数学（文）知识清单-专题11 空间几何体的三视图、表面积及体积（原卷+解析版）.pdf

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1、1专练专练1 在如图所示的空间直角坐标系 Oxyz 中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)，给出编号的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为()A和B和C和D和2如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体任意两个顶点间距离的最大值是()A4B5C3 2D3 33已知等腰直角三角形的直角边的长为 2，将该三角形绕其斜边所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()A.2 23B.4 23C2 2D4 24如图，在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 是棱 BC 上的一点，则三棱锥 D1B1C1E 的体积等于()2A.1

2、3B.512C.36D.165 九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑 若三棱锥 PABC 为鳖臑，PA平面 ABC，PAAB2，AC4，三棱锥 PABC的四个顶点都在球 O 的球面上，则球 O 的表面积为()A8B12C20D246某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为 3 7，则侧(左)视图中线段的长度 x 的值是()A.7B2 7C4D57如图，正四棱锥 PABCD 的底面边长为 6 cm，侧棱长为 5 cm，则它的侧(左)视图的周长等于()A17 cmB(1195)cmC16 cmD14 cm8已知直三棱柱 A

3、BCA1B1C1的 6 个顶点都在球 O 的球面上若 AB3，AC4，ABAC，AA112，则球 O 的半径为()3A.3 172B2 10C.132D3 109一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.1323B.1323C.1326D12610某四面体的三视图如图所示，该四面体的六条棱中，长度最长的棱的长是()A2 5B2 6C2 7D4 211某四棱锥的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A17B224C142 13D222 1312一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为()A24B6C4D213已知等腰直角三角形的直角边的长为

4、 2，将该三角形绕其斜边所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()A.2 23B.4 23C2 2D4 214如图，在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 是棱 BC 上的一点，则三棱锥 D1B1C1E 的体积等于()A.13B.512C.36D.1615 九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑 若三棱锥 PABC 为鳖臑，PA平面 ABC，PAAB2，AC4，三棱锥 PABC5的四个顶点都在球 O 的球面上，则球 O 的表面积为()A8B12C20D2416某几何体的三视图如图所示，若该几何体的

5、体积为 3 7，则侧(左)视图中线段的长度 x 的值是()A.7B2 7C4D517如图，正四棱锥 PABCD 的底面边长为 6 cm，侧棱长为 5 cm，则它的侧(左)视图的周长等于()A17 cmB(1195)cmC16 cmD14 cm18已知直三棱柱 ABCA1B1C1的 6 个顶点都在球 O 的球面上若 AB3，AC4，ABAC，AA112，则球 O 的半径为()A.3 172B2 10C.132D3 1019如下图所示，某空间几何体的正视图与侧视图相同，则此几何体的表面积为()6A6B.23 3C4D2 320某四面体的三视图如图所示，该四面体的六条棱中，长度最长的棱的长是()A2

6、 5B2 6C2 7D4 221某四棱锥的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A17B22C142 13D222 13722一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为()A24B6C4D223现有橡皮泥制作的底面半径为 5、高为 4 的圆锥和底面半径为 2，高为 8 的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为_24三棱锥 PABC 中，D，E 分别为 PB，PC 的中点，记三棱锥 DABE 的体积为 V1，PABC 的体积为V2，则V1V2_.25已知底面为正方形的四棱锥 PABCD，如图(1)所示，PC平

7、面 ABCD，其中图(2)为该四棱锥的正视图和侧视图，它们是腰长为 4 cm 的全等的等腰直角三角形(1)根据图(2)所给的正视图、侧视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积；(2)求四棱锥 PABCD 的侧面积26如图所示，从正方体 ABCDA1B1C1D1的 8 个顶点中选出的 4 个点恰为一个正四面体的顶点8(1)若选出 4 个顶点包含点 A，请在图中画出这个正四面体；(2)求棱长为 a 的正四面体外接球的半径27一个透明的球形装饰品内放置了两个公共底面的圆锥，且这两个圆锥的顶点和底面圆周都在这个球面上，如图所示，已知圆锥底面面积是这个球面面积的316，设球的半径为 R，圆锥底面半径

