数学（理）知识清单-专题12 空间的平行与垂直（考点解读）（原卷+解析版）.pdf

《数学（理）知识清单-专题12 空间的平行与垂直（考点解读）（原卷+解析版）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学（理）知识清单-专题12 空间的平行与垂直（考点解读）（原卷+解析版）.pdf（29页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、1专题专题 12空间的平行与垂直空间的平行与垂直1以选择、填空题形式考查空间位置关系的判断，及文字语言、图形语言、符号语言的转换，难度适中；2.以客观题形式考查有关线面平行、垂直等位置关系的命题真假判断或充要条件判断等3.以多面体或旋转体为载体(棱锥、棱柱为主)命制空间线面平行、垂直各种位置关系的证明题或探索性问题，以大题形式呈现1点、线、面的位置关系(1)平面的基本性质名称图形文字语言符号语言公理 1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内AlBlABl公理 2过不在一条直线上的三点有且只有一个平面若 A、B、C 三点不共线，则 A、B、C 在同一平面内且是唯一的公理 3如果

2、两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.平面与不重合，若 P，且 P，则a，且 Pa(2)平行公理、等角定理公理 4：若 ac，bc，则 ab.等角定理：若 OAO1A1，OBO1B1，则AOBA1O1B1或AOBA1O1B1180.2直线、平面的平行与垂直定理名称文字语言图形语言符号语言2线 面 平 行的 判 定 定理平面外一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线与此平面平行ababa线 面 平 行的 性 质 定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任何一个平面与此平面的交线与该直线平行a，a，b，ab面 面 平 行的 判 定 定理如果一个平面内有两条相交的直

3、线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行a，b，abP，a，b面 面 平 行的 性 质 定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行且a 且bab线 面 垂 直的 判 定 定理一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直a，b，abA，la，lbl线 面 垂 直的 性 质 定理垂直于同一平面的两条直线平行a，bab面 面 垂 直的 判 定 定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直a，a，面 面 垂 直的 性 质 定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直，b，a，bab33.熟练掌握常见几何体(柱、锥、台、球)的几何特征，明确各种几

4、何体的直观图与三视图特征及相关面积体积的计算公式，熟练掌握线线、线面、面面平行与垂直等位置关系的判定与性质定理及公理，熟练进行线线、线面、面面平行与垂直关系的相互转化是解答相关几何题的基础.【误区警示】1应用线面、面面平行与垂直的判定定理、性质定理时，必须按照定理的要求找足条件2作辅助线(面)是立体几何证题中常用技巧，作图时要依据题设条件和待求(证)结论之间的关系结合有关定理作图注意线线、线面、面面平行与垂直关系的相互转化3若 a、b、c 代表直线或平面，代表平行或垂直，在形如abacbc 的命题中，要切实弄清有哪些是成立的，有哪些是不成立的例如 a、b、c 中有两个为平面，一条为直线，命题a

5、a是成立的.aa是不成立的高频考点一高频考点一空间中点、线、面的位置空间中点、线、面的位置例 1(2019高考全国卷)如图，点 N 为正方形 ABCD 的中心，ECD 为正三角形，平面 ECD平面ABCD，M 是线段 ED 的中点，则()ABMEN，且直线 BM，EN 是相交直线BBMEN，且直线 BM，EN 是相交直线CBMEN，且直线 BM，EN 是异面直线DBMEN，且直线 BM，EN 是异面直线【举一反三】已知 m，n 是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题正确的是()A若，垂直于同一平面，则与平行B若 m，n 平行于同一平面，则 m 与 n 平行C若，不平行，则在内不存在与平行的

6、直线D若 m，n 不平行，则 m 与 n 不可能垂直于同一平面【变式探究】已知 m，n 表示两条不同直线，表示平面下列说法正确的是()4A若 m，n，则 mnB若 m，n，则 mnC若 m，mn，则 nD若 m，mn，则 n【举一反三】已知两个平面相互垂直，下列命题中，一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面；过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面其中正确命题个数是()A3B2C1D0高频考点二高频考点二空间中平行的判定与垂直空间中平行的判定与垂直例 2 由四棱柱 A

