数学（文）知识清单-专题13 直线与圆（考点解读）（原卷+解析版）.pdf

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1、1专题专题 13直线与圆直线与圆1.以客观题形式考查两条直线平行与垂直的关系判断，常常是求参数值或取值范围，有时也与命题、充要条件结合，属常考点之一2.与三角函数、数列等其他知识结合，考查直线的斜率、倾斜角、直线与圆的位置关系等，以客观题形式考查3.本部分内容主要以客观题形式考查，若在大题中考查，较少单独命制试题，常常与圆锥曲线相结合，把直线与圆的位置关系的判断或应用作为题目条件的一部分或一个小题出现，只要掌握最基本的位置关系，一般都不难获解知识点一知识点一直线方程直线方程(1)直线的倾斜角与斜率的关系倾斜角的取值范围：0180.倾斜角为(90)的直线的斜率 ktan，倾斜角为 90的直线斜率

2、不存在当 00 且 k 随倾斜角的增大而增大当 90180时，k0)，圆心坐标为D2，E2，半径 rD2E24F2.(2)点与圆的位置关系几何法：利用点到圆心的距离 d 与半径 r 的关系判断：dr点在圆外，dr点在圆上；d0)的位置关系如下表.方 法 位 置关系几何法：根据 d|AaBbC|A2B2与r 的大小关系代数法：AxByC0 xa2yb2r2消元得一元二次方程，根据判别式的符号相交d03相切dr0相离drr1r2无解外切dr1r2一组实数解相交|r1r2|dr1r2两组不同实数解内切d|r1r2|(r1r2)一组实数解内含0d0)将ABC 分割为面积相等的两部分，则 b 的取值范围

3、是()A(0，1)B.122，12C.122，13D.13，12高频考点二高频考点二两直线的位置关系两直线的位置关系例 2、已知平行直线012:,012:21yxlyxl，则21,ll的距离_.【变式探究】已知点 O(0，0)，A(0，b)，B(a，a3)若OAB 为直角三角形，则必有()Aba3Bba31a4C(ba3)(ba31a)0D|ba3|ba31a|0【变式探究】设 mR，过定点 A 的动直线 xmy0 和过定点 B 的动直线 mxym30 交于点 P(x，y)，则|PA|PB|的最大值是_高频考点三高频考点三圆的方程圆的方程例 3（2018天津高考）在平面直角坐标系中，经过三点（

4、0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为_【变式探究】在直角坐标系 xOy 中，曲线与 x 轴交于 A，B 两点，点 C 的坐标为(0,1).当 m 变化时，解答下列问题：（1）能否出现 ACBC 的情况？说明理由；（2）证明过 A，B，C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值.【变式探究】圆2228130 xyxy的圆心到直线10axy 的距离为 1，则 a=（）（A）43（B）34（C）3（D）2【变式探究】一个圆经过椭圆x216y241 的三个顶点，且圆心在 x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为_高频考点四高频考点四直线与圆、圆与圆的位置关系直线与圆、圆与圆的位置关系例 4（2019

5、浙江高考）已知圆C的圆心坐标是(0,)m，半径长是r.若直线230 xy与圆相切于点(2,1)A，则m_，r _.【变式探究】过三点 A(1，3)，B(4，2)，C(1，7)的圆交 y 轴于 M、N 两点，则|MN|()A2 6B8C4 6D101.（2019江苏高考）在平面直角坐标系?脐 中，P 是曲线 脐?上的一个动点，则点 P 到直线 x+y=0 的距离的最小值是_.2（2019北京高考）设抛物线 y2=4x 的焦点为 F，准线为 l.则以 F 为圆心，且与 l 相切的圆的方程为_3.（2019浙江高考）已知圆C的圆心坐标是(0,)m，半径长是r.若直线230 xy与圆相切于点(2,1)

6、A，则m_，r _.1.（2018天津高考）在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为_52(2018北京卷)在平面直角坐标系中，记 d 为点 P(cos，sin)到直线 xmy20 的距离当，m变化时，d 的最大值为()A1B2C3D43.(2018全国卷)直线 xy20 分别与 x 轴，y 轴交于 A，B 两点，点 P 在圆(x2)2y22 上，则ABP 面积的取值范围是()A2,6B4,8C 2,3 2D2 2，3 24(2018全国卷)直线 xy20 分别与 x 轴，y 轴交于 A，B 两点，点 P 在圆(x2)2y22 上，则ABP 面积的取值范围是(

