数学（文）知识清单-专题15 圆锥曲线的综合应用（原卷+解析版）.pdf

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1、1专练专练1已知 F1，F2是椭圆x24y21 的左、右焦点，点 P 在椭圆上运动，则PF1PF2的最大值是()A2B1C2D42已知椭圆x225y2161 内有两点 A(1，3)，B(3，0)，P 为椭圆上一点，则|PA|PB|的最大值为()A3B4C5D153过抛物线 y24 3x 的焦点的直线 l 与双曲线 C：x22y21 的两个交点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，若x1x20，则 k 的取值范围是()A.12，12B.，12 12，C.22，22D.，22 22，4椭圆 C：x23y2m1 的焦点在 x 轴上，点 A，B 是长轴的两端点，若曲线 C 上存在点 M 满足AMB12

2、0，则实数 m 的取值范围是()A(3，)B1，3)C(0，3)D(0，15在直线 y2 上任取一点 Q，过 Q 作抛物线 x24y 的切线，切点分别为 A，B，则直线 AB 恒过的点的坐标为()A(0，1)B(0，2)C(2，0)D(1，0)6设双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的一条渐近线与抛物线 y2x 的一个交点的 横坐标为 x0，若 x01，则双曲线 C 的离心率 e 的取值范围是_7已知抛物线 C：x28y 的焦点为 F，动点 Q 在 C 上，圆 Q 的半径为 1，过点 F 的直线与圆 Q 切于点P，则FPFQ的最小值为_28已知抛物线 y24x，过焦点 F 的直线与抛物

3、线交于 A，B 两点，过 A，B 分别作 x 轴，y 轴的垂线，垂足分别为 C，D，则|AC|BD|的最小值为_9已知椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)的离心率为32，点 P1，32 在椭圆 E 上(1)求椭圆 E 的方程；(2)过点 P 且斜率为 k 的直线 l 交椭圆 E 于点 Q(xQ，yQ)(点 Q 异于点 P)，若 0 xQ1，求直线 l 斜率 k的取值范围10已知抛物线 C：x22py(p0)的焦点为 F，直线 2xy20 交抛物线 C 于 A，B 两点，P 是线段AB 的中点，过 P 作 x 轴的垂线交抛物线 C 于点 Q.(1)D 是抛物线 C 上的动点，点 E(1，3)，

4、若直线 AB 过焦点 F，求|DF|DE|的最小值；(2)是否存在实数 p，使|2QAQB|2QAQB|？若存在，求出 p 的值；若不存在，说明理由11已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为22，点 Qb，ab 在椭圆上，O 为坐标原点(1)求椭圆 C 的方程；(2)已知点 P，M，N 为椭圆 C 上的三点，若四边形 OPMN 为平行四边形，证明四边形 OPMN 的面积 S为定值，并求该定值10.设圆 x2y22x150 的圆心为 A，直线 l 过点 B(1，0)且与 x 轴不重合，l 交圆A 于 C，D 两点，过B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E.(1)证明|EA|EB|

5、为定值，并写出点 E 的轨迹方程；(2)设点 E 的轨迹为曲线 C1，直线 l 交 C1于 M，N 两点，过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P，Q 两点，求四边形 MPNQ 面积的取值范围11.已知椭圆 C：x24y21，点 O 是坐标原点，点 P 是椭圆 C 上任意一点，且点 M 满足OMOP(1，是常数)当点 P 在椭圆 C 上运动时，点 M 形成的曲线为 C.(1)求曲线 C的轨迹方程；(2)直线 l 是椭圆 C 在点 P 处的切线，与曲线 C的交点为 A，B 两点，探究OAB 的面积是否为定值若是，求OAB 的面积，若不是，请说明理由12如图所示，抛物线关于 x 轴对称，它的

6、顶点在坐标原点，点 P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上3(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求 y1y2的值及直线 AB 的斜率13已知 F1，F2为椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点，点 P(1，32)在椭圆 E 上，且|PF1|PF2|4.(1)求椭圆 E 的方程；(2)过 F1的直线 l1，l2分别交椭圆 E 于 A，C 和 B，D，且 l1l2，问是否存在常数，使得1|AC|，1|BD|成等差数列？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由14 已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的焦点分

