数学（文）知识清单-专题03 函数的应用（考点解读）（原卷+解析版）.pdf

《数学（文）知识清单-专题03 函数的应用（考点解读）（原卷+解析版）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学（文）知识清单-专题03 函数的应用（考点解读）（原卷+解析版）.pdf（19页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、1专题专题 3函数的应用函数的应用求方程的根、函数的零点的个数问题以及由零点存在性定理判断零点是否存在，利用函数模型解决实际问题是高考的热点；备考时应理解函数的零点，方程的根和函数的图象与 x 轴的交点的横坐标的等价性；掌握零点存在性定理增强根据实际问题建立数学模型的意识，提高综合分析、解决问题的能力1函数的零点与方程的根(1)函数的零点对于函数 f(x)，我们把使 f(x)0 的实数 x 叫做函数 f(x)的零点(2)函数的零点与方程根的关系函数 F(x)f(x)g(x)的零点就是方程 f(x)g(x)的根，即函数 yf(x)的图象与函数 yg(x)的图象交点的横坐标(3)零点存在性定理如果

2、函数 yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，且有 f(a)f(b)0，那么，函数 yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在 c(a，b)使得 f(c)0,这个 c 也就是方程 f(x)0 的根注意以下两点：满足条件的零点可能不唯一；不满足条件时，也可能有零点(4)二分法求函数零点的近似值，二分法求方程的近似解2应用函数模型解决实际问题的一般程序读题文字语言建模数学语言求解数学应用反馈检验作答与函数有关的应用题，经常涉及到物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题解答这类问题的关键是确切的建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关

3、知识加以综合解答3在求方程解的个数或者根据解的个数求方程中的字母参数的范围的问题时，数形结合是基本的解题方法，即把方程分拆为一个等式，使两端都转化为我们所熟悉的函数的解析式，然后构造两个函数 f(x)，g(x)，2即把方程写成 f(x)g(x)的形式，这时方程根的个数就是两个函数图象交点的个数，可以根据图象的变化趋势找到方程中字母参数所满足的各种关系.高频考点一高频考点一函数的零点判断函数的零点判断例1、【2019年高考全国卷文数】函数()2sinsin2f xxx在0，2的零点个数为（）A2B3C4D5【方法技巧】函数零点的求法(1)判断函数在某个区间上是否存在零点，要根据具体题目灵活处理当

4、能直接求出零点时，就直接求出进行判断；当不能直接求出时，可根据零点存在性定理判断；当用零点存在性定理也无法判断时可画出图象判断(2)已知函数的零点个数求解参数范围，可以利用数形结合思想转化为函数图象交点个数；也可以利用函数方程思想，构造关于参数的方程或不等式进行求解(3)对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个函数图象，然后数形结合，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点【变式探究】设 f(x)ln xx2，则函数 f(x)的零点所在的区间为()A(0,1)B(1,2)C(2,3)D(3,4)高频考点二、二次函数的零点高频考点二、二次函数的

5、零点例 2、（2018 年浙江卷）已知R，函数 f(x)=，当=2 时，不等式 f(x)0 的解集是_若函数 f(x)恰有 2 个零点，则的取值范围是_【变式探究】已知函数 f(x)x2ax2，aR.(1)若不等式 f(x)0 的解集为1,2，求不等式 f(x)1x2的解集；(2)若函数 g(x)f(x)x21 在区间(1,2)上有两个不同的零点，求实数 a 的取值范围【方法技巧】解决二次函数的零点问题：(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系；(3)利用二次函数的图象列不等式组【变式探究】已知 f(x)x2(a21)x(a2)的一个零点比 1 大

6、，一个零点比 1 小，求实数 a 的取值范围3高频考点三高频考点三、函数的实际应用函数的实际应用例 3、(2019高考北京卷)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述两颗星的星等与亮度满足 m2m152lgE1E2，其中星等为 mk的星的亮度为 Ek(k1，2)已知太阳的星等是26.7，天狼星的星等是1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为()A.1010.1B.10.1C.lg 10.1D.1010.1【举一反三】【2016 高考四川文科】某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入.若该公司 2015 年全年投入研发资金 130 万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长 12，

7、则该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是()(参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30)(A)2018 年(B)2019 年(C)2020 年(D)2021 年【方法技巧】解决函数实际应用题的两个关键点(1)认真读题，缜密审题，准确理解题意，明确问题的实际背景，然后进行科学地抽象概括，将实际问题归纳为相应的数学问题(2)要合理选取参变量，设定变量之后，就要寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系，建立相应的函数模型，最终求解数学模型使实际问题获解【变式探究】某汽车销售公司在 A，B 两地销售同一种品牌的汽车，在 A 地的销售利润(