7、)A2,6B.4,8C 2，3 2D2 2，3 25(2018北京卷)在平面直角坐标系中，记 d 为点 P(cos，sin)到直线 xmy20 的距离当，m变化时，d 的最大值为()A1B2C3D46.（2018全国高考）直线1yx与圆22230 xyy 交于AB，两点，则AB _7(2018天津卷)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为_8(2018全国卷)设抛物线 C：y24x 的焦点为 F，过 F 且斜率为 k(k0)的直线 l 与 C 交于 A，B 两点，|AB|8.(1)求 l 的方程；(2)求过点 A，B 且与 C 的准线相切的圆的方程1.【20

8、17 课标 3，文 20】在直角坐标系 xOy 中，曲线与 x 轴交于 A，B 两点，点 C 的坐标为(0,1).当 m变化时，解答下列问题：（1）能否出现 ACBC 的情况？说明理由；（2）证明过 A，B，C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值.1.【2016 高考新课标 2 文数】圆2228130 xyxy的圆心到直线10axy 的距离为 1，则a=（）（A）43（B）34（C）3（D）262.【2016 高考上海文数】已知平行直线012:,012:21yxlyxl，则21,ll的距离_.3.【2016 高考新课标 3 文数】已知直线l：330mxym与圆2212xy交于,A B两点，过

9、,A B分别做l的垂线与x轴交于,C D两点，若2 3AB，则|CD _.4.【2016 高考新课标 1 卷】（本小题满分 12 分）设圆222150 xyx的圆心为 A,直线 l 过点 B（1,0）且与 x 轴不重合,l 交圆 A 于 C,D 两点,过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E.（I）证明EAEB为定值,并写出点 E 的轨迹方程；（II）设点 E 的轨迹为曲线 C1,直线 l 交 C1于 M,N 两点,过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P,Q 两点,求四边形 MPNQ 面积的取值范围.7专题专题 13直线与圆直线与圆1.以客观题形式考查两条直线平行与垂直的关系判断，

10、常常是求参数值或取值范围，有时也与命题、充要条件结合，属常考点之一2.与三角函数、数列等其他知识结合，考查直线的斜率、倾斜角、直线与圆的位置关系等，以客观题形式考查3.本部分内容主要以客观题形式考查，若在大题中考查，较少单独命制试题，常常与圆锥曲线相结合，把直线与圆的位置关系的判断或应用作为题目条件的一部分或一个小题出现，只要掌握最基本的位置关系，一般都不难获解知识点一知识点一直线方程直线方程(1)直线的倾斜角与斜率的关系倾斜角的取值范围：0180.倾斜角为(90)的直线的斜率 ktan，倾斜角为 90的直线斜率不存在当 00 且 k 随倾斜角的增大而增大当 90180时，k0)，圆心坐标为D

11、2，E2，半径 rD2E24F2.(2)点与圆的位置关系几何法：利用点到圆心的距离 d 与半径 r 的关系判断：dr点在圆外，dr点在圆上；d0)的位置关系如下表.方 法 位 置关系几何法：根据 d|AaBbC|A2B2与r 的大小关系代数法：AxByC0 xa2yb2r2消元得一元二次方程，根据判别式的符号相交d09相切dr0相离drr1r2无解外切dr1r2一组实数解相交|r1r2|dr1r2两组不同实数解内切d|r1r2|(r1r2)一组实数解内含0d0)将ABC 分割为面积相等的两部分，则 b 的取值范围是()10A(0，1)B.122，12C.122，13D.13，12【解析】(1)

12、当直线 yaxb 与 AB、BC 相交时(如图)，由yaxb，xy1得 yEaba1，又易知 xDba，|BD|1ba，由 SDBE12abaaba112得 b111a10，12.图图(2)当直线 yaxb 与 AC、BC 相交时(如图)，由 SFCG12(xGxF)|CM|12得 b1221a2122，1(0a0 恒成立，b0，12 122，1，即 b122，12.故选 B.【答案】B高频考点二高频考点二两直线的位置关系两直线的位置关系例 2、已知平行直线012:,012:21yxlyxl，则21,ll的距离_.【答案】2 55【解析】利用两平行线间距离公式得122222|cc|1 1|2

