体积的等积变形-2023年六年级数学思维拓展（通用版）含答案.pdf

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1、体积的等积变形体积的等积变形一填空题(共24小题)一填空题(共24小题)1.1.如果一个长方体的长增加20%，宽增加10%，高减少10%，则它的体积增加了%。2.2.如图，将一个小正方体放入一个大正方体内，小正方体的体积为 5 立方厘米，大正方体棱长是小正方体棱长的4倍，则两个正方体之间空白部分的体积为立方厘米。3.3.一个酒精瓶，它的瓶身呈圆柱形(不包括瓶颈)，如图所示它的容积为 26.4立方厘米当瓶子正放时，瓶内的酒精的液面高为6厘米，瓶子倒放时，空余部分的高为2厘米，则瓶内酒精体积是立方厘米4.4.一个棱长为30cm的正方体铁块，在8个角上各切下一个棱长为10cm的小正方体，如图所示，将

2、其投入底面积为2500cm2，高为50cm的圆柱形容器内已知原来容器内水面高度为 20cm，那么，放入铁块后水面高度变为cm5.5.如图，一个底面直径是10厘米的圆柱形容器装满水先将一个底面直径是 8厘米的圆锥形铁块放入容器中，铁块全部浸入水中，再将铁块取出，这时水面的高度下降了 3.2 厘米圆锥形铁块的高厘米体积的等积变形-2023年六年级数学思维拓展（通用版）6.6.用底面内半径和高分别是12cm，20cm的空心圆锥和空心圆柱各一个组成如图所示竖放的容器，在这个容器内注入一些细沙，能填满圆锥，还能填部分圆柱，经测量，圆柱部分的沙子高 5cm，若将这个容器倒立，则沙子的高度是cm7.7.一个

3、长方形形状的玻璃缸，不计玻璃的厚度，量得长 54 厘米，宽 24 厘米，高 20 厘米，缸内水深 12 厘米，将一块正方体形状的石块放入玻璃缸中，水面升高至16厘米，则石块的体积是立方厘米8.8.在一个游泳池中有一条船，船上载着小明、小华和一些石头当小明和小华把船舱内的石头投入游泳池以后，小明认为游泳池的水位应该上升；小华认为游泳池的水位应该下降说法正确的是9.9.有一个足够深的水槽，底面的长为16厘米、宽为12厘米的长方形，原本在水槽里盛有6厘米深的水和6厘米深的油(油在水的上方)如果在水槽中放入一个长、宽、高分别为 8厘米、8厘米、12厘米的铁块，那么油层的层高是厘米10.10.一个底面内

4、半径为 6 厘米的圆柱形容器中盛有水，水面高 4.8 厘米，在其中放入一个长和宽分别为 4厘米和3厘米的长方体铁块后，长方体的上表面刚好露出水面，那么长方体的高是厘米11.11.一个正方体的棱长是12，一个长方体的长是18，宽是8，长方体的体积和正方体的体积相等，长方体的表面积比正方体的表面积多12.12.把一个体积为 512 立方厘米的正方体橡皮泥改做成棱长为整厘米数的一个长方体，表面积最多能增加平方厘米13.13.如图，正方体的棱长为 6cm，连接正方体其中六条棱的中点形成一个正六边形，而连接其中三个顶点形成一个三角形正方体夹在六边形与三角形之间的立体图形有个面，它的体积是cm314.14

5、.图 a 是一个密封水瓶的切面图，上半部为圆锥状，下半部为圆柱状，底面直径都是 10 厘米，水瓶高度是 26 厘米，瓶中液面的高度为 12 厘米将水瓶倒置后，如图 2 b，瓶中液面的高度是 16 厘米，则图 b中，水瓶中圆锥部分的高度为厘米15.15.如图，底面积为50平方厘米的圆柱形容器中装有水，水面上漂浮着一块棱长为 5厘米的正方体木块，木块浮出水面的高度是2厘米若将木块从容器中取出，水面将下降厘米16.16.一位拉面师傅，拉出的面条很细很细他每次做拉面的步骤是这样的：先将一个面团搓成长 1.6米的圆柱形面棍，然后对折拉长到1.6米，再对折拉长到1.6米，又再对折拉长到1.6米，如此继续进