7、BCDA1B1C1D1截去三棱锥 C1B1CD1后得到的几何体如图所示 四边形 ABCD 为正方形，O 为 AC 与 BD 的交点，E 为 AD 的中点，A1E平面 ABCD.(1)证明：A1O平面 B1CD1；(2)设 M 是 OD 的中点，证明：平面 A1EM平面 B1CD1.【变式探究】如图，在四棱锥 PABCD 中，平面 PAB平面 ABCD，ADBC，PAAB，CDAD，BCCD12AD，E 为 AD 的中点(1)求证：PACD.(2)求证：平面 PBD平面 PAB.【变式探究】如图，已知斜三棱柱 ABCA1B1C1中，点 D，D1分别为 AC，A1C1上的点5(1)当A1D1D1C

8、1等于何值时，BC1平面 AB1D1?(2)若平面 BC1D平面 AB1D1，求ADDC的值【变式探究】如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，已知 ACBC，BCCC1.设 AB1的中点为 D，B1CBC1E.求证：(1)DE平面 AA1C1C；(2)BC1AB1.高频考点三高频考点三平面图形的折叠问题平面图形的折叠问题例 3、如图，在直角梯形 ABCD 中，ADBC，ADC90，ABBC.把BAC 沿 AC 折起到PAC的位置，使得 P 点在平面 ADC 上的正投影 O 恰好落在线段 AC 上，如图所示，点 E，F 分别为棱 PC，CD 的中点(1)求证：平面 OEF平面 PAD；(2)求

9、证：CD平面 POF；(3)若 AD3，CD4，AB5，求三棱锥 ECFO 的体积【举一反三】如图 1，在直角梯形 ABCD 中，ADBC，BAD2，ABBC12ADa，E 是 AD 的中点，O 是 AC 与 BE 的交点，将ABE 沿 BE 折起到图 2 中A1BE 的位置，得到四棱锥 A1BCDE.6(1)证明：CD平面 A1OC；(2)当平面 A1BE平面 BCDE 时，四棱锥 A1BCDE 的体积为 36 2，求 a 的值【变式探究】如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，点 E，F 分别在 AD，CD 上，AECF，EF 交 BD 于点 H.将DEF 沿 EF 折

10、到DEF 的位置(1)证明：ACHD；(2)若 AB5，AC6，AE54，OD2 2，求五棱锥 DABCFE 的体积【方法技巧】平面图形翻折问题的求解方法(1)解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量，一般情况下，线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口(2)在解决问题时，要综合考虑折叠前后的图形，既要分析折叠后的图形，也要分析折叠前的图形【变式探究】如图 1，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别是 AB，BC 的中点，BD 与 EF 交于点 H，点 G，R 分别在线段 DH，HB 上，且DGGHBRRH.将AED，CFD，BEF 分别沿

11、DE，DF，EF 折起，使点 A，B，C重合于点 P，如图 2 所示7(1)求证：GR平面 PEF；(2)若正方形 ABCD 的边长为 4，求三棱锥 PDEF 的内切球的半径1(2019高考全国卷)设，为两个平面，则的充要条件是()A内有无数条直线与平行B内有两条相交直线与平行C，平行于同一条直线D，垂直于同一平面2(2019高考全国卷)如图，点 N 为正方形 ABCD 的中心，ECD 为正三角形，平面 ECD平面 ABCD，M 是线段 ED 的中点，则()ABMEN，且直线 BM，EN 是相交直线BBMEN，且直线 BM，EN 是相交直线CBMEN，且直线 BM，EN 是异面直线DBMEN，

12、且直线 BM，EN 是异面直线1(2018高考全国卷)在长方体 ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，AA1 3，则异面直线 AD1与 DB1所成角的余弦值为()A15B568C55D222.（2018 年浙江卷）如图，已知多面体 ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C 均垂直于平面 ABC，ABC=120，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2（）证明：AB1平面 A1B1C1；（）求直线 AC1与平面 ABB1所成的角的正弦值3.（2018 年北京卷）如图，在三棱柱 ABC-中，平面 ABC，D，E，F，G 分别为，AC，的中点，AB=BC=，AC=2（）求证：AC平面 BE

