要考查由 an与 Sn的关系求数列的通项公式法一：由 Sn2an1，得 a12a11，所以 a11.当 n2 时，由 anSnSn12an1(2an11)，得 an2an1.an是首项为1，公比为 2 的等比数列所以 S6a11q61q1261263.法二：由

23、 Sn2an1，得 S12S11，所以 S11.当 n2 时，由 Sn2an1，得 Sn2(SnSn1)1，即 Sn2Sn11，所以 Sn12(Sn11)又 S112，所以Sn1是首项为2，公比为 2 的等比数列 所以 Sn122n12n.所以 Sn12n.所以 S612663.答案：63【变式探究】【2017 江苏，9】等比数列na的各项均为实数,其前n项的和为nS,已知3676344SS,则8a=.【答案】3213【解析】当1q 时，显然不符合题意；当1q 时，3161(1)714(1)6314aqqaqq，解得1142aq，则7812324a.【变式探究】(1)(2016高考全国卷)设等

24、比数列an满足 a1a310，a2a45，则 a1a2an的最大值为_解析：通解：求 a1a2an关于 n 的表达式a2a4a1a3a1a3qa1a3510，q12a1a112210，a18a1a2a3anan1qnn128n12nn122n27n2当 n3 或 n4 时，n27n2最大为 6.a1a2an的最大值为 2664优解：利用数列的单调变化设an的公比为 q，由 a1a310，a2a45 得 a18，q12，则 a24，a32，a41，a512，所以a1a2ana1a2a3a464.答案：64(2)已知等比数列an满足 a114，a3a54(a41)，则 a2()A2B1C.12D.

25、18解析：通解：a3a1q2，a4a1q3，a5a1q4，a21q64(a1q31)a114，q616q3640，q38，q2，a2a1q12.优解：设an的公比为 q，由等比数列的性质14可知 a3a5a24，a244(a41)，即(a42)20，得 a42，则 q3a4a12148，得 q2，则 a2a1q14212，故选 C.答案：C【方法规律】1解题关键：抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解2运用函数性质：数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如单调性、周期性等，可利用函数的性质解题【变式探究】等比数列an中，a42，a55，则数列lg a

26、n的前 8 项和等于()A6B5C4D3解析：选 C.由题意知 a1a8a2a7a3a6a4a510，数列lg an的前 8 项和等于 lg a1lg a2lga8lg(a1a2a8)lg(a4a5)44lg(a4a5)4lg 104.故选 C.高频考点三高频考点三数列递推关系的应用数列递推关系的应用例 3、（2018 年天津卷）设an是等差数列，其前 n 项和为 Sn（nN*）；bn是等比数列，公比大于 0，其前 n 项和为 Tn（nN*）已知 b1=1，b3=b2+2，b4=a3+a5，b5=a4+2a6（）求 Sn和 Tn；（）若 Sn+（T1+T2+Tn）=an+4bn，求正整数 n

27、的值【答案】()，；()4.【解析】（I）设等比数列的公比为 q，由 b1=1，b3=b2+2，可得因为，可得，故所以，设等差数列的公差为 由，可得由，可得从而，故，所以，（II）由（I），有15由可得，整理得解得（舍），或所以 n 的值为 4【变式探究】已知an是公差为 3 的等差数列，数列bn满足 b11，b213，anbn1bn1nbn.(1)求an的通项公式(2)求bn的前 n 项和解析：(1)因为 anbn1bn1nbn，所以 a1b2b2b1，解得 a12又an是公差为 3 的等差数列，所以 ana1(n1)d2(n1)33n1，即通项公式为 an3n1.(2)由 anbn1bn1

28、nbn得bn1bn13，所以数列bn是首项 b11，公比 q13的等比数列所以数列bn的前 n 项和为 Sn113n113321231n.【方法规律】判断和证明数列是等差(比)数列的方法1定义法：对于 n1 的任意自然数，验证 an1an或an1an为与正整数 n 无关的一常数2中项公式法：(1)若 2anan1an1(nN*，n2)，则an为等差数列；(2)若 a2nan1an1(nN*，n2)，则an为等比数列【变式探究】已知等差数列an的公差 d0，an的部分项 ak1，ak2，akn构成等比数列，若 k11，k25，k317，求 kn.解：设等比数列 ak1，ak2，akn的公比为 q

