风险度量VaR贝叶斯估计的渐近行为.docx

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1、风险度量VaR贝叶斯估计的渐近行为摘要 如今，随着全世界经济的快速发展和经济自由化大发展的背景下，金融风险已受到越来越多的国内外学者和研究人员的关心。风险度量作为风险管理中一个关键的部分,在经济全球化的当下，研究风险度量是非常重要的。 VaR的研究和提出对风险管理做出了巨大贡献，但随着研究的进展，研究人员发现VaR在许多情况下都存在一定的局限性。为了解决VaR在某些领域内出现无法适用的情况，各方的学者开始尝试寻找其他的风险措施，进而提出了一些其他的风险措施，比如CVaR，TVaR，熵风险措施等。风险始终是问题的不确定性，风险测量是表现并分析这种不确定性的方法。实际上，风险随机变量的分布与某些风

2、险参数存在一定的依赖关系，因此就必须对这些特定的参数进行估计分析，同时要对其中的极限性质进行阐述。目前可以使用的估计方法比较多，如最大似然估计方法，非齐次可靠度估计和齐次可靠度估计，此外还有贝叶斯估计，可以进行估计的极限性质较多，例如常用的大偏差原理，强互换性和渐近正态性，以及中偏差原理等。 通过分析贝叶斯估计VaR风险度量的渐近行为，分析风险度量的贝叶斯估计，进一步结合指数-伽马模型给出的风险度量的贝叶斯估计，验证该估计满足大偏差和兼容性原则。关键词 风险度量 大偏差原理 中心极限定理 贝叶斯估计；The asymptotic behavior of Bayesian estimation

3、of The asymptotic behavior of Bayesian estimation of VaR in risk measureAbstract Nowadays, with the rapid development of the worlds economy and the development of economic liberalization, financial risks have been concerned by more and more scholars and researchers at home and abroad. As a key part

4、of risk management, risk measurement is very important to study risk measurement in the current economic globalization.VaRs research and proposals have made a huge contribution to risk management, but with the progress of research, researchers have found that VaR has certain limitations in many case

5、s. In order to solve the situation that VaR cannot be applied in certain fields, scholars from various parties began to try to find other risk measures, and then put forward some other risk measures, such as CVaR, TVaR, entropic risk measures and so on.Risk is always the uncertainty of the problem,

6、and risk measure is the way to express and analyze this uncertainty. In fact, the distribution of the risk random variable has a certain dependence relationship with certain risk parameters. Therefore, it is necessary to estimate and analyze these specific parameters, and at the same time to explain

7、 the limit properties.At present, there are many estimation methods available, such as maximum likelihood estimation, non-homogeneous reliability estimation and homogeneous reliability estimation. In addition, there is Bayesian estimation, which has many limiting properties for estimation, such as t

8、he commonly used large the principle of deviation, strong interchangeability and asymptotic normality, and the principle of medium deviation.By analyzing the asymptotic behavior of the Bayesian estimated VaR risk metric, the Bayesian estimate of the risk metric, and further combining the Bayesian es

9、timate of the risk metric given by the exponential-gamma model, it is verified that the estimate satisfies large deviations and compatibility in principle.Keywords risk measure large deviation principle central limit theorem 目 录引 言I1 绪论11.1研究背景11.2国内外研究现状11.3本文的主要研究内容42 基础理论知识52.1大偏差原理52.2中心极限定理62.3

10、贝叶斯估计82.4指数分布和伽玛分布93 常用的风险度量133.1风险度量的概述133.2 VaR、CvaR和TVaR143.3熵风险度量164 风险度量Var贝叶斯估计的渐近行为194.1 VaR风险度量的贝叶斯估计194.2指数-伽马模型下VaR的贝叶斯估计21结 论26参考文献27致谢29III扬州大学本科生毕业论文引 言现如今全球经济高速发展，金融风险引起越来越多的人关注，风险说到底其实就是会出现问题的不确定性，而风险度量就是来表征和和分析这种不确定性的。所以在当下的环境中，研究风险度量是相当重要的。第一章 绪论1.1研究背景 在当今世界经融发展的大趋势下，我国实现了快速的发展，同时极