13、F；（）求二面角 B-CD-C1的余弦值；（）证明：直线 FG 与平面 BCD 相交4.（2018 年江苏卷）在平行六面体中，求证：（1）；9（2）1(2017全国卷)如图，在下列四个正方体中，A，B 为正方体的两个顶点，M，N，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线 AB 与平面 MNQ 不平行的是()ABCD2(2017山东卷)由四棱柱 ABCDA1B1C1D1截去三棱锥 C1B1CD1后得到的几何体如图所示四边形ABCD 为正方形，O 为 AC 与 BD 的交点，E 为 AD 的中点，A1E平面 ABCD.(1)证明：A1O平面 B1CD1；(2)设 M 是 OD 的中点，证明：平

14、面 A1EM平面 B1CD1.3.【2017 江苏，15】如图，在三棱锥 A-BCD 中，ABAD，BCBD，平面 ABD平面 BCD，点 E，F(E 与 A，D 不重合)分别在棱 AD，BD 上，且 EFAD.求证：（1）EF平面 ABC；（2）ADAC.(第 15 题)ADBCEF10专题专题 12空间的平行与垂直空间的平行与垂直1以选择、填空题形式考查空间位置关系的判断，及文字语言、图形语言、符号语言的转换，难度适中；2.以客观题形式考查有关线面平行、垂直等位置关系的命题真假判断或充要条件判断等3.以多面体或旋转体为载体(棱锥、棱柱为主)命制空间线面平行、垂直各种位置关系的证明题或探索性

15、问题，以大题形式呈现1点、线、面的位置关系(1)平面的基本性质名称图形文字语言符号语言公理 1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内AlBlABl公理 2过不在一条直线上的三点有且只有一个平面若 A、B、C 三点不共线，则 A、B、C 在同一平面内且是唯一的公理 3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.平面与不重合，若 P，且 P，则a，且 Pa(2)平行公理、等角定理公理 4：若 ac，bc，则 ab.等角定理：若 OAO1A1，OBO1B1，则AOBA1O1B1或AOBA1O1B1180.2直线、平面的平行与垂直定理名称文字语言图形语言符

16、号语言11线 面 平 行的 判 定 定理平面外一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线与此平面平行ababa线 面 平 行的 性 质 定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任何一个平面与此平面的交线与该直线平行a，a，b，ab面 面 平 行的 判 定 定理如果一个平面内有两条相交的直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行a，b，abP，a，b面 面 平 行的 性 质 定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行且a 且bab线 面 垂 直的 判 定 定理一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直a，b，abA，la，lbl线 面 垂 直的 性 质 定

17、理垂直于同一平面的两条直线平行a，bab面 面 垂 直的 判 定 定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直a，a，面 面 垂 直的 性 质 定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直，b，a，bab123.熟练掌握常见几何体(柱、锥、台、球)的几何特征，明确各种几何体的直观图与三视图特征及相关面积体积的计算公式，熟练掌握线线、线面、面面平行与垂直等位置关系的判定与性质定理及公理，熟练进行线线、线面、面面平行与垂直关系的相互转化是解答相关几何题的基础.【误区警示】1应用线面、面面平行与垂直的判定定理、性质定理时，必须按照定理的要求找足条件2作辅助线(面)是立体几何证题

18、中常用技巧，作图时要依据题设条件和待求(证)结论之间的关系结合有关定理作图注意线线、线面、面面平行与垂直关系的相互转化3若 a、b、c 代表直线或平面，代表平行或垂直，在形如abacbc 的命题中，要切实弄清有哪些是成立的，有哪些是不成立的例如 a、b、c 中有两个为平面，一条为直线，命题aa是成立的.aa是不成立的高频考点一高频考点一空间中点、线、面的位置空间中点、线、面的位置例 1(2019高考全国卷)如图，点 N 为正方形 ABCD 的中心，ECD 为正三角形，平面 ECD平面ABCD，M 是线段 ED 的中点，则()ABMEN，且直线 BM，EN 是相交直线BBMEN，且直线 BM，E

