最大公约数与最小公倍数问题（春季培优讲义）2023年五年级下册思维训练（通用版）含答案.pdf

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1、2023年小学五年级数学下册思维通用版最大公约数与最小公倍数问题习题及答案知识点总结：知识点总结：1.1.几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数。其中最大的一个叫做这几个数的最大公约数。2.2.几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数。其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。3.3.求几个数的最大公约数和最小公倍数可以用短除法或分解质因数法。4.4.两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积【经典例题1】【经典例题1】把一个长 75 厘米、宽 30 厘米、高45厘米的长方体木块切成大小相等的小正方体木块而没有剩余小正方体木块的棱长最长是多少?可切成多少个小正方体木块?【思路分析】【思

2、路点拨】要把长方体切成相等的小正方体而没有剩余,小正方体的棱长必须是长方体长、宽和高的公约数,要使小正方体的棱长最大,棱长就取长、宽和高的最大公约数。【本题解答】小正方体的棱长最大是:(75,30,45)=15(厘米)(7515)(3015)(4515)=30(个)答:小正方体木块的棱长最长是15厘米,可切成 30 个小正方体木块。【扩展训练】1.1.美术老师要在一张长 12 分米、宽 84 厘米的纸上裁出同样大小的正方形手工纸若干张，且没有纸剩下,那么每张正方形手工纸的边长最大是多少厘米？一共能够裁出多少张这样的手工纸？2.2.有三根铁丝,长度分别是 80 厘米、120 厘米和 200 厘米

3、。现在要把它们截成相等的小段，每根都不能有剩余,每小段最长多少厘米？一共可以截成多少段？3.3.将长25分米、宽20分米、高15分米的长方体木料锯成完全一样的尽可能大的立方体,不能有剩余,每个立方体的体积是_立方分米,一共可锯块。【经典例题【经典例题2 2】用长为4厘米、宽为3厘米、高为 2厘米的长方体木块拼成一个实心正方体,至少需要个这样的长方体。A.4B.24C.48D.72【思路分析】把若干个长方体叠成一个正方体,它的棱长应是长方体长、宽、高的公倍数,现在要求长方体木块个数最少，它的棱长应是长方体长、宽、高的最小公倍数,求出正方体的棱长后,再根据正方体与长方体之间的关系就能求出长方体木块

4、的个数。【本题解答】正方体的棱长:4,3,2=12(厘米)(124)(123)(122)=72(个)答:至少需要72个这样的长方体,正确答案选 D。【扩展训练】1.1.一种长方形地砖,长 24 厘米,宽16 厘米。不得对地砖进行任何切割,用这种地砖铺一个正方形至少要多少块?2.2.用长5厘米、宽 4厘米、高3厘米的长方体木块叠成一个实心正方体,至少需要多少个这样的长方体木块？3.3.齿轮通过3个锯齿相互咬合传递运动。齿轮A有48个锯齿,齿轮B有56个。齿轮C有12个。若三个齿轮的锯齿再次回到最初咬合的位置，C齿轮最少需要转 圈。A.6B.7C.28D.56【经典例题【经典例题3 3】某地新建一

5、座大桥,在桥面两侧等距离安装照明灯,要求在A、B.C处及AC和 BC的中点都要有一盏灯,这样至少需要安装多少盏灯?【思路分析】在 A、B、C 处及 AC 和 BC 的中点都要有一盏灯,也就是把 512 2=256(米)、5762=288(米)平均分成若干段,并且使每段尽可能长,因此每段的长度就是256和288 的最大公约数。【本题解答】5122=256(米)5762=288(米)每两盏灯之间的距离最长的米数:(256,288)=32(米)两侧至少需要安装照明灯:(51232+57632+1)2=70(盏)答:至少需要安装 70 盏灯。【扩展训练】1.1.把 46 块水果糖和 38 块巧克力分别

6、平均分给一个组的同学,结果水果糖剩1块，巧克力剩3块,这个组最多有多少个同学?2.2.如下图,某公园有两段路AB=175米,BC=125米,在这两段路上安装路灯,要求 A、B、C三点各设一盏路灯,相邻两盏路灯间的距离都相等,则在这段路上至少要安装多少盏路灯?3.3.动物园的饲养员给猴子们运来 200 粒花生，110 根香蕉、42个苹果，平均发放完毕，还剩 20粒花生，2 根香蕉，6个苹果，一共有多少只猴子？【经典例题【经典例题4 4】叔叔养了 400 多只兔子。如果每 3 只免子关在一个笼子里,最后一个笼子里有 1 只;如果每 5 只兔子关在一个笼子里,最后一个笼子里有 3 只;如果每 7 只