11、大的加快了对外开放的步伐，实现了较高资金和资源的优化配置，与此同时融资的方式也实现了多样化，实现了更多的相互合作。目前，我国经济发展趋势总体上变得稳定且良好。但却由于金融市场的波动性和不稳定性，使得我国金融市场也会出现一定程度的货币和债券波动。我国有关部门一直在加大力度，通过各种措施稳定市场的价格，但并没有取得显著的效果，金融市场的波动性仍然很大。由于金融市场交易规模却在实现不断增速，市场复杂性和动态性也在增长，这些原因使得金融市场存在较大的不稳定性。 当今的世界，经济得到了快速的发展，金融实现了全球的自由化发展已经变得越来越开放，在如此开放只有的环境下，金融的风险问题引起了世界上学者的重视。

12、风险管理的重要组成部分是风险度量。当前国内经济已经逐渐发展成全球化以及自由化的形式，所以越来越多的学者都对风险度量进行了深度的研究，因其独特的重要性，引起了国内外众多学者的关注。 因此，进行了大量的研究和分析，成为当前研究的热点。1.2国内外研究现状在1993年的时候，JPMorgan银行就最早提出了在险价值（Value-at-Risk）的概念，在1996年的时候，Jorion1在论文中详细的阐述了VaR的方法，并且提出了市场风险的VaR的计算方法。1997年的时候，Artzner等人2提出了一种新的风险量化计算方法连贯风险度量的概念。在这篇文章中作者详细的阐述了解决金融问题的一些新的思路和方

13、法。 随着越来越多的学者投入到VaR的研究之中，越来越多的学者们发现VaR在很多情况下是不能够解决问题的。因此为了弥补VaR风险度量方法在许多情况下不能适用的问题，大量学者和研究者提出了其他风险度量方法，其中具有代表性的是TvaR、CVaR以及熵度量等。1999年的时候Artzner和Heath3将一致风险度量理论及其公理进行了进一步的完善，阐述出一个较为完整的风险度量模型必须满足的四个条件是：单调性、次可加性、正齐次性、平移不变性。2000年的时候，Rockafellar等人4首次提出了CVaR（Conditional Value at Risk）的概念。也就在2002年，Acerbi6研究

14、并提出了谱风险度量（spectral risk measures）的概念，进而采用在谱风险度量进行投资组合优化问题的研究。2005年的时候，Denuit和Dhaene9首次提出了TVaR（尾在险价值度量）。随着近几年国内外大量学者对熵风险度量作为其主要的研究内容的原因，进而产生了一些成果。比如Foiimer和Knisnel10对一致熵风险度量记性了探讨和分析，提出了（凸）熵风险测度，显然它是一种凸风险测度，同时给出了相应的强表示。 在贝叶斯参数估计的研究和探讨中，国内外许多研究者付出了大量的汗水，取得了许多非常有意义的成果。王伟等人（2010）15在Esscher保费原理的基础上，创建了信度模

15、型。通过建立而得出Bayes保费，Bayes估计和信度估计分别为(0.1)(0.2)(0.3)(0.4)结果表明这些估计内容都是符合的。Yang和Hu（2014）17对非线性回归模型最小二乘估计的大偏差进行了深入研究。一方面记存在一个正实数使得对于任意的，有(0.5)另一方面令和，记存在一个正实数对于，有(0.6)温利民等人(2015)19在贝叶斯模型下，采用帕雷托索赔分布中风险参数的各种估计问题进行了研究。贝叶斯估计为(0.7)其中，非齐次信度估计为(0.8)作者对这些估计进行比较，得出时，极大似然估计，贝叶斯估计，非齐次信度估计以及齐次信度估计都是风险参数的强相合估计，而且还对估计的四组结

