湖南省永州市2023届高考第三次适应性考试数学试题含答案.pdf

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1、永永州州市市 2023 年年高高考考第第三三次次适适应应性性考考试试试试卷卷数数学学命命题题人人：陈陈全全伟伟（东东安安一一中中）刘刘魁魁（永永州州四四中中）刘刘广广奇奇（祁祁阳阳一一中中）蒋蒋昌昌龙龙（道道县县一一中中）审审题题人人：席席俊俊雄雄（永永州州市市教教科科院院）注注意意事事项项：1.本本试试卷卷共共 150 分分，考考试试时时量量 120 分分钟钟.2.全全部部答答案案在在答答题题卡卡上上完完成成，答答在在本本试试题题卷卷上上无无效效.3.考考试试结结束束后后，只只交交答答题题卡卡.一一、选选择择题题：本本题题共共 8 小小题题，每每小小题题 5 分分，共共 40 分分.在在每每

2、小小题题给给出出的的四四个个选选项项中中，只只有有一一项项是是符符合合题题目目要要求求的的.1.若复数z满足3izz，则复数z的虚部为A.32B.32C.3i2D.3i22.设集合,2Ax yyx，3,Bx yyx，则AB的元素个数是A.1B.2C.3D.43.已知coscos210，0,2，则cosA.12B.12C.0D.14.窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术.图 1 是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，如图 2 所示其外框是边长为 2 的正六边形 ABCDEF，内部圆的圆心为该正六边形的中心，圆的半径为 1，点 P 在圆上运动，则PE OE 的最小值为A

3、.-1B.-2C.1D.25.在二项式641xx的展开式中，把所有的项进行排列，有理项都互不相邻，则不同的排列方案为A.5256A A种B.4345A A种C.5257A A种D.4242A A种6.若函数 yf x和yfx在区间,m n上的单调性相同，则把区间,m n叫做 yf x的“稳定区间”.已知区间1,2023为函数12xya的“稳定区间”，则实数a的可能取值是A.94B.54C.12D.327.已知正项数列 na满足11a，11nnnnnaaaaa，其前 200 项和为200S，则A.2007665SB.2006554SC.2005443SD.2004332S8.已知函数 ln40a

4、f xaxabxa bae xa，对于定义域内的任意x恒有 0f x，则ba的最大值为A.2eB.eC.eD.e二二、多多项项选选择择题题：本本题题共共 4 小小题题，每每小小题题 5 分分，共共 20 分分.在在每每小小题题给给出出的的选选项项中中，有有多多项项符符合合题题目目要要求求.全全部部选选对对的的得得 5 分分，有有选选错错的的得得 0 分分，部部分分选选对对的的得得 2 分分.9.已知,a b cR，下列命题为真命题的是A.若0ba，则22b ca cB.若0bac，则ccabC.若0cba，则abcacbD.若0abc，则aacbbc10.已知四面体 ABCD 的所有棱长均为2

5、，M，N 分别为棱 AD，BC 的中点，F 为棱 AB 上异于 A，B 的动点，点 G 为线段 MN 上的动点，则A.线段 MN 的长度为 1B.FMN周长的最小值为21C.MFN的余弦值的取值范围为10,3D.直线 FG 与直线 CD 互为异面直线11.已知抛物线C：220ypx p的焦点为 F，直线l与 C 交于11,A x y，22,B xy两点，其中点 A 在第一象限，点 M 是 AB 的中点，MN 垂直准线于 N，则下列结论正确的是A.若3AFFB ，则直线l的倾斜角为3B.点 M 到准线距离为2ABC.若直线l经过焦点 F 且12OA OB ，则4p D.若以 AB 为直径的圆 M

6、 经过焦点 F，则ABMN的最小值为212.若 2 sin2 sin36f xxx，250,12x时，函数 2g xf xb（b是实常数）有奇数个零点，记为*12221,nnx xxxnN，125,012a a 且12aa，则A.f x的最小正周期是B.f x的对称轴方程为Z412kxkC.21222122nnnnxxxxnD.对任意的Rx，12,a a使得 22101,2kf xf x f ak 三三、填填空空题题：本本题题共共 4 小小题题，每每小小题题 5 分分，共共 20 分分.13.已知等比数列 na，其前n项和为nS，若28a，328S，则3a _.14.现有四家工厂生产同一产品，

