信息必刷卷01-2023年高考数学考前信息必刷卷（新高考地区专用）含解析.pdf

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1、绝密启用前绝密启用前2023 年高考数学考前信息必刷卷 01新高考地区专用一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（2023广东江门统考一模）已知集合1,0,1A，2|1,1Bm mA mA ，则集合 B 中所有元素之和为（）A0B1C1D22（2023广东江门统考一模）已知 i 为虚数单位，复数 z 满足1 i1 iz，则z（）A22i22B22i22C22i22D22i223（2023全国模拟预测）623112xxx的展开式中的常数项为（）A20B30C10D104（2023河北石家庄统考一模）“22a”是“圆1

2、C：224xy与圆2C：22()()1xaya有公切线”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件5（2023浙江校联考三模）“省刻度尺”问题由英国数学游戏大师杜登尼提出：一根23cm长的尺子，要能够量出长度为1cm到23cm且边长为整数的物体，至少需要 6 个刻度（尺子头尾不用刻）现有一根8cm的尺子，要能够量出长度为1cm到8cm且边长为整数的物体，尺子上至少需要有（）个刻度A3B4C5D66（2023江西赣州统考一模）已知函数 cos04fxxb的最小正周期为T，23T，且 yf x的图象关于点3,12中心对称，若将 yf x的图象向右平移0m m 个单位

3、长度后图象关于y轴对称，则实数m的最小值为（）A10B310C710D11107（2023河南统考模拟预测）实数 x，y，z 分别满足2022ex，20222023y，20222023z，则 x，y，z的大小关系为（）AxyzBxzyCzxyDyxz8（2023 春山西吕梁高二校考开学考试）如图，正方体1111ABCDABC D的棱长为 2，线段11B D上有两个动点,E F（E在F的左边），且2EF 下列说法错误的是（）A当,E F运动时，不存在点,E F使得AECFB当,E F运动时，不存在点,E F使得AEBFC当E运动时，二面角EABC的最大值为45D当,E F运动时，二面角AEFB为

4、定值二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分9（2023 春浙江衢州高一校考阶段练习）已知向量1,2a，1,bm，则正确的是（）A若1m，则13abB若/a b，则2m C若a与b的夹角为钝角，则12m D若向量是c与a同向的单位向量，则52 5,55c10（2023全国高三专题练习）甲箱中有 4 个红球，2 个白球和 3 个黑球，乙箱中有 3 个红球，3 个白球和 3 个黑球，先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以1A，2A和3A表示由甲箱取出的球是红球，白球和黑球的

5、事件；再从乙箱中随机取出一球，以 B 表示由乙箱取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（）A事件 B 与事件1,2,3iA i 相互独立B1845P AB C 13P B D2631P A B 11（2023 秋浙江湖州高二统考期末）已知12,F F分别为椭圆2222:1(0)xyCabab和双曲线22002200:10,0 xyEabab的公共左，右焦点，P（在第一象限）为它们的一个交点，且1260FPF，直线2PF与双曲线交于另一点Q，若222PFF Q，则下列说法正确的是（）A1PFQ的周长为165aB双曲线E的离心率为133C椭圆C的离心率为135D124PFPF12（2023全国模

6、拟预测）已知函数 fx的定义域为0,，当0,2x时，22f xxx；且对于任意2x，恒有 12fxfx，则（）A fx是周期为 2 的周期函数B 2023211012if iC当0,8x时，方程 f xkx有且仅有 8 个不同的实数解，则 k 的取值范围为1,146 52D 11912216xf xx 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13（2023江苏泰州统考一模）写出一个同时满足下列条件的等比数列na的通项公式na_10nna a；1nnaa14（2023浙江嘉兴统考模拟预测）从某地抽取 1000 户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在 50650kWh

7、之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示.若根据图示估计得该样本的平均数为 322，则可以估计该地居民月用电量的第 60 百分位数约为_.15（2023四川校联考模拟预测）已知圆锥的侧面展开图为半圆，其内切球的体积为43，则该圆锥的高为_16（2023辽宁沈阳统考一模）三棱锥ABCD中，60ABCCBDDBA，2BCBD，点 E 为CD 中点，ABE的面积为2 2，则 AB 与平面 BCD 所成角的正弦值为_，此三棱锥外接球的体积为_四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10 分）（2023全国高三专题练习）在AB