8、为 r.(1)试确定 R 与 r 的关系，并求出较大圆锥与较小圆锥的体积之比；(2)求出两个圆锥的体积之和与球的体积之比9高考押题专练高考押题专练1 在如图所示的空间直角坐标系 Oxyz 中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)，给出编号的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为()A和B和C和D和【答案】D【解析】如图，在坐标系中标出已知的四个点，根据三视图的画图规则判断三棱锥的正视图为，俯视图为.2如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体任意两个顶点间距离的最大值是()A4B5C3 2D3 3【答案】D【解析】由三视图作出几何体的直观图(

9、如图所示)，计算可知 AF 最长，且 AF BF2AB23 3.103已知等腰直角三角形的直角边的长为 2，将该三角形绕其斜边所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()A.2 23B.4 23C2 2D4 2【答案】B【解析】旋转体是两个圆锥，其底面半径为直角三角形斜边的高 2，高即斜边的长的一半 2，故所得几何体的体积 V13(2)2 224 23.4如图，在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 是棱 BC 上的一点，则三棱锥 D1B1C1E 的体积等于()A.13B.512C.36D.16【答案】D【解析】VD1_x001F_B1C1EVE_x001F_B1C1

10、D113SB1C1D1CC1131212116，故选 D.5 九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑若三棱锥 PABC 为鳖臑，PA平面 ABC，PAAB2，AC4，三棱锥 PABC的四个顶点都在球 O 的球面上，则球 O 的表面积为()A8B12C20D24【答案】C11【解析】将三棱锥 PABC 放入长方体中，如图，三棱锥 PABC 的外接球就是长方体的外接球因为 PAAB2，AC4，ABC 为直角三角形，所以 BC 42222 3.设外接球的半径为 R，依题意可得(2R)22222(2 3)220，故 R25，则球 O

11、 的表面积为 4R220.故选 C.6某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为 3 7，则侧(左)视图中线段的长度 x 的值是()A.7B2 7C4D5【答案】C【解析】分析题意可知，该几何体为如图所示的四棱锥 PABCD，故其体积 V1332324CP3 7，所以 CP 7，所以 x 32724.7如图，正四棱锥 PABCD 的底面边长为 6 cm，侧棱长为 5 cm，则它的侧(左)视图的周长等于()A17 cmB(1195)cm12C16 cmD14 cm【答案】D【解析】由题意可知，侧(左)视图是一个三角形，底边长等于正四棱锥底面正方形的边长，高为正四棱锥的高的一个等腰三角形因为侧棱

12、长 5 cm，所以斜高 h 52324(cm)，又正四棱锥底面正方形的边长为 6 cm，所以侧(左)视图的周长为 64414(cm)8已知直三棱柱 ABCA1B1C1的 6 个顶点都在球 O 的球面上若 AB3，AC4，ABAC，AA112，则球 O 的半径为()A.3 172B2 10C.132D3 10【答案】C【解析】因为在直三棱柱中 AB3，AC4，AA112，ABAC，所以 BC5，且 BC 为过底面 ABC的截面圆的直径取 BC 中点 D，则 OD底面 ABC，则 O 在侧面 BCC1B1内，矩形 BCC1B1的对角线长即为球直径，所以 2R 1225213，即 R132.9一个由

13、半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.1323B.1323C.1326D126【答案】C【解析】由三视图可知，半球的半径为22，四棱锥底面正方形边长为 1，高为 1，所以该组合体的体积4322312131111326.1310某四面体的三视图如图所示，该四面体的六条棱中，长度最长的棱的长是()A2 5B2 6C2 7D4 2【答案】C【解析】由三视图可知该四面体的直观图如图所示，其中 AC2，PA2，ABC 中，边 AC 上的高为2 3，所以 BC 422 322 7，而 PB PA2AB2 22422 5，PC PA2AC22 2，因此在四面体的六条棱中，长度

