坐标系与参数方程 讲义-2023届高三数学一轮复习（含答案）.docx

《坐标系与参数方程 讲义-2023届高三数学一轮复习（含答案）.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《坐标系与参数方程 讲义-2023届高三数学一轮复习（含答案）.docx（32页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、坐标系与参数方程第一节 坐标系一、基础知识1平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换：的作用下，点P(x，y)对应到点P(x，y)，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换2极坐标系的概念(1)极坐标系如图所示，在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系 (2)极坐标极径：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为.极角：以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为. 3极坐标与直

2、角坐标的互化设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(，)，则它们之间的关系为：4简单曲线的极坐标方程曲线极坐标方程圆心为极点，半径为r的圆r(02)圆心为(r,0)，半径为r的圆2rcos 圆心为，半径为r的圆2rsin (0)过极点，倾斜角为的直线(R)或(R)过点(a,0)，与极轴垂直的直线cos a过点，与极轴平行的直线sin a(00)，求，的值 典例在极坐标系中，直线l的方程为sin2，曲线C的方程为4cos ，求直线l被曲线C截得的弦长解题技法1极坐标方程与直角坐标方程的互化方法(1)直角坐标方程化为极坐标方程：将公式xcos 及ysin 直接代入直角坐标方程并化

3、简即可(2)极坐标方程化为直角坐标方程：通过变形，构造出形如cos ，sin ，2的形式，再应用公式进行代换其中方程的两边同乘以(或同除以)及方程两边平方是常用的变形技巧2极角的确定由tan 确定角时，应根据点P所在象限取最小正角(1)当x0时，角才能由tan 按上述方法确定(2)当x0时，tan 没有意义，这时可分三种情况处理：当x0，y0时，可取任何值；当x0，y0时，可取；当x0，y0时，可取. 题组训练1(郑州质检)在极坐标系下，已知圆O：cos sin 和直线l：sin(0,02)(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；(2)当(0，)时，求直线l与圆O的公共点的极坐标2已知圆O1和圆O

4、2的极坐标方程分别为2，22cos2.(1)求圆O1和圆O2的直角坐标方程；(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程 典例(全国卷)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为cos 4.(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|OP|16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程； 解题技法1求简单曲线的极坐标方程的方法(1)设点M(，)为曲线上任意一点，由已知条件，构造出三角形，利用三角函数及正、余弦定理求解|OM|与的关系(2)先求出曲线的直角坐标方程，再利用极坐标与直角坐标的变换公式，把直角坐标方程化为极坐标方程2利用极坐标系解决问

5、题的技巧(1)用极坐标系解决问题时要注意题目中的几何关系，如果几何关系不容易通过极坐标表示时，可以先化为直角坐标方程，将不熟悉的问题转化为熟悉的问题加以解决(2)已知极坐标方程解答最值问题时，通常可转化为三角函数模型求最值问题，其比直角坐标系中求最值的运算量小提醒在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，注意转化的等价性题组训练1(青岛质检)在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(其中为参数)以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系(1)求圆C的极坐标方程；(2)设直线l的极坐标方程是sin2，射线OM：与圆C的交点为P，与直线l的2已知曲线C的极坐标方程为2，以极点为平面直角坐标

6、系的原点O，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)A，B为曲线C上两点，若OAOB，求的值1在极坐标系中，求直线cos1与圆4sin 的交点的极坐标2在极坐标系中，已知圆C经过点P，圆心为直线sin与极轴的交点，求圆C的极坐标方程3在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x)2(y1)29，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系(1)求圆C的极坐标方程；(2)直线OP：(R)与圆C交于点M，N，求线段MN的长4在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系曲线C的极坐标方程为cos1，M，N分别为C与x轴，y轴的交点(1)求C的直角坐标方程，

7、并求M，N的极坐标；(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程5在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为(x)2(y2)24，直线C2的方程为yx，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系(1)求曲线C1和直线C2的极坐标方程；(2)若直线C2与曲线C1交于P，Q两点，求|OP|OQ|的值6在直角坐标系xOy中，曲线C的方程为(x3)2(y4)225.以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系(1)求曲线C的极坐标方程；(2)设l1：，l2：，若l1，l2与曲线C分别交于异于原点的A，B两点，求AOB的面积7在直角坐标系xOy中，曲线C1：(t为参数，t0)，其中0.在以O为极

8、点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：2sin ，C3：2cos .(1)求C2与C3交点的直角坐标；(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值8在平面直角坐标系中，曲线C1的普通方程为x2y22x40，曲线C2的方程为y2x，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；(2)求曲线C1与C2交点的极坐标，其中0,02.第二节 参数方程一、基础知识1曲线的参数方程在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数并且对于t的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么这个方程组

