组合数学模板模 糊集范畴及其应用dmcq0211.doc

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1、摘要：本文首先给出了L型模糊集的广义扩张原理，并讨论了它的基本性质；然后定义了两个L型模糊集范畴(L)与(L)，并证明了范畴(L)与范畴SET同构且范畴(L)同构于范畴(L)的一个子范畴。本文的结果可应用于泛型信息处理的设计中.关键词：范畴；L型模糊集范畴；L型模糊集的广义扩张原理；扩张原理是Zadeh模糊集合论的主要工具之一，关于扩张原理及其推广已有许多文献论及。文6曾针对模糊关系提出了广义扩张原理并讨论了它的一些基本性质。本文将给出基于L型模糊关系的L型广义扩张原理，在此基础上通过L型广义扩张原理构造两个模糊集范畴，并讨论它们的相互关系。1预备知识本节将给出范畴理论中几个基本定义。定义1

2、所谓一个范畴，是指 （1）它有一类对象，其全体记为； （2）对于任意A，B，定义了一个集合，记作H(A,B)，其中的元素称为从A到B的态射； （3）对于任意A，B，C，定义了映射 ：H(A,B)H(B,C) H(A,C) 记(f,g)=gf，称为态射的复合运算，满足： 1）对任意f H(A,B)，g H(B,C)，h H(C,D)，如下结合律成立： h(gf)=(hg) f 2）对任意A，存在IA H(A,A)，使得对于任意B，C，任意f H(A,B)，g H(B,A)，有：f IA =f，IAg=g。定义2 设1，2是两个范畴，称T为1到2的函子，如果 （1）T：|1|2|是一个映射；（2）

3、对任意A，B |1|，由T确定如下一个映射，仍记作T，T：H(A,B) H(T(A),T(B)，满足： 1）T(fg)=T(f) T(g) 2）T(IA)= IT(A)定义3 称1是范畴的一个子范畴，如果1满足：（1）1是一个范畴；（2）|1|；（3）对于任意A，B|1|，满足H1 (A,B)H (A,B)。（4）对于f H (A,B)，g H (B,C)，则gf =gjf H(A,C)。定义4 设C，B是两个范畴，T：CB是一个函子。如果T既是范畴C和B的对象集之间的双射又是其相应态射集之间的双射，则称范畴C和B是同构的，T称为C到B的同构函子。2L型模糊集的广义扩张原理及其性质：1975年

4、，Zadeh提出了扩张原理。扩张原理是模糊集合论的主要工具之一。它把普通集合之间的点态映射扩张为相应的模糊集之间集值映射，这样，数学中的很多结构，如序结构、可测结构、代数结构等，都可以从其论域上升到论域的幂集上，形成相应的结构。关于扩张原理的性质以及广义扩张原理问题，也有诸多文献论及。本节将讨论基于L型模糊关系的L型广义扩张原理及其基本性质。在本文中恒假设L是一个完全分配格，1和0表示L上的最大元和最小元。设X为一集合，(X)表示由集合X上的模糊集组成的集合。L(X)表示X上的L型模糊集组成的集合。若AL(X)，uA，都有A(u)=0，则A称为空集f；若uA，都有A(u)=1，则A称为全集X。

5、L型扩张原理：设f：XY，则由f可导出F：L(X) L (Y)，以及F-1：L (Y) L (X)，对任意AX，BY，有F(A)(y)=A(x)，yYF-1(B)(x)=B(f(x)，xXL型广义扩张原理：设RL(XY)是一L型模糊关系，则由R可导出：L(X) L(Y)，以及-1：L(Y) L(X)，对任意AX，BY，定义如下：(A)(y)= (R(x,y)A(x)，yY-1(B)(x)= (R(x,y)B(y)，xX定义5 设f：XY为一映射，如下定义的二元关系RfL(XY)，称为由f确定的二元关系，其中，对任意(x,y) XYRf(x,y)= 我们把根据L型广义扩张原理由Rf导出的映射记为