7、已知它们生产该产品的日产量分别占日产量总和的 15%，20%，30%和 35%，且产品的不合格率分别为 0.05，0.04，0.03 和 0.02.现从四家工厂一天生产的所有产品中任取一件，则抽到不合格品的概率是_.15.已知双曲线：222210,0 xyabab，圆O：2222xyab与 x 轴交于 A、B 两点，M、N 是圆与双曲线在 x 轴上方的两个交点，点 A、M 在 y 轴的同侧，且 AM 交 BN 于点 C.若OMCNMAON，则双曲线的离心率为_.16.在棱长为 1 的正方体1111ABCDABC D中，动点在平面1ACD上运动，且143B P，三棱锥1BACD外接球球面上任意一

8、点 Q 到点到的距离记为 PQ，当平面 PAD 与平面1ADB，夹角的正切值为6时，则 PQ的最大值为_.四四、解解答答题题：本本题题共共 6 小小题题，共共 70 分分.解解答答应应写写出出文文字字说说明明、证证明明过过程程或或演演算算步步骤骤.17.（本题满分 10 分）记正项数列 na的前n项积为nT，且141nnaT.（1）证明：数列 nT是等差数列；（2）记1861nnnnnbT T，求数列 nb的前2n项和2nS.18.（本题满分 12 分）在ABC中，A，B，C 的对边分别为 a，b，c 且cos3sincAcAab.（1）求 C 的值；（2）若 AB 边上的点 M 满足2BMM

9、A，3c，7CM，求ABC的周长.19.（本题满分 12 分）已知底面为菱形的平行六面体1111ABCDABC D中，1ABBD，四边形1BDD B为正方形，11AC交11B D于点 M.（1）证明：BDCM；（2）若13AB，求直线1CD与平面11BDD B所成角的余弦值.20.（本题满分 12 分）为了精准地找到目标人群，更好地销售新能源汽车，某 4S 店对近期购车的男性与女性各 100 位进行问卷调查，并作为样本进行统计分析，得到如下列联表40,mmN：购买新能源汽车（人数）购买传统燃油车（人数）男性80m20m女性60m40m（1）当0m 时，将样本中购买传统燃油车的购车者按性剔采用分

10、层抽样的方法抽取 6 人，再从这 6 人中随机抽取 3 人调查购买传统燃油车的原因，记这 3 人中女性的人数为 X，求 X 的分布列与数学期望；（2 定义2ijij2ij2i3,2j3,i,jABKNB ，其中ijA为列联表中第 i 行第 j 列的实际数据，ijB为列联表中第 i 行与第 j 列的总频率之积再乘以列联表的总频数得到的理论频数.基于小概率值的检验规则：首先提出零假设0H（变量 X，Y 相互独立，然后计算2K的值，当2Kx时，我们推断0H不成立，即认为X 和 Y 不独立，该推断犯错误的概率不超过；否则，我们没有充分证据推断0H不成立，可以认为 X 和 Y 独立.根据2K的计算公式，

11、求解下面问题：（i）当0m 时，依据小概率值0.005的独立性检验，请分析性别与是否喜爱购买新能源汽车有关；（）当10m 时，依据小概率值0.1的独立性检验，若认为性别与是否喜爱购买新能源汽车有关，则至少有多少名男性喜爱购买新能源汽车?附：0.10.0250.005x2.7065.0247.87921.（本题满分 12 分）已知椭圆C：22184xy，其右焦点为 F，过点 F 的直线与椭圆 C 交于 A，B 两点，与 y 轴交于点P，PAAF ，PBBF .（1）求证：为定值.（2）若点不在椭圆 C 的内部，点 Q 是点 P 关于原点的对称点，试求QAB面积的最小值.22.（本题满分 12 分