6、行下去最后拉出的面条的粗细(直径)只有原先面棍的164，这位拉面师傅拉出的这些细面条的长度总和有米(假设拉面过程中，面条始终保持为粗细均匀的圆柱形，而且没有任何浪费)17.17.一个盖有瓶盖的玻璃瓶里面装着一些水(如图所示，玻璃的厚度忽略不计)，请你根据图中标明的数据，计算瓶子的容积是立方厘米。18.18.如图，瓶子高度为 25 厘米，下部成直圆筒形。内装 8 两油，油面高 14 厘米；若将其倒立，则油面高 18厘米。这个瓶子可装油两。19.19.圆柱形容器中装有一些水，容器底面半径 5 厘米，容器高 20 厘米，水深 10 厘米，现将一根底面半径 1厘米，高15厘米的圆柱形铁棒放入容器，使铁

7、棒底面与容器底面接触，这时水深厘米20.20.把一个钢球放入装满水的圆柱形桶里，结果溢出水 3.14 升如果将钢球铸成底面直径为 2分米的圆柱体，它的高是分米21.21.如图，有两个长方体水箱中装有水甲水箱长40厘米，宽32厘米，水面高20厘米；乙水箱长30厘米，宽 24 厘米，水面高 10 厘米现将甲水箱中的部分水倒入乙水箱，使两箱水面高度一样，则此时水面高厘米(水箱厚度不计22.22.在一个长 20 分米，宽 15 分米的长方体容器中，有 20 分米深的水现在在水中沉入一个棱长 30 厘米的正方体铁块，这时容器中水深分米23.23.已知如图中，A面和B面的面积分别是24平方米、16平方米，

8、h为0.5米，现在要把A地的土往B地运，使A、B两地同样高，这样B地可升高米24.24.往容器里倒啤酒时，啤酒会分成液体部分和泡沫部分过一会儿后泡沫会变成液体的啤酒，这时，体积会缩小到13(也就是说泡沫的体积是相应液体时的3倍)另外，因倒入方法的不同而使液体与泡沫的比例不同即使是往相同的容器里倒入的啤酒量，也会因倒入的方法不同而不同如图，往深度为30 厘米的圆柱形的容器里倒入 500 毫升的啤酒，从容器的底部到以上 15 厘米高处的部分是液体，再往上一直到容器的顶端儿，全都是泡沫(第一次)然后，往相同的容器里倒入700毫升的啤酒，从容器的底部到以上 x 高处的部分是液体，再往上一直到容器的顶端

9、儿，全都是泡沫(第二次)x 的值是二解答题二解答题(共共3434小题小题)25.25.一个棱长为 6 的正方体被切割成若干个棱长为整数的小正方体，若这些小正方体的表面积之和是切割前的大正方体的表面积的103倍，求切割成小正方体中，棱长为1的小正方体的个数？26.26.一个长方体盒子，从里面量长是40厘米，宽是12厘米，高是7厘米在这个盒子里放入一块长为5厘米，宽为4厘米，高为3厘米的小长方体木块，最多可以放多少块？27.27.设半径为10厘米的球中有一个棱长为整数(厘米)的正方体，则该正方体的棱长最大等于多少？28.28.一个长40、宽25、高50的无盖长方体容器(厚度忽略不计)盛有水，深度为

10、a，其中0203，所以将容器倒立，沙子不能填满圆柱，则圆柱内沙子的高度应该是5+203，据此即可得解【解答】解：据分析可知，沙子的高度为：5+203=1123(厘米)；答：沙子的高度为1123厘米故答案为：1123【点评】解答此题的主要依据是：圆柱的体积是与其等底等高的圆锥体积的3倍7.7.一个长方形形状的玻璃缸，不计玻璃的厚度，量得长 54 厘米，宽 24 厘米，高 20 厘米，缸内水深 12 厘米，将一块正方体形状的石块放入玻璃缸中，水面升高至 16 厘米，则石块的体积是5832立方厘米【分析】根据题意，把一块石头浸入水中后，水面升到 16厘米，首先求出水面上升的高度，16厘米-12厘米=

11、4厘米，石头的体积等于玻璃缸内高为4厘米的水的体积，但考虑到石块可能会露出水面，所以假设块棱长是16厘米，则体积为：161616=4096(立方厘米)比5184小，所以石块有部分露出水面，所以要先求出石块的底面积，进而求出体积，由此解答【解答】解：5424(16-12)=12964，=5184(立方厘米)；若石块棱长是16厘米，则体积为：161616=4096(立方厘米)比5184小，所以石块有部分露出水面石块的底面积是：518416=324(平方厘米)，324=1818，所以石块的棱长是18厘米石块的体积是：181818=5832(立方厘米)答：石块的体积是5832立方厘米故答案为：5832