19、N 是相交直线CBMEN，且直线 BM，EN 是异面直线DBMEN，且直线 BM，EN 是异面直线【答案】B【解析】取 CD 的中点 O，连接 ON，EO，因为ECD 为正三角形，所以 EOCD，又平面 ECD平面 ABCD，平面 ECD平面 ABCDCD，所以 EO平面 ABCD.设正方形 ABCD 的边长为 2，则 EO 3，ON1，所以 EN2EO2ON24，得 EN2.过 M 作 CD 的垂线，垂足为 P，连接 BP，则 MP32，CP32，所以 BM2MP2BP2(32)2(32)2227，得 BM 7，所以 BMEN.连接 BD，BE，因为四边形 ABCD13为正方形，所以 N 为

20、 BD 的中点，即 EN，MB 均在平面 BDE 内，所以直线 BM，EN 是相交直线，选 B【举一反三】已知 m，n 是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题正确的是()A若，垂直于同一平面，则与平行B若 m，n 平行于同一平面，则 m 与 n 平行C若，不平行，则在内不存在与平行的直线D若 m，n 不平行，则 m 与 n 不可能垂直于同一平面【解析】对于 A，垂直于同一平面，关系不确定，A 错；对于 B，m，n 平行于同一平面，m，n 关系不确定，可平行、相交、异面，故 B 错；对于 C，不平行，但内能找出平行于的直线，如中平行于，交线的直线平行于，故 C 错；对于 D，若假设 m，n

21、垂直于同一平面，则 mn，其逆否命题即为 D 选项，故 D 正确【答案】D【变式探究】已知 m，n 表示两条不同直线，表示平面下列说法正确的是()A若 m，n，则 mnB若 m，n，则 mnC若 m，mn，则 nD若 m，mn，则 n【解析】对于选项 A，若 m，n，则 m 与 n 可能相交、平行或异面，A 错误；显然选项 B 正确；对于选项 C，若 m，mn，则 n或 n，C 错误；对于选项 D，若 m，mn，则 n或 n或 n与相交D 错误故选 B.【答案】B【举一反三】已知两个平面相互垂直，下列命题中，一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；一个平面内已知直线必垂直于另一个

22、平面内的无数条直线；一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面；过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面其中正确命题个数是()A3B2C1D0【答案】C14【解析】构造正方体 ABCD-A1B1C1D1，如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，平面 ADD1A1平面ABCD，A1D平面 ADD1A1，BD平面 ABCD，但 A1D 与 BD 不垂直，故错；，在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，平面 ADD1A1平面 ABCD，l 是平面 ADD1A1内的任意一条直线，l与平面 ABCD 内同 AB 平行的所有直线垂直，故正确；，在正方体 ABCD-A1B1C1D1中

23、，平面 ADD1A1平面 ABCD，A1D平面 ADD1A1，但 A1D 与平面 ABCD不垂直，故错；，在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，平面 ADD1A1平面 ABCD，且平面 ADD1A1平面 ABCDAD，过交线 AD 上的点作交线的垂线 l，则 l 可能与另一平面垂直，也可能与另一平面不垂直，故错故选 C高频考点二高频考点二空间中平行的判定与垂直空间中平行的判定与垂直例 2由四棱柱 ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥 C1-B1CD1后得到的几何体如图所示四边形 ABCD 为正方形，O 为 AC 与 BD 的交点，E 为 AD 的中点，A1E平面 ABCD.(1)证明：A1O

24、平面 B1CD1；(2)设 M 是 OD 的中点，证明：平面 A1EM平面 B1CD1.【证明】(1)取 B1D1的中点 O1，连接 CO1，A1O1，由于 ABCD-A1B1C1D1为四棱柱，所以 A1O1OC，A1O1OC，因此四边形 A1OCO1为平行四边形，所以 A1OO1C.又 O1C平面 B1CD1，A1O平面 B1CD1，15所以 A1O平面 B1CD1.(2)因为 ACBD，E，M 分别为 AD 和 OD 的中点，所以 EMBD.又 A1E平面 ABCD，BD平面 ABCD，所以 A1EBD.因为 B1D1BD，所以 EMB1D1，A1EB1D1.又 A1E，EM平面 A1EM

