工程数学.线性代数（第六版）_同济大学.pdf

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1、目录第1章行列式.I 1 二阶与三阶行列式.I 2 全排列和对换.4 3 n阶行列式的定义.5 4 行列式的性质.7 5 行列式按行（列）展开.15 习题一.21 第2章矩阵及其运算.24 1 线性方程组和矩阵.24 2 矩阵的运算.29 3 逆矩阵.39 4 克拉默法则.44 5 矩阵分块法.46 习题二.52 第3章矩阵的初等变换与线性方程组.56 I 矩阵的初等变换.56 2 矩阵的秩.66 3 线性方程组的解.71 习题三.77 第4章向量组的线性相关性.81 I 向量组及其线性组合.81 2 向量组的线性相关性.87 3 向量组的秩.:.91 4 线性方程组的解的结构.96 5 向量

2、空间.104 习题四.109 第5章相似矩阵及二次型.114 1 向量的内积、长度及正交性.114 2 方阵的特征值与特征向量.1203 相似矩阵.124.I.目录4 对称矩阵的对角化.127 5 二次型及其标准形.130 6 用配方法化二次型成标准形.135 7 正定二次型.136 习题五.138 第6章线性空间与线性变换.142 1 线性空间的定义与性质.142 2 维数、基与坐标.146 3 基变换与坐标变换.148 4 线性变换.150 5 线性变换的矩阵表示式.153 习题六.I 57 部分习题答案.160.lJ.第1 章 行 列 式行列式是线性代数中常用的工具.本章主要介绍 n 阶

3、行列式的定义、性质及其计算方法.1 二阶与三阶行列式一、二元线性方程组与二阶行列式用消元法解二元线性方程组为消去未知数x2，以a22与a12分别乘上列两方程的两端，然后两个方程相减，得（a11 a22-a1 2a21）x1=b1a22-a12b2；类似地，消去 x1，得（a11a22-a12a21）x2=a11b2-b1 a21.当 a11a22-a12a21 0 时，求得方程组（1）的解为（2）式中的分子、分母都是四个数分两对相乘再相减而得，其中分母 a11a22-a12 a21是由方程组（1）的四个系数确定的，把这四个数按它们在方程组（1）中的位置，排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表

4、a1 1 a1 2a2 1 a2 2，（3）表达式 a1 1 a22-a 12 a21称为数表（3）所确定的二阶行列式，并记作数 ai j（i=1，2；j=1 ，2）称为行列式（4）的元 素或元.元素 ai j的第一个下标i称 为 行 标，表 明 该 元 素 位 于 第i行；第二 个 下 标j称 为 列标表 明该 元 素 位 于 第j列.位于第i行第j列的元素称为行列式（4）的（i，j）元.上述二阶行列式的定义，可用对角线法则来记忆.参看图1.1，把 a11到 a22的实连线称为主对角线，a12到 a21的虚连线称为副对角线，于是二阶行列式便是主对角线上的两元素之积减去副对角线上两元素之积所得

5、的差.图 1.1利用二阶行列式的概念，（2）式中 x1，x2的分子也可写成二阶行列式，即若记那么（2）式可写成注意这里的分母 D 是由方程组（1）的系数所确定的二阶行列式（称系数行列式），x1的分子 D1是用常数项 b1，b2替换 D 中第 1 列的元素 a11，a21所得的二阶行列式，x2的分子 D2是用常数项 b1，b2替换 D 中第2 列的元素 a12，a22所得的二阶行列式.例 1求解二元线性方程组解 由于因此二、三阶行列式定义 1设有 9 个数排成3 行3 列的数表a1 1 a1 2a1 3a21 a22 a23（5 ）a3 1 a3 2a3 3，记（6）式称为数表（5）所确定的三阶

6、行列式.上述定义表明三阶行列式含 6 项，每项均为不同行不同列的三个元素的乘积再冠以正负号，其规律遵循图1.2 所示的对角线法则：图中有三条实线看做是平行于主对角线的连线，三条虚线看做是平行于副对角线的连线，实线上三元素的乘积冠正号，虚线上三元素的乘积冠负号.图 1.2例 2计算三阶行列式解 按对角线法则，有D=12（-2）+21（-3）+（-4）（-2）4-11 4-2（-2）（-2）-（-4）2（-3）=-4-6+32-4-8-24=-14.例 3求解方程解 方程左端的三阶行列式D=3x2+4x+18-9x-2x2-12=x2-5x+6，由 x2-5x+6=0解得x=2 或 x=3.对角线