6、f；根据L型扩张原理由f导出的映射记为F。则我们有定理2.1 设f：XY，g：YZ，根据L型扩张原理由f，g以及其复合映射gf导出的映射分别为F：L(X) L(Y)，G：L(Y) L(Z)，H：L(X) L(Z)，则H=GF。证明：对任意A L(X)，cC，有GF(A)(c)=G(F(A)(c)=F(A)(b)= (A(a)=A(a)=H(A)(c)所以有H= GF定理2.2 设f：XY，A L(X)，B L(Y)，则有f(A)=F(A)f-1(B)=F-1(B)证明：对于yY，有f(A)(y)= (Rf(x,y)A(x) =(Rf (x,y)A(x) (Rf (x,y)A(x) = (Rf

7、(x,y) A(x)= A(x) =F(A)(y)从而有f(A)=F(A)。对于xX，f-1(B)(x)= (Rf (x,y) B(y) =Rf (x,f(x) B(f(x) = B(f(x) = F-1(B)(x)因此有f-1(B)=F-1(B)成立。证毕。此定理说明，L型广义扩张原理是Zadeh扩张原理的自然推广。由定理2.1和2.2可得如下推论。推论 设f：XY，g：YZ，f与g分别为由f 与g确定的L型模糊关系，则有fg=fg定理2.3 设RL(XY)，AiL(X)（iI），BjL(Y)（jJ），：L(X)L(Y)，-1：L(Y)L(X)是由R根据L型广义扩张原理导出的映射。则（1）

8、(f)=f，-1(f)=f（2）()=(Ai)（3）-1(Bj)= -1(Bj)（4）若A1A2，则(A1) ( A2)；若B1B2，则-1(B1) -1(B2)；（5）( Ai)(Ai)（6）-1(Bj)-1(Bj)证明：（1）对yY，有 (f)(y)= (R(x,y) f (x)=0，从而 (f)=f。对xX，-1(f)(x)=(R(x,y) f(y)=0，从而-1(f)=f。（2）对yY，有 ()(y)= (R (x,y)( Ai) (x) = (R (x,y)( Ai (x) = ( R (x,y) Ai (x) = ( R (x,y) Ai (x) =( (Ai )(y) =( (A

9、i )(y)从而()=(Ai)。（3）对于xX，有-1(Bj)(x)= (R(x,y)(Bj )(y) = (R (x,y)( Bj (y) = (R (x,y) Bj (y) = (R (x,y) Bj (y) =-1( Bj) (x) =(-1(Bj)(x)因此有-1(Bj)= -1(Bj)成立。（4）由定义，显然。（5）由（4），对于任意iI，有( Ai) ( Ai)，所以有( Ai)(Ai)成立。（6）类似于（5）可证。3三个范畴的定义及其相互关系关于模糊集的范畴以及由此产生的模糊代数系统的范畴问题，有许多人进行过论说。汪培庄先生曾在文3中构造了模糊集范畴Set(L)、Setf(L)及

10、Setg(L)，并讨论了它们的关系。本节将借助于L型广义扩张原理构造两个L型模糊集范畴，并讨论它们的相互关系。3.1 范畴SET的定义规定其对象集为全体集合组成的类；两个集合之间的态射集为两个集合之间的所有映射；一个集合到自身的单位态射是该集合上的恒等映射；两个态射的复合为两个映射的常规复合。容易验证以上定义使SET成为一个范畴。3.2范畴(L)的定义(L)是如下定义的范畴：（1）|(L)|=(U,L(U) | U|SET| （2）对任意(U1,L(U1)，(U2,L(U2) |(L)|，其态射集为H(U1,L(U1)，(U2,L(U2)=|为L(U1)L(U2)的映射，并且满足：存在映射f：

11、U1U2，使对任意AL(U1)，vL(U2)，有(A)(v)=A(u) （实际上是由f按L型模糊集上的扩张原理扩张后得到)（3）若 H(U,L(U)，(V,L(V)， H(V,L(V)，(W,L(W)，则对任意AL(U)，()(A)= (A)。这种定义是合理的，因为对任意wW，有()(A)(w)= (A)(w)=(A) (v)= (A(u)= A(u)（4）恒等态射规定为由恒等映射按照L型扩张原理扩张后的同态。要说明上述定义的(L)构成一范畴，只需证明这样定义的态射满足结合律即可，事实上，对任意 H(U,L(U)，(V,L(V)， H(V,L(V)，(W,L(W)， H(W,L(W)，(Q,L

