数学（理）知识清单-专题03 函数的应用（原卷+解析版）.pdf

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1、1专练专练1设 a 是方程 2ln x3x 的解，则 a 在下列哪个区间内()A(0,1)B(3,4)C(2,3)D(1,2)2已知 a 是函数 f(x)2xlog12x 的零点，若 0 x00Cf(x0)0Df(x0)的符号不确定3若定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x2)f(x)，且当 x0,1时，f(x)x，则函数 yf(x)log3|x|的零点个数是()A多于 4 个B4 个C3 个D2 个4若函数 f(x)(m2)x2mx(2m1)的两个零点分别在区间(1,0)和区间(1,2)内，则 m 的取值范围是()A.12，14B.14，12C.14，12D.14，125已知函数 f(

2、x)2xx，g(x)log3xx，h(x)x1x的零点依次为 a，b，c，则()AabcBcbaCcabDba0，0，x0，1，x0，x24x，x0，则此函数的“友好点对”有()A1 对B2 对C3 对D4 对9函数 f(x)对一切实数 x 都满足并且方程 f(x)0 有三个实根，则这三个实根的和为_10已知 f(x)x3，x1，x22x3，x1，则函数 g(x)f(x)ex的零点个数为_11函数 f(x)3x7ln x 的零点位于区间(n，n1)(nN)内，则 n_.12已知函数 f(x)x21，x0，x1，x0.(1)求 gf(1)的值；(2)若方程 gf(x)a0 有 4 个实数根，求实

3、数 a 的取值范围14已知函数 f(x)ln xx，x1ax2a，x1，若函数 g(x)f(x)13恰有 2 个零点，则 a 的取值范围为_15关于 x 的二次方程 x2(m1)x10 在区间0,2上有解，求实数 m 的取值范围16若关于 x 的方程 22x2xaa10 有实根，求实数 a 的取值范围17候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模地迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度 v(单位：m/s)与其耗氧量 Q 之间的关系为：vablog3Q10(其中 a，b 是实数)据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为 30 个单位，而其耗氧量为 90 个单位时，其飞行速度为 1 m/s.(1

4、)求出 a，b 的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于 2 m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？18.在扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以 5.8 万元的优惠价格转让给了尚有 5 万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支 3 600 元后，逐步偿还转让费(不计息)在甲提供的资料中：这3种消费品的进价为每件 14 元；该店月销量 Q(百件)与销量价格 P(元)的关系如图所示；每月需各种开支2 000 元(1)当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求

5、最大余额；(2)企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？19某沿海地区养殖的一种特色海鲜上市时间仅能持续 5 个月，预测上市初期和后期会因供应不足使价格呈持续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌现有三种价格模拟函数：f(x)pqx；f(x)px2qx1；f(x)x(xq)2p(以上三式中 p，q 均为常数，且 q1)(1)为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数(不必说明理由)?(2)若 f(0)4，f(2)6，求出所选函数 f(x)的解析式(注：函数定义域是0，5，其中 x0 表示 8 月 1 日，x1 表示 9 月 1 日，以此类推)；(3)在(2)的条件下研究下面课题：为保证

6、养殖户的经济效益，当地政府计划在价格下跌期间积极拓宽外销，请你预测该海鲜将在哪几个月内价格下跌20“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度 v(单位：千克/年)是养殖密度 x(单位：尾/立方米)的函数当 x 不超过 4 尾/立方米时，v 的值为 2 千克/年；当 4x20 时，v 是 x 的一次函数，当 x 达到 20 尾/立方米时，因缺氧等原因，v 的值为 0 千克/年(1)当 0 x20 时，求函数 v 关于 x 的函数表达式；(2)当养殖密度 x 为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？

7、并求出最大值4高考押题专练高考押题专练1设 a 是方程 2ln x3x 的解，则 a 在下列哪个区间内()A(0,1)B(3,4)C(2,3)D(1,2)【答案】D【解析】令 f(x)2ln x3x，则函数 f(x)在(0，)上递增，且 f(1)20，所以函数 f(x)在(1,2)上有零点，即 a 在区间(1,2)内2已知 a 是函数 f(x)2xlog12x 的零点，若 0 x00Cf(x0)0Df(x0)的符号不确定【答案】C【解析】在同一坐标系中作出函数 y2x，ylog12x 的图象，由图象可知，当 0 x0a 时，有 2x0log12x0，即 f(x0)0.3若定义在 R 上的偶函数