12、）已知函数 lnxf xxea，sing xx.（1）若0 x 是函数 h xf xag x的极小值点，讨论 h x在区间,上的零点个数.（2）英国数学家泰勒发现了如下公式：22246*011cos12!2!4!6!2!nnnnnxxxxxxnNnn 这个公式被编入计算工具，计算足够多的项时就可以确保显示值的精确性.现已知 111111112233g xxxxxxxxxxnn，利用上述知识，试求211nn的值.永永州州市市 2023 年年高高考考第第三三次次适适应应性性考考试试试试卷卷数数学学参参考考答答案案及及评评分分标标准准一一、单单项项选选择择题题题号12345678答案BCBDABCA

13、二二、多多项项选选择择题题题号9101112答案BDABACDBC三三、填填空空题题134 或 16140.0315153116193 36部分小题答案:7.解析：令1n，则可得214a，故2001254Saa，将两边倒数得1111nnnaaa，所以 na为递减数列.所以1na.可得11111nnnnaaaa，所以112nnaa，所以31221111212nnnnnnaaaaaaaaaa，所以114nna，根据等比数列求和公式得0119919920011141144443343S，综上，2005443S8.解析：两边同时除以a得1ln4bxabxe xaa，令txa，原不等式等价于：14lnb

14、ttaet，设1()lng ttet，4bk tta，对()g t求导并画出函数图像，当直线 k t与曲线()g t相切时，解得2eba，选 D11.解析：A 选项，因为3AFFB ，所以,A F B三点共线，即直线l经过抛物线焦点.当直线l的斜率为 0 时，此时，直线 l 与 C 只有 1 个交点，不合题意，故设直线:2pl xmy，与22ypx联立得：2220ypmyp，故21212,2yypm y yp，因为3AFFB ，所以123yy，代入10y 中，得到10y，即10y，因为点 A 在第一象限，所以10y，故20y，即0pm，0m，解得：33m 故直线l的斜率为13m，设直线 l 的

15、倾斜角为0，则tan3，解得：3，A 正确；B 选项，当直线l不经过焦点p,02F时，设AFm，BFn，由三角形三边关系可知：AFBFAB，由抛物线定义可知：AFBF2 MNAB，即ABMN2，B 不正确；C 选项，由题意得：,02pF，准线方程为2px ，当直线l的斜率为 0 时，此时，直线 l 与 C 只有 1 个交点，不合题意，故设直线:2pl xmy，与22ypx联立得：2220ypmyp，故21212,2yypm y yp，则221212244y ypx xp，所以221212124Opx xy yA OBp ，解得：4p，C 正确；D 选项，设,AFm BFn，过点A作AQ 准线于

16、点Q，过点B作BP 准线于点P，因为以 AB 为直径的圆 M 经过焦点 F，所以AFBF，则22ABmn，由抛物线定义可知：222AQBPAFBFmnMN，由基本不等式得：222mnmn，则2222222mnmnmnmn，当且仅当mn时，等号成立，故222mnmn，即2222222ABmnmnmnMNmn，D 正确；故选：ACD12.解析：由题设 2 sin2 sin2 sin2 cos3633f xxxxx，所以22()4 1sin 24 1cos 236fxxx，故()2 1cos 26f xx，A 选项由cos2yx的最小正周期为，知|cos2|yx的最小正周期为2，同理2 1 cos(

17、2)6yx的最小正周期为，则()f x的最小正周期为2，A 不正确；对于()f x，令262kx，则对称轴方程为412kx且Zk，B 正确；由()0g x 可转化为()f x与2by 交点横坐标，而250,12x上()f x图象如下：函数有奇数个零点，由图知：6312b，此时共有 9 个零点，1226xx、235212xx、34223xx、4511212xx、56726xx、6717212xx、78523xx、8923212xx、31422xxxx，53642xxxx，75862xxxx，21222-122nnnnxxxxn，所以 C 正确.对任意x有()2,2 2f x，Ra，215,012

18、a a 且12aa满足12()()()kf af xf x5 9 2,24且1,2k，而5,012x 的 f x图象如下：所以(4,2 62(31),4 2)2()kf a，9 24412()()()kf af xf x即 21 2210kf xf x f ak，D 错误；故选：BC16.解析：设11CDC DO，连接1B D，AO，且11B DAOO，所以1B D 平面1ACD，设正方体的棱长为 1，则可知11BACD为棱长为2的正四面体，所以1O为等边三角形1ACD的中心，由题可得36222AO，得12633AOAO，所以11BO 2 33，又1B P与平面1ACD所成角为3，则111ta