29、，因为 k11，k25，k317，所以 a1a17a25，即 a1(a116d)(a14d)2，化简得 a1d2d2.又 d0，得 a12d，所以 qa5a1a14da12d4d2d3.一方面，akn作为等差数列an的第 kn项，有 akna1(kn1)d2d(kn1)d(kn1)d，16另一方面，akn作为等比数列的第 n 项，有 aknak1qn1a13n12d3n1，所以(kn1)d2d3n1.又 d0，所以 kn23n11.1【2019 年高考全国 III 卷文数】已知各项均为正数的等比数列 na的前 4 项和为 15，且53134aaa，则3a A16B8C4D2【答案】C【解析】设

30、正数的等比数列an的公比为q，则231111421111534aa qa qa qa qa qa，解得11,2aq，2314aa q，故选 C2【2019 年高考浙江卷】设 a，bR，数列an满足 a1=a，an+1=an2+b，nN，则A 当101,102baB 当101,104baC 当102,10ba D 当104,10ba【答案】A【解析】当 b=0 时，取 a=0，则0,nanN.当0，求使得 Snan的 n 的取值范围【答案】（I）210nan；（II）110()nnN.【解析】（I）设 na的公差为d由95Sa 得140ad由a3=4得124ad于是18,2ad 19因此 na的

31、通项公式为102nan（II）由（I）得14ad，故(9)(5),2nnn ndand S.由10a 知0d，故nnSa等价于21110 0nn，解得1n10所以n的取值范围是|110,nnnN7【2019 年高考全国 II 卷文数】已知na是各项均为正数的等比数列，1322,216aaa.（I）求na的通项公式；（II）设2lognnba，求数列 nb的前 n 项和【答案】（I）212nna；（II）2nSn.【解析】（I）设 na的公比为q，由题设得22416qq，即2280qq 解得2q （舍去）或q=4因此 na的通项公式为1212 42nnna（II）由（I）得2(21)log 22

32、1nbnn，因此数列 nb的前n项和为21 321nn 8【2019 年高考北京卷文数】设an是等差数列，a1=10，且 a2+10，a3+8，a4+6 成等比数列（）求an的通项公式；（）记an的前 n 项和为 Sn，求 Sn的最小值【答案】（）212nan；（）当5n 或者6n 时，nS取到最小值30.【解析】（）设 na的公差为d因为110a ，所以23410,102,103ad ad ad 因为23410,8,6aaa成等比数列，所以23248106aaa所以2(22)(43)ddd 20解得2d 所以1(1)212naandn（）由（）知，212nan所以，当7n 时，0na；当6n

33、 时，0na 所以，nS的最小值为630S 9【2019 年高考天津卷文数】设na是等差数列，nb是等比数列，公比大于 0，已知1123323,43abba ba.（）求na和 nb的通项公式；（）设数列 nc满足21nnncbn，为奇数,，为偶数.求*1 12222()nna ca ca cnN.【答案】（I）3nan，3nnb；（II）22(21)369()2nnnnN【解析】（）设等差数列 na的公差为d，等比数列 nb的公比为q.依题意，得2332,3154,qdqd解得3,3,dq故133(1)3,3 33nnnnannb.所以，na的通项公式为3nan，nb的通项公式为3nnb.（

34、）1 12 222nnaca ca c 135212 14 26 32nn naaaaa ba ba ba b123(1)36(6 312 318 363)2nn nnn 21236 1 32 33nnn.记121 32 33nnTn ,则23131 32 33nnTn ,21得，123113 1 3(21)332333331332nnnnnnnTnn .所以，1221 12222(21)3336332nnnnna ca ca cnTn 22(21)3692nnnnN.10【2019 年高考江苏卷】定义首项为 1 且公比为正数的等比数列为“M数列”.（I）已知等比数列an()nN满足：2451

35、32,440a aa aaa，求证:数列an为“M数列”；（II）已知数列bn()nN满足:111221,nnnbSbb，其中 Sn为数列bn的前 n 项和求数列bn的通项公式；设 m 为正整数，若存在“M数列”cn()nN，对任意正整数 k，当 km 时，都有1kkkcbc成立，求 m 的最大值【答案】（I）见解析；（II）bn=n*nN；5.【解析】解：（1）设等比数列an的公比为q，所以a10，q0.由245321440a aaaaa，得244112111440a qa qa qa qa，解得112aq因此数列na为“M数列”.（2）因为1122nnnSbb，所以0nb 由1111,bS

36、b，得212211b，则22b.由1122nnnSbb，得112()nnnnnb bSbb，当2n 时，由1nnnbSS，得111122nnnnnnnnnb bbbbbbbb，整理得112nnnbbb22所以数列bn是首项和公差均为1的等差数列.因此，数列bn的通项公式为bn=n*nN.由知，bk=k，*kN.因为数列cn为“M数列”，设公比为q，所以c1=1，q0.因为ckbkck+1，所以1kkqkq，其中k=1，2，3，m.当k=1时，有q1；当k=2，3，m时，有lnlnln1kkqkk设f（x）=ln(1)xxx，则21 ln()xf xx令()0f x，得x=e.列表如下：x(1,

