清华大学高等量子力学【庄鹏飞】.pdf

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1、Quantum Mechanics IL+D&E+SLecture+Discussion&Exercise+SeminarProfessor:庄鹏飞庄鹏飞(High Energy Nuclear Physics)Doctor students:何联毅何联毅(High Energy Nuclear Physics)屈真屈真(High Energy Nuclear Physics)梅佳伟梅佳伟(High Temperature Superconductivity)清华大学精品课程,北京市精品课程清华大学精品课程,北京市精品课程1.充分认识量子力学在科学研究中的重要性充分认识量子力学在科学研究中的重

2、要性量子力学量子力学(高等量子力学高等量子力学),量子场论：量子场论：原子分子物理原子分子物理,光学光学,凝聚态凝聚态,核物理核物理,粒子物理粒子物理,结论结论:没有量子力学没有量子力学,几乎不能做任何物质科学研究几乎不能做任何物质科学研究!2.充分认识学习量子力学的困难充分认识学习量子力学的困难1)经典物理在日常生活中有对应现象,量子力学很难找到日常生活对应2)量子力学与经典物理的思想方法有本质不同3)既难于理解,也难于处理,需要更多数学3.有哪些要求有哪些要求1)分析力学分析力学,高等数学高等数学2)勤于思考勤于思考,多做习题多做习题4.我们的教学模式我们的教学模式讲授讲授(Lecture

3、)+讨论与习题讨论与习题(Discussion&Exercise)+专题研究专题研究(Seminar)世界一流大学理论物理教学的通用模式世界一流大学理论物理教学的通用模式4.1:L大班上课：大班上课：强调基本概念强调基本概念,基本思想基本思想,例如例如 Hilbert空间表述空间表述,Dirac符号符号,测量理论测量理论,对称性对称性,等等等等.参考教材参考教材:Griffiths,Sakurai,苏汝铿苏汝铿,曾谨言曾谨言,张永德张永德,等等4.2:D&E 小班讨论内容小班讨论内容:1)联系授课联系授课(L)内容内容,TA提示问题或学生提示问题提示问题或学生提示问题,讨论讨论;2)难题解答难

4、题解答特点特点:1)师生共同正确师生共同正确,深刻理解深刻理解QM;2)有机会使学生对问题提出自己的看法有机会使学生对问题提出自己的看法(L被动，被动，D&E和和S主动主动)3)理论联系实际理论联系实际,解答困难习题解答困难习题;4)规范规范,开放的讨论氛围开放的讨论氛围.4.3:量子力学网站量子力学网站:http:/课程介绍课程介绍,教师与教师与TA联系方式联系方式,讲义讲义,作业，答案，通知，其他作业，答案，通知，其他3个讨论区个讨论区:量子力学一般问题量子力学一般问题,量子力学高级论坛量子力学高级论坛,量子力学教学建议量子力学教学建议4.4:S 内容内容:与科学研究相关的小课题与科学研究

5、相关的小课题目的目的:深入理解深入理解,应用知识应用知识,专深发展专深发展,学习科研方法学习科研方法,进行科研训练进行科研训练,培养科学精神培养科学精神方式方式:教授出题教授出题,学生选题学生选题(也可以学生自己找题也可以学生自己找题),教授指导教授指导,学生调研学生调研,解决问题解决问题(?),最后报告最后报告4.5:时间分配时间分配1)L,D&E在本学期在本学期,必修必修,4学分学分,共共64学时学时,其中其中L为为48学时学时,D&E为为16学时学时,L/D&E=3/1 2)S在下学期在下学期,选修选修,2学分学分4.6:考试方式考试方式60-70%期末考试期末考试+20-30%讨论课成

6、绩讨论课成绩+10%习题习题4.7:TA 共共4个个TA,3个讨论课个讨论课TA,1个个on-line TA讨论课讨论课TA:何联毅何联毅 负责基科负责基科51，52，53 共共24人人屈真屈真 负责基科负责基科54，55，56，物理，物理41，42 共共24人人梅佳伟梅佳伟 负责其它负责其它22人人1)每两周主持每两周主持1次小班讨论课次小班讨论课,2)作业全改作业全改(每周一按小班交作业至物理系每周一按小班交作业至物理系,同时取回上次作业同时取回上次作业,每人准备每人准备2个作业本个作业本),3)on-line答疑答疑4)经常性的联系经常性的联系on-line TA:郝学文郝学文1)量子力