12、【点评】此题属于不规则物体的体积计算，用排水法来解决这类物体，注意，要判断石块是否完全浸没在水中，再根据长方体的体积计算方法解答8.8.在一个游泳池中有一条船，船上载着小明、小华和一些石头当小明和小华把船舱内的石头投入游泳池以后，小明认为游泳池的水位应该上升；小华认为游泳池的水位应该下降说法正确的是小华【分析】石头在水中时排开水的体积，而石头在船上时排开水的重量等于石头的重量，显然，与石头重量相等的水的体积大于石头的体积，所以游泳池的水位应该下降问题得以解决【解答】解：石头在水中时排开水的体积，而石头在船上时排开水的重量等于石头的重量，显然，与石头重量相等的水的体积大于石头的体积，所以游泳池的

13、水位应该下降，正确的是小华故答案为：小华【点评】本题主要是考察了同等质量相同的水和石头的体积的大小关系9.9.有一个足够深的水槽，底面的长为16厘米、宽为12厘米的长方形，原本在水槽里盛有6厘米深的水和6厘米深的油(油在水的上方)如果在水槽中放入一个长、宽、高分别为 8厘米、8厘米、12厘米的铁块，那么油层的层高是7厘米【分析】按题意，放进铁块后，水面高度肯定小于铁块高度，而油面可能漫过铁块，故可以先求的水面的高，再利用体积变形求得油层的高【解答】解：根据分析，水高=16126(1612-88)=9(厘米)，设油层高为x厘米，故：油层的体积V=16126=(12-9)(1612-88)+(x-

14、3)1612，解得：x=7即：油层的层高是7厘米故答案是：7【点评】本题考查了体积的等积变形，本题突破点是：先求出水高，再求油层高10.10.一个底面内半径为 6 厘米的圆柱形容器中盛有水，水面高 4.8 厘米，在其中放入一个长和宽分别为 4厘米和3厘米的长方体铁块后，长方体的上表面刚好露出水面，那么长方体的高是5.4厘米【分析】先根据圆柱的体积计算公式：V=r2h，求出水的体积，然后设圆柱体容器的高是h厘米，根据圆柱的体积计算公式，求出圆柱体体积，有题意可知：长方体铁块的高即圆柱容器的高，则长方体铁块的高也是h厘米，进而根据长方体体积计算公式，求出长方体铁块的体积，进而根据：水体积+长方体体

15、积=圆柱体体积，列出方程，解答即可【解答】解：设圆柱体容器的高是h厘米，则：624.8+43h=62h3364.8=(336-12)h96h=518.4h=5.4答：长方体的高是5.4厘米故答案为：5.4【点评】明确长方体铁块的高即圆柱容器的高，是解答此题的关键11.11.一个正方体的棱长是12，一个长方体的长是18，宽是8，长方体的体积和正方体的体积相等，长方体的表面积比正方体的表面积多48【分析】首先根据正方体的体积公式：v=a3，求出正方体的体积，再根据长方体的体积公式：v=abh，用体积除以长除以宽求出高，由正方体的表面积公式：s=6a2，长方体的表面积公式：s=(ab+ah+bh)2

16、，把数据分别代入公式求出它们的表面积差即可【解答】解：长方体的高：121212(188)=1728144=12，(188+1812+812)2-12126=(144+216+96)2-1446=4562-864=912-864=48故答案为：48【点评】此题主要考查长方体、正方体的体积公式、表面积公式的灵活运用12.12.把一个体积为 512 立方厘米的正方体橡皮泥改做成棱长为整厘米数的一个长方体，表面积最多能增加1666平方厘米【分析】把正方体的橡皮泥捏成长方体，只是形状变了，但体积不变，首先根据正方体的体积公式：v=a3，求出正方体的棱长，进而求出正方体的表面积，改成棱长为整厘米数的一个长