19、n33BOO P，可求得123O P，即P在以1O为圆心，半径23r 的圆上，且圆在平面1ACD内，由1B D 平面1ACD，又1B D 平面11ABC D，平面11ABC D 平面1ACD，且两个平面的交线为 AO，把两个平面抽象出来，如图：作PMAO于M点，过点M作MNAD交 AD 于 N 点，连接PN，平面11ABC D 平面1ACD，PM 平面1ACD，平面11ABC D平面1ACDAO，PM平面11ABC D，AD 平面11ABC D，PMAD，又MNAD，MN 与 PM 为平面 PMN 中两相交直线，故AD 平面 PMN，PN 平面 PMN，ADPN，PNM为二面角1PADB的平面

20、角，即为角，设AMx，当 M 与点1O不重合时，在1Rt PMO中，可得222262 62()()3339PMxxx，若 M 与点1O重合时，即当63x 时，可求得123PMPO，也符合上式，故22 6239PMxx，MNAD，ODAD，/MNOD，MNAMODAO232362xODAMMNxAO222 622 12 6139tan3169333xxPMMNxxx 解得：13 62x，69x 再取1B D的中点F，连接PF，在RtPFM和1RtFMO中利用勾股定理得196PF 所以 PQ 的最大值为193 36PQ四四、解解答答题题17（本题满分 10 分）解：（1）证明：由题意得1nnnTa

21、T2n，因为141nnaT，所以，141nnnTTT 2n.即14nnTT2n，所以14nnTT2n 当1n 时，11aT，所以11141TT，解得15T，故 nT是以 5 为首项，4 为公差的等差数列（2）由（1）可知，51441nTnn，所以186861111141454145nnnnnnnnbT Tnnnn 2111111111159913131783818185nSnnnn 1185854025nnn 18（本题满分 12 分）解：（1）由正弦定理得：sincos3sinsinsinsinCACAAB在三角形中，BACsincos3sinsinsinsinCACAAACsincos3s

22、insinsinsincoscossinCACAAACAC3sincos1CC1sin62C0,C，66C3C（2）2BMMA 2BM，1AM 由余弦定理得2222coscababC则229 abab又7CM 由于2133CMCACB 222414999CMCACBCA CB 则226342 abab7=即2222777 42abababab22230aabb亦即20abab则ab或2ba 当ab时，代入得3a，3b 周长9Labc当2ba 时，代入得3a，2 3b 周长33 3Labc19（本题满分 12 分）解：（1）连接AC交BD于点 O，连接 OM四边形ABCD为菱形，BDAC M为1

23、1AC中点，1OMBB四边形11BDD B为正方形1BDBB，BDOM ACOMOBD平面11ACC ACM 平面11ACC ABDCM（2）以 O 为坐标原点，OA 所在直线为 x 轴，OB 所在直线为 y 轴，过 O 且垂直于平面 ABCD 的直线为 z 轴，得3,0,02A，10,02D13AB，111ABDC，由（1）知，BD 平面11ACC A11B D 平面11ACC A，11B DCM，11CB D是等边三角形32CM 点 M 作 NH 垂直 OC 于点 H，在OMC中，1OM，32CMCO，可得 CM 边上的高为22，由等面积法可得 OC 边上的高63MH，由勾股定理可得33O

24、H，故36,0,33M，1316,323D，3,02,0C10,02OD，13 16,323OD ，1316CD,623 设平面11BDD B的法向量为,nx y z，则100n ODn OD，即1023160323yxyz，取1CD，平面1CD的一个法向量为1CD设直线1CD与平面11BDD B所成角为，则66632sin231，2cos2直线1CD与平面11BDD B所成角的余弦值2220（本题满分 12 分）解：（1）当=0 时，用分层抽样的方法抽取购买传统燃油车的 6 人中，男性有 2 人，女性有 4 人.由题意可知，X 的可能取值为 1，2，3.211203242424333666C