7、学网站运行与维护量子力学网站运行与维护2)on-line答疑答疑3)协助改作业协助改作业游戏规则教师与TA:必须认真负责必须认真负责学生:L:可来可不来,可早退,但不可影响别人。S：下学期,可参加,可不参加,姜太公钓鱼,愿者上钩。D&E:必须参加。作业：必须交。多看量子力学网站：站：http:/第一章第一章 波函数波函数 1.1 波粒二象性波粒二象性 什么是波粒二象性？是指几何形状，还是指运动形态？1）光的波粒二象性）光的波粒二象性 h=，ph=其中，、p是粒子的物理量，、是波动物理量。波粒二象性是指物理量的取值既具有粒子性，也具有波动性。不是指几何形状，也不是指运动形态。波粒二象性是指物理量

8、的取值既具有粒子性，也具有波动性。不是指几何形状，也不是指运动形态。2）原子的量子论描述）原子的量子论描述 a.电子具有确定的分离轨道。“确定”是经典的，“分离”是量子的。（经典轨道是连续的）b.跃迁 mhEEn=，体系的性质与两条轨道的关联相关矩阵力学。“轨道”是经典的，“两条”是量子的。矩阵不对易。c.跃迁几率：量子论不能给出结果。问题：如何自洽地描述微观粒子的运动？量子力学问题：如何自洽地描述微观粒子的运动？量子力学 1.2 电子双缝衍射实验电子双缝衍射实验 1实验结果：实验结果：只开缝 1，强度分布为()211I()xx=;只开缝 2，()222I()xx=；同时开缝 1 和 2，21

9、21I()()I2xx=+I，电子具有衍射特性，波动性。实验分析：实验分析：一次只发射一个电子，屏上开始出现随机的光斑分布，长时间后出现衍射条纹。光斑说明粒子性，但随机说明统计性，故不是经典粒子，而是统计意义上的粒子；衍射条纹说明波动性，但只有长时间才有统计性，故不是经典波动，而是统计意义上的波动；合起来说明粒子的位置力学量具有统计意义上的波粒二象性。一个电子说明波粒二象性是微观粒子的固有特性，不是多个粒子相互作用的结果。总结：总结：1）观察物理量()x的取值时既观察到粒子性质，又观察到波动性。粒子性：物理量的取值具有颗粒性，一份一份的；波动性：物理量的取值不确定；2）粒子性与波动性都是从力学

10、量取值的统计意义来理解，不是指运动的空间位形。注意：注意：此处的统计根源与经典统计不同。每次发射一个电子，即使初态完全相同，也仍具有统计意义上的波粒二象性，而每一次丢一枚硬币，若初始条件完全相同，则每一次结果同。1.3 Born 统计解释（将力学量统计解释（将力学量x取值的粒子性与波动性统一起来）取值的粒子性与波动性统一起来）引入几率波函数rtr（，），2rt rtrr波幅的平方（，）波动性衍射条纹强度粒子出现的几率（，）粒子性，那么微观粒子在 t 时刻位于 的几率密度为 rr 2*rtrtrtrt=rrrr（，）（，）（，）（，）注意波函数一般为复函数。基本量是波函数，虽然本身不是可观察物理

11、量，但它描述物理量rr取值的几率。21.4 几率波的一般性质几率波的一般性质 1）几率归一化 粒子在全空间出现的几率为 1。a)若()23,Ad rr t=rr，波函数平方可积 则()231,1Ad rr t=rr，称(1,Ar t)r为归一化波函数，()21(,),r tr tA=rr。b)对于某些理想（非物理）情况，波函数不能归一，例如：()(),i k rtr te=rrr，波矢kr，频率。此时()23,d rr t=rr，波函数平方不可积。但是不能归一并不影响相对几率()()2122,r tr trr与归一化无关 以后要讨论它们的归一化问题，可以用箱归一化。c)注意：注意：*)在统计解

12、释中，的意义是通过2来定义的，本身无意义。归一化后，仍有相位不确定性()()22,ir ter t=rr，统计解释是否包含了波函数全部信息？*）经典波无归一化问题 和C是完全不同的，后者能量密度是前者倍。2C2）经典粒子：确定的力学量。,q p量子粒子：力学量（例如位置）不确定，只有几率确定()2(,),r tr trr，导致平均值确定()()2323,(),d r rr trtd rr t=r rrrrr。经典力学中力学量 F 的规律应该对应于量子力学中的规律 1例如 ETVETV=+=+3）力学量的几率分布确定(,r t)r单值；力学量的几率分布有限(,r t)r有限；一般情况下，几率分布