37、e)e(e，+)()f x+0f（x）极大值因为ln2ln8ln9ln32663，所以maxln3()(3)3f kf取33q，当k=1，2，3，4，5时，lnlnkqk，即kkq，经检验知1kqk也成立因此所求m的最大值不小于5若m6，分别取k=3，6，得3q3，且q56，从而q15243，且q15216，所以q不存在.因此所求m的最大值小于6.综上，所求m的最大值为51.（2018 年浙江卷）已知成等比数列，且若，则A.B.C.D.【答案】B【解析】令则，令得，所以当时，当时，因此，若公比，则，不合题意；23若公比，则但，即，不合题意；因此，选 B.2.（2018 年北京卷）“十二平均律”

38、是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为 f，则第八个单音的频率为A.B.C.D.【答案】D【解析】因为每一个单音与前一个单音频率比为，所以，又，则，故选 D.3.（2018 年江苏卷）已知集合，将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列记为数列的前 n 项和，则使得成立的 n 的最小值为_【答案】27【解析】设，则由得所以只需研究是否有满足条件的解，此时，为等差数列项数，且.由24得满足条件的 最小值为

39、.4.（2018 年浙江卷）已知等比数列an的公比 q1，且 a3+a4+a5=28，a4+2 是 a3，a5的等差中项数列bn满足 b1=1，数列（bn+1bn）an的前 n 项和为 2n2+n（）求 q 的值；（）求数列bn的通项公式【答案】（）（）【解析】（）由是的等差中项得，所以，解得.由得，因为，所以.（）设，数列前 n 项和为.由解得.由（）可知，所以，故，.设，所以，因此，又，所以.255.（2018 年天津卷）设an是等差数列，其前 n 项和为 Sn（nN*）；bn是等比数列，公比大于 0，其前 n 项和为 Tn（nN*）已知 b1=1，b3=b2+2，b4=a3+a5，b5=

40、a4+2a6（）求 Sn和 Tn；（）若 Sn+（T1+T2+Tn）=an+4bn，求正整数 n 的值【答案】()，；()4.【解析】（I）设等比数列的公比为 q，由 b1=1，b3=b2+2，可得因为，可得，故所以，设等差数列的公差为 由，可得由，可得从而，故，所以，（II）由（I），有由可得，整理得解得（舍），或所以 n 的值为 46.（2018 年北京卷）设是等差数列，且.（）求的通项公式；（）求.【答案】（I）（II）【解析】（I）设等差数列的公差为，又，.（II）由（I）知，是以 2 为首项，2 为公比的等比数列.26.7.（2018 年江苏卷）设，对 1，2，n 的一个排列，如果当

41、 st 时，有，则称是排列的一个逆序，排列的所有逆序的总个数称为其逆序数 例如：对 1，2，3 的一个排列 231，只有两个逆序(2，1)，(3，1)，则排列 231 的逆序数为 2记为 1，2，n 的所有排列中逆序数为 k 的全部排列的个数（1）求的值；（2）求的表达式(用 n 表示)【答案】（1）25（2）n5 时，【解析】（1）记为排列 abc 的逆序数，对 1，2，3 的所有排列，有，所以对 1，2，3，4 的排列，利用已有的 1，2，3 的排列，将数字 4 添加进去，4 在新排列中的位置只能是最后三个位置因此，（2）对一般的 n（n4）的情形，逆序数为 0 的排列只有一个：12n，所

42、以逆序数为 1 的排列只能是将排列 12n 中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所以为计算，当 1，2，n 的排列及其逆序数确定后，将 n+1 添加进原排列，n+1 在新排列中的位置只能是最后三个位置因此，当 n5 时，因此，n5 时，1(2017高考全国卷)记 Sn为等差数列an的前 n 项和 若 a4a524，S648，则an的公差为()A1B227C4D8解析：通解：选 C.设an的公差为 d，则由a4a524，S648，得a13da14d24，6a1652d48，解得 d4.故选 C.优解：由 S648 得 a4a316，(a4a5)(a4a3)8，d4，故选 C.2(2017高考