12、(Q)，AL(U)，qQ有(A)(q)=(A)(q)=(A)(w)=(A)(u)=()(A)(u)= ()(A)(v)= ()(A)(q)从而(L)是一个范畴。3.3范畴(L)的定义(L)是如下定义的范畴：（1）|(L)|=(U, L(U) | U|SET| （2）对任意(U1,L(U1)，(U2,L(U2) |(L)|，其态射集为H(U1,L(U1)，(U2,L(U2)=|为L(U1)L(U2)的映射，并且满足：存在L型模糊关系R：U1U2L，使R按L型广义扩张原理诱导出。（3）若1H(U1,L(U1)，(U2,L(U2)，2H(U2,L(U2)，(U3,L(U3)，则对任意AL(U)，21

13、(A)=2(1(A)。这种定义是合理的，因为对wU3， (21(A)(w)= 2(1(A)(w)= (R2(v,w)1(A)(v) = (R2(v,w)( (R1(u,v) A(u) = (R2(v,w)R1(u,v) A(u) = (R2(v,w)R1(u,v) A(u) =( (R2(v,w)R1(u,v) A(u) =(R2R1)(u,w) A(u)（4）恒等态射规定为由恒等关系按L型广义扩张原理扩张后的同态。要说明上述定义的(L)构成一范畴，还需证明这样定义的态射满足结合律。事实上，对任意1 H(U1,L(U1)，(U2,L(U2)，2 H(U2,L(U2)，(U3,L(U3)，3 H

14、(U3,L(U3)，(U4,L(U4)，AL(U1)，xU4，有(3(21)(A)(x)=(R3 (w,x) (21)(A)(w) = (R3(w,x) (R2(v,w) 1 (A)(v) = (R3(w,x) (R2(v,w) (R1 (u,v) A(u) = (R3(w,x) R2(v,w) R1 (u,v) A(u) = (R3(w,x) R2(v,w) R1 (u,v) A(u) = ( (R3(w,x) R2(v,w) (R1 (u,v) A(u) = ( (R3R2)(v,x) 1(A)(v)= (32)1)(A)(x)从而(L)是一个范畴。定理3.1 范畴(L)与范畴SET同构。

15、证明：我们只需构造一个从范畴(L)到范畴SET的同构函子即可。定义T：SET(L)，使得l 对任意U|SET|，T(U)=(U, L(U)；l 对任意U1 ,U2|SET|，fHSET(U1 ,U2)，T(f)=。其中为L(U1)L(U2)的映射且对AL(U1)，vU2，有(A)(v)=A(u) 。下面证明T是函子。（1）对 U1 ,U2，U3|SET|，fH(U1,U2)，gH(U2,U3)，由上述定义知：T(g f)= T(gf)：L(U1)L(U3)，对AL(U1)，wU3，T(g f)(A)(w)= (A(u)= (A(u)= (A) (v) = (A)(w)= ()(A)(w)=(T

16、(g) T(f)(A)(w)从而T(g f)= T(g) T(f)（2） U|SET|，T(IU)：L(U)L(U)，对AL(U)，uA，有T(IU)(A)(u)= A (u)=IT(A)(u)因此T(IU) =IT(A)所以T是一个函子。下面证明T是同构函子。（1）显然，T是|SET|(L)|的双射。（2）对任意f，g H(U1,U2) ， U1 ,U2|SET|，若fg，则存在一个u U1,使得v1=f(u) g(u)=v2。其中，v1 ,v2U2。令A=u，T(f)(A)(v1)=A(u)=1，T(g)(A)(v1)=A(u)=0因此T(f)(A) T(g)(A)，这说明T是单射。显然T

17、是满射。因为对任意(U1,L(U1)，(U2,L(U2) |(L)|，H(U1,L(U1)，(U2,L(U2)都有原象即其被扩张的函数f。从而T是SET(L)的一个同构函子。证毕。定理3.2 范畴(L)同构于范畴(L)的一个子范畴。证明：首先定义(L)的一个子范畴S(L)：（1）|S(L)|=|(L)|（2）对任意(U1,L(U1)，(U2,L(U2)|(L)|，其态射集为HS(L)(U1,L(U1)，(U2,L(U2)=f|f为L(U1)L(U2)的映射，并且满足：存在映射f：U1U2，由f确定的L型模糊关系为Rf：U1U2L，使Rf按L型广义扩张原理诱导出f。显然，HS(L)(U1,L(U