9、就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程F(x，y)0叫做普通方程2参数方程和普通方程的互化(1)参数方程化普通方程：利用两个方程相加、减、乘、除或者代入法消去参数(2)普通方程化参数方程：如果xf(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系yg(t)，则得曲线的参数方程3直线、圆、椭圆的参数方程(1)过点M(x0，y0)，倾斜角为的直线l的参数方程为(t为参数)直线参数方程的标准形式的应用过点M0(x0，y0)，倾斜角为的直线l的参数方程是若M1，M2是l上的两点，其对应参数分别为t1，t2，则|M1M2|t

10、1t2|.若线段M1M2的中点M所对应的参数为t，则t，中点M到定点M0的距离|MM0|t|.若M0为线段M1M2的中点，则t1t20.|M0M1|M0M2|t1t2|.(2)圆心在点M0(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为(为参数)(3)椭圆1(ab0)的参数方程为 (为参数) 典例已知直线l的参数方程为(t为参数)，圆C的参数方程为(为参数)(1)求直线l和圆C的普通方程；(2)若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围 解题技法将参数方程化为普通方程的方法将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于

11、含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参(如sin2cos21等)提醒将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，防止增解 题组训练1将下列参数方程化为普通方程(1)(t为参数)(2)(为参数)2.如图，以过原点的直线的倾斜角为参数，求圆x2y2x0的参数方程典例已知过点P(m,0)的直线l的参数方程是(t为参数)，以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2cos .(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；(2)若直线l和曲线C交于A，B两点，且|PA|PB|2，求实数m的值 解题技法1应用直线参数方程的注意点在使用直线参数方

12、程的几何意义时，要注意参数前面的系数应该是该直线倾斜角的正、余弦值，否则参数不具备该几何含义2圆和圆锥曲线参数方程的应用有关圆或圆锥曲线上的动点距离的最大值、最小值以及取值范围的问题，通常利用它们的参数方程转化为三角函数的最大值、最小值求解，掌握参数方程与普通方程互化的规律是解此类题的关键 题组训练1在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(为参数)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为sin.(1)求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；(2)设P为曲线C1上的动点，求点P到C2的距离的最大值，并求此时点P的坐标2在直角坐标系xOy中，曲线C的参

13、数方程为(为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)(1)求C和l的直角坐标方程；(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率 典例在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(t为参数)，在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为cos1.(1)求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；(2)设直线l与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P是圆C上任一点，求A，B两点的极坐标和PAB面积的最小值 解题技法极坐标、参数方程综合问题的解题策略(1)求交点坐标、距离、线段长可先求出直角坐标系方程，然后求解(2)判断位置关系先转化为平面直角坐标方程，然后再

14、作出判断(3)求参数方程与极坐标方程综合问题一般是先将方程化为直角坐标方程，利用直角坐标方程来研究问题 题组训练1在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1：24cos 30，0,2，曲线C2：，0,2(1)求曲线C1的一个参数方程；(2)若曲线C1和曲线C2相交于A，B两点，求|AB|的值2在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的圆心C的极坐标为，半径为2，直线l与圆C交于M，N两点(1)求圆C的极坐标方程；(2)当变化时，求弦长|MN|的取值范围1若直线(t为参数)与圆(为参数)相

15、切，求直线的倾斜角.2在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(s为参数)，设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值3已知P为半圆C：(为参数，0)上的点，点A的坐标为(1,0)，O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧AP的长度均为.(1)以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标；(2)求直线AM的参数方程4.以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P的直角坐标为(1,2)，点C的极坐标为，若直线l过点P，且倾斜角为，圆C以点C为圆心，3为半径(1)求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；(2

16、)设直线l与圆C相交于A，B两点，求|PA|PB|.5在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求曲线C的极坐标方程；(2)若直线l1，l2的极坐标方程分别为1(1R)，2(2R)，设直线l1，l2与曲线C的交点分别为O，M和O，N，求OMN的面积6在平面直角坐标系xOy中，O的参数方程为(为参数)，过点(0，)且倾斜角为的直线l与O交于A，B两点(1)求的取值范围；(2)求AB中点P的轨迹的参数方程7在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，mR)，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的

17、极坐标方程为2(0)(1)写出曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；(2)已知点P是曲线C2上一点，若点P到曲线C1的最小距离为2，求m的值8已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(为参数)，且直线l交曲线C于A，B两点(1)将曲线C的参数方程化为普通方程，并求时，|AB|的值；(2)已知点P(1,0)，求当直线l的倾斜角变化时，|PA|PB|的取值范围选修45 不等式选讲第一节 绝对值不等式一、基础知识1绝对值三角不等式定理1：如果a，b是实数，则|ab|a|b|，当且仅当ab0时，等号成立定理2：如果a，b，c是实数，那么|ac|ab|bc|，当且仅当(ab)(bc)