17、方体，要使表面积最大，则改成底面边长为 1厘米，高为512厘米长方体根据长方体的表面积公式求出这个长方体的表面积，然后与正方体的表面积进行比较即可【解答】解：因为512=888，所以正方体的棱长是8厘米，正方体的表面积：886=384(平方厘米)；把这个正方体改捏成底面边长1厘米，高为512厘米长方体，长方体的表面积：112+15124=2+2048=2050(平方厘米)；2050-384=1666(平方厘米)；答：表面积最多能增加1666平方厘米故答案为：1666【点评】此题主要考查长方体、正方体的表面积公式、体积公式的灵活运用13.13.如图，正方体的棱长为 6cm，连接正方体其中六条棱的

18、中点形成一个正六边形，而连接其中三个顶点形成一个三角形正方体夹在六边形与三角形之间的立体图形有8个面，它的体积是72cm3【分析】通过画图分析，结合题意，得出立体图形有 8 个面；它的体积等于正方体体积的一半减去三棱锥的体积；正方体的体积=棱长3，三棱锥的体积=13sh，三棱锥的底面正好是正方形面积的一半，高即正方体的高，代入数值，计算即可得出结论【解答】解：12(666)-13(662)6，=108-36，=72(立方厘米)；答：正方体夹在六边形与三角形之间的立体图形有8个面，它的体积是72cm3故答案为：8，72【点评】此题做题的关键是要弄清要求得立体图形是个什么形状，要认真分析，进而根据

19、正方体和三棱锥的体积计算方法，进行计算即可14.14.图 a 是一个密封水瓶的切面图，上半部为圆锥状，下半部为圆柱状，底面直径都是 10 厘米，水瓶高度是 26 厘米，瓶中液面的高度为 12 厘米将水瓶倒置后，如图 2 b，瓶中液面的高度是 16 厘米，则图 b中，水瓶中圆锥部分的高度为6 厘米【分析】两个瓶中空气部分的体积不变，所以左图中空气部分的体积就等于右图中高为26-16=10(厘米)空气柱的体积，所以瓶的容积是：(10 2)2(12+10)=550(立方厘米)；如果把瓶看作高为26厘米的圆柱的话，体积比原来多：(102)226-550=100(立方厘米)；这部分多的体积相当于水瓶中圆

20、锥部分的体积的2倍，所以根据圆锥的体积计算公式可求出高【解答】解：26-16=10(厘米)，(102)2(12+10)=550(立方厘米)，(102)226-550=100(立方厘米)，100213(102)2=6(厘米)；答：水瓶中圆锥部分的高度为6厘米故答案为：6【点评】本题考查了复杂的体积的等积变形问题，关键是把不规则的左图中空气部分的体积转化为右图中规则的空气柱的体积15.15.如图，底面积为50平方厘米的圆柱形容器中装有水，水面上漂浮着一块棱长为 5厘米的正方体木块，木块浮出水面的高度是2厘米若将木块从容器中取出，水面将下降1.5厘米【分析】由题意知，将木块拿出水面，那么水的体积就减

21、少了原来浸在水中的木块部分的体积，可以根据长方体的体积公式计算得出减少的体积，用减少的体积除以容器的底面积就可求得水面下降的高度【解答】解：55(5-2)50，=25350，=7550，=1.5(厘米)，答：水面将下降1.5厘米故答案为：1.5【点评】此题是利用长方体的体积公式与圆柱的体积公式的综合应用，抓住浸入水中部分的木块的体积，就是拿出木块后水减少的体积16.16.一位拉面师傅，拉出的面条很细很细他每次做拉面的步骤是这样的：先将一个面团搓成长 1.6米的圆柱形面棍，然后对折拉长到1.6米，再对折拉长到1.6米，又再对折拉长到1.6米，如此继续进行下去最后拉出的面条的粗细(直径)只有原先面

22、棍的164，这位拉面师傅拉出的这些细面条的长度总和有6553.6米(假设拉面过程中，面条始终保持为粗细均匀的圆柱形，而且没有任何浪费)【分析】第一次对折后长度为 1.62米，第二次对折后长度为 1.622米，第三次对折后长度为 1.623米，第四次对折后长度为1.624米，第n次对折后长度为1.62n米，设面条原来的半径为r，最后拉出的面棍粗细仅有原来面棍的164，则此时面条的直径是r64，由于虽然面条的长度发生了变化，但是体积没有发生变化，设最后的长度为x，根据圆柱的体积公式可得方程：1.6r2=xr642【解答】解：设面条原来的半径为r，最后的长度为x，可得方程：1.6r2=xr642，1