25、 CC C131,(2),(3).555CCC C(1)CPPP XXXX 的分布列如下表X123P153515131()1232555E X （2）（i）零假设为0H：性别与是否购买新能源汽车独立，即性别与是否购买新能源汽车无关联.当=0 时，2,22,22,32,380,70,20,0.5 0.3 20030ABAB，3,260A，3,23,33,30.5 0.7 20070,40,0.5 0.3 20030BAB22222,22,22,32,33,23,23,33,322,22,33,23,3()()()()ABABABABKBBBB2222(8070)(2030)(6070)(4030

26、)2009.52470307030210.0059.5247.879,x根据小概率值0.005的独立性检验，我们推断0H不成立，即认为性别与是否购买新能源汽车有关联，此推断犯错误的概率不超过 0.005.（ii）22222(80m70)(20m30)(60m70)(40m30)K7030703022(10m)21由题意可知22 10m)2.70621（，整理得210)28.413m（，10mNm又，4m所以m的最大值为 4，又804=76，至少有 76 名男性购买新能源汽车21（本题满分 12 分）解：（1）证明：如图所示，设1122,),(,),(0,)A x yB xyPt（.由PAAF

27、，得112,11txy.又点A在椭圆C上，故222t11184整理得2228t40由PBBF ，同理可得2228t40由于,A B不重合，即,因此22,2x8xt40 是方程的两个根，所以4 为定值.（2）直线l的方程为1,2xyt即(2)2tyx 将(2)2tyx 代入22xy184得22222t)x4t x4t160（于是221212224416,22ttxxx xtt，从而121212,2QABQAPQBPSSSt xxt xx22222121212()()4QABStxxtxxx x422222161664(2)2ttttt2222232t1284t32 1(2t)(2t)若点P不在椭

28、圆C的内部，则2t，即24t，所以2QABS的最小值为82563299，故QAB面积的最小值为163.22（本题满分 12 分）解：（1）由题意得：ln1cosxh xax eax，因为0 x 为函数 h x的极值点，所以，0ln0haa，知：lnaa，sinxh xaxxe，cos1xh xaxx e，（i）当,0 x 时，由0a，1cos1x，11x，1xe，得 0fx，所以 h x在,0上单调递减，00h xh，所以 h x在区间,0上不存在零点；（ii）当0,x时，设 cos1xxxx e，则 2sinxxx ex.若0,2x，令 2sinxm xx ex，则 3cos0 xm xxe

29、x，所以 m x在0,2上单调递减，因为 020m，221022me，所以存在0,2a，满足 0m a，当0,xa时，0m xx，x在0,a上单调递增；当,2xa时，0m xx，x在,2a上单调递减；若,22x，令 2xk xx e，,22x，则 30 xkxxe，所以 k x在区间,22上单调递减，所以 21222k xkee，又因为1sinsin2sin2sin62x，所以 2sin0 xxx ex，x在,22上单调递减；若2,x，则 2sin0 xxx ex，x在2,上单调递减.由（a）（b）（c）得，h x在0,a上单调递增，h x在,a单调递减，因为 00a，110e ，所以存在,a

30、使得 0，所以，当0,x时，0h xx，h x在0,上单调递增，00h xh，当,x 时，0h xx，h x在,上单调递减，因为 00hh，0h，所以 h x在区间,上有且只有一个零点.综上，h x在区间,上的零点个数为2个；（2）因为2222222222s14i1n113xxxxxxn，（*）对22461cos12!4!6!2!nnxxxxxn，两边求导得：21351sin1!3!5!21!nnxxxxxn，121351sin1!3!5!21!nnxxxxxn，所以122241sin13!5!21!nnxxxxxn，（*）比较（*）（*）式中2x的系数，得222221111113!123n

31、所以2222211111236n.永州市 2023 年高考第三次适应性考试参考答案及评分标准数学第 1页（共 13页）永州市 2023 年高考第三次适应性考试试卷数学参考答案及评分标准一、单项选择题题号12345678答案BCBDABCA二、多项选择题题号9101112答案BDABACDBC三、填空题134 或 16140.03151513 16193 36部分小题答案部分小题答案:7.解析：令1n，则可得214a，故2001254Saa，将两边倒数得1111nnnaaa，所以 na为递减数列.所以1na.可得11111nnnnaaaa，所以112nnaa，所以31221111212nnnnn