7、法则只适用于二阶与三阶行列式，为研究四阶及更高阶行列式，下而先介绍有关全排列的知识，然后引出 n 阶行列式的概念.2全排列和对换一、排列及其逆序数把 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n个元素的全排列（也简称排列）.n 个不同元素的所有排列的种数，通常用 Pn表示，可计算如下：从 n 个元素中任取一个放在第一个位置上，有 n 种取法；从剩下的 n-1 个元素中任取一个放在第二个位置上，有 n-1 种取法；这样继续下去，直到最后只剩下一个元素放在第 n 个位置上，只有 1 种取法.于是Pn=n （n-1）3 2 1=n！.例如用1 ，2，3 三个数字作排列，排列总数 P3=3 2 1=6，它们是

8、123，231，312，132，213，321.对于n 个不同的元素，先规定各元素之间有一个标准次序（例如n 个不同的自然数，可规定由小到大为标准次序），于是在这 n 个元素的任一排列中，当某一对元素的先后次序与标准次序不同时，就说它构成1 个逆序.一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数.逆序数为奇数的排列叫做奇排列，逆序数为偶数的排列叫做偶排列.下面来讨论计算排列的逆序数的方法.不失一般性，不妨设 n 个元素为1 至 n 这 n 个自然数，并规定由小到大为标准次序.设p1p2pn为这n 个自然数的一个排列，考虑元素pi（i=1，2，n ），如果比pi大的且排在pi前面的元素有ti个，就

9、说 pi这个元素的逆序数是ti.全体元素的逆序数之总和即是这个排列的逆序数.例 4求排列32514 的逆序数.解 在排列 32514 中：3 排在首位，逆序数t1=0；2 的前面比2 大的数有一个（3），故逆序数t2=1；5 是最大数，逆序数t3=0；1 的前面比1 大的数有三个（3、2、5），故逆序数t4=3；4 的前面比4 大的数有一个（5），故逆序数t5=1，于是这个排列的逆序数为二、对换在排列中，将任意两个元素对调，其余的元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换.将相邻两个元素对换，叫做相邻对换.定理 1一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性.证 仍不妨设元素为从 1 开始的自然数

10、（从小到大为标准次序）.先证相邻对换的情形.设排列为 a1alabb1bm；对换 a 与 b，变为 a1 albab1bm.显然，a1，a 1；b 1，bm这些元素的逆序数经过对换并不改变，而 a，b两元素的逆序数改变为：当 a b 时，经对换后 a 的逆序数增加 1 而b的逆序数不变；当 a b 时，经对换后 a 的逆序数不变而 b 的逆序数减少 1.所以排列a1alabb1bm与排列a1albab1bm的奇偶性不同.再证一般对换的情形.设排列为a1alab1bmbc1cn，把它作 m次相邻对换，变成a1 alabb1 bmc1 cn，再作m+1 次相邻对换，变成 a1 albb1 bm a

11、c1 cn.总之，经 2m+1 次相邻对换，排列 a1 alab1 bmbc1cn变成排列 a1albb1bmac1 cn，所以这两个排列的奇偶性相反.推论 奇排列对换成标准排列的对换次数为奇数，偶排列对换成标准排列的对换次数为偶数.证 由定理 1 知对换的次数就是排列奇偶性的变化次数，而标准排列是偶排列（逆序数为 0），因此知推论成立.证毕3 n 阶行列式的定义为了给出 n 阶行列式的定义，先来研究三阶行列式的结构.三阶行列式定义为容易看出：（i）（6）式右边的每一项都恰是三个元素的乘积，这三个元素位于不同的行、不同的列.因此，（6）式右端的任一项除正负号外可以写成 a1p1 a2p2 a3

12、p3.这里第一个下标（行标）排成标准次序123，而第二个下标（列标）排成p1p2p3，它是1，2，3 三个数的某个排列.这样的排列共有 6 种，对应（6）式右端共含 6 项.（i i）各项的正负号与列标的排列对照.带正号的三项列标排列是 123，231，312；带负号的三项列标排列是132，213，321.经计算可知前三个排列都是偶排列，而后三个排列都是奇排列.因此各项所带的正负号可以表示为（-1 ）t ，其中t为列标排列的逆序数.总之，三阶行列式可以写成其中t为排列p1p2p3的逆序数，表示对1 ，2，3 三个数的所有排列p1p2p3取和：仿此，可以把行列式推广到一般情形.定义2设有n2个数

13、，排成 n 行 n 列的数表a1 1 a1 2 a1 na2 1 a2 2 a2nan 1 an 2 an n，作出表中位于不同行不同列的 n 个数的乘积，并冠以符号（-1 ）t，得到形如（-1 ）ta1p1a2p2anpn的项，其中p1p2pn为自然数1 ，2，n 的一个排列，t为这个排列的逆序数.由于这样的排列共有 n！个，因而形如（7）式的项共有 n！项.所有这 n！项的代数和（-1 ）t a1p1 a2p2 anp n称为n 阶行列式，记作简记作 det（ai j），其中数 ai j为行列式 D 的（i，j）元.按此定义的二阶、三阶行列式，与1 中用对角线法则定义的二阶、三阶行列式显然