7、别为 F1(3，0)，F2(3，0)，点 P 在椭圆 C 上，满足|PF1|7|PF2|，tanF1PF24 3.(1)求椭圆 C 的方程(2)已知点 A(1,0)，试探究是否存在直线 l：ykxm 与椭圆 C 交于 D，E 两点，且使得|AD|AE|？若存在，求出 k 的取值范围；若不存在，请说明理由15已知椭圆 C1：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点为 F1，F2，F2的坐标满足圆 Q 方程(x 2)2(y1)21，且圆心 Q 满足|QF1|QF2|2a.(1)求椭圆 C1的方程(2)过点 P(0,1)的直线 l1交椭圆 C1于 A，B 两点，过 P 与 l1垂直的直线 l2交圆

8、Q 于 C，D 两点，M 为线段 CD 中点，求MAB 面积的取值范围16.如图，点 O 为坐标原点，点 F 为抛物线 C1：x22py(p0)的焦点，且抛物线 C1上点 P 处的切线与圆 C2：x2y21 相切于点 Q.4(1)当直线 PQ 的方程为 xy 20 时，求抛物线 C1的方程；(2)当正数 p 变化时，记 S1，S2分别为FPQ，FOQ 的面积，求S1S2的最小值17已知椭圆 C:y2a2x2b21(ab0)的短轴长为 2，且椭圆 C 的顶点在圆 M：x2y22212上(1)求椭圆 C 的方程；(2)过椭圆的上焦点作互相垂直的两条弦 AB，CD，求|AB|CD|的最小值18已知动

9、点 C 到点 F(1,0)的距离比到直线 x2 的距离小 1，动点 C 的轨迹为 E.(1)求曲线 E 的方程；(2)若直线 l：ykxm(km0)与抛物线 C 交于 A，B 两点(1)若直线 l 过焦点 F，且与圆 x2(y1)21 交于 D，E(其中 A，D 在 y 轴同侧)，求证：|AD|BE|是定值；(2)设抛物线 C 在 A 和 B 点的切线交于点 P，试问：y 轴上是否存在点 Q，使得 APBQ 为菱形？若存在，请说明理由，并求此时直线 l 的斜率和点 Q 的坐标20.如图，抛物线 C：y22px 的焦点为 F，抛物线上一定点 Q(1,2)(1)求抛物线 C 的方程及准线 l 的方

10、程；(2)过焦点 F 的直线(不经过 Q 点)与抛物线交于 A，B 两点，与准线 l 交于点 M，记 QA，QB，QM 的斜率分别为 k1，k2，k3，问是否存在常数，使得 k1k2k3成立，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由5高考押题专练高考押题专练1已知 F1，F2是椭圆x24y21 的左、右焦点，点 P 在椭圆上运动，则的最大值是()A2B1C2D4【解析】设 P(x，y)，依题意得点 F1(3，0)，F2(3，0)，(3x)(3x)y2x2y2334x22，因为2x2，所以234x221，因此的最大值是 1.【答案】B2已知椭圆x225y2161 内有两点 A(1，3)，B(3，0

11、)，P 为椭圆上一点，则|PA|PB|的最大值为()A3B4C5D15【解析】在椭圆中，由 a5，b4，得 c3，故焦点为(3，0)和(3，0)，点 B 是右焦点，记左焦点为 C(3，0)由椭圆的定义得|PB|PC|10，所以|PA|PB|10|PA|PC|，因为|PA|PC|AC|5，所以当点 P，A，C 三点共线时，|PA|PB|取得最大值 15.【答案】D3过抛物线 y24 3x 的焦点的直线 l 与双曲线 C：x22y21 的两个交点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，若x1x20，则 k 的取值范围是()A.12，12B.，12 12，C.22，22D.，22 22，【解析】易知双

12、曲线两渐近线 y22x，当 k22或 k22时，l 与双曲线的右支有两个交点，满足x1x20.【答案】D64椭圆 C：x23y2m1 的焦点在 x 轴上，点 A，B 是长轴的两端点，若曲线 C 上存在点 M 满足AMB120，则实数 m 的取值范围是()A(3，)B1，3)C(0，3)D(0，1【解析】依题意，当 0m3 时，焦距在 x 轴上，要在曲线 C 上存在点 M 满足AMB120，则abtan 60，即3m 3.解得 0m1.【答案】D5在直线 y2 上任取一点 Q，过 Q 作抛物线 x24y 的切线，切点分别为 A，B，则直线 AB 恒过的点的坐标为()A(0，1)B(0，2)C(2

