2023年九年级数学中考复习 压轴题 猜想与证明综合压轴题 （含答案）.docx

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1、2023年九年级数学中考复习：猜想与证明综合压轴题1若四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，则这条对角线叫做这个四边形的“巧分线”，这个四边形叫“巧妙四边形”，若一个四边形有两条巧分线，则称为“绝妙四边形（1）下列四边形一定是巧妙四边形的是 （填序号）平行四边形；矩形；菱形；正方形【初步应用】（2）如图，在绝妙四边形ABCD中，ACAD，且AC垂直平分BD，若BAD80，求BCD的度数【深入研究】（3）在巧妙四边形ABCD中，ABADCD，A90，AC是四边形ABCD的巧分线，请直接写出BCD的度数2四边形ABCD和四边形AMPN有公共顶点A，连接BM和DN(1)如图1，若四边形ABC

2、D和四边形AMPN都是正方形，当正方形AMPN绕点A旋转角（）时，BM和DN的数量关系是_，位置关系是_；(2)如图2，若四边形ABCD和四边形AMPN都是矩形，且，判断BM和DN的数量关系和位置关系，并说明理由；(3)在（2）的条件下，若，矩形AMPN绕点A逆时针旋转角（），当时，求线段DN的长3如图1，已知正方形在直线的上方，在直线上，是上一点，以为边在直线的上方作正方形.（1）连结，求证：.（2）连结，观察并猜测的度数，并说明理由.（3）如图2，将图1中正方形改为矩形，（、为常数），是线段上一动点（不含端点、），以为边在直线的上方作矩形，使顶点恰好落在射线上.判断当点由向运动时，的大小是

3、否总保持不变，若的大小不变，请用含、的代数式表示的值；若的大小发生改变，请举例说明.4请阅读，完成证明和填空.九年级数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中兴奋地展示了他们小组探究发现的结果，内容如下：（1）如图1，正三角形中，在、边上分别取点、，使，连结、，发现，且.请证明：.（2）如图2，正方形中，在、边上分别取点、，使，连结、，那么_，且_度.（3）如图3，正五边形中，在、边上分别取点、，使，连结、，那么_，且_度.（4）在正边形中，对相邻的三边实施同样的操作过程，也会有类似的结论.请大胆猜测，用一句话概括你的发现：_.5（1）如图1，在RtABC中，ABC=90，以点B为中心，把ABC逆时针

4、旋转90，得到A1BC1；再以点C为中心，把ABC顺时针旋转90，得到A2B1C，连接C1B1，则C1B1与BC的位置关系为 ；（2）如图2，当ABC是锐角三角形，ABC=（60）时，将ABC按照（1）中的方式旋转，连接C1B1，探究C1B1与BC的位置关系，写出你的探究结论，并加以证明；（3）如图3，在图2的基础上，连接B1B，若C1B1=BC，C1BB1的面积为4，则B1BC的面积为 6如图，正方形ABCD中，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交BC、DC（或它们的延长线）于点M、N(1)如图1，求证：；(2)当，时，求的面积；(3)当绕点A旋转到如图2位置时，线段BM、DN和MN之间有怎样的

5、数量关系？请写出你的猜想并证明7如图，在等腰和等腰中， (1)观察猜想：如图1，点在上，线段与的关系是_；(2)探究证明：把绕直角顶点旋转到图2的位置，（1）中的结论还成立吗？说明理由；(3)拓展延伸：把绕点在平面内转动一周，若，、交于点时，连接，直接写出最大面积_8如图1，在RtABC中，A=90，AB=AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD=AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点(1)观察猜想：图1中，请判断线段PM与PN的数量关系和位置关系，并说明理由；(2)探究证明：把ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断PMN的形状，并说明理由；(3)

6、拓展延伸：把ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=3，AB=7，请直接写出PMN面积的最大值9在中，D是边上一动点，连接，将绕点A逆时针旋转到的的位置，使得；(1)如图1，当，连接交于点F，若平分，则_(2)在（1）的条件下，求的长；(3)如图2，连接，取的中点G，连接，猜想与存在的数量关系，并证明10阅读理解图1是边长分别为和（）的两个等边三角形纸片和叠放在一起（与重合）的图形操作与证明：(1)操作：固定，将绕点按顺时针方向旋转，连接、，如图2，在图2中，线段与之间具有怎样的大小关系？证明你的结论；(2)若将图1中的绕点按顺时针方向任意旋转一个角度，连接、，如图3，图3中线段与之间具有怎样的

7、大小关系？证明你的结论；猜想与发现：(3)根据上面的操作和思考过程，请你猜想当为_度时，线段的长度最大，当为某个角度时，线段的长度最小，最小是_11在中，点D、E分别在AC、BC边上(1)如图1，若D、E分别为边AC、BC的中点，连接DE，则_；(2)如图2，若D为AC边上任意一点，则_；(3)如图3，在图2的基础上将绕点C按顺时针方向旋转一定的角度，猜想的值，并证明你的结论；(4)如图4，在（3）的条件下，当将旋转，使点E在线段AD上时，若，请直接写出BE的长，不必写出求解过程12已知中，点P为射线AD上任意一点（点P与点A不重合）连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60得到线段CQ，连接Q