8、单位：万元)为y14.1x0.1x2，在 B 地的销售利润(单位：万元)为 y22x，其中 x 为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售 16 辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是()A10.5 万元B11 万元C43 万元D43.025 万元【举一反三】某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入 若该公司 2015 年全年投入研发资金 130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长 12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过 200万元的年份是()(参考数据：lg 1.120.05，lg 1.30.11，lg 20.30)A2018 年B2019 年C2020 年D2021 年1

9、、【2019年高考全国卷文数】函数()2sinsin2f xxx在0，2的零点个数为（）4A2B3C4D52【2019 年高考浙江】已知,a bR，函数32,0()11(1),032x xf xxaxax x若函数()yf xaxb恰有 3 个零点，则（）Aa1，b0Ba0Ca1，b1，b03.(2019高考北京卷)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述两颗星的星等与亮度满足m2m152lgE1E2，其中星等为 mk的星的亮度为 Ek(k1，2)已知太阳的星等是26.7，天狼星的星等是1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为()A.1010.1B.10.1C.lg 10.1D.1010

10、.11.（2018 年浙江卷）已知R，函数 f(x)=，当=2 时，不等式 f(x)1；（2）若关于x的方程()f x+22log()x=0 的解集中恰有一个元素，求a的值；（3）设a0，若对任意t1,12，函数()f x在区间,1t t 上的最大值与最小值的差不超过 1，求a6的取值范围.7专题专题 3函数的应用函数的应用求方程的根、函数的零点的个数问题以及由零点存在性定理判断零点是否存在，利用函数模型解决实际问题是高考的热点；备考时应理解函数的零点，方程的根和函数的图象与 x 轴的交点的横坐标的等价性；掌握零点存在性定理增强根据实际问题建立数学模型的意识，提高综合分析、解决问题的能力1函数

11、的零点与方程的根(1)函数的零点对于函数 f(x)，我们把使 f(x)0 的实数 x 叫做函数 f(x)的零点(2)函数的零点与方程根的关系函数 F(x)f(x)g(x)的零点就是方程 f(x)g(x)的根，即函数 yf(x)的图象与函数 yg(x)的图象交点的横坐标(3)零点存在性定理如果函数 yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，且有 f(a)f(b)0，那么，函数 yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在 c(a，b)使得 f(c)0,这个 c 也就是方程 f(x)0 的根注意以下两点：满足条件的零点可能不唯一；不满足条件时，也可能有零点(4)二分法求函数零点的近似值，二

12、分法求方程的近似解2应用函数模型解决实际问题的一般程序读题文字语言建模数学语言求解数学应用反馈检验作答与函数有关的应用题，经常涉及到物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题解答这类问题的关键是确切的建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答3在求方程解的个数或者根据解的个数求方程中的字母参数的范围的问题时，数形结合是基本的解题方法，即把方程分拆为一个等式，使两端都转化为我们所熟悉的函数的解析式，然后构造两个函数 f(x)，g(x)，8即把方程写成 f(x)g(x)的形式，这时方程根的个数就是两个函数图象交点的个数，可以根据图象

13、的变化趋势找到方程中字母参数所满足的各种关系.高频考点一高频考点一函数的零点判断函数的零点判断例1、【2019年高考全国卷文数】函数()2sinsin2f xxx在0，2的零点个数为（）A2B3C4D5【答案】B【解析】由()2sinsin22sin2sincos2sin(1cos)0f xxxxxxxx，得sin0 x 或cos1x，0,2x，0 x 、或2()f x在0,2的零点个数是 3.故选 B【方法技巧】函数零点的求法(1)判断函数在某个区间上是否存在零点，要根据具体题目灵活处理当能直接求出零点时，就直接求出进行判断；当不能直接求出时，可根据零点存在性定理判断；当用零点存在性定理也无

14、法判断时可画出图象判断(2)已知函数的零点个数求解参数范围，可以利用数形结合思想转化为函数图象交点个数；也可以利用函数方程思想，构造关于参数的方程或不等式进行求解(3)对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个函数图象，然后数形结合，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点【变式探究】设 f(x)ln xx2，则函数 f(x)的零点所在的区间为()A(0,1)B(1,2)C(2,3)D(3,4)【答案】B【解析】法一：f(1)ln 11210，f(1)f(2)0，9函数 f(x)ln xx2 的图象是连续的，函数 f(x)的零点所在的区间是(1