8、C中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c从中选取两个作为条件，补充在下面的问题中，并解答17cos25A ；ABC的面积是6 215；3c 问题：已知角 A 为钝角，5b，_(1)求ABC外接圆的面积；(2)AD 为角 A 的平分线，D 在 BC 上，求 AD 的长18（12 分）（2023湖南邵阳统考二模）已知nS为数列 na的前n项和，12a，143nnnSSa，记2log13nnba(1)求数列 nb的通项公式；(2)已知1111nnnnnbcb b，记数列 nc的前n项和为nT，求证：221nT 19（12 分）（2023全国哈尔滨三中校联考一模）某学校号召学生参加“每天锻炼

9、1 小时”活动，为了了解学生参与活动的情况，随机调查了 100 名学生一个月（30 天）完成锻炼活动的天数，制成如下频数分布表：天数0，5（5，10（10，15（15，20（20，25（25，30人数4153331116(1)由频数分布表可以认为，学生参加体育锻炼天数 X 近似服从正态分布2,N，其中近似为样本的平均数（每组数据取区间的中间值），且6.1，若全校有 3000 名学生，求参加“每天锻炼 1 小时”活动超过 21天的人数（精确到 1）；(2)调查数据表明，参加“每天锻炼 1 小时”活动的天数在（15，30的学生中有 30 名男生，天数在0，15的学生中有 20 名男生，学校对当月参

10、加“每天锻炼 1 小时”活动超过 15 天的学生授予“运动达人”称号.请填写下面列联表：性别活动天数合计0，15（15，30男生女生合计并依据小概率值0.05的独立性检验，能否认为学生性别与获得“运动达人”称号有关联.如果结论是有关联，请解释它们之间如何相互影响.附：参考数据：0.6827PX；220.9545PX；330.9973PX.22n adbcnabcdabcdacbd0.10.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.82820（12 分）（2023陕西商洛统考一模）已知F是抛物线2:20E xpy p的焦点，点M在抛物线E上，2MF，以MF为

11、直径的圆C与x轴相切于点N，且MNNF(1)求抛物线E的方程；(2)P是直线4y 上的动点，过点P作抛物线E的切线，切点分别为,A B，证明：直线AB过定点，并求出定点坐标21（12 分）（2023湖北统考模拟预测）如图，在斜三棱柱111ABCABC-中，底面ABC是边长为 2 的正三角形，侧面11BCC B为菱形，已知160BBC，1ABa(1)当6a 时，求三棱柱111ABCABC-的体积；(2)设点 P 为侧棱1BB上一动点，当3a 时，求直线1PC与平面11ACC A所成角的正弦值的取值范围22（12 分）（2023湖南张家界统考二模）已知函数 1ln12f xxxx,31ln1h x

12、axaxx.(1)f xF xx,求 F x的最值;(2)若函数 g xh xf x恰有两个不同的零点,求a的取值范围.原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1绝密启用前绝密启用前2023 年高考数学考前信息必刷卷 01新高考地区专用一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（2023广东江门统考一模）已知集合1,0,1A，2|1,1Bm mA mA ，则集合 B 中所有元素之和为（）A0B1C1D2【答案】C【详解】根据条件分别令211,0,1m ，解得0,1,2m ，又1mA，所以1,

13、2m ，1,2,2B，所以集合 B 中所有元素之和是1，故选：C原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司22（2023广东江门统考一模）已知 i 为虚数单位，复数 z 满足1 i1 iz，则z（）A22i22B22i22C22i22D22i22【答案】B【详解】因为1 i1 iz，所以1i22221 ii1i1i222z.故选：B3（2023全国模拟预测）623112xxx的展开式中的常数项为（）A20B30C10D10【答案】D【详解】解:因为666222331111122xxxxxxxx621xx的展开式的通项公式为6212 31661C1CrrrrrrrTxx

14、x,令1233r,得3r;令1230r,得4r,所以623112xxx的展开式中的常数项为:34334066311C1C2203010 xxx .故选:D4（2023河北石家庄统考一模）“22a”是“圆1C：224xy与圆2C：22()()1xaya有公切线”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【详解】圆1C：224xy的圆心10,0C，半径12r，圆2C：22()()1xaya的圆心2,Caa，半径21r，若两圆有公切线，则1212CCrr，即221aa，解得22a 或22a，所以“22a”是“圆1C：224xy与圆2C：22()()1xaya