23、.6r2=r24096x，x4096=1.6x=6553.6答：最后面条师傅拉出的这些面条的总长度有6553.6米故答案为：6553.6【点评】明确这一过程中，拉面的体积没有变，并由此列出方程进行分析是完成本题的关键17.17.一个盖有瓶盖的玻璃瓶里面装着一些水(如图所示，玻璃的厚度忽略不计)，请你根据图中标明的数据，计算瓶子的容积是80立方厘米。【分析】由已知我们可以知道，一个盖着瓶盖的瓶子里面装着一些水，两种放法的水的体积是相等的，那么用第一个图的水的体积加上第二图空的体积就是瓶子的容积；然后根据圆柱的体积公式解答即可。【解答】解：10(10-7+5)=108=80(立方厘米)答：瓶子的容

24、积是80立方厘米。故答案为：80。【点评】此题关键要通过已知明确两种放法的水的体积是相等的，可得到瓶子的容积等于第一个图水的体积加上第二个图空的部分的体积。18.18.如图，瓶子高度为 25 厘米，下部成直圆筒形。内装 8 两油，油面高 14 厘米；若将其倒立，则油面高 18厘米。这个瓶子可装油12两。【分析】正着放的空瓶部分的体积=倒着放的空瓶部分的体积=瓶的容积-已装油的体积，所以正着放的空瓶部分的体积相当于底面与瓶子底面相等，高为25-18=7厘米高的圆柱的体积，整个瓶子的体积就转化为高为7+14=21厘米的圆柱的体积。【解答】解：(814)(7+14)=12(两)答：这个瓶子可装油12

25、两。故答案为：12。【点评】本题解答的难点和关键是把不规则的空隙部分的体积转化为规则的圆柱的体积，运用等积变形解答。19.19.圆柱形容器中装有一些水，容器底面半径 5 厘米，容器高 20 厘米，水深 10 厘米，现将一根底面半径 1厘米，高15厘米的圆柱形铁棒放入容器，使铁棒底面与容器底面接触，这时水深10.42厘米【分析】放入铁棒前后的水的体积不变，根据水深10厘米，可以先求得水的体积，那么放入铁块后，容器的底面积变小了，由此可以求得此时水的深度【解答】解：3.145210(3.1452-3.1412)，=3.142510(3.1425-3.141)，=78.510(78.5-3.14)，

26、=78575.36，10.42(厘米)，答：这时水深10.42厘米故答案为：10.42【点评】抓住前后水的体积不变，原来底面积减少了铁棒的底面积部分，利用圆柱的体积公式即可求得底面积减少后的水深，由此即可解决问题20.20.把一个钢球放入装满水的圆柱形桶里，结果溢出水 3.14 升如果将钢球铸成底面直径为 2分米的圆柱体，它的高是1分米【分析】溢出水的体积等于钢球体积，将钢球铸成圆柱体，圆柱体积等于钢球体积，用体积除以底面积即得圆柱的高【解答】解：铸成圆柱的底面半径：22=1(分米)，3.14升=3.14立方分米，3.14(3.1412)，=3.143.14，=1(分米)，答：圆柱的高是1分米

27、故答案为：1【点评】解答此题的关键是理解溢出水的体积就是钢球的体积，也是圆柱的体积，再用体积除以底面积就是圆柱的高，由此解决问题21.21.如图，有两个长方体水箱中装有水甲水箱长40厘米，宽32厘米，水面高20厘米；乙水箱长30厘米，宽 24 厘米，水面高 10 厘米现将甲水箱中的部分水倒入乙水箱，使两箱水面高度一样，则此时水面高16.4厘米(水箱厚度不计【分析】由甲水箱长40厘米，宽32厘米，可求出甲水箱的底面积，由乙水箱长30厘米，宽24厘米，可求出乙水箱的底面积，进而求出甲、乙 两水箱的底面积的比；由甲水箱中水的高度可求出甲水箱中水的体积，由乙水箱中水的高度，可求出乙水箱中水的体积，进而

28、求出两个水箱中水的总体积，把水的体积按比例分配，即可求出每个水箱中水的体积，然后再用水的体积除以水箱的底面积即可再求出水面的高度【解答】解：(4032)：(3024)=1280：720=16：9，403220+302410=25600+7200=32800(立方厘米)328001616+9=328001625=20992(立方厘米)20992(4032)=209921280=16.4(厘米)；或328001616+9=32800925=11808(立方厘米)11808(3024)=11808720=16.4(厘米)；故答案为：16.4【点评】将甲水箱中的部分水倒入乙水箱，使两箱水面高度一样，关