13、5d5ab21.【变式探究】已知点 O(0，0)，A(0，b)，B(a，a3)若OAB 为直角三角形，则必有()Aba3Bba31aC(ba3)(ba31a)0D|ba3|ba31a|0【解析】若OAB 为直角三角形，则 A90或 B90.当 A90时，有 ba3；11当 B90时，有ba30aa30a01，得 ba31a.故(ba3)(ba31a)0，选 C.【答案】C【变式探究】设 mR，过定点 A 的动直线 xmy0 和过定点 B 的动直线 mxym30 交于点 P(x，y)，则|PA|PB|的最大值是_【解析】易求定点 A(0，0)，B(1，3)当 P 与 A 和 B 均不重合时，不难

14、验证 PAPB，所以|PA|2|PB|2|AB|210，所以|PA|PB|PA|2|PB|225(当且仅当|PA|PB|5时，等号成立)，当 P 与 A 或 B 重合时，|PA|PB|0，故|PA|PB|的最大值是 5.【答案】5高频考点三高频考点三圆的方程圆的方程例 3（2018天津高考）在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为_【答案】2220 xyx【解析】设圆的方程为220 xyDxEyF，圆经过三点（0，0），（1，1），（2，0），则：01 104020FDEFDF，解得：200DEF，则圆的方程为2220 xyx.【变式探究】在直角坐标系 xOy

15、 中，曲线22yxmx与 x 轴交于 A，B 两点，点 C 的坐标为(0,1).当 m 变化时，解答下列问题：（1）能否出现 ACBC 的情况？说明理由；（2）证明过 A，B，C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值.【答案】（1）不会；（2）详见解析【解析】（1）不能出现 ACBC 的情况，理由如下：设1,0A x（）,2,0B x（）,则12xx，满足220 xmx，所以122x x .又 C 的坐标为（0，1），故 AC 的斜率与 BC 的斜率之积为121112xx，所以不能出现 ACBC 的情12况.（2）BC 的中点坐标为（2122x，），可得 BC 的中垂线方程为22x122yx

16、x（）.由（1）可得12xxm，所以 AB 的中垂线方程为2mx .联立222 122mxxyx x，又22220 xmx，可得2 12mxy ，所以过 A、B、C 三点的圆的圆心坐标为（122m，），半径292mr，故圆在 y 轴上截得的弦长为22232mr（），即过 A、B、C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值.【变式探究】圆2228130 xyxy的圆心到直线10axy 的距离为 1，则 a=（）（A）43（B）34（C）3（D）2【答案】A【解析】圆的方程可化为22(x 1)(y4)4，所以圆心坐标为(1,4)，由点到直线的距离公式得：24 111ada，解得43a ，故选 A【变

17、式探究】一个圆经过椭圆x216y241 的三个顶点，且圆心在 x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为_【解析】由题意知圆过(4，0)，(0，2)，(0，2)三点，(4，0)，(0，2)两点的垂直平分线方程为 y12(x2)，令 y0，解得 x32，圆心为32，0，半径为52.故圆的标准方程为x322y2254.【答案】x322y2254高频考点四高频考点四直线与圆、圆与圆的位置关系直线与圆、圆与圆的位置关系例 4（2019浙江高考）已知圆C的圆心坐标是(0,)m，半径长是r.若直线230 xy与圆相切于点(2,1)A，则m_，r _.13【答案】2m 5r【解析】可知11:1(2)22ACkAC

18、 yx ，把(0,)m代入得2m，此时|4 15rAC.【变式探究】过三点 A(1，3)，B(4，2)，C(1，7)的圆交 y 轴于 M、N 两点，则|MN|()A2 6B8C4 6D10【解析】由已知，得AB(3，1)，BC(3，9)，则ABBC3(3)(1)(9)0，所以ABBC，即 ABBC，故过三点 A、B、C 的圆以 AC 为直径，得其方程为(x1)2(y2)225，令 x0 得(y2)224，解得 y122 6，y222 6，所以|MN|y1y2|4 6，选C.【答案】C1.（2019江苏高考）在平面直角坐标系?脐 中，P 是曲线 脐?上的一个动点，则点 P 到直线 x+y=0 的