15、有公切线”的充分而不必要条件.故选：A.原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司35（2023浙江校联考三模）“省刻度尺”问题由英国数学游戏大师杜登尼提出：一根23cm长的尺子，要能够量出长度为1cm到23cm且边长为整数的物体，至少需要 6 个刻度（尺子头尾不用刻）现有一根8cm的尺子，要能够量出长度为1cm到8cm且边长为整数的物体，尺子上至少需要有（）个刻度A3B4C5D6【答案】B【详解】若有一根8cm的尺子，量出长度为1cm到8cm且为整数的物体，则当尺子有 4 个刻度时满足条件设x为长度，a为刻度，b为刻度对应的数量，则有1,8x且*1 1223344N

16、,xxbab ab ab a，其中1234,0,1b b b b，当12342,1,4,1aaaa时，21123232341,2,3,4,5,6aaaaaaaaaa12312347,8aaaaaaa下证，当尺子有 3 个刻度时不能量出1cm8cm的物体长度设1,8x且*1 12233N,xxbab ab a，其中123,0,1b b b，所以当123,b b b中有 1 个 0，x 的取值至多有 3 个当123,b b b中有 2 个 0 时，120bb或230bb，x 的取值至多有 2 个当123,b b b中没有 0 时，x 的取值有 1 个所以 x 取值至多有 6 个，即当尺子有 3 个

17、刻度时不能量出1cm8cm的物体长度故选:B6（2023江西赣州统考一模）已知函数 cos04fxxb的最小正周期为T，23T，且 yf x的图象关于点3,12中心对称，若将 yf x的图象向右平移0m m 个单位长度后图象关于y轴对称，则实数m的最小值为（）A10B310C710D1110【答案】B【详解】2T，0，且23T，223，即23，yfx的图像关于点3,12中心对称，原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司41b，且3cos024，即3242kkZ，解得1223kkZ，23，取3k，52，5cos124fxx，将 yf x的图像向右平移0m m 个单位长

18、度后得到55cos1224xmfxm的图像，fxm的图像关于y轴对称，524mkkZ，解得2105kmk Z，0m，m的最小值，令1k ，得min2310510m，故选：B.7（2023河南统考模拟预测）实数 x，y，z 分别满足2022ex，20222023y，20222023z，则 x，y，z的大小关系为（）AxyzBxzyCzxyDyxz【答案】B【详解】解：由已知得12022ex，2022log2023y，20232022z，设ln()xf xx，21ln()xfxx，当e,x时，()0fx，所以ln()xf xx 在e,上单调递减，因此20232022ff（）（），即ln2023ln

19、202220232022所以20222023ln2023log20232022ln2022，zy；又设 e1xh xx，e1xh x，当0,x时，0h x，所以 e1xh xx在0,x上单调递增，因此 1202211e10020222022hh，所以1202212023e120222022，则xz；综上得xzy.故选：B8（2023 春山西吕梁高二校考开学考试）如图，正方体1111ABCDABC D的棱长为 2，线段11B D上有两个原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司5动点,E F（E在F的左边），且2EF 下列说法错误的是（）A当,E F运动时，不存在点,E

20、 F使得AECFB当,E F运动时，不存在点,E F使得AEBFC当E运动时，二面角EABC的最大值为45D当,E F运动时，二面角AEFB为定值【答案】C【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则12,2,0,0,2,0,0,0,0,2,0,0,2,0,2ABCDD因为,E F在11B D上，且112 2B D，2EF，可设,2,2 12E ttt，则1,3,2F tt，则2,2,1,3,2AEttCFtt ，所以 22134266AE CFtttttt ，故AE CF 恒为正，故 A 正确若AEBF，则11,A B B D四点共面，与AB和11B D是异面直线矛盾，故 B 正确设平面ABE的

21、法向量为,mx y z，又2,0,0AB ，所以00AB mAE m ，即20220 xtxtyz，取2y，则0,2,mt，平面ABC的法向量为0,0,1n，所以2cos,4tm nt 设二面角EABC的平面角为，则为锐角，故221cos441m ntm ntt ，因为12t，241yt在1,2上单调递减，所以24215t，故52cos52，原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6当且仅当2t 时，cos取得最大值22，即取最小值45，故 C 错误连接11,BD AD AB平面EFB即为平面11BDD B，而平面AEF即为平面11AB D，故当,E F运动时，二面

