【高中数学】一元线性回归模型及其应用 课件 高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册.pptx

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1、第八章 成对数据的统计分析8.2 一元线性回归模型参数的最小二乘法估计学习目标 主题一 主题二 精讲精练 课堂练习授课过程课堂小结1结合具体实例，了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义，了解最小二乘原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法，会使用相关的统计软件2针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测学习目标：一元线性回归模型基础预习初探 生活经验告诉我们，儿子的身高与父亲的身高不仅线性相关，而且还是正相关，即父亲的身高较高时，儿子的身高通常也较高.为了进一步研究两者之间的关系，有人调查了14名男大学生的身高及其父亲的身高，得到的数据如表所示(身高单位cm).编号1 2

2、3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14父亲身高174 170 173 169 182 172 180 172 168 166 182 173 164 180儿子身高176 176 170 170 185 176 178 174 170 168 178 172 165 182利用前面表示数据的方法，以横轴表示父亲身高、纵轴表示儿子身高建立直角坐标系，再将表中的成对样本数据表示为散点图.可以发现，散点大致分布在一条从左下角到右上角的直线附近，表明儿子身高和父亲身高线性相关.利用统计软件，求得样本相关系数为r 0.886，表明儿子身高和父亲身高正线性相关，且相关程度较高.思考?根据

3、表中的数据，儿子身高和父亲身高这两个变量之间的关系可以用函数模型刻画吗?在上表的数据中,存在父亲身高相同而儿子身高不同的情况.例如，第6个和第8个观测父亲的身高均为172cm，而对应的儿子的身高为176cm和174cm；同样在第3，4个观测中,儿子的身高都是170cm,而父亲的身高分别为173cm,169cm.可见儿子的身高和父亲身高之间不是函数关系，也就不能用函数模型刻画.编号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14父亲身高174 170 173 169 182 172 180 172 168 166 182 173 164 180儿子身高176 176 170 17

4、0 185 176 178 174 170 168 178 172 165 182 散点图中的散点大致分布在一条直线附近，表明儿子身高和父亲身高这两个变量之间有较强的线性相关关系，因此我们可以用一次函数来刻画父亲身高对儿子身高的影响，而把影响儿子身高的其他因素，如母亲身高、生活环境、饮食习惯等作为随机误差，得到刻画两个变量之间关系的线性回归模型.其中，随机误差是一个随机变量.用x表示父亲身高，Y表示儿子身高，e表示随机误差，假定随机误差e的均值为0，方差为与父亲身高无关的定值2，则它们之间的关系可以表示为我们称(1)式为Y关于x的一元线性回归模型.(1)用x表示父亲身高，Y表示儿子身高，e表示

5、随机误差，则它们之间的关系可以表示为我们称(1)式为Y关于x的一元线性回归模型.(1)其中，Y称为因变量或响应变量，x称为自变量或解释变量；a和b为模型的未知参数，a称为截距参数，b称为斜率参数；e是Y与bx+a之间的随机误差.模型中的Y也是随机变量，其值虽然不能由变量x的值确定，但是却能表示为bx+a与e的和(叠加)，前一部分由 x所确定，后一部分是随机的.如果e=0，那么Y与x之间的关系就可用一元线性函数模型来描述.思考?为什么要假设E(e)=0，而不假设其为某个不为0的常数?因为误差是随机的，即取各种正负误差的可能性一样，所以它们均值的理想状态应该为0.如果随机误差是一个不为0的常数，则

6、可以将合并到截距项a中，否则模型无法确定，即参数没有唯一解.另外，如果不为0，则表示存在系统误差，在实际建模中也不希望模型有系统误差，即模型不存在非随机误差.(1)对于父亲身高x和儿子身高Y的一元线性回归模型(1),可以解释为父亲身高为xi的所有男大学生身高组成一个子总体，该子总体的均值为bxi+a，即该子总体的均值与父亲的身高是线性函数关系.而对于父亲身高为 xi 的某一名男大学生，他的身高yi并不一定为b xi+a，它仅是该子总体的一个观测值，这个观测值与均值有一个误差项ei=yi(bxi+a).思考?你能结合具体实例解释产生模型(1)中随机误差项的原因吗?在研究儿子身高与父亲身高的关系时

7、，产生随机误差e的原因有：(1)除父亲身高外，其他可能影响儿子身高的因素，比如母亲身高、生活环境、饮食习惯和锻炼时间等；(2)在测量儿子身高时，由于测量工具、测量精度所产生的测量误差；(3)实际问题中，我们不知道儿子身高和父亲身高的相关关系是什么，可以利用一元线性回归模型来近似这种关系，这种近似也是产生随机误差e的原因.1.说明函数模型与回归模型的区别，并分别举出两个应用函数模型与回归模型的例子。解析：函数模型刻画的是变量之间具有的函数关系，是一种确定性的关系.回归模型刻画的是变量之间具有的相关关系，不是一种确定性关系，即回归模型刻画的是两个变量之间的随机关系.举例：路程与速度的关系、正方体体

8、积与边长的关系可以应用函数模型刻画，体重与身高的关系、冷饮销量与气温的关系可以用回归模型刻画。精讲精讲精练精练：2.在一元线性回归模型（1）中，参数b的含义是什么？解：在一元线性回归模型（1）中，参数b为斜率参数，参数b的含义是父亲的身高每增加1cm，儿子的身高平均增加bcm.(1)3.将图中的点按父亲身高的大小次序用折线连起来，所得到的图像是一个折线图，可以用这条折线图表示儿子身高和父亲身高之间的关系吗？解析：不能.一是父亲的身高与儿子的身高之间是随机关系，不是函数关系；二是这组数据仅是总体的一个样本，不一定能很好地描述两个变量之间的关系.有的同学可能会想，可以采用测量的方法，先画出一条直线