29、键是求每个水箱中水的体积，而要求每个水箱中放入水的体积，必须求出水的总体体，再求出两个水箱底面积的比，根据按比例分配即可求出每个水箱放入的水的体积，进而求出水面的高度22.22.在一个长 20 分米，宽 15 分米的长方体容器中，有 20 分米深的水现在在水中沉入一个棱长 30 厘米的正方体铁块，这时容器中水深20.09分米【分析】要求这时容器中水深多少分米，由题意可知，先根据“正方体的体积=棱长3”，求出正方体铁块的体积，即333=27立方分米，放入容器中，体积增加27立方分米；根据“长方体的底面积=长宽”求出容器的底面积，进而根据“长方体的高=体积底面积”求出上升水的高度，然后加上水原来的

30、深度即可【解答】解：30厘米=3分米，(333)(2015)+20，=27300+20，=20.09(分米)；答：这时容器中水深20.09分米；故答案为：20.09【点评】解答此题的关键是先抓住不变量，即铁块的体积不变，根据长方体的体积、底面积和高的关系，求出水上升的高度，进而得出结论23.23.已知如图中，A面和B面的面积分别是24平方米、16平方米，h为0.5米，现在要把A地的土往B地运，使A、B两地同样高，这样B地可升高0.3米【分析】首先根据长方体的体积=底面积高，求出底面积是24平方米，高是0.5米的长方体的体积是多少；然后用底面积是24平方米，高是0.5米的长方体的体积除以A面和B

31、面的面积的面积和，求出B地可升高多少米即可【解答】解：240.5(24+16)=1240=0.3(米)答：B地可升高0.3米故答案为：0.3【点评】此题主要考查了等积变形问题的应用，解答此题的关键是求出底面积是24平方米，高是0.5米的长方体的体积是多少24.24.往容器里倒啤酒时，啤酒会分成液体部分和泡沫部分过一会儿后泡沫会变成液体的啤酒，这时，体积会缩小到13(也就是说泡沫的体积是相应液体时的3倍)另外，因倒入方法的不同而使液体与泡沫的比例不同即使是往相同的容器里倒入的啤酒量，也会因倒入的方法不同而不同如图，往深度为30 厘米的圆柱形的容器里倒入 500 毫升的啤酒，从容器的底部到以上 1

32、5 厘米高处的部分是液体，再往上一直到容器的顶端儿，全都是泡沫(第一次)然后，往相同的容器里倒入700毫升的啤酒，从容器的底部到以上 x 高处的部分是液体，再往上一直到容器的顶端儿，全都是泡沫(第二次)x 的值是27厘米【分析】第一次泡沫全部变成液体时，高度为 15+15 3=20 厘米，因此高度是 1 厘米的液体是 25 毫升；第二次泡沫全部变成液体时，高度为70025=28厘米，高度是1厘米的液体成为泡沫时变为3厘米，高度增加2厘米，有(30-28)2=1厘米，即由泡沫变成的液体有1厘米，因此求出原有的液体【解答】解：15+153=20(厘米)，50020=25(毫升)，70025=28(

33、厘米)，28-(30-28)2=27(厘米)，故答案为：27厘米【点评】关键是根据题意求出两次由泡沫变为液体时液体的高度二解答题(共3434小题)25.25.一个棱长为 6 的正方体被切割成若干个棱长为整数的小正方体，若这些小正方体的表面积之和是切割前的大正方体的表面积的103倍，求切割成小正方体中，棱长为1的小正方体的个数？【分析】根据题意，可以切割成棱长为15的小正方体大正方体表面积：666=216，体积是：666=216，切割后小正方体表面积总和是：216103=720，假设棱长为5的小正方体有1个，那么剩下的小正方体的棱长只能是1，个数是：(63-53)13=91(个)，这时表面积总和

34、是：526+12691=696720，所以不可能有棱长为5的小正方体然后，分棱长为4、3、2、1的小正方体分类讨论，列方程组解答即可【解答】解：大正方体表面积：666=216，体积是：666=216，切割后小正方体表面积总和是：216103=720，假设棱长为5的小正方体有1个，那么剩下的小正方体的棱长只能是1，个数是：(63-53)13=91(个)，这时表面积总和是：526+12691=696720，所以不可能有棱长为5的小正方体(1)同理，棱长为4的小正方体最多为1个，此时，不可能有棱长为3的小正方体，剩下的只能是切割成棱长为2的小正方体或棱长为1的小正方体，设棱长为2的小正方体有a个，棱