25、，A1EEME，所以 B1D1平面 A1EM.又 B1D1平面 B1CD1，所以平面 A1EM平面 B1CD1.【变式探究】如图，在四棱锥 P-ABCD 中，平面 PAB平面 ABCD，ADBC，PAAB，CDAD，BCCD12AD，E 为 AD 的中点(1)求证：PACD.(2)求证：平面 PBD平面 PAB.证明：(1)因为平面 PAB平面 ABCD，平面 PAB平面 ABCDAB，又因为 PAAB，所以 PA平面 ABCD，所以 PACD.(2)由已知，BCED，且 BCED，所以四边形 BCDE 是平行四边形，又 CDAD，BCCD，所以四边形 BCDE 是正方形，连接 CE(图略)，

26、所以 BDCE，又因为 BCAE，BCAE，所以四边形 ABCE 是平行四边形，所以 CEAB，则 BDAB.由(1)知 PA平面 ABCD，所以 PABD，16又因为 PAABA，则 BD平面 PAB，且 BD平面 PBD，所以平面 PBD平面 PAB.【变式探究】如图，已知斜三棱柱 ABC-A1B1C1中，点 D，D1分别为 AC，A1C1上的点(1)当A1D1D1C1等于何值时，BC1平面 AB1D1?(2)若平面 BC1D平面 AB1D1，求ADDC的值【解析】(1)如图，取 D1为线段 A1C1的中点，此时A1D1D1C11，连接 A1B 交 AB1于点 O，连接 OD1.由棱柱的性

27、质，知四边形 A1ABB1为平行四边形，所以点 O 为 A1B 的中点在A1BC1中，点 O，D1分别为 A1B，A1C1的中点，所以 OD1BC1.又因为 OD1平面 AB1D1，BC1平面 AB1D1，所以 BC1平面 AB1D1.所以当A1D1D1C11 时，BC1平面 AB1D1.(2)由已知，平面 BC1D平面 AB1D1，且平面 A1BC1平面 BDC1BC1，平面 A1BC1平面 AB1D1D1O.因此 BC1D1O，同理 AD1DC1.因为A1D1D1C1A1OOB，A1D1D1C1DCAD.17又因为A1OOB1，所以DCAD1，即ADDC1.【变式探究】如图，在直三棱柱 A

28、BCA1B1C1中，已知 ACBC，BCCC1.设 AB1的中点为 D，B1CBC1E.求证：(1)DE平面 AA1C1C；(2)BC1AB1.【证明】(1)由题意知，E 为 B1C 的中点，又 D 为 AB1的中点，因此 DEAC.又因为 DE平面 AA1C1C，AC平面 AA1C1C，所以 DE平面 AA1C1C.(2)因为棱柱 ABCA1B1C1是直三棱柱，所以 CC1平面 ABC.因为 AC平面 ABC，所以 ACCC1.又因为 ACBC，CC1平面 BCC1B1，BC平面 BCC1B1，BCCC1C，所以 AC平面 BCC1B1.又因为 BC1平面 BCC1B1，所以 BC1AC.因

29、为 BCCC1，所以矩形 BCC1B1是正方形，因此 BC1B1C.18因为 AC，B1C平面 B1AC，ACB1CC，所以 BC1平面 B1AC.又因为 AB1平面 B1AC，所以 BC1AB1.高频考点三高频考点三平面图形的折叠问题平面图形的折叠问题例 3、如图，在直角梯形 ABCD 中，ADBC，ADC90，ABBC.把BAC 沿 AC 折起到PAC的位置，使得 P 点在平面 ADC 上的正投影 O 恰好落在线段 AC 上，如图所示，点 E，F 分别为棱 PC，CD 的中点(1)求证：平面 OEF平面 PAD；(2)求证：CD平面 POF；(3)若 AD3，CD4，AB5，求三棱锥 E-