13、连续(,r t)r连续。但不排除存在个别孤立奇点，几率分布不连续（以后详细讨论）。总结总结:归一、单值、连续、有限是一般条件下几率解释对(),r tr的物理约束条件。1.5 Schrdinger 方程方程 1）几率波(,r t)r的时空演化 Schrdinger，1926：()()(22i,(V r,t)t2mr tr t=+rrh),rrh 对于自由粒子，()()22i,t2mr tr t=rh,rrh 可以证明平面波 ()()(),ip r Eti k rtr tAeAe =r rrrhr（由 De Brogile 关系,=hp=rrhk）是自由 Schrdinger 方程的解。注意：注意

14、：a)虽然一般情形时力学量取值不确定，但平面波具有确定动量pr和能量 E。b)S-方程是基本运动方程，地位如同经典力学中的牛顿方程，不可能推出，是量子力学基本假定之一；c)方程包含因子 i，要求(,r t)r为复函数，否则方程两边一边为虚函数，一边为实函数。所以平面几率波只能是()i k rtAe rr，不能是()ACos k rt rr。2）几率守恒 22222i(V)t2m-i(V),(VV)t2m=+=+=rhhrhh 可以证明，几率密度2*rt,)rtrtr t=rrr（，）=(（，）（，）r满足连续性方程()rtj r t0t=rrrr（，）+,，()ij r t()2m=rrrrh

15、,jr的物理意义时什么？对有限空间积分：()33rrtrj r tddVV0t=rrrrrr（，）+,，(3VSdrrtS j r tdtddr)rrrrr（，）=-,定域几率守恒：定域几率守恒：区域 V 内几率的变化=流出面积Sr的几率，故称jr为几率流密度。定域质量守恒：定域质量守恒：()mmrtjr t0t=rrrr（，）+,mmm,jmj=rr 定域电荷守恒：定域电荷守恒：()eertjr t0 t=rrrr（，）+,eee,jej=rr 位置的不确定，导致质量、电荷分布的不确定，按几率分布。若对整个空间积分：(3drrtS j r tdtdd)rrrrr（，）=-,，由于 ()S j

16、 r t0d=rrr,故 3rrtdrr（，）与时间无关，是一常数。3意味着 a）若几率波是可以归一的，则归一化与时间无关。S-方程保证了归一性不随时间而变。b）总几率守恒，无粒子的产生与消灭，S-方程描述的是非相对论量子力学。c）由 的形式，jr()S j r t0drr=r,意味(),0rtr。3）若 V 中不含与波函数相关的量，S-方程是关于(),r tr的线性方程。若1,.m是方程的解，则它们的任意线性迭加仍是方程的解。1.6 态函数、测量与态叠加原理态函数、测量与态叠加原理 1）态函数）态函数 粒子的位置几率分布()2,r tr，其他力学量的取值几率？例如动量。如果几率波只能给出rr

17、的几率分布，而不能给出其他力学量的几率分布，则几率波不能完全确定体系的状态。如果几率波能给出所有物理量的几率分布，则可称(),r tr为体系的态函数。知道了(,r t)r，则知道了体系力学量的所有性质。对于平面几率波，动量有确定取值。对于任意的几率波，频率、波矢不确定，故动量、能量不确定，但可以由平面波展开（付里叶展开）：()()()()i3(pEt)3/2i3(pEt)3/2d p,p,2dp,e2rrr ttrtr te =r rhr rhrrrhrrrh（）（）此处引入因子是考虑到平面波的()3/21/2h函数归一化()()33/212ip rd rep=r rhrrh 问题：(,r t

18、)r是位置几率幅，,p tr（）的物理意义是什么？由 ()23,rd r rr t=rr rr ()23d,dtrd r rr tt=rr rr 由 S-方程 4()3*d dt2rid r rm=rrrrhr r 由分部积分，并考虑(),0rtr，3*d()dt2rid rm=rrrhr 再对括号中第二部分进行分部积分，3ddtrid rm=rrhr 由于平均值满足经典力学规律，3d ()drdrpmpmd ridtt=rrrrrrh 代入(,r t)r的付里叶展开式()()()()()()()1221ii333(pEt)(pEt)12123i333()12122333121222123p,