19、距离的最小值是_.【答案】4【解析】当直线?脐 平移到与曲线 脐?相切位置时，切点 Q 即为点 P 到直线?脐 的距离最小.由?脐 脐?脐 脐，得?脐?舍?，脐?，即切点?，则切点 Q 到直线?脐 的距离为?脐?脐?脐?，故答案为 4。2（2019北京高考）设抛物线 y2=4x 的焦点为 F，准线为 l.则以 F 为圆心，且与 l 相切的圆的方程为_【答案】(x-1)2+y2=4.【解析】抛物线 y2=4x 中，2p=4，p=2，焦点 F（1,0），准线 l 的方程为 x=-1，以 F 为圆心，且与 l 相切的圆的方程为(x-1)2+y2=22,即为(x-1)2+y2=4.143.（2019浙

20、江高考）已知圆C的圆心坐标是(0,)m，半径长是r.若直线230 xy与圆相切于点(2,1)A，则m_，r _.【答案】2m 5r【解析】可知11:1(2)22ACkAC yx ，把(0,)m代入得2m，此时|4 15rAC.1.（2018天津高考）在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为_【答案】2220 xyx【解析】设圆的方程为220 xyDxEyF，圆经过三点（0，0），（1，1），（2，0），则：01 104020FDEFDF，解得：200DEF，则圆的方程为2220 xyx.2(2018北京卷)在平面直角坐标系中，记 d 为点 P(cos，sin)

21、到直线 xmy20 的距离当，m变化时，d 的最大值为()A1B2C3D4【答案】C【解析】易知 d|cos msin 2|m21|msin cos 2|m21|m21mm21sin 1m21cos 2|m21|m21sin()2|m21(其中 cos mm21，sin 1m21)，因为1sin()1，所以|2 m21|m21dm212m21，m212m2112m21，所以当 m0 时，d 取得最大值 3，故选 C。3.(2018全国卷)直线 xy20 分别与 x 轴，y 轴交于 A，B 两点，点 P 在圆(x2)2y22 上，则ABP 面积的取值范围是()A2,6B4,8C 2,3 2D2

22、2，3 2【答案】A【解析】圆心(2,0)到直线的距离 d|202|22 2，所以点 P 到直线的距离 d1 2，3 2根据直线的方程可知 A，B 两点的坐标分别为 A(2,0)，B(0，2)，所以 AB2 2，所以ABP 的面积 S12|AB|d1 2d1.因为 d1 2，3 2，所以 S2,6，即ABP 面积的取值范围是2,6154(2018全国卷)直线 xy20 分别与 x 轴，y 轴交于 A，B 两点，点 P 在圆(x2)2y22 上，则ABP 面积的取值范围是()A2,6B.4,8C 2，3 2D2 2，3 2【答案】A【解析】设圆(x2)2y22 的圆心为 C，半径为 r，点 P

23、到直线 xy20 的距离为 d，则圆心 C(2,0)，r 2，所以圆心 C 到直线 xy20 的距离为|22|22 2，可得 dmax2 2r3 2，dmin2 2r 2.由已知条件可得|AB|2 2，所以ABP 面积的最大值为12|AB|dmax6，ABP 面积的最小值为12|AB|dmin2.综上，ABP 面积的取值范围是2,65(2018北京卷)在平面直角坐标系中，记 d 为点 P(cos，sin)到直线 xmy20 的距离当，m变化时，d 的最大值为()A1B2C3D4【答案】C【解析】由点到直线的距离公式得 d|cosmsin2|1m2，cosmsin 1m211m2cosm1m2s

24、in，令 sin11m2，cosm1m2，cosmsin 1m2sin()，d|1m22|1m21m221m2121m2，当 m0 时，dmax3，故选 C6.（2018全国高考）直线1yx与圆22230 xyy 交于AB，两点，则AB _【答案】2 2【解析】根据题意，圆的方程可化为22(1)4xy，16所以圆的圆心为(0,1)，且半径是2，根据点到直线的距离公式可以求得220 1 121(1)d ，结合圆中的特殊三角形，可知2 422 2AB，故答案为2 2.7(2018天津卷)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为_【答案】x2y22x0【解析】设圆的

25、方程为 x2y2DxEyF0.将已知三点的坐标代入方程可得F0，DEF20，42DF0，解得D2，E0，F0，所以圆的方程为 x2y22x0.8(2018全国卷)设抛物线 C：y24x 的焦点为 F，过 F 且斜率为 k(k0)的直线 l 与 C 交于 A，B 两点，|AB|8.(1)求 l 的方程；(2)求过点 A，B 且与 C 的准线相切的圆的方程【解析】(1)由题意得 F(1,0)，l 的方程为 yk(x1)(k0)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由ykx1，y24x得 k2x2(2k24)xk20.16k2160，故 x1x22k24k2.所以|AB|AF|BF|(x11)(x