8、B并延长交直线AD于点E(1)如图1，当时，试猜想BC与QE的位置关系，并说明理由；(2)如图2，当，时，点E恰好与点A重合，若，求BQ的长13如图，已知ABC是等腰直角三角形，BAC90，点D是BC的中点作正方形DEFG，使点A、C分别在边DG和DE上，连接AE，BG(1)猜想线段BG和AE的数量关系是 ；(2)将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转（0360）判断（1）中的结论是否仍然成立？请利用图（2）证明你的结论；(3)在（2）的条件下，若BCDE8，当AEAG时，直接写出AF 14如图，已知RtABC中，ABC90，BC=4，BA8，点D、E分别为BC、BA的中点，作直线AE、CD，设

9、它们的交点为点P(1)猜想：在旋转的过程中，线段AE、CD有怎样的数量和位置关系？答：、(2)利用图2，证明你在（1）中的猜想(3)当点D恰好落在直线AE上时，求线段PC的长(4)在旋转过程中，直接写出PBC面积的最大值15在ABC中，CACB，ACB点P是平面内不与点A，C重合的任意一点，将线段AP绕点P逆时针旋转得到线段DP，连接AD，BD，CP(1)观察猜想如图1，当60时，的值是 ，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是 (2)类比探究如图2，当90时，请写出，并就图2的情形说明理由(3)解决问题当90时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在

10、同一直线上时的值16如图，在等腰三角形中，连接，点、分别为、的中点(1)观察猜想：图中，点、分别在边、上，线段、的数量关系是_，的大小为_；(2)探究证明：把绕点顺时针方向旋转到如图所示的位置，连接、，图中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由17如图1，在中，点，分别在边，上，连接，点，分别为，的中点(1)观察猜想：图1中，线段与的数量关系是_，位置关系是_；(2)探究证明：把绕点逆时针方向旋转到图2的位置，连接，判断的形状，并说明理由；(3)拓展延伸：把绕点在平面内自由旋转，若，请直接写出面积的最大值18如图1，四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，点A在DG上，连接AE

11、，CG(1)求证：；(2)猜想：AE与CG之间的位置关系，并证明你的猜想；(3)在其它条件不变的前提下，如果将正方形ABCD绕着点D按逆时针旋转任意角度（如图2）那么（2）中结论是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；(4)如图3，将正方形ABCD绕着点D旋转到某一位置时恰好使得，当正方形DEFG的边长为时，请直接写出正方形ABCD的边长19探究题(1)特殊情景：如图（1），在四边形ABCD中，AB=AD，以点A为顶点作一个角，角的两边分别交BC，CD于点E，F，且EAF=BAD，连接EF，若BAD=B=D=90，探究：线段BE，DF，EF之间的数量关系，并说明理由(2)类比猜想

12、：类比特殊情景，在上述（1）条件下，把“BAD=B=D=90”改成一股情况“BAD= ， B+D=180，”如图（2），小明猜想：线段BE，DF，EF之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请你写出结论；若不成立，请你写出成立时的取值范围(3)解决问题：如图（3），在ABC中，BAC=90，AB=AC=4，点D，E均在边BC上，且DAE=45，若BD=，计算DE的长度20ABC和DEC是等腰直角三角形，(1)【观察猜想】当ABC和DEC按如图1所示的位置摆放，连接BD、AE，延长BD交AE于点F，猜想线段BD和AE有怎样的数量关系和位置关系(2)【探究证明】如图2，将DCE绕着点C顺时针旋转一定角

13、度，线段BD和线段AE的数量关系和位置关系是否仍然成立？如果成立，请证明：如果不成立，请说明理由(3)【拓展应用】如图3，在ACD中，将AC绕着点C逆时针旋转90至BC，连接BD，求BD的长试卷第13页，共13页参考答案：1（1）；（2）BCD140；（3）BCD的度数是45或135或902(1)相等；垂直；(2)数量关系：；位置关系：BMDN(3)3或4（2）DM，90;（3）EM，108;5（1）平行；（2）平行；（3）66(1)见解析(2)6(3)，证明见解析7(1)，；(2)结论仍成立， (3)8(1)PM=PN，PMPN (2)PMN是等腰直角三角形 (3)SPMN最大=9(1)2(2)(3)AG=CD， 10(1)BE=AD， (2)BE=AD， (3)180，a-b11(1)(2)(3)， (4)12(1)， (2)13(1)BG=AE(2)结论成立， (3)或14(1)AECD，AE2CD(3)或(4)4+215(1)1，60(2)(3)2+或2-16(1)，(2)成立， 17(1)，(2)等腰直角三角形， (3)18 (2)AECG (3)（2）中结论仍然成立 (4)19(1)BE+DFEF(2)EFBE+DF成立， (3)DE20(1) ，(2)成立(3)答案第3页，共4页