14、是一致的.当 n =1 时，一阶行列式a=a，注意不要与绝对值记号相混淆.主对角线以下（上）的元素都为 0 的行列式叫做上（下）三角形行列式；特别，主对角线以下和以上的元素都为0 的行列式叫做对角行列式.例 5证明（1）下三角形行列式（2）对角行列式证（1）由于当j i时，ai j=0，故 D 中可能不为 0 的元素 aipi，其下标应有pi i，即p11，pn n，而p1+pn=1+n，因此p1=1，pn=n，所以 D 中可能不为0 的项只有一项（-1ta11a22ann.此项的符号（-1）t=（-1）0=1，所以D=a11a2 2 an n.（2）由（1）即得.4行列式的性质记行列式 DT

15、称为行列式 D 的转置行列式.性质 1行列式与它的转置行列式相等.证 记 D=det（aij）的转置行列式 DT=det（bi j），即 DT的（i，j）元为 bi j，则 bij=aji （i，j=1，2，n），按定义下证 D=DT.对于行列式 D 的任一项其中 1i jn 为标准排列，t为排列 p1pi pjpn的逆序数，对换元素与成这时，这一项的值不变，而行标排列与列标排列同时作了一次相应的对换.设新的行标排列1jin 的逆序数为 r，则 r为奇数；设新的列标排列 p1 pjpipn的逆序数为t1 ，则（-1）t1=-（-1 ）t.故（-1）t=-（-1）t1=（-1）r（-1）t1=（

16、-1）r+t1 ，于是这就表明，对换乘积中两元素的次序，从而行标排列与列标排列同时作了相应的对换，则行标排列与列标排列的逆序数之和并不改变奇偶性.经一次对换是如此，经多次对换当然还是如此。于是，经过若干次对换，使列标排列p1p2pn（逆序数为t）变为标准排列（逆序数为0）；行标排列则相应地从标准排列变为某个新的排列，设此新排列为 q1q2qn，其逆序数为s，则有又，如果上式左边乘积的第i个元素为 ai j，那么它必定是上式右边乘积的第j个元素，即可见排列 q1q2qn由排列 p1p2pn所惟一确定.综上可知：对于 D 中任一项，总有且仅有 DT中的某一项与之对应并相等；反之，对于 DT中的任一

17、项，也总有且仅有 D 中的某一项与之对应并相等，于是 D 与 DT中的项可以一一对应并相等，从而 D=DT.证毕由此性质可知，行列式中的行与列具有同等的地位，行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立，反之亦然.性质 2对换行列式的两行（列），行列式变号.证 设行列式是由行列式 D=det（ai j）对换i ，j两行得到的，即当k i，j时，bkp=akp；当 k=i，j时，bip=ajp，bjp=ai p，于是其中 1i j n 为标准排列，t为排列 p1 pipjpn的逆序数.设排列 p1 pjpipn的逆序数为t1 ，则（-1）t=-（-1 ）t1，故证毕以 ri表示行列式的第i行，以 c

18、i表示第 i列.对换 i，j两行记作 ri rj，对换i，j两列记作cicj.推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式等于零.证 把这两行对换，有 D=-D，故 D=0.证毕性质3行列式的某一行（列）中所有的元素都乘同一数 k，等于用数 k 乘此行列式.第i行（或列）乘 k，记作 ri k（或 ci k）.推论 行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面.第i行（或列）提出公因子 k，记作ri k（或ci k），有性质 4行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零.性质 5若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，例如第 i行的元素都是两数之和：则 D 等

19、于下列两个行列式之和：性质6把行列式的某一行（列）的各元素乘同一数然后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式不变.例如以数k乘第i行加到第j行上（记作rj+kri），有（以数k乘第i列加到第j列上，记作cj+kci.）以上诸性质请读者证明之.上述性质5 表明：当某一行（或列）的元素为两数之和时，行列式关于该行（或列）可分解为两个行列式.若 n 阶行列式每个元素都表示成两数之和，则它可分解成 2n个行列式.例如二阶行列式性质2，3，6 介绍了行列式关于行和关于列的三种运算，即ri rj，ri k，ri+krj和cicj，ci k，ci+kcj，利用这些运算可简化行列式的计算，特别是利用运算 ri