14、最长的棱是 BC，其长为 2 7，选 C.11某四棱锥的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A17B22C142 13D222 13【答案】D【解析】可借助长方体，作出该四棱锥的直观图，如图中的四棱锥 VABCD 所示则 BC平面 VAB，AB平面 VAD，CD平面 VAD，VD5，VB 13，所以四棱锥 VABCD 的表面积 S表SVABSVBCSVCDSVADS四边形ABCD12(234 132534)24222 13.故选 D.1412一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为()A24B6C4D2【答案】B【解析】题中的几何体是三棱锥 ABCD，如图所示，其中底面

15、BCD 是等腰直角三角形，BCCD 2，AB平面 BCD，BCCD，AB 2，BD2，ACCD.取 AD 的中点 M，连接 BM，CM，则有 BMCM12AD12222262.从而可知该几何体的外接球的半径是62.故该几何体的外接球的表面积为46226，应选 B.13已知等腰直角三角形的直角边的长为 2，将该三角形绕其斜边所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()A.2 23B.4 23C2 2D4 2【答案】B【解析】旋转体是两个圆锥，其底面半径为直角三角形斜边的高 2，高即斜边的长的一半 2，故所得几何体的体积 V13(2)2 224 23.14如图，在棱长为 1 的正方体 A

16、BCDA1B1C1D1中，E 是棱 BC 上的一点，则三棱锥 D1B1C1E 的体积等15于()A.13B.512C.36D.16【答案】D【解析】VD1_x001F_B1C1EVE_x001F_B1C1D113SB1C1D1CC1131212116，故选 D.15 九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑若三棱锥 PABC 为鳖臑，PA平面 ABC，PAAB2，AC4，三棱锥 PABC的四个顶点都在球 O 的球面上，则球 O 的表面积为()A8B12C20D24【答案】C【解析】将三棱锥 PABC 放入长方体中，如图，三棱锥

17、 PABC 的外接球就是长方体的外接球因为 PAAB2，AC4，ABC 为直角三角形，所以 BC 42222 3.设外接球的半径为 R，依题意可得(2R)22222(2 3)220，故 R25，则球 O 的表面积为 4R220.故选 C.16 某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为 3 7，则侧(左)视图中线段的长度 x 的值是()16A.7B2 7C4D5【答案】C【解析】分析题意可知，该几何体为如图所示的四棱锥 PABCD，故其体积 V1332324CP3 7，所以 CP 7，所以 x 32724.17如图，正四棱锥 PABCD 的底面边长为 6 cm，侧棱长为 5 cm，则它的侧(

18、左)视图的周长等于()A17 cmB(1195)cmC16 cmD14 cm【答案】D【解析】由题意可知，侧(左)视图是一个三角形，底边长等于正四棱锥底面正方形的边长，高为正四棱锥的高的一个等腰三角形因为侧棱长 5 cm，所以斜高 h 52324(cm)，又正四棱锥底面正方形的边长为 6 cm，所以侧(左)视图的周长为 64414(cm)18已知直三棱柱 ABCA1B1C1的 6 个顶点都在球 O 的球面上若 AB3，AC4，ABAC，AA112，则球 O 的半径为()A.3 172B2 10C.132D3 10【答案】C【解析】因为在直三棱柱中 AB3，AC4，AA112，ABAC，所以 B

19、C5，且 BC 为过底面 ABC的截面圆的直径取 BC 中点 D，则 OD底面 ABC，则 O 在侧面 BCC1B1内，矩形 BCC1B1的对角线长即为球直径，所以 2R 1225213，即 R132.1719如下图所示，某空间几何体的正视图与侧视图相同，则此几何体的表面积为()A6B.23 3C4D2 3【解析】此几何体为一个组合体，上为一个圆锥，下为一个半球拼接而成，表面积为 S4212224.【答案】C20某四面体的三视图如图所示，该四面体的六条棱中，长度最长的棱的长是()A2 5B2 6C2 7D4 2【答案】C【解析】由三视图可知该四面体的直观图如图所示，其中 AC2，PA2，ABC