13、，0)D(1，0)【解析】设 Q(t，2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，抛物线方程变为 y14x2，则 y12x，则在点 A 处的切线方程为 yy112x1(xx1)，化简得 y12x1xy1，同理，在点 B 处的切线方程为y12x2xy2，又点 Q(t，2)的坐标适合这两个方程，代入得212x1ty1，212x2ty2，这说明 A(x1，y1)，B(x2，y2)都满足方程212xty，则直线 AB 的方程为 y212tx，直线 AB 恒过点(0，2)【答案】B6设双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的一条渐近线与抛物线 y2x 的一个交点的 横坐标为 x0，若 x01，则双曲

14、线 C 的离心率 e 的取值范围是_【解析】双曲线 C：x2a2y2b21 的一条渐近线为 ybax，联立y2x，ybax消去 y，得b2a2x2x.7由 x01，知b2a21，b2a2.所以 e2c2a2a2b2a22，因此 1e 2.【答案】(1，2)7已知抛物线 C：x28y 的焦点为 F，动点 Q 在 C 上，圆 Q 的半径为 1，过点 F 的直线与圆 Q 切于点P，则的最小值为_【解析】如图，|2|21.由抛物线的定义知：|d(d 为点 Q 到准线的距离)，易知，抛物线的顶点到准线的距离最短，所以|min2，所以的最小值为 3.【答案】38已知抛物线 y24x，过焦点 F 的直线与抛

15、物线交于 A，B 两点，过 A，B 分别作 x 轴，y 轴的垂线，垂足分别为 C，D，则|AC|BD|的最小值为_【解析】不妨设 A(x1，y1)(y10)，B(x2，y2)(y20)则|AC|BD|x2y1y224y1.又 y1y2p24.所以|AC|BD|y2244y2(y20)利用导数易知 yy2244y2在(，2)上递减，在(2，0)上递增所以当 y22 时，|AC|BD|的最小值为 3.【答案】389已知椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)的离心率为32，点 P1，32 在椭圆 E 上(1)求椭圆 E 的方程；(2)过点 P 且斜率为 k 的直线 l 交椭圆 E 于点 Q(xQ，y

16、Q)(点 Q 异于点 P)，若 0 xQ1，求直线 l 斜率 k的取值范围【解析】(1)由题意得ca32，1a234b21，a2b2c2，解得a2，b1，c 3，故椭圆 E 的方程为x24y21.(2)设直线 l 的方程为 y32k(x1)，代入方程x24y21，消去 y，得(14k2)x2(4 3k8k2)x(4k24 3k1)0，所以 xQ14k24 3k114k2.因为 0 xQ1，所以 04k24 3k114k21，即4k24 3k114k20，4k24 3k114k21.解得36k322或 k322，经检验，满足题意所以直线 l 斜率 k 的取值范围是36k322或 k322.10已

17、知抛物线 C：x22py(p0)的焦点为 F，直线 2xy20 交抛物线 C 于 A，B 两点，P 是线段AB 的中点，过 P 作 x 轴的垂线交抛物线 C 于点 Q.(1)D 是抛物线 C 上的动点，点 E(1，3)，若直线 AB 过焦点 F，求|DF|DE|的最小值；(2)是否存在实数 p，使|2|2|？若存在，求出 p 的值；若不存在，说明理由【解析】(1)因为直线 2xy20 与 y 轴的交点为(0，2)，所以 F(0，2)，则抛物线 C 的方程为 x28y，准线 l：y2.设过 D 作 DGl 于 G，则|DF|DE|DG|DE|，当 E，D，G 三点共线时，|DF|DE|取最小值为

18、 235.9(2)假设存在实数 p，满足条件等式成立联立 x22py 与 2xy20，消去 y，得 x24px4p0.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x24p，x1x24p，所以 Q(2p，2p)因为|2|2|，所以 QAQB，则0.因此(x12p)(x22p)(y12p)(y22p)0.(x12p)(x22p)(2x122p)(2x222p)0，5x1x2(46p)(x1x2)8p28p40，把 x1x24p，x1x24p 代入得 4p23p10，解得 p14或 p1(舍去)因此存在实数 p14，使得|2|2|成立11已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为22，