20、+k rj（或ci+kcj）可以把行列式中许多元素化为0 计算行列式常用的一种方法就是利用运算ri+krj把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值.请看以下几个例题.例 6计算 n 阶行列式解（1）应注意 D 不是上（下）三角形行列式，但可以通过行的对换化为上三角形行列式.先把 D 的第 n 行依次与第 n-1 行第一行对换（共 n-1 次对换），得行列式 D1.由性质2，D1=（-1）n-1D，或 D=（-1）n-1D1，这里再把 D1的第 n 行依次与第 n-1 行第二行对换（共 n-2 次对换），得一新的行列式循此，D 经过共次行的对换成为上三角形行列式于是（2）由（1）得例 7计

21、算解在上述解法中，先用了运算 c 1 c2，其目的是把 a11换成 1，从而利用运算ri-ai1 r1，即可把 ai1 （i=2，3，4）变为0.如果不先作 c1 c2，则由于原式中 a11=3，需用运算把 ai1变为0，这样计算时就比较麻烦.第二步把r2-r1和r4+5r1写在一起，这是两次运算，并把第一次运算结果的书写省略了.例 8计算解 这个行列式的特点是各列4 个数之和都是6.今把第2，3，4 行同时加到第 1 行，提出公因子6，然后各行减去第一行：例 9计算解 从第4 行开始，后行减前行，上述诸例中都用到把几个运算写在一起的省略写法，这里要注意各个运算的次序一般不能颠倒，这是由于后一

22、次运算是作用在前一次运算结果上的缘故.例如可见两次运算当次序不同时所得结果不同.忽视后一次运算是作用在前一次运算的结果上，就会出错，例如这样的运算是错误的，出错的原因在于第二次运算找错了对象.此外还要注意运算 ri+rj与 rj+ri的区别，ri+krj是约定的行列式运算记号，不能写作 krj+ri（这里不能套用加法的交换律）.上述诸例都是利用运算ri+k rj把行列式化为上三角形行列式，用归纳法不难证明（这里不证）任何 n 阶行列式总能利用运算 ri+krj化为上三角形行列式，或化为下三角形行列式（这时要先把 a1n，an-1，n化为0）.类似地，利用列运算ci+kcj，也可把行列式化为上三

23、角形行列式或下三角形行列式.例 10设证明：D=D1 D2.证 对 D1作运算ri+rj，把 D1化为下三角形行列式，设为对 D2作运算ci+cj，把 D2化为下三角形行列式，设为于是，对 D 的前k行作运算ri+rj，再对后 n列作运算c i+cj，把 D 化为下三角形行列式故D=p11 pkkq11 qn n =D1D 2.例 11计算 2n 阶行列式其中未写出的元素为0.解 把 D2n中的第2n 行依次与第 2n-1 行第 2 行对换（作2n-2 次相邻两行的对换），再把第 2n列依次与第2n-1 列第2 列对换，得根据例 10 的结果，有D2n=D2D2（n-1）=（ad-bc）D2（

24、n-1）.以此作递推公式，即得D2n=（ad-bc）2D2（n-2）=（ad-bc）n-1D2=（ad-bc）n.5行列式按行（列）展开一般说来，低阶行列式的计算比高阶行列式的计算要简便，于是，我们自然地考虑用低阶行列式来表示高阶行列式的问题.为此，先引进余子式和代数余子式的概念.在 n 阶行列式中，把（i，j）元 ai j所在的第i行和第j列划去后，留下来的n-1阶 行 列 式 叫 做（i，j）元ai j的 余 子 式，记 作Mi j；记Aij=（-1）i+jMi j，Ai j叫 做（i，j）元ai j的 代 数 余 子 式.例如四阶行列式中（3，2）元a32的余子式和代数余子式分别为引理

25、一个n 阶行列式，如果其中第i行所有元素除（i，j）元aij外都为零，那么这行列式等于 ai j与它的代数余子式的乘积，即D=aij Aij.证 先证（i，j）=（1，1）的情形，此时这是例10 中当k=1 时的特殊情形，按例10 的结论，即有D=a1 1M1 1，又A11=（-1）1+1M1 1=M11，从而D=a1 1A1 1.再证一般情形，此时为了利用前面的结果，把 D 的行列作如下调换：把 D 的第 i行依次与第i-1 行、第i-2 行第 1 行对换，这样数 ai j就换成（1 ，j）元，对换的次数为i-1.再把第j列依次与第j-1 列、第j-2 列第 1 列对换，这样数 ai j就换

26、成（1，1）元，对换的次数为j-1.总之，经i+j-2 次对换，把数 ai j换成（1，1）元，所得的行列式 D1=（-1 ）i+j-2D=（-1 ）i+jD，而 D1中（1，1）元的余子式就是 D 中（i，j）元的余子式 Mij.由于 D1的（1，1）元为 a i j，第 1 行其余元素都为0，利用前面的结果，有D1=aijMij，于是D=（-1）i+jD1=（-1）i+jaijMi j=aijAi j.定理 2行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即D=ai1Ai1+ai2Ai2+ainAin （i=1，2，n）或D=a1jA1j+a2jA2j+anjAn j （