32、naaaaaaaaaa，所以11()4nna，根据等比数列求和公式得011991992001114114()().()()4443343S，综上，2005443S8.解析：两边同时除以 a 得1ln4bxabxe xaa，令 t=x+a,原不等式等价于：14lnbttaet，设1()lng ttet，4bk tta，对()g t求导并画出函数图像，永州市 2023 年高考第三次适应性考试参考答案及评分标准数学第 2页（共 13页）当直线 k t与曲线()g t相切时，解得2eba，选 D11.解析：A 选项，因为3AFFB ，所以,A F B三点共线，即直线l经过抛物线焦点.当直线l的斜率为

33、0 时，此时，直线 l 与 C 只有 1 个交点，不合题意，故设直线:2pl xmy，与22ypx联立得：2220ypmyp，故21212,2yypm y yp，因为3AFFB ，所以123yy，代入21212,2yypm y yp 中，得到2222,3ypmyp ，即213m，因为点 A 在第一象限，所以10y，故20y，即0pm，0m，解得：33m 故直线 l 的斜率为13m，设直线 l 的倾斜角为0，则tan3，解得：3，A 正确；B 选项，当直线 l 不经过焦点p,02F时，设mAF，nBF，由三角形三边关系可知：ABBFAF，由抛物线定义可知：ABMNBFAF2，即2ABMN，B 不

34、正确；C 选项，由题意得：,02pF，准线方程为2px ，当直线l的斜率为 0 时，此时，直线 l 与 C 只有 1 个交点，不合题意，故设直线:2pl xmy，与22ypx联立得：2220ypmyp，故21212,2yypm y yp，则221212244y ypx xp，所以221212124Opx xy yA OBp ，解得：4p，C 正确；D 选项，设,AFm BFn，过点A作AQ准线于点Q，过点B作BP准线于点 P，因为以 AB 为直径的圆 M 经过焦点 F，所以AFBF，永州市 2023 年高考第三次适应性考试参考答案及评分标准数学第 3页（共 13页）则22ABmn，由抛物线定义

35、可知：222AQBPAFBFmnMN，由基本不等式得：222mnmn，则2222222mnmnmnmn，当且仅当mn时，等号成立，故222mnmn，即2222222ABmnmnmnMNmn，D 正确；故选：ACD12.解析：由题设()2|sin()|2|sin()|2|sin()|2|cos()|3633f xxxxx，所以22()4(1|sin(2)|)4(1|cos(2)|)36fxxx，故()2 1|cos(2)|6f xx，A 选项由cos2yx的最小正周期为，知|cos2|yx的最小正周期为2，同理2 1 cos(2)6yx的最小正周期为，则()f x的最小正周期为2，A 不正确；对

36、于()f x，令262kx，则对称轴方程为412kx且Zk，B 正确；由()0g x 可转化为()f x与2by 交点横坐标，而250,12x上()f x图象如下：函数有奇数个零点，由图知：6312b，此时共有 9 个零点，1226xx、235212xx、34223xx、4511212xx、永州市 2023 年高考第三次适应性考试参考答案及评分标准数学第 4页（共 13页）56726xx、6717212xx、78523xx、8923212xx、22413xxxx,24635xxxx,26857xxxx，22122212nxxxxn-nnn，所以 C 正确.对任意x有()2,2 2f x，a R

37、，215,012a a 且12aa满足12()()()kf af xf x5 9 2,24且1,2k，而5,012x 的()f x图象如下：所以(4,2 62(31),4 2)2()kf a，4294 12()()()kf af xf x即 21 2210kf xf x f ak，D 错误；故选：BC16.解析：设11CDC DOI，连接1B D，AO，且11B DAOO，所以1B D平面1ACD，设正方体的棱长为 1，则可知11BACD为棱长为2的正四面体，所以1O为等边三角形1ACD的中心，由题可得36222AO，得12633AOAO，所以11BO 2 33，又1B P与平面1ACD所成角