30、CFO 的体积【解】(1)证明：因为点 P 在平面 ADC 上的正投影 O 恰好落在线段 AC 上，所以 PO平面 ADC，所以 POAC.由题意知 O 是 AC 的中点，又点 E 是 PC 的中点，所以 OEPA，又 OE平面 PAD，PA平面 PAD，所以 OE平面 PAD.同理，OF平面 PAD.又 OEOFO，OE，OF平面 OEF，所以平面 OEF平面 PAD.(2)证明：因为 OFAD，ADCD，所以 OFCD.又 PO平面 ADC，CD平面 ADC，所以 POCD.又 OFPOO，所以 CD平面 POF.(3)因为ADC90，AD3，CD4，所以 SACD12346，而点 O，F

31、 分别是 AC，CD 的中点，19所以 SCFO14SACD32，由题意可知ACP 是边长为 5 的等边三角形，所以 OP523，即点 P 到平面 ACD 的距离为523，又 E 为 PC 的中点，所以 E 到平面 CFO 的距离为543，故 VE-CFO1332543583.【举一反三】如图 1，在直角梯形 ABCD 中，ADBC，BAD2，ABBC12ADa，E 是 AD 的中点，O 是 AC 与 BE 的交点，将ABE 沿 BE 折起到图 2 中A1BE 的位置，得到四棱锥 A1-BCDE.(1)证明：CD平面 A1OC；(2)当平面 A1BE平面 BCDE 时，四棱锥 A1-BCDE

32、的体积为 36 2，求 a 的值【解析】(1)证明：在题图 1 中，因为 ABBC12ADa，E 是 AD 的中点，BAD2，所以 BEAC.即在题图 2 中，BEA1O，BEOC，从而 BE平面 A1OC，又 CDBE，所以 CD平面 A1OC.(2)由已知，平面 A1BE平面 BCDE，且平面 A1BE平面 BCDEBE，又由(1)知，A1OBE，所以 A1O平面 BCDE，即 A1O 是四棱锥 A1-BCDE 的高由图 1 知，A1O22AB22a，平行四边形 BCDE 的面积 SBEOCa2.20从而四棱锥 A1-BCDE 的体积为 V13SA1O13a222a26a3，由26a336

33、 2，得 a6.【变式探究】如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，点 E，F 分别在 AD，CD 上，AECF，EF 交 BD 于点 H.将DEF 沿 EF 折到DEF 的位置(1)证明：ACHD；(2)若 AB5，AC6，AE54，OD2 2，求五棱锥 DABCFE 的体积【解析】(1)证明：由已知得 ACBD，ADCD.又由 AECF 得AEADCFCD，故 ACEF.由此得 EFHD，故 EFHD，所以 ACHD.(2)由 EFAC 得OHDOAEAD14.由 AB5，AC6 得 DOBO AB2AO24.所以 OH1，DHDH3.于是 OD2OH2(2 2)212

34、9DH2，故 ODOH.由(1)知，ACHD，又 ACBD，BDHDH，所以 AC平面 BHD，于是 ACOD.又由 ODOH，ACOHO，所以 OD平面 ABC.又由EFACDHDO得 EF92.五边形 ABCFE 的面积 S126812923694.所以五棱锥 DABCFE 的体积 V136942 223 22.【方法技巧】21平面图形翻折问题的求解方法(1)解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量，一般情况下，线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口(2)在解决问题时，要综合考虑折叠前后的图形，既要分析折叠后的图形，也要分析折叠前的图形【

35、变式探究】如图 1，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别是 AB，BC 的中点，BD 与 EF 交于点 H，点 G，R 分别在线段 DH，HB 上，且DGGHBRRH.将AED，CFD，BEF 分别沿 DE，DF，EF 折起，使点 A，B，C重合于点 P，如图 2 所示(1)求证：GR平面 PEF；(2)若正方形 ABCD 的边长为 4，求三棱锥 PDEF 的内切球的半径【解析】(1)证明：在正方形 ABCD 中，A，B，C 为直角在三棱锥 PDEF 中，PE，PF，PD 两两垂直PD平面 PEF.DGGHBRRH，即DGGHPRRH，在PDH 中，RGPD.GR平面 PEF.(2)正方形

