广东省深圳市高级中学（集团）2022-2023学年高二下学期期中数学试题含答案.pdf

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1、深圳市高级中学（集团）深圳市高级中学（集团）2022-2023 学年第二学期期中测试学年第二学期期中测试高二数学高二数学（满分（满分 150 分分.考试时间考试时间 120 分钟分钟.）注意事项：注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的个人信息填写在答题卡和试卷指定位置上答卷前，考生务必将自己的个人信息填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时回答选择题时，选出每小题答案后选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑黑.如需改动如需改动，用橡皮擦干净后用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号再选涂其他答案标号.回答非选择题时回答非选择题时，将答案将答

2、案写在答题卡上写在答题卡上.写在本试卷上无效写在本试卷上无效.一一、选择题选择题：本题共本题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分.在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的.1.已知集合22Ax xx，1,Ba，若BA，则实数a的取值集合为（）A.2,1,0B.21xxC.21xxD.2,1,0,12.函数 yf x的图象如图所示，它的导函数为 yfx，下列导数值排序正确的是（）A.1230fffB.1230fffC.0123fffD.1203fff3.某种品牌手机的电池使用寿命X（单位：年）服从正态分布24,0N，

3、且使用寿命不少于 2 年的概率为 0.9，则该品牌手机电池至少使用 6 年的概率为（）A.0.9B.0.7C.0.3D.0.14.已知等差数列 na中，35a，109a，nS是数列 na的前n项和，则nS最大值时n的值为（）A.4B.5C.6D.75.已知1x 是函数 332f xxax的极小值点，那么函数 f x的极大值为（）A.1B.1C.2D.46.有 2 男 2 女共 4 名大学毕业生被分配到A，B，C三个工厂实习，每人必须去一个工厂且每个工厂至少去 1 人，且A工厂只接收女生，则不同的分配方法种数为（）A.12B.14C.36D.727.若曲线 exxfx 有三条过点0,a的切线，则

4、实数a的取值范围为（）A.210,eB.240,eC.10,eD.40,e8.已知随机变量的分布列为：xyPyx则下列说法正确的是（）A.存在x，0,1y，12EB.对任意x，0,1y，14EC.对任意x，0,1y，DED.存在x，0,1y，14D二二、选择题选择题：本题共本题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分.在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中，有有多项符合题目要求多项符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分分.9.某校 1000 名学生在高三一模测试中数学成绩的频率分布直方图如图所示

5、（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.分数不低于X即为优秀，已知优秀学生有 80 人，则（）A.0.008a B.120X C.70 分以下的人数约为 6 人D.本次考试的平均分约为 93.610.已知数列na的前n项和为nS，7213,1631,6nnnnan，若32kS，则k可能为（）A.4B.8C.9D.1211.一口袋中有除颜色外完全相同的 3 个红球和 2 个白球，从中无放回的随机取两次，每次取 1 个球，记事件1A：第一次取出的是红球；事件2A：第一次取出的是白球；事件B：取出的两球同色；事件C：取出的两球中至少有一个红球，则（）A.事件1A，2A为互斥事件B.事件B，C为独

6、立事件C.25P B D.234P C A12.已知函数 1sin2 cos2f xxx，则下列结论正确的是（）A.f x的图象关于点,02对称B.f x在区间,6 6 上单调递增C.f x在区间1,10内有 7 个零点D.f x的最大值为2 39三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.13.若1nxx的展开式中含有常数项，则正整数n的一个取值为_.14.大气压强p 压力受力面积，它的单位是“帕斯卡”（Pa，21Pa1N/m），已知大气压强Pap随 高 度 mh的 变 化 规 律 是0ekhpp，其 中0p是 海 平 面 大 气 压 强

7、，10.000126mk.梧桐山上一处大气压强是海平面处大气压强的13，则高山上该处的海拔为_米.（答案保留整数，参考数据ln31.1）15.设函数 1lnf xxk xx，若函数 f x在0,上是单调减函数，则k的取值范围是_.16.已知函数 eexxf xxx的两个零点为1x，2x，函数 lnlng xxxxx的两个零点为3x，4x，则12341111xxxx_.四四、解答题解答题：本题共本题共 6 小题小题，共共 70 分分。解答应写出文字说明解答应写出文字说明、证明过程或演算证明过程或演算步骤。步骤。17.已知等比数列 na的各项均为正数，且23439aaa，54323aaa.（1）求