22、角AEFB的大小保持不变，故 D 正确故选：C二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分9（2023 春浙江衢州高一校考阶段练习）已知向量1,2a，1,bm，则正确的是（）A若1m，则13abB若/a b，则2m C若a与b的夹角为钝角，则12m D若向量是c与a同向的单位向量，则52 5,55c【答案】ABD【详解】对于 A，若1m，则2,3ab，所以13ab，故 A 正确；对于 B，若/a b，则20m，所以2m，故 B 正确；对于 C，若a与b的夹角为钝角，则0a

23、b，且a与b不共线，即12020mm，解得12m ，且2m，故 C 不正确；对于 D，若向量是c与a同向的单位向量，则52 5,55aca，故 D 正确.原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司7故选：ABD.10（2023全国高三专题练习）甲箱中有 4 个红球，2 个白球和 3 个黑球，乙箱中有 3 个红球，3 个白球和 3 个黑球，先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以1A，2A和3A表示由甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以 B 表示由乙箱取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（）A事件 B 与事件1,2,3iA i 相互独立B1

24、845P AB C 13P B D2631P A B【答案】BD【详解】149P A，229P A，33193P A先1A发生，则乙袋中有 4 个红球 3 白球 3 黑球，142105P B A先2A发生，则乙袋中有 3 个红球 4 白球 3 黑球，2310P B A，先3A发生，则乙袋中有 3 个红球 3 白球 4 黑球，3310P B A1112485945P ABP B A P A，B 对22232110915P A BP B AP A33331110310P A BP B AP A 112233311903P BP B A P AP B AP AP B AP A，C 错 11P A P

25、 BP AB，A 错 2222326109313190P B AP AP A BP A BP BP B，D 对故选:BD.11（2023 秋浙江湖州高二统考期末）已知12,F F分别为椭圆2222:1(0)xyCabab和双曲线22002200:10,0 xyEabab的公共左，右焦点，P（在第一象限）为它们的一个交点，且1260FPF，直线2PF与双曲线交于另一点Q，若222PFF Q，则下列说法正确的是（）A1PFQ的周长为165aB双曲线E的离心率为133原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司8C椭圆C的离心率为135D124PFPF【答案】BCD【详解】设

26、2QFt，则22PFt，1022PFta，102QFta，1PFQ中由余弦定理22211112cosQFPFPQPF PQFPQ，得222000(2)(22)92(22)3 cos60tatatatt，化简得03at，10228PFtat24 PF，D 正确；又12210aPFPFt，所以5at，又1027QFtat，1PFQ的周长为18837185tttta，A 错误；12PFF中，122F Fc，由余弦定理得2224(8)(2)2 82cos60ctttt，所以13ct，因此双曲线的离心率为10131333cteat，B 正确；椭圆的离心率为2131355cteat，C 正确，故选：BCD

27、12（2023全国模拟预测）已知函数 fx的定义域为0,，当0,2x时，22f xxx；且对于任意2x，恒有 12fxfx，则（）A fx是周期为 2 的周期函数B 2023211012if iC当0,8x时，方程 f xkx有且仅有 8 个不同的实数解，则 k 的取值范围为1,146 52D 11912216xf xx【答案】BCD原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司9【详解】已知对于任意2x，恒有 12fxfx，即任意2x，恒有 21fxfx，又当0,2x时，22f xxx，所以当2,22xnn时，2222f xxnxnn,nN.选项 A，由已知对于任意2x

28、，恒有 12fxfx，不符合周期性定义，所以 A 错误；选项 B，202311 1 221011 1011 10122 1 210111022if i 2023211011 1 10112102210222if i，故 B 正确；选项 C，如图 1，当0,8x时，方程 f xkx有且仅有 8 个不同的实数解，当直线ykx过点2,1时，直线为12yx，与 yf x有 9 个交点，当直线ykx与 26263f xxx，6,8x相切时，此时是 7 个交点，令26263xxkx，整理得214450 xkx，由2144 450k ，解得146 5k，当146 5k 时，方程26 5450 xx，即23

29、50 x，解得3 50 x ，舍；当146 5k 时，方程26 5450 xx，即23 50 x，解得6,3 58x，满足题意；且1,1，3,3，5,5点在直线146 5yx的上方.所以 k 的取值范围为1,146 52，故 C 正确；选项 D，如图 2，112yx过点2,0，4,1，6,2，8,3，112xf x 成立；当2,22xnn时，2222f xxnxnn,nN.222193332 2220216444xf xxnxnxn，即 19216f xx，所以 11912216xf xx，故 D 正确；原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司10故选：BCD.三、