19、t e()p,t e(2)=p,tp,te(2)=p,tp,t()=p,rrpprd rd p d ppid rd p d ppd p d ppppd p pt =rrrrhhrrrhrrrrrrrhhrrrrrrhrrrrrrrrr r 与()23,rd r rr t=rr rr 进行比较，知()2p,tr是动量取值为的几率。由于pr(),r tr确定时，()p,tr确定，并且以后可以证明，其他力学量的取值几率也是确定的，即给定(),r tr，态的性质就确定了。故称几率波(),r tr为态函数。由于给定()p,tr时，(,r t)r亦确定，故()p,tr也可以称之为系统的态函数。52）测量）

20、测量 在电子双缝衍射实验中，每一次只发射一个电子。落在屏幕之前：不知道光斑在哪，只知道以不同几率落在不同位置。几率()2,r t?确定，但位置不确定。落到屏幕时：每一次光斑都有确定的位置。放个屏幕就是测量电子的位置。说明：测量使得态函数发生了改变，从物理量没有确定值的态塌缩到了所测物理量有确定值的态。说明：测量使得态函数发生了改变，从物理量没有确定值的态塌缩到了所测物理量有确定值的态。设体系态函数()r?，坐标与动量均无确定值，但每一次测量坐标或动量都会有确定值，而有确定坐标的态0r?()()0rrr?，确定动量值的态函数是平面波。因此测量坐标使得态函数从()r?坍缩到了态，测量动量使得态函数

21、从(0rr?)()r?坍缩到了动量有确定值的平面波态。测量的结果是力学量有一个确定值，说明测量使得体系的粒子性质得以体现，或者可以说，测量产生了粒子。测量的结果是力学量有一个确定值，说明测量使得体系的粒子性质得以体现，或者可以说，测量产生了粒子。具体是什么原因导致坍塌，仍是一个 open 问题。量子力学中的测量问题好象有点类似投掷硬币。投掷前不知道是正面还是反面，但每一次的结果总是确定的。但是，掷硬币时预先不知道是正面还是反面，是由于每次丢硬币的条件（测量）都不完全相同，导致结果不确定。若每次测量完全相同，则必然结果相同。而量子力学中即使每次测量相同，结果也不同。故测量导致态的塌缩，但塌缩到哪

22、个态测量之前不知道。3）态叠加原理）态叠加原理 怎样理解在态()r?中物理量无确定值，但一测量该物理量便有了确定值这一矛盾？态迭加原理：当体系处于态()r?时，它以不同的几率处于力学量有确定值的态()1r?，()2r?，即部分地处于()1r?，()2r?，。态迭加原理也可以表述成：若1，2n是体系可能的态，则其任意线性叠加仍是体系的可能态。注意，并不要求1，2n一定是某物理量有确定值的态。态迭加原理与 Schrodinger 方程是线性方程是一致的。量子力学中的态叠加原理与经典波的叠加原理的不同在于经典波的叠加不涉及测量问题。1第二章第二章 量子力学基本结构量子力学基本结构 1）由态迭加原理，

23、或S-方程是一个线性方程，体系的态的线性叠加仍然是体系的态，表明态的行为像线性空间中的矢量。2）又由跃迁与二个态相关，说明体系的力学量类似于一个线性空间的矩阵，每个力学量的取值都与两个指标相关。3）另外，(),r t?，()p,t?表示同一个态，类似于线性空间中同一矢量在不同的基矢下的表示。由此，本章将在线性矢量空间中建立量子力学的数学语言。2.1 Hilbert 空间空间 1）先考虑熟悉的）先考虑熟悉的 3 维矢量空间维矢量空间 基矢：,1,2,3nen=?基矢完备性：任意矢量31n nnAa e=?点积：,nm nmn mA Ba b ee=?矢量模方：0A A?若基矢正交归一：nmnme

24、e=?有点积矩阵形式：nnnA Ba bA=B?，其中矩阵12123,(,)a3AaAa a aa=?矢量的分量（矩阵元，投影）：nnae=A?显然，矩阵元与基矢的选取有关。例如直角坐标与球坐标中的矩阵元是不同的。2）Hilbert 空间空间 将 3 维矢量空间扩展到任意维数的复矢量空间：3维任意有限维、无限维、连续维常矢量复变函数矢量 2用 Dirac 符号表示矢量：a 对于复矢量，为了表示其复共轭矢量，引入左矢a。左矢与右矢互为复共轭。一个矢量既可以用右矢a，也可以用左矢a表示。基矢：离散空间n，连续空间f 基矢完备性：任意矢量：nnfa nadf af=，*nnfanadf af=点积：