7、兔子关在一个笼子里，最后一个笼子里有5只。李叔叔一共养了多少只兔子?【思路分析】根据题意可知，如果李叔叔再增加 2 只兔子,则“每 3 只兔子关在一个笼子里,每5只兔子关在一个笼子里,每7只兔子关在一个笼子里,都正好关完”,也就是说,只要把这些兔子再增加 2只,就正好是 3,5,7的公倍数,即兔子的总数比3,5,7的公倍数少 2,3,5,7=105,再根据兔子总数有400多只,可确定兔子总数是105的4倍少2。【本题解答】3,5,7=1051054-2=418(只)答:李叔叔一共养了 418 只兔子。【扩展训练】1.1.薇儿用一些长度相等的火柴棒摆图形,如果摆正五边形则会剩 4 根,如果摆正六

8、边形则会剩5根,那么薇儿至少有多少根火柴棒？2.2.六(2)班有 30多人,个子最高的小明发现,每天放学站队时,无论是2人、3人或者4人站成一排,他都只能自己单独站在边上,没有人与他站在同一排,那么六(2)班共有多少人?3.3.鸡兔同笼,共有足 250只,兔比鸡少53只,那么兔有多少只？【经典例题【经典例题5 5】甲、乙两个自然数,它们的最大公约数是 6,最小公倍数是 144。甲是 48,那么乙是多少？【思路分析】根据两个数的最大公约数与最小公倍数的关系:(甲,乙)甲,乙=甲乙,可以求出乙数。【本题解答】144x6-48=18答:乙数是 18。【扩展训练】1.1.甲数是36,甲、乙两数最大公约

9、数是4,最小公倍数是 252,那么乙数是多少？2.2.a=2 3 m，b=3 5 m(m 是自然数，且 m 0)，如果 a、b 的最大公约数是21,则m是多少？a和b的最小公倍数是多少？3.3.不成倍数的两个自然数a和b。已知(a,b)=6,a,b=72,那么a+b=_。答 案【经典例题1】1.1.12 70【解析】12分米=120厘米，正方形的边长最大是(120,84)=12(厘米),一共能裁出(12012)(8412)=79(张)这样的手工纸。2.2.2.40 10【解析】要乘每小段最长多少厘来。也就是求 80 厘米、120 厘米和200 厘米的最大公约数，每小段最长为(80.120、20

10、0)=40(厘来)，一共可以截成:8040+12040+20040=10(段)3.3.12560【解析】小正方体的棱长最大为(25,20,15)=5(分米),每个立方体的体积555=125(立方分米)，一共可锯(255)(205)(155)=60(块)。【经典例题2】1.1.6块【解析】铺成正方形的边长至少:24,16=48(厘米),长方形地砖至少要(4824)(4816)=6(块)。2.2.3600【解析】正方体的棱长:3,4,5=345=60(厘米),至少需要长方体的个数:(605)(604)(603)=3600(个)。3.3.C【解析】要使 A、B、C 三个齿轮的锯齿再次回到最初咬合的位

11、置,三个齿轮同时转过的锯齿至少为:48,56，12=336(个),则C齿轮最少需要转 33612=28(圈)。【经典例题3】1.1.5个【解析】水果糖实际分掉:46-1=45(块),巧克力实际分掉:38-3=35(块),同学的人数应该是 45 和 35 的公约数,又要求同学最多有几人,所以同学人数就是45和35的最大公约数,(45,35)=5,所以这个组最多有5个同学。2.2.13 盏【解析】每两盏路灯之间的距离最长的米数:(175,125)=25(米),在这段路上至少要安装路灯:17525+12525+1=13(盏)。3.3.36【解析】花生发了:200-20=180(粒),香蕉发了:110

12、-2=108(根),苹果发了:42-6=36(个),猴子的数量应该是 180,108,36 的公约数,(180,108,36)=36,公约数都是最大公约数 36 的约数,而 36 的约数中大于 20 的只有 36 本身,所以猴子数量只能是 36。【经典例题4】1.1.29【解析】由“薇儿用火柴棒摆图形,摆正五边形会剩 4 根,摆正六边形会剩 5根”可知,火柴棒的根数是5和6的公倍数少1,5,6=30,30-1=29(根),所以薇儿至少有 29 根火柴棒。2.2.37人【解析】由“无论是2人、3人或者4人站成一排，小明都只能自己单独站在边上”可知,六(2)班的人数是2,3,4的公倍数还多1,2,

13、3,4=12,由六(2)班有30多人可知,六(2)班有123+1=37(人)。3.3.1【解析】参加考试的学生总人数应是 2、3 和 7 的公倍数 2,3,7=42.由参加考试的学生不满50人，可确定参加考试的学生是42人。优:427=6(人)良:423=14(人)中:422=21(人)差:42-6-14-21=1(人)【经典例题5】1.1.28【解析】根据两个数的最大公约数与最小公倍数的关系:(甲,乙)甲,乙=甲乙,则乙数是252436=28。2.2.7 210【解析】a=23m,b=3m5,(a,b)=3m=21,所以m=7。a,b=3725=210。3.3.42【解析】根据两个自然数a和b,(a,b)=6,不妨设6aba1b1(a1与b1互质)那么,a,b=6 a1 b1=72,因此a1 b1=12。由于a与b是不成倍数的两个自然数,则a1与b1也不成倍数关系,所以a1 b1分别是3和4,则a+b=6 a1+6b1=63+64=42