19、点 Qb，ab 在椭圆上，O 为坐标原点(1)求椭圆 C 的方程；(2)已知点 P，M，N 为椭圆 C 上的三点，若四边形 OPMN 为平行四边形，证明四边形 OPMN 的面积 S为定值，并求该定值【解析】(1)因为椭圆x2a2y2b21(ab0)的离心率为22，所以 e2c2a2a2b2a212，得 a22b2，又点 Qb，ab 在椭圆 C 上，所以b2a2a2b41，联立、得 a28，且 b24.所以椭圆 C 的方程为x28y241.(2)当直线 PN 的斜率 k 不存在时，PN 的方程为 x 2或 x 2，从而有|PN|2 3，S12|PN|OM|10122 32 22 6；当直线 PN

20、 的斜率 k 存在时，设直线 PN 的方程为 ykxm(m0)，P(x1，y1)，N(x2，y2)；将 PN 的方程代入 C 整理得(12k2)x24kmx2m280，所以 x1x24km12k2，x1x22m2812k2，y1y2k(x1x2)2m2m12k2.由，得 M4km12k2，2m12k2.将 M 点坐标代入椭圆 C 方程得 m212k2.又点 O 到直线 PN 的距离为 d|m|1k2，|PN|1k2|x1x2|，Sd|PN|m|x1x2|12k2|x1x2|16k28m2322 6.综上可知，平行四边形 OPMN 的面积 S 为定值 2 6.10.设圆 x2y22x150 的圆

21、心为 A，直线 l 过点 B(1，0)且与 x 轴不重合，l 交圆A 于 C，D 两点，过B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E.(1)证明|EA|EB|为定值，并写出点 E 的轨迹方程；(2)设点 E 的轨迹为曲线 C1，直线 l 交 C1于 M，N 两点，过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P，Q 两点，求四边形 MPNQ 面积的取值范围【解析】(1)因为|AD|AC|，EBAC，所以EBDACDADC，所以|EB|ED|，故|EA|EB|EA|ED|AD|.又圆 A 的标准方程为(x1)2y216，从而圆心 A(1，0)，|AD|4.所以|EA|EB|4.又因为 B(1，0)，

22、所以|AB|2，由椭圆定义可得点 E 的轨迹方程为x24y231(y0)(2)【解析】当 l 与 x 轴不垂直时，设 l 的方程为 yk(x1)(k0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)11由yk（x1），x24y231得(4k23)x28k2x4k2120，则 x1x28k24k23，x1x24k2124k23，所以|MN|1k2|x1x2|12（k21）4k23.过点 B(1，0)且与 l 垂直的直线 m：y1k(x1)，点 A 到直线 m 的距离为2k21，所以|PQ|2422k21244k23k21.故四边形 MPNQ 的面积 S12|MN|PQ|12114k23.可得当 l 与 x

23、 轴不垂直时，四边形 MPNQ 面积的取值范围为(12，8 3)当 l 与 x 轴垂直时，其方程为 x1，|MN|3，|PQ|8，故四边形 MPNQ 的面积为 12.综上可知，四边形 MPNQ 面积的取值范围为12，8 3)11.已知椭圆 C：x24y21，点 O 是坐标原点，点 P 是椭圆 C 上任意一点，且点 M 满足(1，是常数)当点 P 在椭圆 C 上运动时，点 M 形成的曲线为 C.(1)求曲线 C的轨迹方程；(2)直线 l 是椭圆 C 在点 P 处的切线，与曲线 C的交点为 A，B 两点，探究OAB 的面积是否为定值若是，求OAB 的面积，若不是，请说明理由【解析】(1)设点 M

24、的坐标为(x，y)，对应的点 P 的坐标为x，y.由于点 P 在椭圆 C 上，得x24y21，即曲线 C的轨迹是椭圆，标准方程为x242y221.来源:学*科*网(2)当直线 l 的斜率不存在时，这时直线 l 的方程为 x2，联立方程组x2，x24y22，y 21，得|AB|2 21.得 SOAB12|OP|AB|2 21，当直线 l 的斜率存在时，设 l：ykxm，12联立方程组ykxm，x24y21，得(4k21)x28kmx4(m21)0，由0，可得 m24k21.联立方程组ykxm，x24y22，得(4k21)x28kmx4(m22)0.所以 x1x28km4k21，x1x24（m22