25、*,*nmn mffa bn ma bdfdf a bf f=矢量模方：0a a 若基矢正交归一：(nmn m)fff=f 有点积矩阵形式：*nnnffa ba ba bdfa ba b+=，其中矩阵12naaaaa=?，()*12naaaaa+=?矢量的分量（矩阵元，投影）：mam a=，faf a=基矢完备性：nnnnaa nn a nnn=a 由于a是任意矢量，有1nnn=由于 nnnn n+=是一矩阵，故 1 应该理解为单位矩阵。例如在 3D 空间，基矢 1010,21,30,00 =01 ()()()1100,2010,3001=完备性条件是 3()()()1000100101000

26、01001100000000 000010000000000001100 010001nnnI =+=+=在连续空间的完备性条件是 1dfff=。42.Hilbert 空间中的线性变换空间中的线性变换 变换是一种对矢量的运算。三维空问中的变换：矢量平移，旋转等。以下主要考虑分离空间形式。线性变换：()bTaTbaT+=+T可以是常数、微分等，但不是线性变换。线性变换将一个矢量变为该空间的另一个矢量：TaaTa=。若知道变换对基矢Tn的作用，则对任意矢量的作用也就知道。由完备性条件，nTmmnTnnm=，记 mnTm T=n，则 mmnT nTm=表明：线性变换算符在线性变换算符在 Hilber

27、t 空间中是一个方阵，矩阵元为空间中是一个方阵，矩阵元为TmnTm T=n。对于任意矢量a，,mnnm nmnaaT amm T nn aT am=na 是矢量a在基矢n上的分量：=nnnnaanna，由 =mmmaa 有 ，=nnmnmaTa写成矩阵形式：，Taa=Naaa.1=1.Naaa=NNNNTTTTT.1111 13.变换算符（矩阵）的本征值和本征矢变换算符（矩阵）的本征值和本征矢 算符的本征方程：aaT=，称为本征值，a称为本征矢。矩阵形式（自己用完备性条件证明）：()0=aITaTa 本征矢矩阵的条件：0adet()0TI=，即久期方程：111212122212NNTT0TNN

28、TTTTTT=?NN，从而求得 N 个本征值，将任意一个代入本征方程()0=aIT 得到对应的本征矢a。例：求变换矩阵的本征值和本征矢。10=0-1T久期方程为1000-1-=-，即 210=，本征值为1=。设本征矢为。=21aaa取=1，求得归一化后本征矢为；1200002=10 类似，取1=-，求得对应的本征矢为。01 4.厄米算符（矩阵）厄米算符（矩阵）矩阵T的厄米共轭矩阵 ,*TT=+，*,ijjiTT+=2若 ，()=,=ijijTTTT+则称为厄米矩阵。T以下讨论厄米矩阵的性质。1），()ABB A+=+()()()()()bTabTabaTbaTTbabTabTa=+。若不是厄米

29、算符，作用在右矢和左矢上是不同的；若是厄米算符，即TTTT+=，则：()()bTabTa=表明：厄米算符作用在右矢和左矢上是相同的表明：厄米算符作用在右矢和左矢上是相同的 故可以去掉括号，写成bTa。2）设的本征方程为T=T ii，两边取厄米共轭，则有：iiiiiiiTiiTi*=故 *=。表明：厄米算符的本征值为实数表明：厄米算符的本征值为实数 3）设有本征方程为：=iT ii，=jT jj，其中ij。()*=0jijiji T ji ji ji jij，因为 ij，故 =0i j。表明：厄米算符属于不同本征值的本征态正交。由于总可以构造归一化态，故有正交归一：表明：厄米算符属于不同本征值的

30、本征态正交。由于总可以构造归一化态，故有正交归一：对于分离非简并情形：=iji j；对于连续非简并情形：()f fff=。若存在简并，即同一本征值对应多个本征态，例如有 g 重简并：,=,1,.iT i ji jjg=，3有两种方法来保证仍然有正交归一。a）线性叠加正交法（施米特正交法）：线性叠加正交法（施米特正交法）：重新定义g个新态：1,=,1,2,.gnjji nCi jng=，11,=,=,=,ggnjinjijjT i nC T i jCi ji n=，,i n 仍然是的属于本征值Ti的本征态。通过合适的选取系数，可使得这g个新态正交归一：njC,mni m i n=共有g个归一化方