9、，测量出各点到直线的距离，然后移动直线，到达一个使距离的和最小的位置.测量出此时的斜率和截距，就得到一条直线参数的最小二乘法估计基础预习初探 有的同学可能会想，可以在散点图中选则这样的两点画一条直线，使得直线两侧点的个数基本相同，把这条直线作为所求直线如图所示.还有的同学会想，在散点图中多取几对点，确定出几条直线的方程，再分别求出这些直线的斜率、截距的平均数，将这两个平均数作为所求直线的斜率和截距如图.同学们不妨去实践一下，看看这些方法是不是真的可行.上面这些方法虽然有一定的道理，但比较难操作，我们需要另辟蹊径.先进一步明确我们面临的任务:从成对样本数据出发，用数学的方法刻画“从整体上看,各散

10、点与直线最接近”.通常，我们会想到利用点到直线y=bx+a的“距离”来刻画散点与该直线的接近程度，然后用所有“距离”之和刻画所有样本观测数据与该直线的接近程度.我们设满足一元线性回归模型的两个变量的n对样本数据为(x1,y1)，(x2,y2），(xn,yn),由yi=bxi+a+ei(i=1，2，n)，得|yi(bxi+a)|=|ei|.由yi=bxi+a+ei(i=1，2，n)，得|yi(bxi+a)|=|ei|.显然|ei|越小，表示点(xi，yi)与点(xi，bxi+a)的“距离”越小，即样本数据点离直线y=bx+a的竖直距离越小，如图所示.特别地，当ei=0时，表示点(xi，yi)在这

11、条直线上.来刻画各样本观测数据与直线y=bx+a的“整体接近程度”.因此可以用这n个竖直距离之和 在实际应用中，因为绝对值使得计算不方便，所以人们通常用各散点到直线的竖直距离的平方之和刻画“整体接近程度”.在上式中，xi，yi(i=1，2，n)是已知的成对样本数据，所以Q由a和b所决定，即它是a和b的函数.这个和当然越小越好.所以我们取使Q达到最小的a和b值,作为截距a和斜率b的估计值.Q越小越好.下面利用成对样本数据求使Q取最小值的a和b.上式是关于b的二次函数，因此要使Q取得最小值，当且仅当b的取值为时，Q达到最小.综上，当a,b的取值为 我们将 称为Y 关于x 的经验回归方程，也称经验回

12、归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线，这种求经验回归方程的方法叫最小二乘法相应的经验回归直线如图所示.显然不一定，因为还有其他影响儿子身高的因素，父亲的身高不能完全决定儿子的身高.不过,我们可以作出推测,当父亲的身高为176cm时,儿子身高一般在177cm左右.实际上，如果把这所学校父亲身高为176cm的所有儿子身高作为一个子总体，那么177cm是这个子总体均值的估计值.分析模型可以发现，高个子父亲有生高个子儿子的趋势，但一群高个子父亲的儿子们的平均身高要低于父亲们的平均身高，例如 矮个子父亲有生矮个子儿子的趋势，但一群矮个子父亲的儿子们的平均身高要高于父亲们的平均身高，例如 根据模型

13、，父亲身高为多少时，长大成人的儿子的平均身高与父亲身高一样？你怎么看这个判断？例如，对于前表中的第6个观测，父亲身高为172cm，其儿子身高的观测值为y6=176cm，预测值类似地，可以得到其他残差，如下表所示 残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面的工作称为残差分析.编号 父亲身高/cm 儿子身高观测值/cm 儿子身高预测值/cm 残差/cm1 174 176 174.943 1.0572 170 176 171.587 4.4133 173 170 174.104 4.1044 169 170 170.748 0.7

14、485 182 185 181.655 3.3456 172 176 173.256 2.7357 180 178 179.977 1.9778 172 174 173.256 0.7359 168 170 169.909 0.09110 166 168 168.231 0.23111 182 178 181.655 3.65512 173 172 174.104 2.10413 164 165 166.553 1.55314 180 182 179.977 2.023 为了使数更加直观，用父亲身高作为横坐标，残差作为纵坐标，可以画出残差图，如下图所示.观察残差表可以看到，残差有正有负，残差的

15、绝对值最大是4.413.观察残差的散点图可以发现，残差比较均匀地分布在横轴的两边,说明残差比较符合一元线性回归模型的假设,是均值为0,方差为2的随机变量的观测值.可见,通过观察残差图可以直观判断模型是否满足一元线性回归模的假设.一般地，建立经验回归方程后，通常需要对模型刻画数据的效果进行分析.借助残差分析还可以对模型进行改进,使我们能根据改进模型作出更符合实际的预测与决策.思考?观察以下四幅残差图，你认为哪一个残差满足一元线性回归模型中对随机误差的假定?根据一元线性回归模型中对随机误差的假定，残差应是均值为0，方差为2的随机变量的观测值.图(1)显示残差与观测时间有线性关系,应将时间变量纳入模型；图(2)显示残差与观测时间有非线性关系,应在模型中加入时间的非线性函数部分;图(3)说明残差的方差不是一个常数，随观测时间变大而变大;图(4)的残差比较均匀地分布在以取值为 0 的横轴为对称轴的水平带状区域内.可见,只有图(4)满足一元线性回归模型对随机误差的假设.课堂练习3.经验回归方程的系数计算公式1.一元线性回归模型2.一元线性回归模型与函数模型的区别