43、全国卷)等差数列an的首项为 1，公差不为 0.若 a2，a3，a6成等比数列，则an前 6 项的和为()A24B3C3D8解析：选 A.由已知条件可得 a11，d0，由 a23a2a6可得(12d)2(1d)(15d)，解得 d2.所以 S661652224.故选 A.3(2017高考全国卷)设等比数列an满足 a1a21，a1a33，则 a4_.解析：设等比数列an的公比为 q，a1a21，a1a33，a1(1q)1，a1(1q2)3.，得 1q3，q2.a11，a4a1q31(2)38.答案：84(2017高考全国卷)记 Sn为等比数列an的前 n 项和已知 S22，S36.(1)求an

44、的通项公式；(2)求 Sn，并判断 Sn1，Sn，Sn2是否成等差数列解：(1)设an的公比为 q.由题设可得28a11q2，a11qq26.解得 q2，a12.故an的通项公式为 an(2)n.(2)由(1)可得Sn212n1223(1)n2n13.由于 Sn2Sn143(1)n2n32n232231n2n132Sn，故 Sn1，Sn，Sn2成等差数列1.【2016 高考新课标 1 卷】已知等差数列 na前 9 项的和为 27,108a,则100a（）（A）100（B）99（C）98（D）97【答案】C【解析】由已知,1193627,98adad所以110011,1,991 9998,ada

45、ad 故选 C.2【2016 高考浙江文数】如图，点列An，Bn分别在某锐角的两边上，且1122,nnnnnnA AAAAAn*N，1122,nnnnnnB BBBBBn*N，（PQPQ表示点 与 不重合）.若1nnnnnnndA BSA B B，为的面积，则（）AnS是等差数列B2nS是等差数列Cnd是等差数列D2nd是等差数列【答案】A【解析】nS表示点nA到对面直线的距离（设为nh）乘以1nnB B长度一半，即112nnnnSh B B，由29题目中条件可知1nnB B的长度为定值，那么我们需要知道nh的关系式，过1A作垂直得到初始距离1h，那么1,nA A和两个垂足构成了等腰梯形，那么

46、11tannnnhhA A，其中为两条线的夹角，即为定值，那么1111(tan)2nnnnShA AB B，111111(tan)2nnnnShA AB B，作差后：1111(tan)2nnnnnnSSA AB B，都为定值，所以1nnSS为定值故选 A3.【2016 年高考北京文数】已知 na为等差数列，nS为其前n项和，若16a，350aa，则6=S_.【答案】6【解析】na是等差数列，35420aaa，40a，4136aad，2d ，616156 6 15(2)6Sad ，故填：64.【2016 高考江苏卷】已知na是等差数列，S n是其前n项和.若21253,S=10aa，则9a的值是

47、.【答案】20.【解析】由510S 得32a，因此2922(2d)33,23 620.dda 5、【2016高考新课标1卷】设等比数列 na满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2an的最大值为【答案】64【解析】设等比数列 na的公比为(0)q q，由1324105aaaa得2121(1)10(1)5aqa qq，解得1812aq.所以2(1)171 2(1)22212118()22n nnnnnnna aaa q，于是当3n 或4n 时，12na aa取得最大值6264.6.【2016 高考江苏卷】（本小题满分 16 分）记1,2,100U，.对数列*nanN和U的子集 T，若T

48、,定义0TS;若12,kTt tt，定义12+kTtttSaaa.例如：=1,3,66T时，1366+TSaaa.现设*nanN是公比为 3 的等比数列，且当=2,4T时，=30TS.30（1）求数列 na的通项公式；（2）对任意正整数1100kk，若1,2,kT，求证：1TkSa；（3）设,CDCU DU SS,求证：2CCDDSSS.【答案】（1）13nna（2）详见解析（3）详见解析【解析】（1）由已知得1*13,nnaanN.于是当2,4T 时，2411132730rSaaaaa.又30rS，故13030a，即11a.所以数列 na的通项公式为1*3,nnanN.（2）因为1,2,Tk

49、，1*30,nnanN，所以11211 33(31)32kkkrkSaaa .因此，1rkSa.（3）下面分三种情况证明.若D是C的子集，则2CCDCDDDDSSSSSSS.若C是D的子集，则22CCDCCCDSSSSSS.若D不是C的子集，且C不是D的子集.令UECD，UFDC则E，F ，EF .于是CECDSSS，DFCDSSS，进而由CDSS，得EFSS.设k是E中的最大数，l为F中的最大数，则1,1,klkl.由（2）知，1EkSa，于是1133lklFEkaSSa，所以1lk，即lk.又kl，故1lk，从而11211311 33222llkEFlaSSaaa ，31故21EFSS，所以2()1CCDDCDSSSS，即21CCDDSSS.综合得，2CCDDSSS.