36、 ABCD 边长为 4.由题意知，PEPF2，PD4，EF2 2，DF2 5.SPEF2，SDPFSDPE4.SDEF122 2 2 52226.设三棱锥 PDEF 内切球的半径为 r，则三棱锥的体积 VPDEF131222413(SPEF2SDPFSDEF)r，解得 r12.三棱锥 PDEF 的内切球的半径为12.221(2019高考全国卷)设，为两个平面，则的充要条件是()A内有无数条直线与平行B内有两条相交直线与平行C，平行于同一条直线D，垂直于同一平面【答案】B【解析】对于 A，内有无数条直线与平行，当这无数条直线互相平行时，与可能相交，所以 A 不正确；对于 B，根据两平面平行的判定

37、定理与性质知，B 正确；对于 C，平行于同一条直线的两个平面可能相交，也可能平行，所以 C 不正确；对于 D，垂直于同一平面的两个平面可能相交，也可能平行，如长方体的相邻两个侧面都垂直于底面，但它们是相交的，所以 D 不正确综上可知选 B2(2019高考全国卷)如图，点 N 为正方形 ABCD 的中心，ECD 为正三角形，平面 ECD平面 ABCD，M 是线段 ED 的中点，则()ABMEN，且直线 BM，EN 是相交直线BBMEN，且直线 BM，EN 是相交直线CBMEN，且直线 BM，EN 是异面直线DBMEN，且直线 BM，EN 是异面直线【答案】B【解析】取 CD 的中点 O，连接 O

38、N，EO，因为ECD 为正三角形，所以 EOCD，又平面 ECD平面 ABCD，平面 ECD平面 ABCDCD，所以 EO平面 ABCD.设正方形 ABCD 的边长为 2，则 EO 3，ON1，所以 EN2EO2ON24，得 EN2.过 M 作 CD 的垂线，垂足为 P，连接 BP，则 MP32，CP32，所以 BM2MP2BP2(32)2(32)2227，得 BM 7，所以 BMEN.连接 BD，BE，因为四边形 ABCD为正方形，所以 N 为 BD 的中点，即 EN，MB 均在平面 BDE 内，所以直线 BM，EN 是相交直线，选 B1(2018高考全国卷)在长方体 ABCD-A1B1C1

39、D1中，ABBC1，AA1 3，则异面直线 AD1与 DB123所成角的余弦值为()A15B56C55D22【答案】C如图，连接 BD1，交 DB1于 O，取 AB 的中点 M，连接 DM，OM，易知 O 为 BD1的中点，所以 AD1OM，则MOD 为异面直线 AD1与 DB1所成角因为在长方体 ABCD-A1B1C1D1中，ABBC1，AA1 3，AD1 AD2DD212，DMAD212AB 252，DB1 AB2AD2DD21 5，所以 OM12AD11，OD12DB152，于是在DMO 中，由余弦定理，得 cosMOD12522522215255，即异面直线 AD1与 DB1所成角的余

40、弦值为55，故选 C2.（2018 年浙江卷）如图，已知多面体 ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C 均垂直于平面 ABC，ABC=120，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2（）证明：AB1平面 A1B1C1；（）求直线 AC1与平面 ABB1所成的角的正弦值【答案】（）见解析24（）【解析】方法一：（）由得，所以.故.由，得，由得，由，得，所以，故.因此平面.（）如图，过点作，交直线于点，连结.由平面得平面平面，由得平面，所以是与平面所成的角.由得，所以，故.因此，直线与平面所成的角的正弦值是.3.（2018 年北京卷）如图，在三棱柱 ABC-中，平面 ABC，D，E，F，

41、G 分别为，AC，的中点，AB=BC=，AC=225（）求证：AC平面 BEF；（）求二面角 B-CD-C1的余弦值；（）证明：直线 FG 与平面 BCD 相交【答案】(1)证明见解析(2)B-CD-C1的余弦值为(3)证明过程见解析【解析】（）在三棱柱 ABC-A1B1C1中，CC1平面 ABC，四边形 A1ACC1为矩形又 E，F 分别为 AC，A1C1的中点，ACEFAB=BCACBE，AC平面 BEF（）由（I）知 ACEF，ACBE，EFCC1又 CC1平面 ABC，EF平面 ABCBE平面 ABC，EFBE如图建立空间直角坐称系 E-xyz26由题意得 B（0，2，0），C（-1，