31、程2gg+2个正交方程()g g 1=2+个方程个待定系数，故有多种选择来决定满足正交归一化条件的系数，使得新态2g0 xV xFxx=0 为常数，求能谱。2,()2pHEHVm=+x 进入坐标表象：()()()222020dFxxExxm dxxx+=?-=0 这是二阶常微分方程，难于求解。进入坐标表象：()()22pdi FpEpmdp+=?，一阶常微分方程，解为 ()36ipEpFmpAe=?，4对应坐标表象的态 ()()336121 cos622ipxipExpmFFxxdp x ppdpepAApdpedpxpmFFE+=+?其中正弦部份为奇函数，积分结果0。由连续性条件()00=，

32、3cos06pEdppmFF=?分离能谱。nE 59.不确定关系不确定关系 以上仅考虑了单个力学量的测量值和测量几率，两个或两个以上力学量的测量有什关 系？在任意态，力学量 A 的不确定度由方差决定 ()()()22AAAf ffAA=，其中 力学量 B 的不确定度由方差决定 ()()()22BBBg ggBB=，其中 A，B 两个力学量的不确定关系可由()()22AB描述 ()()22ABf fg=g。由 Schwarz 不等式，对任意矢量，有 2 ，故 ()()222ABf g 对于任意复数 Z，()()()()22222*1ReImImZ2ZZZZZi=+=()()()22212ABf

33、gg fi ()()+f gAABBABA BA BABABABABABABAB=同理，g fBABA=()()()222211,22ABABBAA Bii=，其中对易子定义为,A BABBA=。1这就是两个力学量算符在任意态取值的不确定关系：()()(2221,04ABA B)0。由于任意方差大于或等于零，故有上面括号中的不等式。说明：如果两个力学量算符不对易，即,A B，则它们不可能不可能在同一态都有确定值。如果两个力学量算符对易，则它们可能可能在某个态都有确定值，即可能()()220AB=。例例 1：在坐标表象计算,x p ()-xpdxdx x xx p xxdxdx x xxxixx

34、dxx xixx=?同理可证，=px idx xixi xxx?，故 ()()222,4x pixp=?。说明：在任意态，坐标与动量都不可能同时有确定值。以平面波态为例，在坐标表象，1e2ipxx=?，动量有确定值。但坐标取值为的几率为 x212x=?常数，说明粒子在出现的几率处处相等，坐标的取值完全不确定，方差，仍然有不确定关系x=()()2224xp?。例例 2：证明表象变换不改变对易关系。设在 F 表象，有,FFFABC=，2则在 G 表象，()11111,GGGGGGFFFFFFFFFGABA BB ASA S SB SSB S SA SS A BB ASSC SC=1 说明：对易关系

35、是量子力学基本关系。例例 3：用不确定关系估计基态能。0 0a()=xV x 其它 由 Shrdinger 方程，粒子只能在0 xa内运动，故()()222xxxa=。在能量本征态，2=+2pEETVm=，()()2222pppp=p，()22 pp，()22pmE，()()2222xpmEa，由 ()()2224xp?，3有 ()()222224mEaxp?即 2224mEa?故 228Ema?，取 2min28Ema=?为估计的基态能。例例 4：最小不确定波包。要在不确定关系()()2221,2ABA Bi中取等号，得到最小不确定度性，必须：1）在 Schwarz 不等式中取等号2f fg

36、 gf g=；2）Re0f g=。1）的解是 gc f=，c 为常数；2）即()Re0c ff=，由于f f是实数，故cia=，a 为实数。故 gia f=，即 ()()BBia AA=，这就是最小不确定性对态的限制。取 Ax=，Bp=，并考虑坐标表象，有 ()()()ddxipxia xx=?-x 解为 ()()2/2/a xxi p xxAee=?，是坐标空间的 Gaussian 波包。410.能量时间不确定关系能量时间不确定关系 由 ()()2224xp?，有 2xp?，()2AA 由狭义相对论 (),xt x=，(),pE p=，类比得 22xptE?，即为能量时间不确定关系。但是，在

37、坐标表象的 Schroedinger 方程，()()()222,V2ix txxtm x=+?,t，t与不同权，t只是一阶微分，而是二阶微分；xx,x p E是力学量，t不是。在非相对论量子力学中，t仍然是一个经典量。那么，是什么意思？t()()22EHE=，()2?t=对于力学量，由 O()()()OOtt=t，得 ()()()()()()OOOOdttttttdtttt=+由 ()()itHt=?t，Httti)()(=?，有 ()()()()()()1O1OdtHOtttt OHtdtiti=+?1O,O Hit+?=若力学量不显含时间，O1O,dO Hdti?=，那么，的不确定关系为,