8、 na的通项公式；（2）数列 nb满足nnbn a，求 nb的前n项和nT.18.设函数 2lnf xaxx aR.（1）若 f x在点 e,ef处的切线为e0 xyb，求a，b的值；（2）求 f x的单调区间.19.为贯彻落实健康中国行动（20192030 年）关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见等文件精神，确保 2030 年学生体质达到规定要求，各地将认真做好学生的体制健康监测.深圳市决定对某中学学生的身体健康状况进行调查，现从该校抽取 200 名学生测量他们的体重，得到如下样本数据的频率分布直方图.（1）求这 200 名学生体重的平均数x和方差2s（同一组数据用该区间的中点值作代表

9、）.（2）由频率分布直方图可知，该校学生的体重Z服从正态分布2,N，其中近似为平均数x，2近似为方差2s.利用该正态分布，求50.7369.27PZ；若从该校随机抽取 50 名学生，记X表示这 50 名学生的体重位于区间50.73,69.27内的人数，利用的结果，求E X.参考数据：869.27.若2,ZN，则0.6827PZ，220.9545PZ，330.9973PZ.20.已知正项数列 na的前n项和为nS，且11a，2218nnSSn，N*n.（1）求nS；（2）在数列 na的每相邻两项ka，1ka之间依次插入12,ka aa，得到数列 1121231234:,nba a a a a a

10、 a a a a，求 nb的前 100 项和.21.甲、乙两人进行下象棋比赛（没有平局）.采用“五局三胜”制.已知在每局比赛中，甲获胜的概率为p，01p.（1）设甲以3:1获胜的概率为 fp，求 fp的最大值；（2）记（1）中，fp取得最大值时p的值为0p，以0p作为p的值，用X表示甲、乙两人比赛的局数，求X的分布列和数学期望E X.22.已知函数 21ln2f xxxxax，aR.（1）当22ea 时，证明：0f x；（2）若函数 21 exH xf xxaxx在0,上单调递减，求a的取值范围.第 1 页 深圳深圳高级中学（集团）高级中学（集团）2 202022 2-2022023 3 学年

11、第二学期期中学年第二学期期中数学数学答案答案 1 CADBD BBC 9.AD 10.AC 11 ACD 2325223225CC()3()CC()4CP BCP CP B，事件B不发生，则两球一白一红，()1P C，,B C不独立，B 错；223225CC2()C5P B，C 正确；事件2A发生后，口袋中有 3 个红球 1 个白球，只有从中取出一个红球，事件C才发生，所以23(|)4P C A，D 正确 12 BD 11sin 2 cos sin2 cossin2 cos022fxf xxxxxxx，所以函数 f x的图象不关于点(,0)2对称，故A错误.因为2()cos(1 3sin)fx

12、xx，所以当(,)6 6x 时，21 11sin(,)sin0,)2 24xx，()0fx，故 B 正确.由 350,2,3222f xx，则 f x在1,10内共有 6 个零点，故 C 错误.由题意可得 223sin cossin1 sin=sinsinf xxxxxxx，令sin1,1xt t，则3()yg ttt，从而 21 31313g tttt，当 33033g tt ，3013g tt ，或313t ，故 g t在3(1,)3 上单调递减；在33,33上单调递增；在3,13上单调递减.因为(1)0g，32 3()39g，所以()f x的最大值为2 39，故 D 正确.13 3（只要

13、是 3 正整数倍即可）14 873 15 1,2()f x定义域为(0,)，2111fxkxx，()f x在(0,)上是单调减函数，0fx恒成立；max2()1xkx，0 x，2111xxxx，0 x，1122xxxx，当且仅当1x 时取等号.21012xx，12k，即：k 的取值范围是1,2 16 2 因为函数 eexxf xxx的两个零点为1x，2x，则11221122ee0,ee0 xxxxxxxx，即11221122ee,eexxxxxx xx，又 lnlnlnlnlneelnlnxxg xxxxxxxfx，第 2 页 则1324lnlnxxxx，即1234eexxxx，所以12121

14、21212341212ee111111112eeeexxxxxxxxxxxxxxxx.17（1）设数列 na的公比为0q q，则2314321113923a qqqa qa qa q，0q，解得113aq，所以13nna，即 na的通项公式为13nna；（2）由题可知13nnbn，则1211 2 33 33nnTn ，121 32 333nnnT，12121 33331 3231 312332123322341111nnnnnnnnnnnnnnnnTTTTnTnn 18（1）2lnf xaxx aR 的定义域为0，1fxax，因为 f x在点 e,ef处的切线为e0 xyb，所以 11eeef