27、j=1，2，n）.证根据引理，即得D=ai1Ai1+ai2Ai2+ainAin（i=1 ，2，n）.类似地，若按列证明，可得D=a1jA1j+a2jA2j+anjAnj （j=1，2，n）.证毕这个定理叫做行列式按行（列）展开法则.利用这一法则并结合行列式的性质，可以简化行列式的计算.例 7（续）用行列式按行（列）展开法则计算例7 中的行列式解 保留 a33，把第3 行其余元素变为0，然后按第3 行展开，例12证明范德蒙德（Vandermonde）行列式其中记号“”表示全体同类因子的乘积.证 用数学归纳法.因为所以当 n=2 时（8）式成立.现在假设（8）式对于 n-1 阶范德蒙德行列式成立，

28、要证（8）式对 n 阶范德蒙德行列式也成立.为此，设法把 Dn降阶：从第 n 行开始，后行减去前行的x1倍，有按第1 列展开，并把每列的公因子（xi-x1）提出，就有上式右端的行列式是 n-1 阶范德蒙德行列式，按归纳法假设，它等于所有（xi-xj）因子的乘积，其中 n i j2.故证毕例11 和例 12 都是计算 n 阶行列式.计算 n 阶行列式，常要使用数学归纳法，不过在比较简单的情形（如例11），可省略归纳法的叙述格式，但归纳法的主要步骤是不可能省略的.这主要步骤是：导出递推公式（例 11 中导出 D2n=（ad-bc）D2（n-1）及检验 n =1 时结论成立（例 11 中最后用到 D

29、2=ad-bc）.下面来推导行列式的另一重要性质，并将它作为定理2 的推论.设有 n 阶行列式 D=det（ai j），我们已得到它的按第j行展开式D=aj1 Aj1+aj2 Aj2+a jn Aj n.因诸Ajk（k=1 ，2，n）都是先划去了 D 中第j行再经计算而得，所以当第j行元素依次取为 b1，b2，bn时就有这里 Dj表示除第j行外其余各行均与 D 相同的行列式.特别，当 b1，b2，bn依次取为 D=det（ai j）的第i行（i j）各元素时，上式仍成立.但此时因 D 中第j行与第i行两行相同，故 D=0，从而有ai1Aj1+ai2Aj2+ainAjn=0（ij）.对列作相仿的

30、讨论可知特别有a1iA1j+a2iA2j+aniAnj=0（ij）.这样得到了下述推论.推论 行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.即ai1Aj1+ai2Aj2+ainAjn=0，ij或a1iA1j+a2iA2j+aniAnj=0，i j.综合定理2 及其推论，有关于代数余子式的重要性质：或例 13 设D 的（i，j）元的余子式和代数余子式依次记作 Mi j和 Ai j，求A11+A 12+A13+A14及 M11+M21+M31+M41.解 按（9）式可知 A11+A12+A13+A14等于用 1，1，1，1 代替 D 的第 1 行所得的行列式，即按（1

31、0）式可知M1 1+M2 1+M3 1+M4 1=A 1 1-A2 1+A3 1-A 4 1习 题 一1.利用对角线法则计算下列三阶行列式：2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：（1）1234；（2）4132；（3）3421；（4）2413；（5）13（2n-1）24（2n）；（6）13 （2n-1）（2n）（2n-2）2.3.写出四阶行列式中含有因子 a1 a23的项4.计算下列各行列式：5.求解下列方程：其中 a，b，c互不相等.6.证明：7.设 n 阶行列式 D=det（ai j），把 D 上下翻转、或逆时针旋转 90 、或依副对角线翻转，依次得8.计算下列各行列式（Dk

32、为 k 阶行列式）：其中对角线上元素都是 a，未写出的元素都是 0；提示：利用范德蒙德行列式的结果；其中未写出的元素都是 0；其中 a1 a2an 0.D 的（i，j）元的代数余子式记作 Aij，求第2 章 矩阵及其运算1线性方程组和矩阵一、线性方程组设有 n 个未知数 m 个方程的线性方程组其中 ai j是第i个方程的第j个未知数的系数，bi是第 i个方程的常数项，i=1，2，m；j=1，2，n，当常数项 b1，b2，bm不全为零时，线性方程组（1）叫做n元非 齐 次 线性 方 程 组，当b1，b2，bm全 为 零 时，（1）式 成 为叫做n 元齐次线性方程组.n 元线性方程组往往简称为线性