8、 f(x)满足 f(x2)f(x)，且当 x0,1时，f(x)x，则函数 yf(x)log3|x|的零点个数是()A多于 4 个B4 个C3 个D2 个【答案】B【解析】偶函数 f(x)满足 f(x2)f(x)，故函数的周期为 2.当 x0,1时，f(x)x，故当 x1，0时，f(x)x.函数 yf(x)log3|x|的零点的个数等于函数 yf(x)的图象与函数 ylog3|x|的图象的交点个数在同一个坐标系中画出函数 yf(x)的图象与函数 ylog3|x|的图象，如图所示：显然函数 yf(x)的图象与函数 ylog3|x|的图象有 4 个交点，故答案为 B.4若函数 f(x)(m2)x2m

9、x(2m1)的两个零点分别在区间(1,0)和区间(1,2)内，则 m 的取值范围是()A.12，14B.14，125C.14，12D.14，12【答案】C【解析】依题意，结合函数 f(x)的图象分析可知 m 需满足m2，f1f00，f1f20，即m2，m2m2m12m10，m2m2m14m22m2m10，解得14m12.5已知函数 f(x)2xx，g(x)log3xx，h(x)x1x的零点依次为 a，b，c，则()AabcBcbaCcabDbac【答案】A【解析】在同一坐标系下分别画出函数 y2x，ylog3x，y1x的图象，如图，观察它们与直线 yx 的交点情况可知 ab0，0，x0，1，x

10、1，0，x1，1ln2x，0 x1 时，令 1ln2x0，解得 xe，此时 f(x)有一个零点；当 x1 时，f(1)0，则 x1 是 f(x)的一个零点；当 0 x0，x24x，x0，则此函数的“友好点对”有()A1 对B2 对C3 对D4 对【答案】B【解析】函数 f(x)log2x，x0，x24x，x0的图象及函数 f(x)x24x(x0)的图象关于原点对称的图象如图所示，则 A，B 两点关于原点的对称点一定在函数 f(x)x24x(x0)的图象上，故函数 f(x)的“友好点对”有 2对9函数 f(x)对一切实数 x 都满足并且方程 f(x)0 有三个实根，则这三个实根7的和为_【解析】

11、因为函数 f(x)的图象关于直线 x12对称，所以方程 f(x)0 有三个实根时，一定有一个根是12，另外两个根关于直线 x12对称，且和为 1，故方程 f(x)0 的三个实根的和为32.【答案】3210已知 f(x)x3，x1，x22x3，x1，则函数 g(x)f(x)ex的零点个数为_【解析】函数 g(x)f(x)ex的零点个数即为函数 yf(x)与 yex的图象的交点个数作出函数图象可知有 2 个交点，即函数 g(x)f(x)ex有 2 个零点【答案】211函数 f(x)3x7ln x 的零点位于区间(n，n1)(nN)内，则 n_.【解析】求函数 f(x)3x7ln x 的零点，可以大

12、致估算两个相邻自然数的函数值，如 f(2)1ln 2，由于 ln 2ln e1，所以 f(2)1，所以 f(3)0，所以函数 f(x)的零点位于区间(2,3)内，故 n2.【答案】212已知函数 f(x)x21，x0，x1，x0.(1)求 gf(1)的值；8(2)若方程 gf(x)a0 有 4 个实数根，求实数 a 的取值范围【解析】(1)利用解析式直接求解得 gf(1)g(3)312.(2)令 f(x)t，则原方程化为 g(t)a，易知方程 f(x)t 在 t(，1)内有 2 个不同的解，则原方程有 4个解等价于函数 yg(t)(t1)与 ya 的图象有 2 个不同的交点，作出函数 yg(t

13、)(t1)的图象，由图象可知，当 1a54时，函数 yg(t)(t1)与 ya 有 2 个不同的交点，即所求 a 的取值范围是1，54.14已知函数 f(x)ln xx，x1ax2a，x0，得 1xe，由 g(x)e，所以函数 g(x)在1，e)上单调递增，在(e，)上单调递减，所以 g(x)在1，)上有最大值，且 g(x)maxg(e)1e130，又 g(1)130，g(e3)3e3130，所以在1，)上 g(x)f(x)13有 2 个不同的零点，则由题意知当 x0 时，g(x)在(，1)上有最小值，且 g(x)ming(0)a130，此时函数 g(x)有零点，不满足题意；当 a0 时，g(

14、x)130，此时函数 g(x)无零点，满足题意；当 a0 时，g(x)在(，1)上有最大值，且 g(x)maxg(0)a13，由 g(x)max0，得13a0，f(2)0.又f(2)22(m1)21，m32.(2)若 f(x)0 在区间0,2上有两解，则0，0m122，f20，m1240，3m1，4m1210.m3 或 m1，3m0)，则原方程可变为 t2ata10，(*)原方程有实根，即方程(*)有正根令 f(t)t2ata1.(1)若方程(*)有两个正实根 t1，t2，则a24a10，t1t2a0，t1t2a10，解得1a22 2；(2)若方程(*)有一个正实根和一个负实根(负实根，不合题