38、为3，则111tan33BOO P，可求得123O P，即P在以1O为圆心，半径23r 的圆上，且圆在平面1ACD内，由1B D平面1ACD，又1B D 平面11ABC D，平面11ABC D 平面1ACD，且两个平永州市 2023 年高考第三次适应性考试参考答案及评分标准数学第 5页（共 13页）面的交线为 AO，把两个平面抽象出来，如图：作PMAO于M点，过点M作MNAD交 AD 于 N 点，连接PN，Q平面11ABC D 平面1ACD，PM 平面1ACD，平面11ABC D平面1ACDAO，PM平面11ABC D，AD 平面11ABC D，PMAD，又MNAD，MN 与 PM 为平面 P

39、MN 中两相交直线，故AD 平面 PMN，PN 平面 PMN，ADPN，PNM为二面角1PADB的平面角，即为角，设AMx，当 M 与点1O不重合时，在1Rt PMO中，可得222262 62()()3339PMxxx，若 M 与点1O重合时，即当63x 时，可求得123PMPO，也符合上式，故22 6239PMxx，MNAD，ODAD，/MNOD，MNAMODAO232362xODAMMNxAO222 622 12 6139tan3169333xxPMMNxxx解得：13 62x，69x 再取1B D的中点F，连接PF,在 Rt 三角形 PFM 和 Rt 三角形1FMO中利用勾股定理得196

40、PF 所以 PQ 的最大值为193 36PQ永州市 2023 年高考第三次适应性考试参考答案及评分标准数学第 6页（共 13页）四、解答题17（本题满分 10 分）解：（1）证明：由题意得1nnnTaT2n，1分因为nnTa411，所以，nnnTTT4112n2分即41nnTT2n，3分所以41nnTT2n当1n时，11Ta，所以11411TT，解得51T，4分故 nT是以 5 为首项，4 为公差的等差数列5分（2）由（1）可知，14415nnTn，6分所以1681nnnnTTnb5414681nnnn5411411nnn8分5811811813811711311319191512nnnnSn

41、58151n25408nn10分18（本题满分 12 分）解：（1）由正弦定理得：BAACACsinsinsinsin3cossin1分在三角形中，CABCAAACACsinsinsinsin3cossin2分CACAAACACsincoscossinsinsinsin3cossin3分永州市 2023 年高考第三次适应性考试参考答案及评分标准数学第 7页（共 13页）1CcosC3sin216Csin4 分0CQ，5 分366CC6 分（2）2BMMAuuuruuu rQ12AMBM，由余弦定理得Ccos2222abbac则 abba2297 分又7CM Q由于CBCACM3132CBCAC

42、BCACM949194222则 abba2463228 分7=即abba abba24777222203222baba亦即02baba则ba 或2ba 9分当ba 时，代入得33ba，周长9cbaL10分当2ba 时，代入得323ba，11分周长333cbaL12分19（本题满分 12 分）解：（1）连接AC交BD于点 O,连接OM四边形ABCD为菱形ACBD 1分M为11CA中点1OM/BB2分四边形11BBDD为正方形OMBDBBBD，13分永州市 2023 年高考第三次适应性考试参考答案及评分标准数学第 8页（共 13页）OOMACBD平面11AACC4分CM平面11AACCCMBD 5

43、分（2）以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，过O且垂直于平面ABCD的直线为z轴，得3,0,02A，10,02D6分13AB，1C11 DBA，由（1）知，BD平面11AACC11DB平面11AACC，CMDB11，11DCB是等边三角形32CM 7 分点 M 作 NH 垂直 OC 于点 H，在OMC中，1OM，32CMCO，可得 CM 边上的高为22，由等面积法可得 OC 边上的高63MH，由勾股定理可得33OH，8分故36,0,33M，1316,323D，3,02,0C10,02OD，13 16,323OD ，36,21,631CD9分设平面11B D D B的法向量为