18、1)，(U2,L(U2) H(L)(U1,L(U1)，(U2,L(U2)下面证明S(L)中的态射关于态射的复合运算封闭。若f H S(L)(U1,L(U1)，(U2,L(U2)，g H S(L)(U2,L(U2)，(U3,L(U3)则有对wU3，AL(U1)，根据定理1.1、定理1.2及其推论，有 (gf)(A)(w)= g(f(A)(w)= (Rg(v,w)f(A)(v) = (Rg(v,w)( (Rf(u,v) A(u) = (Rg(v,w)Rf(u,v) A(u) = (Rg(v,w)Rf(u,v) A(u) = ( (Rg(v,w)Rf(u,v)A(u) = (RgRf)(u,w) A

19、(u) = (Rgf(u,w) A(u)= gf(A)(w) H S(L)(U1,L(U1)，(U3,L(U3)从而S(L)是(L)的一个子范畴。下面构造函子G ：SET(L)l （1）对任意U|SET|，G(U)=(U, L(U) |(L)|；l 对任意U1 ,U2|SET|，fHSET(U1 ,U2)， G(f)= f H S(L)(U1,L(U1)，(U2,L(U2)。下面证明G是函子。（1）对 U1 ,U2，U3|SET|，fHSET(U1,U2)，gHSET (U2,U3)，由上述定义知：G(g f)= G(gf)：L(U1)L(U3)，对AL(U1)，wU3，根据定理1.1、定理1

20、.2及其推论，有G(g f)(A)(w)= gf(A)(w)=(gf)(A)(w)从而G(g f)=G(g) G(f)（2） U|SET|，G(IU)：L(U)L(U)，对AL(U)，UA，有G(IU)(A)(U)= A (U)=IG(A)(U)因此G(IU) =IG(A) ，所以G是一个函子。下面证明G是同构函子。（1）显然，T是|SET|(L)|的双射。（2）对任意f，g H(U1,U2) ， U1 ,U2|SET|，若fg，则存在一个u U1,使得v1=f(u) g(u)=v2。其中，v1 ,v2U2。令A=u，G(f)(A)(v1)=f(A)(v1)= (Rf(u,v) A(u)=1，

21、G(g)(A)(v1)=g(A)(v1)= (Rg(u,v) A(u)=0因此T(f)(A) T(g)(A)，这说明T是单射。显然T是满射。因为对任意(U1,L(U1)，(U2,L(U2) | (L)|，fH S(L)(U1,L(U1)，(U2,L(U2)，G都有原象。从而G是SET(L)的一个同构函子。由于同构关系是等价关系，所以由定理3.1知，S(L)与(L)同构。证毕。4结论扩张原理在模糊集合论中有着广泛的应用，本文将广义扩张原理应用到L型模糊集上，并通过L型广义扩张原理构造了两个模糊集范畴，并讨论了它们的相互关系。本文的结果有望应用于泛型信息处理的设计中.参考文献1 秦克云，徐扬。 模

22、糊格蕴涵代数范畴. 应用数学. 1998,11(3) :：13-16。2 徐扬，秦克云。模糊格蕴涵代数。西南交通大学学报，1995（2）：121-127。3 汪培庄。模糊集与模糊集范畴。数学进展，（1982（1）：1-18。4 Saunders Mac Lane. Categories for the Working mathematicianM.Springer-Verla Berlin,1971.5 秦克云，徐扬。广义扩张原理及其基本性质J。西南交通大学学报，1995（4）：72-76。6 Li Yongming, A categorical approach to lattice-val

23、ued fuzzy automateJ. Fuzzy Sets and Systems, Vol.157, No.6,2006(1):855-864.7 Xu Yang, Da Ruan, Liu Jun. Progress and prospect in lattice-valued logic systems based on lattice implication algebrasM. Applied computational Intelligence, Proceedings of the 6th International FLINS Conference, 2004:29-34.第 12 页 共 12页