16、果产生的误差进行了比较，同时得出若存在，使得，则当时，经验贝叶斯估计和经验贝叶斯信度估计都是趋向最优的设定值。当前对风险度量研究最热门的一个方向是大偏差理论，因为他能有效地定量表征极端事件，Varadhan在2007年创造了一个统一的大偏差理论。此外，除了大偏差原理外，估计渐进性质的还有许多其他方法，如中间偏差原理、强兼容性和渐近正态性等。章溢等人20采用已具备的信息对VaR风险度量进行了估计。首先给出了VaR风险度量在一般模型下的贝叶斯估计，若取损失函数(0.9)若风险参数给定，则风险X的最优预测为，即有(0.10)然后进一步指出在指数-伽玛模型下，条件VaR风险度量的贝叶斯估计为(0.11

17、)并且还验证了是的强相合估计,同时证明了还满足渐近正态性，即有(0.12)杨泽伟24针对指数伽马模型下VaR和CVaR风险度量的贝叶斯估计的渐近性质,包括强相合性、渐近正态性、大偏差原理和中偏差原理。1.3本文的主要研究内容当下针对风险价值度量以及险价值度量的测量方法很多，重点是对，风险度量VaR下Bayes估计的渐近行为，采用Bayes、极大似然、非齐次信度以及齐次信度这四种估计。文章先是对风险度量的背景进行阐述，然后再对国内外的现状进行阐述，最后介绍风险度量的基础理论知识和概念，同时进一步按照给出相关的风险度量方法，重点介绍了VaR，CvaR，TvaR。 最后，文章利用Bayes框架下的风

18、险度量估计模型，进一步解释了指数-伽马模型下贝叶斯VaR估计的一些渐近性质。第二章 基础理论知识2.1大偏差原理定义2.1 大偏差原理：设（S，d）是是一个拓扑空间是在概率空间上的S维随机变量，若满足下面的条件：（1）是一列正实数，即，且当时，；（2）速率函数是下半连续的；（3）对于所有的都成立，速率函数的的水平集是紧集；（4）Borel集满足则称是满足速率函数为，速度为的大偏差原理。定理2.2（收缩原理）：假设X，Y是两个满足Hausdorff拓扑空间，是连续函数，当满足下列条件时，f是满足大偏差原理的。是一个好的速率函数。（1），定义，是Y上好的速率函数，在上下确界可以认为是无穷大。（2）

19、如果I控制LDP和在x上的概率测度与之相关，则控制LDP和在Y上的概率测量度。定理2.3 Gartner-Ellis定理 假设存在一列随机变量，及，定义：(1.1)(1.2)是的Fenchel-Legendre变换，满足大偏差原理的要求，则（1）对任何封闭集合F，(1.3)（2）对任何开集G，(1.4)其中F为的暴露点的一个集合。（3）如果满足本质光滑的半连续函数的要求，那么就是大偏差原理的速率函数。2.2中心极限定理定理2.4林德伯格-莱维中心极限定理：假设具备独立同分布的随机变量序列，且，存在，若记(1.5)存在，有：(1.6)从定理2.4可以看出，假设从均值为、方差为的任意一个总体中抽取

20、样本量为n的一个样本，只要保证n值可以取到充分大的时候，这个样本均值的抽样分布就会近似服从均值为、方差为的正态分布。定理2.5 棣弗莫-拉普拉斯中心极限定理：假设重伯努利试验中，事件在每次试验中出现的概率为，记为n次试验中事件A出现的次数，(1.7)则对，有(1.8)定理2.6 林德伯格中心极限定理：假设独立随机变量序列满足林德伯格条件，则对，有(1.9)其中，而x.定理2.7 李雅普诺夫中心极限定理：设为独立随机变量序列，若存在，满足(1.10)则对，有(1.11)其中与同上。定理2.8 （Delta方法）：如果是可微的，有(1.12)若对于一些变量，有，那么(1.13)特别的，如果，那么我