42、0，0），D（1，0，1），F（0，0，2），G（0，2，1），设平面 BCD 的法向量为，令 a=2，则 b=-1，c=-4，平面 BCD 的法向量，又平面 CDC1的法向量为，由图可得二面角 B-CD-C1为钝角，所以二面角 B-CD-C1的余弦值为（）平面 BCD 的法向量为，G（0，2，1），F（0，0，2），与不垂直，GF 与平面 BCD 不平行且不在平面 BCD 内，GF 与平面 BCD 相交4.（2018 年江苏卷）在平行六面体中，求证：（1）；（2）【答案】答案见解析27【解析】证明：（1）在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中，ABA1B1因为 AB 平面 A1B1C，A

43、1B1平面 A1B1C，所以 AB平面 A1B1C（2）在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中，四边形 ABB1A1为平行四边形又因为 AA1=AB，所以四边形 ABB1A1为菱形，因此 AB1A1B又因为 AB1B1C1，BCB1C1，所以 AB1BC又因为 A1BBC=B，A1B平面 A1BC，BC平面 A1BC，所以 AB1平面 A1BC因为 AB1平面 ABB1A1，所以平面 ABB1A1平面 A1BC1(2017全国卷)如图，在下列四个正方体中，A，B 为正方体的两个顶点，M，N，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线 AB 与平面 MNQ 不平行的是()ABCD【解析】B

44、 选项中，ABMQ，且 AB平面 MNQ，MQ平面 MNQ，则 AB平面 MNQ；C 选项中，ABMQ，且 AB平面 MNQ，MQ平面 MNQ，则 AB平面 MNQ；D 选项中，ABNQ，且 AB平面 MNQ，NQ平面 MNQ，则 AB平面 MNQ.故选 A.答案：A2(2017山东卷)由四棱柱 ABCDA1B1C1D1截去三棱锥 C1B1CD1后得到的几何体如图所示四边形28ABCD 为正方形，O 为 AC 与 BD 的交点，E 为 AD 的中点，A1E平面 ABCD.(1)证明：A1O平面 B1CD1；(2)设 M 是 OD 的中点，证明：平面 A1EM平面 B1CD1.证明：(1)取 B

45、1D1的中点 O1，连接 CO1，A1O1，由于 ABCDA1B1C1D1是四棱柱，所以 A1O1OC，A1O1OC，因此四边形 A1OCO1为平行四边形，所以 A1OO1C.又 O1C平面 B1CD1，A1O平面 B1CD1，所以 A1O平面 B1CD1.(2)因为 ACBD，E，M 分别为 AD 和 OD 的中点，所以 EMBD，又 A1E平面 ABCD，BD平面 ABCD，所以 A1EBD，因为 B1D1BD，所以 EMB1D1，A1EB1D1.又 A1E，EM平面 A1EM，A1EEME，所以 B1D1平面 A1EM.又 B1D1平面 B1CD1，所以平面 A1EM平面 B1CD1.3

46、.【2017 江苏，15】如图，在三棱锥 A-BCD 中，ABAD，BCBD，平面 ABD平面 BCD，点 E，F(E 与 A，D 不重合)分别在棱 AD，BD 上，且 EFAD.求证：（1）EF平面 ABC；29（2）ADAC.(第 15 题)ADBCEF【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】证明：（1）在平面ABD内，因为 ABAD，EFAD，所以EFAB.又因为EF 平面 ABC，AB 平面 ABC，所以 EF平面 ABC.（2）因为平面 ABD平面 BCD，平面ABD平面 BCD=BD，BC 平面 BCD，BCBD，所以BC 平面ABD.因为AD 平面ABD，所以BC AD.又 ABAD，BCABB，AB 平面 ABC，BC 平面 ABC，所以 AD平面 ABC，又因为 AC平面 ABC，所以 ADAC.