15、,2)法二：函数 f(x)的零点所在的区间转化为函数 g(x)ln x，h(x)x2 图象交点的横坐标所在的范围，如图所示，可知 f(x)的零点所在的区间为(1,2)高频考点二、二次函数的零点高频考点二、二次函数的零点例 2、（2018 年浙江卷）已知R，函数 f(x)=，当=2 时，不等式 f(x)0 的解集是_若函数 f(x)恰有 2 个零点，则的取值范围是_【答案】(1).(1,4)(2).【解析】由题意得或，所以或，即，不等式 f(x)0，g20，1a40，即a50，2a110，8a4，a2 6，解得5a2 6.10所以实数 a 的取值范围是(5，2 6)【方法技巧】解决二次函数的零点

16、问题：(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系；(3)利用二次函数的图象列不等式组【变式探究】已知 f(x)x2(a21)x(a2)的一个零点比 1 大，一个零点比 1 小，求实数 a 的取值范围【解析】设方程 x2(a21)x(a2)0 的两根分别为 x1，x2(x1x2)，则(x11)(x21)0，即 x1x2(x1x2)10，由根与系数的关系，得(a2)(a21)10，即 a2a20，2a200，得 1.12n2013，两边取对数，得 nlg 2lg 1.3lg 1.120.300.110.05195，n4，从 2019 年开始，该公司全年投

17、入的研发资金开始超过 200 万元12【答案】B1、【2019年高考全国卷文数】函数()2sinsin2f xxx在0，2的零点个数为（）A2B3C4D5【答案】B【解析】由()2sinsin22sin2sincos2sin(1cos)0f xxxxxxxx，得sin0 x 或cos1x，0,2x，0 x 、或2()f x在0,2的零点个数是 3.故选 B2【2019 年高考浙江】已知,a bR，函数32,0()11(1),032x xf xxaxax x若函数()yf xaxb恰有 3 个零点，则（）Aa1，b0Ba0Ca1，b1，b0【答案】C【解析】当 x0 时，yf（x）axbxaxb

18、（1a）xb0，得 x?，则 yf（x）axb 最多有一个零点；当 x0 时，yf（x）axb?x3?（a+1）x2+axaxb?x3?（a+1）x2b，2(1)yxax，当 a+10，即 a1 时，y0，yf（x）axb 在0，+）上单调递增，则 yf（x）axb 最多有一个零点，不合题意；当 a+10，即 a1 时，令 y0 得 x(a+1，+），此时函数单调递增，令 y0 得 x0，a+1），此时函数单调递减，则函数最多有 2 个零点.根据题意，函数 yf（x）axb 恰有 3 个零点函数 yf（x）axb 在（，0）上有一个零点，13在0，+）上有 2 个零点，如图：?0 且?，解得

19、b0，1a0，b?（a+1）3，则 a1，b0.故选 C3.(2019高考北京卷)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述两颗星的星等与亮度满足m2m152lgE1E2，其中星等为 mk的星的亮度为 Ek(k1，2)已知太阳的星等是26.7，天狼星的星等是1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为()A.1010.1B.10.1C.lg 10.1D.1010.1【解析】根据题意，设太阳的星等与亮度分别为 m1与 E1，天狼星的星等与亮度分别为 m2与 E2，则由已知条件可知 m126.7，m21.45，根据两颗星的星等与亮度满足 m2m152lgE1E2，把 m1与 m2的值分别代入上式得

20、，1.45(26.7)52lgE1E2，得 lgE1E210.1，所以E1E21010.1，故选 A.【答案】A1.（2018 年浙江卷）已知R，函数 f(x)=，当=2 时，不等式 f(x)0 的解集是_若函数 f(x)恰有 2 个零点，则的取值范围是_【答案】(1).(1,4)(2).【解析】由题意得或，所以或，即，不等式 f(x)0；当 x（，）时，f（x）1 时，=0，解得 x1=，x2=易得，g(x)在(，x1)上单调递增，在x1，x2上单调递减，在(x2，+)上单调递增g(x)的极大值 g(x1)=g()=0g(x)的极小值 g(x2)=g()=若 g(x2)0，由 g(x)的单调

21、性可知函数 y=g(x)至多有两个零点，不合题意16若即，也就是，此时，且，从而由的单调性，可知函数在区间内各有一个零点，符合题意所以，的取值范围是1.【2017 北京，文 8】根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限 M 约为 3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数 N 约为 1080则下列各数中与MN最接近的是（参考数据：lg30.48）（A）1033（B）1053（C）1073（D）1093【答案】D【解析】设36180310MxN，两边取对数，36136180803lglglg3lg10361 lg38093.2810 x，所以93.2810 x，即MN最接近9310，故选 D.2.