30、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13（2023江苏泰州统考一模）写出一个同时满足下列条件的等比数列na的通项公式na_10nna a；1nnaa【答案】112n（答案不唯一）【详解】依题意，na是等比数列，设其公比为q，由于10nna a，所以0q，由于1nnnnaaaqaq，所以01q，所以112nna 符合题意.故答案为：112n（答案不唯一）14（2023浙江嘉兴统考模拟预测）从某地抽取 1000 户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在 50650kWh 之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示.若根据图示估计得该样本的平均

31、数为 322，则可以估计该地居民月用电量的第 60 百分位数约为_.【答案】350原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司11【详解】由题意可得3224006000.360.90.36100100(20.00180.0030.0006)1xyyx，解得0.0022,0.0012xy，由0.120.180.30.6知，估计该地居民月用电量的第 60 百分位数约为350.故答案为：35015（2023四川校联考模拟预测）已知圆锥的侧面展开图为半圆，其内切球的体积为43，则该圆锥的高为_【答案】3【详解】因为内切球的体积为43，故内切球的半径R满足34433R，故1R.设

32、母线的长为l，底面圆的半径为r，故1222rl，故2lr，故轴截面为等边三角形（如图所示），设,E F分别为等边三角形的内切圆与边的切点，O为内切圆的圆心，则,O P E共线且OPAB，OFPB，而30OPF，故22OPOF，故2 13EP ，故答案为：3.16（2023辽宁沈阳统考一模）三棱锥ABCD中，60ABCCBDDBA，2BCBD，点 E 为CD 中点，ABE的面积为2 2，则 AB 与平面 BCD 所成角的正弦值为_，此三棱锥外接球的体积为_【答案】63#163323#323【详解】设AO 平面BCD，垂足为O，如图，原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限

33、公司12过O作OFBC于点F，过O作OGBD于G，连接,AF AG，由AO 平面BCD，BC平面BCD，得AOBC，又OFAOO，,OF AO 平面AFO，BC平面AFO，AF 平面AFO，得AFBC，同理AGBD，从而,ABFABGBFO均为直角三角形，60ABCCBDDBA，2BCBD，OFOG，则O在CBD的平分线BE上，易知 AB 与平面 BCD 所成角即为ABEcos,cos,cosBFBOBFABCABEEBCABABBO，coscoscosABCABEEBC，又60,30ABCEBC，3cos3ABE，即6sin3ABE，则 AB 与平面 BCD 所成角的正弦值为63，又13,s

34、in2 22ABEBESAB BEABE，解得4AB，又60,2ABCABDBCBD，2222cos12ACABBCAB BCABC，222ACBCAB，同理222ADBDAB，90ACBADB，AB为外接球直径，三棱锥外接球的体积为34432()323故答案为：63，323.四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10 分）（2023全国高三专题练习）在ABC中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c从中选取两个作为条件，补充在下面的问题中，并解答17cos25A ；ABC的面积是6 215；3c 问题：已知角 A 为钝角，5b，_原创精品资

35、源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司13(1)求ABC外接圆的面积；(2)AD 为角 A 的平分线，D 在 BC 上，求 AD 的长【答案】(1)条件选择见解析，212584(2)32AD【详解】（1）选，17cos25A ，24 21sin1 cos25AA，又1sin2ABCSbcAQ，即6 2114 2155225c，得3c，由余弦定理，得222172722cos2592 5 3255abcbcA ，由正弦定理，得22221252sin21aRA，2212584R，所以，ABC外接圆的面积为212584选，因为17cos25A ，3c 所以由余弦定理，得222172

36、722cos2592 5 3255abcbcA ，由正弦定理，得22221252sin21aRA，2212584R，所以，ABC外接圆的面积为212584选，由6 2115 3 sin52A ，4 21sin25A，A 为钝角，得17cos25A ，由余弦定理，得222172722cos2592 5 3255abcbcA ，由正弦定理，得22221252sin21aRA，2212584R，所以，ABC外接圆的面积为212584（2）由 AD 为角 A 的平分线，设2A，0,2，则有21 cos2121sin,sin2255A，原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司