26、21)4k24k2.由题设知4k24k28，解得 k1(舍去)，k1.因此 l 的方程为 yx1.(2)由(1)得 AB 的中点坐标为(3,2)，所以 AB 的垂直平分线方程为 y2(x3)，即 yx5.设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则17y0 x05，x012y0 x012216.解得x03，y02或x011，y06.因此所求圆的方程为(x3)2(y2)216 或(x11)2(y6)2144.1.【2017 课标 3，文 20】在直角坐标系 xOy 中，曲线22yxmx与 x 轴交于 A，B 两点，点 C 的坐标为(0,1).当 m 变化时，解答下列问题：（1）能否出现 ACBC 的情

27、况？说明理由；（2）证明过 A，B，C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值.【答案】（1）不会；（2）详见解析【解析】（1）不能出现 ACBC 的情况，理由如下：设1,0A x（）,2,0B x（）,则12xx，满足220 xmx，所以122x x .又 C 的坐标为（0，1），故 AC 的斜率与 BC 的斜率之积为121112xx，所以不能出现 ACBC 的情况.（2）BC 的中点坐标为（2122x，），可得 BC 的中垂线方程为22x122yx x（）.由（1）可得12xxm，所以 AB 的中垂线方程为2mx .联立222 122mxxyx x，又22220 xmx，可得2 12mxy

28、，所以过 A、B、C 三点的圆的圆心坐标为（122m，），半径292mr，故圆在 y 轴上截得的弦长为22232mr（），即过 A、B、C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值.1.【2016 高考新课标 2 文数】圆2228130 xyxy的圆心到直线10axy 的距离为 1，则a=（）18（A）43（B）34（C）3（D）2【答案】A【解析】圆的方程可化为22(x 1)(y4)4，所以圆心坐标为(1,4)，由点到直线的距离公式得：24 111ada，解得43a ，故选 A2.【2016 高考上海文数】已知平行直线012:,012:21yxlyxl，则21,ll的距离_.【答案】2 55【解

29、析】利用两平行线间距离公式得122222|cc|1 1|2 5d5ab21.3.【2016 高考新课标 3 文数】已知直线l：330mxym与圆2212xy交于,A B两点，过,A B分别做l的垂线与x轴交于,C D两点，若2 3AB，则|CD _.【答案】4【解析】因为|2 3AB，且圆的半径为2 3，所以圆心(0,0)到直线330mxym的距离为22|()32ABR，则由2|33|31mm，解得33m ，代入直线l的方程，得32 33yx，所以直线l的倾斜角为30，由平面几何知识知在梯形ABDC中，|4cos30ABCD 4.【2016 高考新课标 1 卷】（本小题满分 12 分）设圆22

30、2150 xyx的圆心为 A,直线 l 过点 B（1,0）且与 x 轴不重合,l 交圆 A 于 C,D 两点,过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E.（I）证明EAEB为定值,并写出点 E 的轨迹方程；（II）设点 E 的轨迹为曲线 C1,直线 l 交 C1于 M,N 两点,过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P,Q 两点,求四边形 MPNQ 面积的取值范围.【答案】（）13422yx（0y）（II）)38,12【解析】（）因为|ACAD，ACEB/，故ADCACDEBD，所以|EDEB，故|ADEDEAEBEA.19又圆A的标准方程为16)1(22yx，从而4|AD，所以4|E

31、BEA.由题设得)0,1(A，)0,1(B，2|AB，由椭圆定义可得点E的轨迹方程为：13422yx（0y）.（）当l与x轴不垂直时，设l的方程为)0)(1(kxky，),(11yxM，),(22yxN.由134)1(22yxxky得01248)34(2222kxkxk.则3482221kkxx，341242221kkxx.所以34)1(12|1|22212kkxxkMN.过点)0,1(B且与l垂直的直线m：)1(1xky，A到m的距离为122k，所以1344)12(42|22222kkkPQ.故四边形MPNQ的面积341112|212kPQMNS.可得当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为)38,12.当l与x轴垂直时，其方程为1x，3|MN，8|PQ，四边形MPNQ的面积为 12.综上，四边形MPNQ面积的取值范围为)38,12.