25、）4k21.则|AB|1k216（4k21）（21）4k214 1k2 214k21.原点到直线 l 的距离为 d|m|1k24k21k21，所以 SOAB12|AB|d2 21.综上所述，OAB 的面积为定值 2 21.12如图所示，抛物线关于 x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点 P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求 y1y2的值及直线 AB 的斜率【解析】(1)由已知条件，可设抛物线的方程为 y22px(p0)因为点 P(1,2)在抛物线上，所以 222p1，解得 p2.故所

26、求抛物线的方程是 y24x，准线方程是 x1.(2)设直线 PA 的斜率为 kPA，直线 PB 的斜率为 kPB，则 kPAy12x11(x11)，kPBy22x21(x21)，因为 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补，所以 kPAkPB.由 A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，得y214x1，y224x2，所以y1214y211y2214y221，所以 y12(y22)13所以 y1y24.由得，y21y224(x1x2)，所以 kABy1y2x1x24y1y21(x1x2)13已知 F1，F2为椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点，点 P(1，32)在椭圆 E

27、 上，且|PF1|PF2|4.(1)求椭圆 E 的方程；(2)过 F1的直线 l1，l2分别交椭圆 E 于 A，C 和 B，D，且 l1l2，问是否存在常数，使得1|AC|，1|BD|成等差数列？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由【解析】(1)|PF1|PF2|4，2a4，a2.椭圆 E：x24y2b21.将 P(1，32)代入可得 b23，椭圆 E 的方程为x24y231.(2)当 AC 的斜率为零或斜率不存在时，1|AC|1|BD|1314712；当 AC 的斜率 k 存在且 k0 时，AC 的方程为 yk(x1)，代入椭圆方程x24y231，并化简得(34k2)x28k2x4k212

28、0.设 A(x1，y1)，C(x2，y2)，则 x1x28k234k2，x1x24k21234k2.|AC|1k2|x1x2|(1k2)(x1x2)24x1x212(1k2)34k2.直线 BD 的斜率为1k，|BD|121(1k)234(1k)212(1k2)3k24.1|AC|1|BD|34k212(1k2)3k2412(1k2)712.14综上，21|AC|1|BD|712，724.故存在常数724，使得1|AC|，1|BD|成等差数列14 已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的焦点分别为 F1(3，0)，F2(3，0)，点 P 在椭圆 C 上，满足|PF1|7|PF2|，tanF

29、1PF24 3.(1)求椭圆 C 的方程(2)已知点 A(1,0)，试探究是否存在直线 l：ykxm 与椭圆 C 交于 D，E 两点，且使得|AD|AE|？若存在，求出 k 的取值范围；若不存在，请说明理由【解析】(1)由|PF1|7|PF2|，PF1PF22a 得 PF17a4，PF2a4，由 cos2F1PF211tan2F1PF211(4 3)2149，又由余弦定理得 cosF1PF2177a42a42(2 3)227a4a4，所以 a2，故所求 C 的方程为x24y21.(2)假设存在直线 l 满足题设，设 D(x1，y1)，E(x2，y2)，将 ykxm 代入x24y21 并整理得(

30、14k2)x28kmx4m240，由64k2m24(14k2)(4m24)16(m24k21)0，得 4k21m2，又 x1x28km14k2设 D，E 中点为 M(x0，y0)，M4km14k2，m14k2，kAMk1，得 m14k23k，将代入得 4k2114k23k2，化简得 20k4k210(4k21)(5k21)0，解得 k55或 k55，所以存在直线l，使得|AD|AE|，此时 k 的取值范围为，55 55，.15已知椭圆 C1：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点为 F1，F2，F2的坐标满足圆 Q 方程(x 2)2(y1)21，且圆心 Q 满足|QF1|QF2|2a.15(

31、1)求椭圆 C1的方程(2)过点 P(0,1)的直线 l1交椭圆 C1于 A，B 两点，过 P 与 l1垂直的直线 l2交圆 Q 于 C，D 两点，M 为线段 CD 中点，求MAB 面积的取值范围【解析】(1)方程(x 2)2(y1)21 为圆，此圆与 x 轴相切，切点为 F2(2，0)，所以 c 2，即 a2b22，且 F2(2，0)，F1(2，0)，|QF1|F1F2|2|QF2|2(2 2)2123，又|QF1|QF2|312a.所以 a2，b2a2c22，所以椭圆 C1的方程为x24y221.(2)当 l1平行 x 轴时，l2与圆 Q 无公共点，从而MAB 不存在；所以设 l1：xt(