37、14由ABC的面积6 2111sinsin522bADcAD ，即6 211211215352525ADAD ，解得32AD 故 AD 的长为32.18（12 分）（2023湖南邵阳统考二模）已知nS为数列 na的前n项和，12a，143nnnSSa，记2log13nnba(1)求数列 nb的通项公式；(2)已知1111nnnnnbcb b，记数列 nc的前n项和为nT，求证：221nT【答案】(1)*21Nnbnn(2)证明见解析【详解】（1）由143nnnSSa，得143nnnSSa143nnaa，则1141nnaa 112 1 1a ，数列1na 是以 1 为首项，4 为公比的等比数列，

38、122*142Nnnnan 2log13nnba，22*2log 2321Nnnbnn（2）1111nnnnnbcb b，11221111121232 2123nnnncnnnn 123nnTcccc1111111111123557792123nnn 当n为奇数时，1 11122 323621nTn当n为偶数时，1 112 323nTn，nT是递增数列，21 1122 3721nTT综上得：221nT 19（12 分）（2023全国哈尔滨三中校联考一模）某学校号召学生参加“每天锻炼 1 小时”活动，为了了解学生参与活动原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司15的情

39、况，随机调查了 100 名学生一个月（30 天）完成锻炼活动的天数，制成如下频数分布表：天数0，5（5，10（10，15（15，20（20，25（25，30人数4153331116(1)由频数分布表可以认为，学生参加体育锻炼天数 X 近似服从正态分布2,N，其中近似为样本的平均数（每组数据取区间的中间值），且6.1，若全校有 3000 名学生，求参加“每天锻炼 1 小时”活动超过 21天的人数（精确到 1）；(2)调查数据表明，参加“每天锻炼 1 小时”活动的天数在（15，30的学生中有 30 名男生，天数在0，15的学生中有 20 名男生，学校对当月参加“每天锻炼 1 小时”活动超过 15

40、天的学生授予“运动达人”称号.请填写下面列联表：性别活动天数合计0，15（15，30男生女生合计并依据小概率值0.05的独立性检验，能否认为学生性别与获得“运动达人”称号有关联.如果结论是有关联，请解释它们之间如何相互影响.附：参考数据：0.6827PX；220.9545PX；330.9973PX.22n adbcnabcdabcdacbd0.10.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.828【答案】(1)476 人(2)答案见解析【详解】（1）由频数分布表知42.515 7.533 12.531 17.511 22.5627.514.9100，则(1

41、4.9,6.1)XN，0.6827PX，10.6827(21)(14.96.1)0.158652P XP X，3000 0.15865475.95476，参加“每天锻炼 1 小时”活动超过 21 天的人数约为 476 人.原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司16（2）由频数分布表知，锻炼活动的天数在0,15的人数为：4153352，参加“每天锻炼 1 小时”活动的天数在0，15的学生中有 20 名男生，参加“每天锻炼 1 小时”活动的天数在0，15的学生中有女生人数：522032由频数分布表知，锻炼活动的天数在(15,30的人数为31 11648，参加“每天锻炼

42、 1 小时”活动的天数在（15，30的学生中有 30 名男生，参加“每天锻炼 1 小时”活动的天数在0，15的学生中有女生人数：483018列联表如下：性别活动天数合计0,15(15,30男生203050女生321850合计5248100零假设为0H：学生性别与获得“运动达人”称号无关22100(30 3220 18)5.7693.84150 50 52 48依据0.05的独立性检验，我们推断0H不成立，即：可以认为学生性别与获得“运动达人”称号有关；而且此推断犯错误的概率不大于0.05，根据列联表中的数据得到，男生、女生中活动天数超过 15 天的频率分别为：300.650和180.3650，

43、可见男生中获得“运动达人”称号的频率是女生中获得“运动达人”的称号频率的0.61.670.36倍，于是依据频率稳定与概率的原理，我们可以认为男生获得“运动达人”的概率大于女生，即男生更容易获得运动达人称号.20（12 分）（2023陕西商洛统考一模）已知F是抛物线2:20E xpy p的焦点，点M在抛物线E上，2MF，以MF为直径的圆C与x轴相切于点N，且MNNF(1)求抛物线E的方程；(2)P是直线4y 上的动点，过点P作抛物线E的切线，切点分别为,A B，证明：直线AB过定点，并求出定点坐标【答案】(1)24xy(2)证明见解析，定点坐标为0,4【详解】（1）由抛物线方程知：0,2pF，原