18、0时，等号成立|a|b|ab|a|b|，当且仅当|a|b|且ab0时，左边等号成立，当且仅当ab0时，右边等号成立.2绝对值不等式的解法(1)|x|a型不等式的解法不等式a0a0a0|x|ax|xa或x0)型不等式的解法：|axb|ccaxbc；|axb|caxbc或axbc.|xa|xb|c和|xa|xb|c型不等式的解法及体现数学思想利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想. 典例(2016全国卷)已知函数f(x)|x1|2x3|.(1)画出yf(x)的图象；(2)求不等式|

19、f(x)|1的解集 题组训练1解不等式|x1|x1|2.2已知函数f(x)|xa|3x，其中aR.(1)当a1时，求不等式f(x)3x|2x1|的解集；(2)若不等式f(x)0的解集为x|x1，求a的值 典例(2019湖北五校联考)已知函数f(x)|2x1|，xR.(1)解不等式f(x)|x|1；(2)若对x，yR，有|xy1|，|2y1|，求证：f(x)1. 解题技法绝对值不等式性质的应用利用不等式|ab|a|b|(a，bR)和|ab|ac|cb|(a，bR)，通过确定适当的a，b，利用整体思想或使函数、不等式中不含变量，可以求最值或证明不等式题组训练1求函数f(x)|x2 019|x2 0

20、18|的最大值2若x1,1，|y|，|z|，求证：|x2y3z|. 典例已知函数f(x)|2x1|.(1)解关于x的不等式f(x)f(x1)1；(2)若关于x的不等式f(x)1的解集；(2)若x(0,1)时不等式f(x)x成立，求a的取值范围4设函数f(x)|3x1|ax3.(1)若a1，解不等式f(x)4；(2)若f(x)有最小值，求实数a的取值范围5(2019贵阳适应性考试)已知函数f(x)|x2|x1|.(1)解不等式f(x)x；(2)若关于x的不等式f(x)a22a的解集为R，求实数a的取值范围6已知函数f(x)|xa|x1|.(1)若a2，求不等式f(x)x2的解集；(2)如果关于x

21、的不等式f(x)2的解集不是空集，求实数a的取值范围7已知函数f(x)|2xa|a.(1)当a2时，求不等式f(x)6的解集；(2)设函数g(x)|2x1|.当xR时，f(x)g(x)3，求a的取值范围8设函数f(x)|x1|，xR.(1)求不等式f(x)3f(x1)的解集；(2)已知关于x的不等式f(x)f(x1)|xa|的解集为M，若M，求实数a的取值第二节 不等式的证明一、基础知识1基本不等式(1)定理1：如果a，bR，那么a2b22ab，当且仅当ab时，等号成立(2)定理2：如果a，b0，那么，当且仅当ab时，等号成立，即两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均(3)定理

22、3：如果a，b，cR，那么，当且仅当abc时，等号成立2比较法(1)作差法的依据是：ab0ab.(2)作商法：若B0，欲证AB，只需证1.3综合法与分析法(1)综合法：一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立(2)分析法：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义，公理或已证明的定理，性质等)，从而得出要证的命题成立 典例已知函数f(x)，M为不等式f(x)2的解集(1)求M；(2)证明：当a，bM时，|ab|1ab|. 题组训练1当p，q都是正数且pq1时，求证：(pxqy)2px2qy2.

23、2求证：当a0，b0时，aabb(ab). 典例(全国卷)已知a0，b0，a3b32.证明：(1)(ab)(a5b5)4；(2)ab2. 解题技法综合法证明不等式的方法(1)综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系，合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键；(2)在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式是最常用的在运用这些性质时，要注意性质成立的前提条件 题组训练1设a，b，c，d均为正数，若abcd，且abcd，求证：.2已知不等式|x|x3|0，y0，nxym0，求证：xy16xy. 典例(2019长春质检)设不等式|x1|x1|1.解题

24、技法分析法证明不等式应注意的问题(1)注意依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论(2)注意从要证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式(3)注意恰当地用好反推符号“”或“要证明”“只需证明”“即证明”等词语 题组训练1已知abc，且abc0，求证：0，b0，且.(1)求a3b3的最小值；(2)是否存在a，b，使得2a3b6？并说明理由3(1)解不等式|x1|x3|4；(2)若a，b满足(1)中不等式，求证：2|ab|ab2a2b|.4设函数f(x)|x2|2x3，记f(x)1的解集为M.(1)求M；(2)当xM时，求证：xf(x)2x2f(x)0.5已知函数f(x)|2x1|x1|.(1)解不等式f(x)3；(2)记函数g(x)f(x)|x1|的值域为M，若tM，求证：t213t.6已知函数f(x)|2x3|3x6|.(1)求f(x)2的解集；(2)若f(x)的最小值为T，正数a，b满足ab，求证：T.7已知函数f(x)|2x1|.(1)求不等式f(x)0的解集M；(2)当a，bM时，求证：3|ab|ab9|.