32、y1)，则 l2：txy10.由x24y221，xt(y1)消去 x 得(t22)y22t2yt240，则|AB|1t2|y1y2|2(1t2)(2t28)t22.又圆心 Q(2，1)到 l2的距离 d1|2t|1t21 得 t21.又 MPAB，QMCD，所以 M 到 AB 的距离即 Q 到 AB 的距离，设为 d2，即 d2|2tt|1t221t2.所以MAB 面积 S12|AB|d22 t24t22，令 u t242，5)，则 Sf(u)2uu222u2u2 53，2.所以MAB 面积的取值范围为2 53，2.16.如图，点 O 为坐标原点，点 F 为抛物线 C1：x22py(p0)的焦

33、点，且抛物线 C1上点 P 处的切线与圆 C2：x2y21 相切于点 Q.(1)当直线 PQ 的方程为 xy 20 时，求抛物线 C1的方程；(2)当正数 p 变化时，记 S1，S2分别为FPQ，FOQ 的面积，求S1S2的最小值【解析】(1)设点 Px0，x202p，由 x22py(p0)得，yx22p，求导得 yxp.16因为直线 PQ 的斜率为 1，所以x0p1 且 x0 x202p 20，解得 p2 2，所以抛物线 C1的方程为 x24 2y.(2)因为点 P 处的切线方程为：yx202px0p(xx0)，即 2x0 x2pyx200，根据切线又与圆相切，得|x20|4x204p21，

34、化简得 x404x204p2，由 4p2x404x200，得|x0|2.由方程组2x0 x2pyx200，x2y21，解得 Q2x0，4x202p，所以|PQ|1k2|xPxQ|1x20p2|x02x0|p2x20p|x202x0|14x40 x20 x20p|x202x0|x0|2p(x202)点 F0，p2 到切线 PQ 的距离是 d|p2x20|4x204p212x20p212x2014x40 x20 x204，所以 S112|PQ|d|x30|16p(x202)，S212|OF|xQ|p2|x0|，所以S1S2x40 x2028p2x40(x202)2(x404x20)x20(x202

35、)2(x204)x20424x20432 23，当且仅当x20424x204时取“”号，即 x2042 2，此时，p 22 2，所以S1S2的最小值为 32 2.1717已知椭圆 C:y2a2x2b21(ab0)的短轴长为 2，且椭圆 C 的顶点在圆 M：x2y22212上(1)求椭圆 C 的方程；(2)过椭圆的上焦点作互相垂直的两条弦 AB，CD，求|AB|CD|的最小值【解析】(1)由题意可得 2b2，所以 b1.椭圆 C 的顶点在圆 M:x2y22212上，所以 a 2.故椭圆 C 的方程为y22x21.(2)当直线 AB 的斜率不存在或为零时，|AB|CD|3 2.当直线 AB 的斜率

36、存在且不为零时，设直线 AB 的方程为 ykx1，由ykx1，y22x21，得(k22)x22kx10，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系，得 x1x22kk22，x1x21k22，所以|AB|2 2(k21)k22，同理可得|CD|2 2(k21)2k21，所以|AB|CD|6 2(k21)2(2k21)(k22).令 tk21，则 t1,|AB|CD|6 2t2(2t1)(t1)6 221t11t，而 221t11t 94，所以8 23|AB|CD|3 2.综上，8 23|AB|CD|3 2，18故|AB|CD|的最小值为8 23.18已知动点 C 到点 F(1,0)

37、的距离比到直线 x2 的距离小 1，动点 C 的轨迹为 E.(1)求曲线 E 的方程；(2)若直线 l：ykxm(km0)，p21，p2，动点 C 的轨迹 E 的方程为 y24x.(2)证明设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由ykxm，y24x，得 k2x2(2km4)xm20，x1x242kmk2，x1x2m2k2.5，x1x2y1y2(1k2)x1x2km(x1x2)m2m24kmk25，m24km5k20，mk 或 m5k.km0，直线 l 的方程为 yk(x5)，直线 l 必经过定点(5,0)19已知抛物线 C：x24y 的焦点为 F，直线 l：ykxa(a0)与抛物线 C 交于