21、们可得(1.14)2.3贝叶斯估计贝叶斯估计的最基本的思路是：待估计参数同样是随机的变量，和正常的变量其实是没有什么区别的，所以只能通过观察样本参数的分布。下面重点介绍一下贝叶斯公式概率函数的表述方法：（1）首先可以得知依赖于参数的概率函数为，表示在参数空间中，不同的对应不同的分布。而在贝叶斯统计中记为，表示在给定时总体的条件密度函数。（2）通过的先验信息来可以得到它的先验分布。（3）样本的产生需要两步来进行得到。首先假想从中产生一个样本，然后再从中产生另外一组样本。这时的样本的联合条件概率函数可以写做为(1.15)这个分布就是总体信息和样本信息的综合。（4）由于是假想出来的，实质是按照产生的

22、。为了要将结合进去，因此不能只单单考虑，要综合考虑的其他值发生的可能性，所以要用来进行综合分析和探究。因此就必须要将X和联合起来了，联合分布为(1.16)这个联合分布综合了总体信息、样本信息和先验信息。（5）要对作统计推断。在没有样本信息时，我们就只能依据对作出推断。有了样本观测值，我们要根据对作出推断。假如把按如下分解：(1.17)其中m(X)是X的边际概率函数(1.18)它与无关，即中不含的任何与之相关的信息。因此就可以用来对作出统计并且相应的推断，因此也只有在条件分布，计算公式是(1.19)这个条件分布一般下称为的后验分布，它集中了一切有关的总体、样本和先验中的信息。实现用总体和样本对进

23、行调整，它比更接近的真实情况。定义2.9三种由估计的常用方法：（1）最大后验分布是采用后验分布的密度函数的进行的点估计是采用最大值。（2）后验中位数估计是采用后验分布的中位数作为的点估计。（3）后验期望估计是用后验分布的均值作为的点估计。其中经常使用的后验期望估计的就是贝叶斯估计，记为。定义2.10 贝叶斯公式：设是样本空间的一个分割，即互不相容，且，如果，则(1.20)2.4指数分布和伽玛分布指数具体的分布如下。如果随机的变量X密度函数满足下列等式(1.21)那么我们就称X服从指数分布，记作，其中，指数分布的特征函数为(1.22)指数分布的分布函数为(1.23)设随机变量，则，。定理2.10

24、 指数分布的无记忆性，则对于，存在定义2.11称以下函数(1.24)为伽玛函数，其中参数0。伽玛函数具有以下两个性质：（1）（2），当为自然数n时，有定义2.11若随机变量X的密度函数可以写作(1.25)则称X服从伽玛分布，记作，其中0为形状参数，0为尺度参数。l 当01时，是严格的下降函数，且在x=0处存在奇异点。l 当=1时，是严格下降函数，且在x=0处满足p(0)=1.l 当12时，是单峰函数，先上凸，后下凹。l 当20）。定义3.3.2一致熵风险度量它的定义表达式：(2.22)它必须满足正齐次，因而是一致风险度量，其中，稳健形式可表示为：.(2.23)下面阐述熵风险度量的一些性质：性质

25、3.1 .性质3.2 .性质3.3 ，其中.性质3.4 .性质3.5 当时，.(2.24)这里记为参数为的指数族的测度，且0这样.(2.25)当时，.(2.26)性质3.6 对固定保费有(2.27)相应的，给出了(2.28)这里(2.29)且(2.30)特别的，与凸函数的凸共辄是一致的，定义为.(2.31)第四章 风险度量Var贝叶斯估计的渐近行为4.1 VaR风险度量的贝叶斯估计由于风险都是无法在事先得知的，因此其所代表的分布函数也是无法预知的。然而，每份风险将呈现出完全不相同的特征。将所有这些风险特征用随机变量来刻画，称为风险参数。在统计概率当中依照这些设定的内容来认知并形成某个先验的分布

26、。这时在给定条件下，风险X的条件分布记为。假设4.1 风险X由风险参数来标识别，而风险参数本身是随机变量，服从先验分布（密度）。假设4.2 给定时，X1，X2，Xn为X的独立同分布样本，具有共同的概率分布，以及密度。为方便，记Xn=（X1，X2，Xn）,由于X的VaR风险度量对风险参数存在依赖性，因此将之称之为条件VaR的风险度量，并记为，即有在前面的假设下，我们的目的是对提出合适的估计。注意到，若取以失函数：(4.1)则在给定下，是风险X的最优估计。定理4.3 假设能够给定风险参数，并确定损失函数为式子（4.1），则风险X的最优估计为条件，即有(4.2)但现在我们有样本信息，定义样本的可测函