15、意，舍去)，则 f(0)a10，解得 a0)，则 at21t1t2t112t12t1，其中 t11，由基本(均值)不等式，得(t1)2t12 2，当且仅当 t 21 时取等号，故 a22 2.综上可知实数 a 的取值范围是(，22 2 17候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模地迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度 v(单位：m/s)与其耗氧量 Q 之间的关系为：vablog3Q10(其中 a，b 是实数)据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为 30 个单位，而其耗氧量为 90 个单位时，其飞行速度为 1 m/s.(1)求出 a，b 的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于

16、 2 m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？【解析】(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为 0 m/s，此时耗氧量为 30 个单位，故有 ablog33010100，即 ab0；当耗氧量为 90 个单位时，速度为 1 m/s，故 ablog390101，整理得 a2b1.解方程组ab0，a2b1，得a1，b1.(2)由(1)知，vablog3Q101log3Q10.所以要使飞行速度不低于 2 m/s，则有 v2，所以1log3Q102，即 log3Q103，解得Q1027，即 Q270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于 2 m/s，则其耗氧量至少要 270 个单位18.在扶贫活

17、动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以 5.8 万元的优惠价格转让给了尚有 5 万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支 3 600 元后，逐步偿还转让费(不计息)在甲提供的资料中：这种消费品的进价为每件 14 元；该店月销量 Q(百件)与销量价格 P(元)的关系如图所示；每月需各种开支2 000 元(1)当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额；(2)企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？【解析】设该店月利润余额为 L 元，则由题设得 LQ(P14)100

18、3 6002 000，由销量图易得 Q2P50，14P20，32P40，20P26，代入式得 L2P50P141005 600，14P20，32P40P141005 600，20P26，(1)当 14P20 时，Lmax450 元，此时 P19.5 元；当 20P26 时，Lmax1 2503元，此时 P613元故当 P19.5 元时，月利润余额最大，为 450 元11(2)设可在 n 年后脱贫，依题意有 12n45050 00058 0000，解得 n20.即最早可望在 20 年后脱贫19某沿海地区养殖的一种特色海鲜上市时间仅能持续 5 个月，预测上市初期和后期会因供应不足使价格呈持续上涨态

19、势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌现有三种价格模拟函数：f(x)pqx；f(x)px2qx1；f(x)x(xq)2p(以上三式中 p，q 均为常数，且 q1)(1)为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数(不必说明理由)?(2)若 f(0)4，f(2)6，求出所选函数 f(x)的解析式(注：函数定义域是0，5，其中 x0 表示 8 月 1 日，x1 表示 9 月 1 日，以此类推)；(3)在(2)的条件下研究下面课题：为保证养殖户的经济效益，当地政府计划在价格下跌期间积极拓宽外销，请你预测该海鲜将在哪几个月内价格下跌【解析】(1)因为 f(x)pqx是单调函数，f(x)px2qx1，只

20、有两个单调区间，故不符合题设中的价格变化规律在 f(x)x(xq)2p 中，f(x)3x24qxq2，令 f(x)0，得 x1q，x2q3，即 f(x)有两个零点，可以出现两个递增区间和一个递减区间，符合题设中的价格变化规律，所以在所给出的函数中应选模拟函数 f(x)x(xq)2p.(2)对于 f(x)x(xq)2p，由 f(0)4，f(2)6，可得 p4，(2q)21，又 q1，所以 q3，所以 f(x)x36x29x4(0 x5)(3)因为 f(x)x36x29x4(0 x5)，所以 f(x)3x212x9，令 f(x)0，得 1x3.所以函数 f(x)在1，3内单调递减，所以可以预测这种

21、海鲜将在 9 月、10 月、11 月三个月内价格下跌20“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度 v(单位：千克/年)是养殖密度 x(单位：尾/立方米)的函数当 x 不超过 4 尾/立方米时，v 的值为 2 千克/年；当 4x20 时，v 是 x 的一次函数，当 x 达到 20 尾/立方米时，因缺氧等原因，v 的值为 0 千克/年(1)当 0 x20 时，求函数 v 关于 x 的函数表达式；(2)当养殖密度 x 为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？并求出最大值【解析】(1)由题意得当 0

22、x4 时，v2；12当 4x20 时，设 vaxb，由已知得20ab0，4ab2，解得a18，b52，所以 v18x52，故函数v2，0 x4，18x52，4x20.(2)设鱼的年生长量为 f(x)千克/立方米，依题意并由(1)可得f(x)2x，0 x4，18x252x，4x20，当 0 x4 时，f(x)为增函数，故 f(x)maxf(4)428；当 4x20 时，f(x)18x252x18(x220 x)18(x10)21008，f(x)maxf(10)12.5.所以当 0 x20 时，f(x)的最大值为 12.5.即当养殖密度为 10 尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为 12.5 千克/立方米