38、 A，B 两点(1)若直线 l 过焦点 F，且与圆 x2(y1)21 交于 D，E(其中 A，D 在 y 轴同侧)，求证：|AD|BE|是定值；(2)设抛物线 C 在 A 和 B 点的切线交于点 P，试问：y 轴上是否存在点 Q，使得 APBQ 为菱形？若存在，请说明理由，并求此时直线 l 的斜率和点 Q 的坐标【解析】抛物线 C：x24y 的焦点为 F(0,1),设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立 x24y 与 ykxa，得 x24kx4a0，19则16(k2a)0，且 x1x24k，x1x24a.(1)证明若直线 l 过焦点 F，则 a1，则 x1x24k，x1x24.由条件可知

39、圆 x2(y1)21 的圆心为 F(0,1)，半径为 1，由抛物线的定义可知，|AF|y11，|BF|y21，则|AD|AF|1y1，|BE|BF|1y2，|AD|BE|y1y2(kx11)(kx21)k2x1x2k(x1x2)14k24k211，(或|AD|BE|y1y2x214x224x1x221642161)即|AD|BE|为定值，定值为 1.(2)【解析】方法一当直线 l 的斜率为 0，且 Q 的坐标为(0,3a)时，APBQ 为菱形理由如下：由 x24y，得 y14x2，则 y12x，则抛物线 C 在 Ax1，14x21处的切线为y14x2112x1(xx1)，即 y12x1x14x

40、21.同理抛物线 C 在 Bx2，14x22处的切线为y12x2x14x22.联立，解得 xx1x222k，代入式解得 yx1x24a，即 P(2k，a).又x1x222k，所以y1y22kx1x22a2k2a，即 AB 的中点为 R(2k，2k2a).则有 PRx 轴若 APBQ 为菱形，则 PRAB，所以 k0,此时 P(0，a)，R(0，a)，Q(0，3a).方法二设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，Q(0，y0)，20由 x24y，得 y14x2，则 y12x,若 APBQ 为菱形，则 AQBP，BQAP，则 kAQy1y0 x112x2，kBQy2y0 x212x1，即 y1y0

41、12x1x2，y2y012x1x2，则 y1y2，k0,A(2 a，a)，B(2 a，a)，则抛物线 C 在 A(2 a，a)处的切线为ya a(x2 a)，即 y axa，同理抛物线 C 在 B(2 a，a)处的切线为 y axa，联立得 P(0，a).又 AB 的中点为 R(0，a)，所以 Q(0，3a).方法三设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，Q(0，y0)，由 x24y，得 y14x2，则 y12x,若 APBQ 为菱形，则 AQBP，BQAP，则 kAQy1y0 x112x2，kBQy2y0 x212x1，即 y1y012x1x2，y2y012x1x2，则 y1y2，k0,此时

42、直线 AB:ykxaa，则 y012x1x2y112(4a)a3a，所以 Q(0，3a).20.如图，抛物线 C：y22px 的焦点为 F，抛物线上一定点 Q(1,2)(1)求抛物线 C 的方程及准线 l 的方程；(2)过焦点 F 的直线(不经过 Q 点)与抛物线交于 A，B 两点，与准线 l 交于点 M，记 QA，QB，QM 的斜率分别为 k1，k2，k3，问是否存在常数，使得 k1k2k3成立，若存在，求出的值；若不存在，请说明理21由【解析】(1)把 Q(1,2)代入 y22px，得 2p4，所以抛物线方程为 y24x，准线 l 的方程为 x1.(2)由条件可设直线 AB 的方程为 yk

43、(x1)，k0.由抛物线准线 l：x1 可知，M(1，2k)又 Q(1,2)，所以 k322k11k1，即 k3k1.把直线 AB 的方程 yk(x1)，代入抛物线方程 y24x，并整理，可得 k2x22(k22)xk20.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系知，x1x22k24k2，x1x21，且16(k21)0，又 Q(1,2)，则 k12y11x1，k22y21x2.因为 A，F，B 共线，所以 kAFkBFk，即y1x11y2x21k.所以 k1k22y11x12y21x2y1x11y2x212x1x22x1x2x1x212k22k24k2212k24k212k2，即 k1k22k2.又 k3k1，可得 k1k22k3.即存在常数2，使得 k1k2k3成立