27、数类为得到估计类中风险X的最优估计（预测），首先介绍下面的引理。引理4.4 在贝叶斯模型的假设下，最小化问题的解与的解是等价的。证明 首先记,，以及。由Foutou引理有其中表示的边际密度。另一方面，从上面的式子可得(4.3)而由的定义知(4.4)根据引理4.4，容易得到下面的定理。定理4.5 记为给定样本下Xn+1的预测分布函数。则在损失函数（4.1）下，求解最小化问题(4.5)得到未来风险Xn+1的最优估计为预测分布在处的分位数，即(4.6)证明 为求解（4.5）式子，根据引理4.4，期望只需在给定下的求即可。令由于在给定下，是一个固定的常数，记为g。因此有(4.7)对G关于g求导并令导数

28、为零，得到下面的正规方程：(4.8)解得此外，注意到在给定的样本下，的预测分布函数对应的密度函数为(4.9)显然，预测分布在处的分位数的阐述方式相当复杂。但在某些特殊情况下，能求解出具体的表达式。4.2指数-伽马模型下VaR的贝叶斯估计为方便进一步阐述VaR在风险度量中相关联的性质以及计算方法，建立如下的指数-伽马模型，设风险参数满足Gamma分布，具有密度函数，而在给定下，风险具有指数分布，其共同的条件密度为，此时容易计算得到以及因此有(4.10)可以看出是Pareto分布，其分布函数为(4.11)令，则(4.12)因此条件VaR的贝叶斯估计为：(4.13)引理4.1 设，则下面的极限成立(

29、4.14)进一步地，有(4.15)证明 根据极限的换元法和洛比达法则有类似地，两次利用极限的洛比达法则，有下一步讨论估计（4.13）的强一致性和渐近正态性。定理4.6 若风险参数服从分布，且在给定下，风险相互不影响并且都满足指数分布。则VaR度量的贝叶斯估计（4.13）是的强相合估计。证明 在命题中满足假设前提下的，条件VaR风险度量可以记为(4.16)根据（4.14），令，则有因此有根据强大数定律，则定理4.8 若风险参数服从分布，且在给定下，风险相互独立服从指数分布，则VaR度量的贝叶斯估计（4.13）渐近正态性的，即有.(4.17)证明 根据（4.15），则有(4.18)由独立同分布的中

30、心极限定理，有(4.19)记，注意到(4.20)则根据Slustky定理，有进而，由于，在（4.17）中令，则有根据Slustky定理得到进而即有.第五章 结 论文章重点基于前人的研究成果，借助国内外相关学者和研究人员对风险度量的深入研究， 进一步分析和讨论了风险度量Var贝叶斯估计的渐近行为，并将风险度量的贝叶斯估计作为指数伽马模型的前提给VaR。第一章首先是对风险度量的意义进行阐述，然后再对风险度量国内外现总结分析，同时提出了一些具有意义的研究内容，对文章的基本内容进行了总述。第二章主要是对文章中阐述所需要的基本理论知识和概念进行了介绍，主要包括大偏差原理、中心极限定理、贝叶斯估计，最后介

31、绍了指数分布和伽马分布。第三章介绍一些常见和常用的风险测量方法。首先给出风险测定的概念，并同时介绍和分析目前的凸风险测定及一致风险测定的定义及相关性质，然后分别阐述VaR，CVaR； TVaR，熵风险尺度的基本的重要性质，为下文的想象分析奠定基础。第四章在Bayes框架下，采用的线性贝叶斯模型（即信度模型），得到的线性贝叶斯估计并结合相关理论证明了风险度量的统计性质。另外，贝叶斯框架下的指数构筑伽马模型中风险测量的推定模型，利用充分的信息进行熵风险测量的推定，进一步探讨了其渐近性质。参考文献1 Jorion P, Risk: Measuring the Risk in Value at Ris

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