33、方程组或方程组.对于 n 元齐次线性方程组（2），x1=x2=xn=0 一定是它的解，这个解叫做齐次线性方程组（2）的零解.如果一组不全为零的数是（2）的解，则它叫做齐次线性方程组（2）的非零解.齐次线性方程组（2）一定有零解，但不一定有非零解.例如就是三个二元线性方程组，并且是齐次方程组.下面讨论这三个方程组的解.方程组：因其系数行列式知其有惟一解x=y=1；方程组：显然不存在数x和y使x+y =1 和x+y=2 同时成立，故方程组无解；方程组：设s为任一数，那么x1=x2=s是的解，从而方程组有无限多个解.这样看来，对于线性方程组需要讨论以下问题：（1）它是否有解？（2）在有解时它的解是否

34、惟一？（3）如果有多个解，如何求出它的所有解？要强调的是，对于线性方程组（1）上述诸问题的答案完全取决于它的 mn个系数 ai j（i=1，2，m；j=1，2，n）和右端的常数项 b1，b2，bm所构成的m 行n+1 列的矩形数表：这里横排称为行，竖排称为列；而对于齐次线性方程组（2）的相应问题的答案也完全取决于它的 m n 个系数 ai j（i=1，2，m；j=1，2，n）所构成的 m 行 n列的矩形数表：由此我们来引入矩阵的概念.二、矩阵的定义定义 1由 m n 个数 ai j（i=1，2，m；j=1，2，n）排成的 m 行 n 列的数表称为m 行 n列矩阵，简称m n 矩阵.为表示它是一

35、个整体，总是加一个括弧，并用大写黑体字母表示它，记作这m n个 数 称 为 矩 阵A的 元 素，简 称 为 元，数ai j位 于 矩 阵A的 第i行 第j列，称为矩阵 A 的（i，j）元.以数 ai j为（i，j）元的矩阵可简记作（ai j）或（ai j）m n.m n 矩阵A 也记作 Amn.元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵，本书中的矩阵除特别说明外，都指实矩阵.行数与列数都等于 n 的矩阵称为n 阶矩阵或n 阶方阵.n 阶矩阵 A 也记作 An.只有一行的矩阵A=（a1 a2 an）称为行矩阵，又称行向量.为避免元素间的混淆，行矩阵也记作A=（a1，a2，an）.只有

36、一列的矩阵称为列矩阵，又称列向量.两 个 矩 阵 的 行 数 相 等、列 数 也 相 等 时，就 称 它 们 是 同 型 矩 阵.如 果A=（ai j）与 B=（bi j）是同型矩阵，并且它们的对应元素相等，即aij=bi j（i=1，2，m；j=1，2，n），那么就称矩阵 A 与矩阵 B 相等，记作A=B.元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作 O.注意不同型的零矩阵是不同的.例 1对于非齐次线性方程组有如下几个有用的矩阵：其中 A 称为系数矩阵，x 称为未知数矩阵，b 称为常数项矩阵，B 称为增广矩阵.矩阵的应用非常广泛，下面再举几例.例 2某厂向三个商店（编号 1，2，3）发送四种产品（编号，

37、）的数量可列成矩阵其中 ai j为工厂向第i家商店发送第j种产品的数量.这四种产品的单价及单件质量也可列成矩阵其中bi 1为第i种产品的单价，b i2为第i种产品的单件质量例 3四个城市间的单向航线如图 2.1 所示.若令则图 2.1 可用矩阵表示为图 2.1一般地，若干个点之间的单向通道都可用这样的矩阵表示.例 4 n 个变量 x1，x2，xn与 m 个变量 y1，y2，ym之间的关系式表 示 一 个 从 变 量x1，x2，xn到 变 量y1，y2，ym的 线 性 变换，其 中ai j为 常 数.线性变换（3）的系数 ai j构成矩阵 A=（ai j）mn.给定了线性变换（3），它的系数所构

38、成的矩阵（称为系数矩阵）也就确定.反之，如果给出一个矩阵作为线性变换的系数矩阵，则线性变换也就确定.在这个意义上，线性变换和矩阵之间存在着一一对应的关系.例如线性变换对应阶方阵这个方阵的特点是：从左上角到右下角的直线（叫做对角线）以外的元素都是0.这种方阵称为对角矩阵，简称对角阵.对角阵也记作A=diag（1，2，n）；特别当1=2=n=1 时的线性变换叫做恒等变换，它对应的 n 阶方阵叫做 n 阶单位矩阵，简称单位阵.这个方阵的特点是：对角线上的元素都是 1，其他元素都是0.即单位阵 E 的（i，j）元ei j为由于矩阵和线性变换之间存在一一对应的关系，因此可以利用矩阵来研究线性变换，也可以