22、【2017 江苏，14】设()f x是定义在R且周期为 1 的函数，在区间0,1)上,2,(),xxDf xxxD其中集合1,*nDx xnnN，则方程()lg0f xx的解的个数是.【答案】8【解析】由于 0,1f x，则需考虑110 x的情况，在此范围内，xQ且xD时，设*,2qxp qNpp，且,p q互质，若lgxQ，则由lg0,1x，可设*lg,2nxm nNmm，且,m n互质，因此10nmqp，则10mnqp，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此lgxQ，因此lgx不可能与每个周期内xD对应的部分相等，只需考虑lgx与每个周期xD的部分的交点，画出函数图象，图中交点除外1,0

23、其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期xD的部分，且1x 处11(lg)1ln10ln10 xx，则在1x 附近仅有一个交点，17因此方程 lg0f xx的解的个数为 83.【2017 江苏，11】已知函数31()2eexxf xxx,其中 e 是自然数对数的底数.若2(1)(2)0f afa,则实数a的取值范围是.【答案】1 1,2【解析】因为 312xxfxxxef xe ，所以函数 f x是奇函数，因为 22323220 xxxxfxxeexee，所以数 f x在R上单调递增，又2120f afa，即221fafa，所以221aa，即2210aa，解得112a，故实数a的取值范围为11,

24、21.【2016 高考山东文数】若函数()yf x的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()yf x具有 T 性质.下列函数中具有 T 性质的是（）（A）sinyx（B）lnyx（C）exy（D）3yx【答案】A【解析】当sinyx时，cosyx，cos0 cos1，所以在函数sinyx图象存在两点使条件成立，故 A 正确；函数3ln,e,xyx yyx的导数值均非负，不符合题意，故选 A.2.【2016 高考山东文数】已知函数 f(x)的定义域为 R.当 x0 时，f(x)=x3-1；当-1x1 时，f(-x)=f(x)；当 x12时，f(x+12)=f(x12).则

25、 f(6)=（）（A）-2（B）-1（C）0（D）2【答案】D【解析】当12x 时，11()()22f xf x，所以当12x 时，函数()f x是周期为1的周期函数，所以(6)(1)ff，又因为当11x 时，fxf x，所以3(1)(1)112ff ，故18选 D.3.【2016 高考四川文科】某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入.若该公司 2015 年全年投入研发资金 130 万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长 12，则该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是()(参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30)(A)2018 年

26、(B)2019 年(C)2020 年(D)2021 年【答案】B【解析】设从 2015 年开始第n年该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元，由已知得112001301 12%200,1.12130nn，两边取常用对数得200(1)lg1.12lg,130nlg2lg1.30.30.1113.8,5lg1.120.05nn ，故从2019 年开始，该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元，故选 B.20.【2016 高考北京文数】函数()(2)1xf xxx的最大值为_.【答案】2【解析】1()11 121f xx ，即最大值为 2.21.【2016 高考天津文数】已知函数2(43

27、)3,0()(01)log(1)1,0axaxa xf xaaxx且在 R 上单调递减，且关于 x 的方程|()|23xf x 恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是_.【答案】1 2,)3 3【解析】由函数()f x在 R 上单调递减得43130,01,31234aaaa，又方程|()|23xf x 恰有两个不相等的实数解，所以232,3aa1；（2）若关于x的方程()f x+22log()x=0 的解集中恰有一个元素，求a的值；19（3）设a0，若对任意t1,12，函数()f x在区间,1t t 上的最大值与最小值的差不超过 1，求a的取值范围.【答案】（1）|01xx（2）0a 或14

28、（3）2,3【解析】（1）由21log11x，得112x，解得(0,1)x（2）2221loglog0axx有且仅有一解，等价于211a xx有且仅有一解，等价于210axx 有且仅有一解当0a 时，1x，符合题意；当0a 时，1 40a，14a 综上，0a 或14（3）当120 xx时，1211aaxx，221211loglogaaxx，所以 f x在0,上单调递减函数 f x在区间,1t t 上的最大值与最小值分别为 f t，1f t 22111loglog11f tf taatt即2110atat，对任意1,12t成立因为0a，所以函数211yatat在区间1,12上单调递增，所以12t 时，y有最小值3142a，由31042a，得23a 故a的取值范围为2,3