38、O H 1()()222221,24dOEO HOid=?t，2dOEOdt?，与 2tE?比较，有 =/dtOOdt。t的物理意义是力学量的物理意义是力学量O的平均值变化一个标准方差的平均值变化一个标准方差O所需的时间。显然，与力学量所需的时间。显然，与力学量O有关。有关。t例：在能量本征态()t，()()tHEt=，0E=()()()itHtEt=?t，()()-e0iE tt=?，任意力学量平均值()()()OOtt=t，若不显含时间，O()()()O0 O0tO=(0)，说明在能量本征态，任意不含时间的力学量的平均值与时间无关，Oddt=0，=O/Odtdt。11.两个力学量同时有确定

39、值的条件两个力学量同时有确定值的条件 由不确定关系，只说明当量力学量算符对易时，可能在某一个态两个力学量同时有确定值。那么同时取确定值的条件是什么呢？定理：若A，B有完备的共同本征函数系，则A，B对易。证明：设完备的共同本征函数系为n 由 nA na n=，nB nb n=，2在由n构成的 Hilbert 空间，任意态nnn=，()()()()0nnnnnnnnnABBAABBA nnb Aa B nnb aa bnn=是任意态，故,0A B=。逆定理：若A，B对易，则A，B可以有完备的共同本征函数系。证明：设 nA na n=，由 ，,0A B=有 nAB nBA na B n=。说明B n

40、 也是A的属于本征值的本征态。若naA无简并，则B n 与n是同一个态，只能相差一个常数：=nB nb n 故n也是B的本征态，即A，B有共同的完备本征函数系。若A有简并，则可以用施密特方法来证明有同样的结果。结论：多个力学量相互对易时，它们可以有共同的本征函数系。当体系处于这些共同本征态时，它们同时有确定的值。结论：多个力学量相互对易时，它们可以有共同的本征函数系。当体系处于这些共同本征态时，它们同时有确定的值。例如：若22pHm=，p与,0p H=H有共同的本征函数系p。在共同的本征函数系p，与 pH同时有确定值2,2ppEm=。注意，只说明 A，B 可以同时有确定值，B，C 可以同时有确

41、定值。但 A，C 不一定同时有确定值。例如：对于轨道角动量，,0A B=,B C=0Lrp=?，2,=xL L0?，2,=yL L0?，。说明,xyL L02L?，可以同时有确定值，xL2L?，可以同时有确定值，但，不可能同时有确定值（=0 时除外）。yLxLyLzL 3第三章第三章 坐标表象的坐标表象的 Schrdinger 方程方程 一维 Schrdinger 方程 ),(),(txHtxti=?),(2222txVxmH+=?三维 Schrdinger 方程 ),(),(trHtrti?=),(222trVmH?+=1.定态定态 Schrdinger 方程方程 若H不显含时间t，即，)(

42、rV?尝试将态函数分离变量：()()(,r trf t)=?，则 ()()()()irf tHrf tt=?两边同除以()()rf t?11dfiHfdt=?要使左右两边相等，只能等于一个不依赖于r?和 的常数 E：t,dfiEfHdtE=?故 Schrdinger 方程的特解为 ()()()(,)()(),iEtr tr f tHrErf tCe=?。常数 E 就是能量本征值，特解就是能量有确定值的态，称为定态，称为定态Schroedinger 方程，即能量本征方程。()()HrEr=?注意：H不显含时间t的 Schrdinger 方程的通解是定态的线性叠加：()()(),niE tnnnn

43、nnr tCr tCr e=?，已不再是定态，不再是能量的本征态。2.定态的性质定态的性质 1）几率密度 ()()()(22,r tr trr=?),0 与时间无关，4几率流密度 ()(,),0j r tj r=?（请自己证明）与时间无关。任意不显含时间 的力学量的平均值 tO()()()(*,OtOtdxx t O xixx=?),t ()()*,dxx O xixx=?与时间无关。这也是为什么称能量本征态为定态的原因。2）若势具有空间反演不变形()V r?()()VrV r=?，则 ()()()()()()2222,22V rrErmV rrErm+=+=?说明和是定态方程属于同一能量()