44、创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司17连接CN，NQ为切点，CNON，又CFCM，MNNF，CNFM，/FM ON2MF，12pOFCN，解得：2p，则抛物线E的方程为24xy（2）设211,4xA x，222,4xB x，,4P t，由24xy得：24xy，2xy，则2111442PAxxkxt，化简整理可得：211802xtx，即11280ytx，同理：由2222442PBxxkxt得：22280ytx，则点1122,A x yB xy都在直线280ytx上，即直线AB的方程为280ytx，令0 x 得：4y，直线AB过定点，该定点坐标为0,421（12 分

45、）（2023湖北统考模拟预测）如图，在斜三棱柱111ABCABC-中，底面ABC是边长为 2 的正三角形，侧面11BCC B为菱形，已知160BBC，1ABa原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司18(1)当6a 时，求三棱柱111ABCABC-的体积；(2)设点 P 为侧棱1BB上一动点，当3a 时，求直线1PC与平面11ACC A所成角的正弦值的取值范围【答案】(1)3(2)39 3 13,1313【详解】（1）解：如图，取BC的中点为 O，因为11BCC B为菱形，且160BBC，所以1B BC为正三角形，又有ABC为正三角形且边长为 2，则BCAO，1BC

46、BO，且13AOBO，16AB，所以22211AOBOAB，所以1BOAO，因为又BCAOO，BC平面ABC，AO 平面ABC，所以1BO 平面ABC，所以三棱柱111ABCABC-的体积2133234ABCVBO S（2）在1AOB中，13AOBO，13AB，由余弦定理可得22213331cos2233AOB，所以123AOB，由（1）BCAO，1BCBO，又1BOAOO，1BO 平面1B AO，AO 平面1B AO，所以BC平面1AOB，因为BC平面ABC，所以平面1AOB 平面ABC，所以在平面1AOB内作OzOA，则Oz 平面ABC，以OA，OC，Oz所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴

47、建立空间直角坐标系如图所示：原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司19则133,0,22B，0,1,0B，3,0,0A，0,1,0C，133,2,22C，133,1,22A，设,nx y z是平面11ACC A的一个法向量，3,1,0AC ，13 33,2,22AC ，则100n ACn AC，即303 332022xyxyz，取1z 得3,3,1n ，设101BPBB，则11113333,3,1,2222C PC BBPC BBB 331,3,122，设直线1PC与平面11ACC A所成角为，则111sincos,n C PC P nn C P 22631333

48、13433，令 23011333f，则 f在0,1单调递增，所以 39 3 13,1313f，原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司20故直线1PC与平面11ACC A所成角的正弦值的取值范围为39 3 13,131322（12 分）（2023湖南张家界统考二模）已知函数 1ln12f xxxx,31ln1h xaxaxx.(1)f xF xx,求 F x的最值;(2)若函数 g xh xf x恰有两个不同的零点,求a的取值范围.【答案】(1)最大值是ln22,无最小值(2)51,2【详解】（1）由题意可得 1ln12fxF xxxx,定义域为0,.设 11222

49、xFxxx,由 0Fx,得02x,由 0Fx,得2x.则 F x在0,2上单调递增,在2,上单调减,max12ln22 1ln222F xF ,故 F x在0,上的最大值是ln22,无最小值.（2）由题意可得 2121ln12g xh xf xxaxax,12agxxax22111xaxaxaxxx,g x的定义域是0,.当10a,即1a 时,1x 时 0gx,01x时 0gx,则 g x在0,1上单调递减,在1,上单调递增.因为0 x 时,g x,x 时,g x,所以 g x要有两个零点,则 112 102ga,解得52a,故512a;当10a,即1a 时,由 21102g xxx,解得13

50、x ,因为0 x,所以13x ,则 g x有且仅有 1 个零点,故1a 不符合题意;当011a,即01a时,由 0gx,得01xa 或1x,原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司21由 0g x,得11ax,则 g x在0,1a和1,上单调递增,在1,1a上单调递减.因为0 x 时,0g x,x 时,g x,所以 g x要有两个零点,则 112 102ga 或 21112 11ln 1102gaaaaaa,若 10g,解得52a,不符合题意,若10ga,设10,1ta ,则10ga化为22111ln1ln1022tttt tttt t ,01t 时,ln0t t,