20、 中，边 AC 上的高为2 3，所以 BC 422 322 7，而 PB PA2AB2 22422 5，PC PA2AC22 2，因此在四面体的六条棱中，长度最长的棱是 BC，其长为 2 7，选 C.1821某四棱锥的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A17B22C142 13D222 13【答案】D【解析】可借助长方体，作出该四棱锥的直观图，如图中的四棱锥 VABCD 所示则 BC平面 VAB，AB平面 VAD，CD平面 VAD，VD5，VB 13，所以四棱锥 VABCD 的表面积 S表SVABSVBCSVCDSVADS四边形ABCD12(234 132534)24222 13.故选

21、D.22一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为()A24B6C4D2【答案】B【解析】题中的几何体是三棱锥 ABCD，如图所示，其中底面BCD 是等腰直角三角形，BCCD 2，AB平面 BCD，BCCD，AB 2，BD2，ACCD.取 AD 的中点 M，连接 BM，CM，则有 BMCM12AD12222262.从而可知该几何体的外接球的半径是62.故该几何体的外接球的表面积为46226，应选 B.1923现有橡皮泥制作的底面半径为 5、高为 4 的圆锥和底面半径为 2，高为 8 的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则

22、新的底面半径为_【解析】利用圆锥、圆柱的体积公式，列方程求解设新的底面半径为 r，由题意得1352422813r24r28，r27，r 7.【答案】724三棱锥 PABC 中，D，E 分别为 PB，PC 的中点，记三棱锥 DABE 的体积为 V1，PABC 的体积为 V2，则V1V2_.【解析】如图，设点 C 到平面 PAB 的距离为 h，PAB 的面积为 S，则 V213Sh，V1VEADB1312S12h112Sh，所以V1V214.【答案】1425已知底面为正方形的四棱锥 PABCD，如图(1)所示，PC平面 ABCD，其中图(2)为该四棱锥的正视图和侧视图，它们是腰长为 4 cm 的全

23、等的等腰直角三角形(1)根据图(2)所给的正视图、侧视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积；(2)求四棱锥 PABCD 的侧面积20【解析】(1)该四棱锥的俯视图为内含一条对角线，边长为 4 cm 的正方形，俯视图如图所示，其面积为16 cm2(2)侧面积为 2124421244 21616 226如图所示，从正方体 ABCDA1B1C1D1的 8 个顶点中选出的 4 个点恰为一个正四面体的顶点(1)若选出 4 个顶点包含点 A，请在图中画出这个正四面体；(2)求棱长为 a 的正四面体外接球的半径【解析】(1)如图所示，选取的四个点分别为 A，D1，B1，C(2)棱长为 a 的正四面体外

24、接球的半径等于正方体外接球的半径等于正方体对角线长的一半，因为正四面体的棱长 a，所以正方体的边长为22a，因此外接球的半径为3222a64A27一个透明的球形装饰品内放置了两个公共底面的圆锥，且这两个圆锥的顶点和底面圆周都在这个球面上，如图所示，已知圆锥底面面积是这个球面面积的316，设球的半径为 R，圆锥底面半径为 r.(1)试确定 R 与 r 的关系，并求出较大圆锥与较小圆锥的体积之比；(2)求出两个圆锥的体积之和与球的体积之比21【解析】(1)不妨设球的半径为 4；则球的表面积为 64，圆锥的底面积为 12，圆锥的底面半径为 2 3；由几何体的特征知球心到圆锥底面的距离，球的半径以及圆锥底面的半径三者可以构成一个直角三角形由此可以求得球心到圆锥底面的距离是 422 322，所以圆锥体积较小者的高为 422，同理可得圆锥体积较大者的高为 426；又由这两个圆锥的底面相同，较大圆锥与较小圆锥的体积之比等于它们高之比，即 31(2)由(1)可得两个圆锥的体积和为13(2 3)2832，球的体积为43432563，故两个圆锥的体积之和与球的体积之比为 32256338