39、利用线性变换来解释矩阵的含义.例如矩阵所对应的线性变换可看作是xOy平面上把向量变换为向量的变换（或看作把点 P 变换为点 P1的变换，参看图2.2），由于向量是向量在 x 轴上的投影向量（即点P1是点 P 在x轴上的投影），因此这是一个投影变换.又如矩阵对应的线性变换把 xOy 平面上的向量变换为向量的长度为r，辐角为，即设 x=rcos ，y=rsin ，那么表明的长度为 r而辐角为+.因此，这是把向量（依逆时针方向）旋转角（即把点 P 以原点为中心逆时针旋转角）的旋转变换（参看图2.3）.2矩阵的运算一、矩阵的加法定义 2设有两个 m n阵 A=（ai j）和 B=（bi j），那么矩阵

40、 A 与 B 的和记作 A+B，规定为应该注意，只有当两个矩阵是同型矩阵时，这两个矩阵才能进行加法运算.矩阵加法满足下列运算规律（设 A，B，C 都是 m n矩阵）：（i）A+B=B+A；（i i）（A+B）+C=A+（B+C）.设矩阵 A=（aij），记-A=（-ai j），-A 称为矩阵 A 的负矩阵，显然有A+（-A）=O，由此规定矩阵的减法为A-B=A+（-B）二、数与矩阵相乘定义3数与矩阵 A 的乘积记作A 或 A，规定为数乘矩阵满足下列运算规律（设 A、B 为 m n矩阵，、为数）：（i）（）A=（A）；（i i）（+）A=A+A；（i i i）（A+B）=A+B.矩阵加法与数乘矩

41、阵统称为矩阵的线性运算.三、矩阵与矩阵相乘设有两个线性变换若想求出从t1，t2到 y1，y2的线性变换，可将（5）代入（4），便得线性变换（6）可看成是先作线性变换（5）再作线性变换（4）的结果.我们把线 性 变 换（6）叫 做 线 性 变 换（4）与（5）的，乘 积，相 应 地 把（6）所 对 应 的 矩 阵 定 义为（4）与（5）所对应的矩阵的乘积，即一般地，我们有定 义4 设A=（a i j）是 一 个m s矩 阵，B=（bi j）是 一 个s n矩 阵，那 么 规 定 矩阵 A 与矩阵 B 的乘积是一个 m n 矩阵 C=（ci j），其中ci j=ai 1b1 j+ai 2b2 j+

42、ai s bs j=ai kbk j（i=1，2 ，m；j=1 ，2，n），并把此乘积记作C=A B.按此定义，一个 1 s行矩阵与一个s 1 列矩阵的乘积是一个 1 阶方阵，也就是一个数由此表明乘积矩阵 AB=C 的（i，j）元ci j就是 A 的第i行与 B 的第j列的乘积.必须注意：只有当第一个矩阵（左矩阵）的列数等于第二个矩阵（右矩阵）的行数时，两个矩阵才能相乘.例 5求矩阵的乘积 AB.解 因为 A 是3 4 矩阵，B 是4 2 矩阵，A 的列数等于 B 的行数，所以矩阵A 与 B 可以相乘，其乘积 AB=C 是一个3 2 矩阵.按公式（7）有例6求矩阵的乘积 AB 及 BA.解 按

43、公式（7），有在例5 中，A 是 3 4 矩阵，B 是4 2 矩阵，乘积 AB 有意义而 BA 却没有意义.由此可知，在矩阵的乘法中必须注意矩阵相乘的顺序.AB 是 A 左乘 B（B被 A 左乘）的乘积，BA 是 A 右乘 B 的乘积，AB 有意义时，BA 可能没有意义.又若 A 是 m n 矩阵，B 是 nm 矩阵，则 AB 与 BA 都有意义，但 AB 是 m 阶方阵，BA 是 n 阶方阵，当 mn 时 AB BA.即使 m=n，即 A、B 是同阶方阵，如例 6，A与 B 都是2 阶方阵，从而AB 与 BA 也都是2 阶方阵，但AB 与 BA 仍然可以不相等.总之，矩阵的乘法不满足交换律，

44、即在一般情形下，AB BA对于两个 n 阶方阵 A、B，若 AB=BA，则称方阵 A 与 B 是可交换的.例 6 还表明，矩阵 AO，BO，但却有 BA=O.这就提醒读者要特别注意：若有两个矩阵 A、B 满足 AB=O，不能得出 A=O 或 B=O 的结论；若 AO 而A（X-Y）=O，也不能得出 X=Y 的结论.矩阵的乘法虽不满足交换律，但仍满足下列结合律和分配律（假设运算都是可行的）：（i）（A B）C=A（BC）；（i i）（AB）=（A）B=A（B）（其中为数）；（i i i）A（B+C）=A B+A C，（B+C）A=BA+CA.对于单位矩阵 E，容易验证EmAm n=Am n，Am