44、,nx y z，则100n ODn OD，即1023160323yxyz，取1z，平面11BDD B的一个法向量为2,0,1n 10分设直线1CD与平面11BDD B所成角为，则66632sin231，2cos211分直线1CD与平面11BBDD所成角的余弦值2212分20（本题满分 12 分）解：（1）当=0 时，用分层抽样的方法抽取购买传统燃油车的 6 人中，男性有 2 人，女性有 4 人.1 分永州市 2023 年高考第三次适应性考试参考答案及评分标准数学第 9页（共 13页）由题意可知，X 的可能取值为 1，2，3.5136C34C02)3(,5336C24C12C)2(,51CCC)

45、1(361422CXPXPXP3分X 的分布列如下表X123P5153514分131()1232555E X 5分（2）（i）零假设为0H：性别与是否购买新能源汽车独立，即性别与是否购买新能源汽车无关联.当=0 时，302003.05.0B2070803,23,22,22,2，ABA，602,3A302003.05.040702007.05.03,33,32,3BAB，6 分3,323,33,32,322,32,33,223,23,22,222,22,22)()()()(BBABBABBABBAK524.92120030)3040(70)7060(30)3020(70)7080(22227 分

46、,879.7524.9005.0 x8分005.0根据小概率值的独立性检验，我们推断0H不成立，即认为性别与是否购买新能源汽车有关联，此推断犯错误的概率不超过 0.005.9 分（ii）30)3040(70)7060(30)3020(70)7080(22222mmmmK21)10(22m10分由题意可知，（706.221)1022 m11分整理得210)28.413m（，10mNm又，4m所以m的最大值为 4，又804=76，至少有 76 名男性购买新能源汽车12 分永州市 2023 年高考第三次适应性考试参考答案及评分标准数学第 10页（共 13页）21（本题满分 12 分）解：（1）证明：

47、如图所示，设),0(),(),2211tPyxByxA（.由yxAFPA1t,12,11得.1分又点A在椭圆C上，故14181222t 2分整理得048222t3分由,BFPB 同理可得048222t4分由于BA,不重合，即,因此0482,22txx是方程的两个根，所以4 为定值。5 分（2）直线l的方程为,12tyx即)2(2xty6分将)2(2xty代入14822yx得01644)22222txtxt（7分于是222122212164,24ttxxttxx，8分从而,2212121xxtxxtSSSQBPQAPQAB9分212212221224)()(xxxxtxxtSQAB2222422

48、6416)2(16ttttt22222)2(4132)2(12832tttt10分若点P不在椭圆C的内部，则4,22tt即，所以2QABS的最小值为92569832，11分故QAB面积的最小值为316.12分永州市 2023 年高考第三次适应性考试参考答案及评分标准数学第 11页（共 13页）22（本题满分 12 分）解：（1）由题意得：ln1cosxh xax eax，因为0 x 为函数 h x的极值点，所以，0ln0ha a，知：lnaa，sinxh xaxxe，cos1xhxaxx e，1分（i）当,0 x 时，由0a，1cos1x，11x，1xe，得 0fx，所以 h x在,0上单调递

49、减，00h xh，所以 h x在区间,0上不存在零点；2分（ii）当0,x时，设 cos1xxxx e，则 2sinxxx ex.若0,2x，令 2sinxm xx ex，则 3cos0 xm xxex，所以 m x在0,2上单调递减，因为 020m，221022me，3分所以存在0,2a，满足 0m a，当0,xa时，0m xx，x在0,a上单调递增；当,2xa时，0m xx，x在,2a上单调递减；4分若,22x，令 2xk xx e，,22x，则 30 xk xxe，所以 k x在区间,22上单调递减，5分所以 21222k xkee，又因为1sinsin 2sin2sin62x，所以 2

50、sin0 xxx ex，x在,22上单调递减；6分若2,x，则 2sin0 xxx ex，x在2,上单调递减.由（a）（b）（c）得，h x在0,a上单调递增，h x在,a单调递减，永州市 2023 年高考第三次适应性考试参考答案及评分标准数学第 12页（共 13页）因为 00a，11 0e ，所以存在,a使得 0，所以，当0,x时，0h xx，h x在0,上单调递增，00h xh，当,x 时，0h xx，h x在,上单调递减，因为 00hh，0h，所以 h x在区间,上有且只有一个零点.综上，h x在区间,上的零点个数为2个；7 分（2）因为2222222222s14i1n113xxxxxx