44、r?(r?)E的两个解。若定态不简并，()(rCr=?)r?，将，得到 r?()()2()rCrCr=?，21C=，1C=。当 ，系统处于偶宇称态，()()r=?rr)()()r=?，系统处于奇宇称态。说明：当时，无简并定态具有确定的宇称，或为偶宇称态，或为奇宇称态。当时，无简并定态具有确定的宇称，或为偶宇称态，或为奇宇称态。()(VrV r=?53.一维束缚态问题一维束缚态问题 若粒子只能在有限空间运动，即()lim,0rr t?，称态(),r t?为束缚态。1）若()()12,xx是属于同一能量E的两个态，由能量本征方程()()()()11222220,20mEV xmEV x+=+=?有

45、 12210 =，即 ()122112210,const =对于束缚态，()0 x，有 12210 =。在()0 x的区间，有 1212=，即 12ln0=，12lnlnC=，()()12xCx=说明：1）一维束缚态无简并；2）当()()VxV x=，一维束缚态有确定宇称。2）波函数的连续性 定态方程：()()()()22mxEV xx=?，a)若连续，则()V x,连续。b)若不连续，则()V x不连续。在不连续点附近的邻域积分：a()()()()()22aamaaEV xx+=?dx 若有限，则积分，V0和均连续。1若积分为 ,V()()(),aaEV xx dx+=和 均不连续有限,不连

46、续,连续0,和 均连续3）势阱()()()V xxVx=，在尝试0,xVV=处 连续的束缚定态解。0 x 的定态 Schroedinger 方程 220mE+=?考虑的情形，令 0E 222mEk=?，则 ()00kxkxkxkxAeA exxCeC ex+.要求有限，故 (x)()00,0kxkxAexACxC ex ，此时，为束缚态（这就是取()0 x 0E 0 时无束缚定态解）。由于，一维束缚态有确定宇称，即()(VxV x=)偶宇称态 ，()(),ssxxCA=()00kxskxAexxAex ，或奇宇称态 ()(),aaxxCA=，()00kxakxAexxAex .A 由归一化决定

47、。但由于()ax在不连续，故不存在奇宇称态解。0 x=2由()sx在处的定态方程 0 x=()()22ssmEx=+?有 ()()()()()()02202200ssssmmExx dx+=+=?0，则 222mkAA=?，222mE=?，只有一个束缚定态解。4）一维方势阱()00 xaV xVx=a，取，（对应束缚态），解为 00VE()kxkxik xik xkxkxAeA exaxBeB exCeC exaa+=+，()0222222,m EVmEkk+=?要求x 时，有限，有 ()kxik xik xkxAexaxBeB exaC exa=+此时()lim0,xx=为束缚态。3由于，且

48、一维束缚态无简并，故()(VxV x=)()x应具有确定宇。:偶宇称态 ()(),2kxik xik xskxAexCA BBxB eeBCosk xxaaAex=+=a 奇宇称态 ()(),2kxik xik xakxAexCA BBxB eeiBSink xxaaAex=a.由于在,xa a=处势的变化有限，,连续。先考虑偶宇称态。由,ss 在处的连续性，有 x=a22kakaAeBCosk aAkeBk Sink a=,注意：处的连续性条件给出相同的方程。xa=故 12snkak tgk akEBAeSeck a=分离能量谱，()kxkaskxAexaxAeSeck aCosk xxaA

49、exa=归一化条件 ()21sxdxA=.类似，由,aa 在处的连续性条件，有 x=a ank ctgk akE=分离能谱()kxkaakxAexaxAeCsck aSink xxaAexa=,()21axdxA=4.一维散射问题一维散射问题 束缚态问题：约束条件()0r=分离能谱。4散射问题：弹性散射问题：入射能量在散射过程中保持不变，只改变动量的方向，求粒子散射到(,dr)方向的几率。一维散射问题：0,=，求反射几率 R 和透射几率 T，RT1。1）势阱的散射态 ()()V xx=0 x 处的定态方程 220mE+=?取，则 0E()00ikxikxikxikxAeA exxCeC ex+

50、，222mEk=?。设入射波从左至右入射时，只剩下 3 个待定常数 A，A，C。0C=由在的连续性条件，得 0 x=AAC+=；只剩下 2 个待定常数。由在满足的方程的积分，0 x=()()()2200m+=?0，即 ()(22mik CAAAA)+=+?，只剩下 1 个待定常数，取为 A。5解得 2111imAACAiik=?，=反射几率：R=反射几率流入射几率流，透射几率：T=透射几率流入射几率流 由几率流的公式 *2ijmxx=?22221ARA=+22211CTA=+几率守恒：1RT+=。62）一维方势阱的散射态()00 xaV xVx=+=()ikxikxik xik xikxikx