45、 nEn=Am n，或简写成E A=A E=A.可见单位矩阵 E 在矩阵乘法中的作用类似于数1.矩阵称为纯量阵.由（E）A=A，A（E）=A，可知纯量阵E 与矩阵 A 的乘积等于数与 A 的乘积.当 A 为 n 阶方阵时，有（En）An=An=An（En），表明纯量阵E 与任何同阶方阵都是可交换的.有了矩阵的乘法，就可以定义矩阵的幂.设 A 是 n 阶方阵，定义A1 =A，A2=A1A1 ，Ak+1=AkA1 ，其中k为正整数，这就是说，Ak就是k 个 A 连乘.显然只有方阵的幂才有意义.由于矩阵乘法适合结合律，所以矩阵的幂满足以下运算规律：AkAl=Ak+l，（Ak）l=Akl，其中 k、l

46、为正整数.又因矩阵乘法一般不满足交换律，所以对于两个 n 阶矩阵 A与 B，一般说来（AB）kAkBk，只有当 A 与 B 可交换时，才有（A B）k=AkBk.类似可知，例如（A+B）2=A2+2AB+B2、（A-B）（A+B）=A2-B2等公式，也只有当 A与 B 可交换时才成立.矩阵的乘法有着多方面的应用，下面举两个例子.例 2（续）前已得到两个矩阵：记 C=AB.那么ci1=ai1 b1 1+ai2 b2 1+ai3 b3 1+ai 4 b4 1是该厂向第i家商店所发产品的总价（i=1 ，2，3）；ci2=ai1 b12+ai2 b 22+a ai3 b 3 2+a i4 b4 2是该

47、厂向第i家商店所发产品的总质量（i=1，2，3），因此可形象地写为进一步，如果且那么 h11和 h12分别是该厂向三个商店发出产品的总价和总质量，h21和 h22分别是第3 家商店超出第2 家商店的价款和质量.例 7上节例 1 中 n 元线性方程组（1）利用矩阵乘法可写成矩阵形式Am nxn1=bm 1，其中 A=（a i j）为系数矩阵为未知数矩阵，为常数项矩阵.特别当 b=0 时得到 m 个方程的 n 元齐次线性方程组的矩阵 形式A m nxn1=0m1.又，上节例 4 中的线性变换利用矩阵的乘法，可记作y=A x，其中这里，列向量（列矩阵）x 表示 n 个变量 x 1，x 2，xn，列向

48、量y 表示 m 个变量 y1，y2，ym.线性变换（3 ）把 x 变成y，相当于用矩阵 A 去左乘 x 得到y.例如，由 2.1 节可知，用矩阵左乘向量相当于把向量按逆时针方向旋转角（参看图 2.3）.进一步还可推知，用左乘向量，相当于把向量按逆时针方向旋转 n 个角，即旋转 n 角，而旋转 n 角的变换所对应的矩阵为亦即成立上式也可以按矩阵幂的定义来证明.四、矩阵的转置定义5把矩阵 A 的行换成同序数的列得到一个新矩阵，叫做 A 的转置矩阵，记作 A T.例如矩阵的转置矩阵为矩阵的转置也是一种运算，满足下述运算规律（假设运算都是可行的）：（1）（AT）T=A；（i i）（A+B）T=AT+B

49、T；（i i i）（A）T=AT；（iv）（A B）T=BTAT.这里仅证明（iv）.设 A=（ai j）m s、B=（bi j）s n，记 AB=C=（ci j）mn ，BTAT=D=（di j）nm 于是按公式（7），有而 BT的第i 行为（bli，bsi），AT的第j列为（aj1，ajs）T，因此所以即 D=CT，亦即BTAT=（A B）T.证毕例 8已知求（AB）T.解法1因为所以解法 2设 A 为 n 阶方阵，如果满足 AT=A，即aij=aji （i，j=1，2，n），那么 A 称为对称矩阵，简称对称阵.对称矩阵的特点是：它的元素以对角线为对称轴对应相等.例 9设列矩阵 X=（x

50、1，x 2，xn）T满足 XTX=1 ，E 为 n 阶单位矩阵，H=E-2XXT，证明 H 是对称矩阵，且 H HT=E.证明前先提醒读者注意：是一阶方阵，也就是一个数，而XXT是 n 阶方阵.证 因为HT=（E-2X XT）T=ET-2（X XT）T=E-2XXT=H，所以 H 是对称矩阵.H HT=H2=（E-2X XT）2=E-4XXT+4（XXT）（XXT）=E-4X XT+4X（XTX）XT=E-4X XT+4X XT=E.五、方阵的行列式定义 6由 n 阶方阵 A 的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），称为方阵A 的行列式，记作det A 或 A .应该注意，方阵与行列式是两个