15、a，所以2ae；所以 e1f 把点e,1代入e0 xyb得：2eb .即 a，b的值为：2ea，2eb .（2）由（1）知：110axfxaxxx.当0a 时，0fx在0，上恒成立，所以 f x在0，单调递减；当0a 时，令 0fx，解得：1xa，列表得：x 10a，1a 1a，fx-0+第 3 页 yf x 单调递减 极小值 单调递增 所以，0a 时，f x的递减区间为10a，单增区间为1a，.综上所述：当0a 时，f x在0，单调递减；当0a 时，f x的递减区间为10a，单增区间为1a，.19（1）由题意得，40 0.0250 0.360 0.470 0.23 80 0.0490 0.0

16、160 x；2222222(4060)0.02(5060)0.3(6060)0.4(7060)0.23(8060)0.04(9060)0.01s 400 0.02 100 0.3 0 0.4 100 0.23400 0.04900 0.0186.所以这 200 名学生体重的平均数为 60，方差为 86；（2）由（1）可知60，869.27，则50.7369.27(609.27609.27)0.6827PZPZ；由可知 1 名学生的体重位于(50.73,69.27的概率为 0.6827.则50,0.6827)XB（，所以50 0.682734.135E X.20（1）因为2218nnSSn，当2

17、n 时，2222221211nnnSSSSSS 818 1 1n 8 12311n(1)812n n 221n，因为0na，所以0nS，故21nSn 当1n 时，111Sa适合上式，所以21nSn，Nn.（2）（方法 1）因为21nSn，Nn，所以当2n时，121232nnnaSSnn 所以11,22.nnan，所以数列 nb：1，1，2，1，2，2，1，2，2，2，第 4 页 设(1)121002n nn，则22000nn，因为*nN，所以13n.所以 nb的前 100 项是由 14 个 1 与 86 个 2 组成 所以.（方法 2）设(1)121002n nn，则22000nn，因为Nn，

18、所以13n.根据数列 nb的定义，知 1001121231213129Taaaaaaaaaaaa 123139SSSSS135251713(125)172186.21（1）甲以 3：1 获胜，则前三局中甲胜两局败一局，第四局甲必须获胜，所以23343()C(1)33f ppppp，01p，232()9123(34)fppppp，令()0fp，得34p；令()0fp，得304p；令()0fp，得314p 所以()f p在30,4上单调递增，在3,14上单调递减，所以当34p 时，()f p取得最大值为81256 （2）由（1）知034pp，由题意，知 X的所有可能取值为 3、4、5，相应的概率为

19、 33312717(3)44646416P X，332133313181945(4)CC4444256256128P X，322322443131812727(5)CC4444512512128P X，所以 X的分布列为:X 3 4 5 P 716 45128 27128 X 的数学期望74527483()34516128128128E X 22（1）当22ea 时，22211lnln1eef xx xxxxxx，第 5 页 要证 0f x，即证21ln10exx，设 21ln1,0eg xxx x，令 2110egxx，解得2ex，当20ex时，0gx，当2ex 时，0gx，所以 g x在2

20、0,e上递增，在2e,上递减，则 222max21()elne1e0eg xg，所以 0g x，即21ln10exx 成立，所以 0f x 成立.（2）由已知可得 2ln1 e2xaH xxxxx，所以 ln1exHxxxax 因为对任意的 0,xH x在0,上单调递减，所以 0Hx在0,上恒成立，所以ln1e0 xxxax 在0,上恒成立，即eln1xxxax在0,上恒成立，令 eln1(0)xxxF xxx，则 22elnxxxFxx，令 2elnxh xxx，则 212e0 xh xxxx，所以 h x在0,上为增函数，又因为 11e2e21e1e0,1e10eehh ，所以01,1ex，使得00h x，即0200eln0 xxx，当00 xx时，0h x，可得 0Fx，所以 F x在00,x上单调递减；当0 xx时，0h x，可得 0Fx，所以 F x在0,x 上单调递增，所以000min00eln1()xxxF xF xx，由0200eln0 xxx，可得001ln000000ln111elnlnexxxxxxxx，001e,ln,xt xxt xtx令则 又由 1 e0 xtxx，所以 t x在0,上单调递增，所以001lnxx，可得00lnxx，所以001exx，即00e1xx，所以0000min000eln111()1xxxxF xF xxx，即得1a.