35、长为1的小正方体有b个，则23a+13b+43=216226a+1264+426=720 解得：a=12b=56(2)棱长为3的小正方体要少于(63)(63)(63)=8个，设棱长为2的小正方体有a个，棱长为1的小正方体有b个，棱长为3的小正方体有c个，33c+23a+13b=216326c+226a+126b=720 化简：27c+8a+b=2169c+4a+b=120 由上式可得：b=9c+24，a=120-9c-b4，当c=0时，b24=，a=24，当c=1时，b=33，a=19.5，(不合题意舍去)当c=2时，b=42，a=15，当c=3时，b=51，a=10.5，(不合题意舍去)当c

36、=4时，b=60，a=6，当c=5时，b=69，a=28.5，(不合题意舍去)当c=6时，b=78，a=-3，(不合题意舍去)当c=7时，a=负数，(不合题意舍去)所以，棱长为1的小正方体的个数只能是：56或24或42或60个答：棱长为1的小正方体的个数只能是：56或24或42或60个【点评】本题关键是根据表面积变化前后体积不变，确定小正方体的棱长的范围，然后分类讨论即可26.26.一个长方体盒子，从里面量长是40厘米，宽是12厘米，高是7厘米在这个盒子里放入一块长为5厘米，宽为4厘米，高为3厘米的小长方体木块，最多可以放多少块？【分析】根据长方体的高是 7 厘米，可以分上下两层来分析：上层高

37、 3 厘米，可放(40 5)(12 4)=24(块)；下层高 4 厘米，可放(40 5)(12 3)=32(块)据此加起来即可解答问题共 24+32=56(块)【解答】解：分上下两层来分析：上层高3厘米，可放(405)(124)=83=24(块)下层高4厘米，可放(405)(123)=84=32(块)24+32=56(块)答：最多可以放56块【点评】此题考查了借助长方体的体积公式解决实际问题的灵活应用，关键是把长方体分成上下两层，分别计算可以装下的小长方体的个数27.27.设半径为10厘米的球中有一个棱长为整数(厘米)的正方体，则该正方体的棱长最大等于多少？【分析】画出图形，见下图，球的内接正

38、方形ABCD-A1B1C1D1的顶点在球面上，它的(体)对角线AC1就是球的直径，即AC1=210=20(厘米)然后由图的对称性以及勾股定理解决问题【解答】解：球的内接正方形ABCD-A1B1C1D1的顶点在球面上，它的(体)对角线AC1就是球的直径，即AC1=210=20(厘米)由图的对称性，可知AA1C1=90，A1B1C1=90设正方形的棱长为a，即AA1=A1B1=B1C1=a，连续用勾股定理两次，得到：A1C21=2a2，AC21=AA21+A1C21+3a2，则3a2=202=400，a2=4003=13313显然，只要一个正方体的棱长a为整数，满足a2133，那么这个正方体一定可

39、以放入球中，因为112=121133144=122故所求的棱长为整数的正方体的最大棱长等于11厘米答：该正方体的棱长最大等于11厘米【点评】此题根据图形特点，运用了图的对称性以及勾股定理解决问题28.28.一个长40、宽25、高50的无盖长方体容器(厚度忽略不计)盛有水，深度为a，其中0a50，现将棱长为10的立方体铁块放在容器的底面，问放入铁块后水深是多少？【分析】此题要分情况进行讨论，若放入铁块时水溢出容器，此时先计算水恰好上升至至容器口时这种临界情况，根据容器的体积等于原来水的体积加上铁块的体积，列出等式计算此种情况下原来的水深，则当原水深介于此值到50之间时，放入铁块后水深为50厘米；

40、若原来容器中的水较，放入铁块后还未溢出，此时先计算水恰好与铁块同高这种临界情况，根据放入铁块前容器中水的体积加上铁块的体积等于容器的底面积乘以此时水面的高度，列出等式计算此情况下原来的水深，当原来的水深介于此值与第一种情况的临界值时，计算放入铁块后的水深；最后一种情况是当容器中的水非常少时，放入铁块后仍未淹没铁块，同理列出灯亮关系求解【解答】解：由题设，知水箱底面积S=4025=1000(cm2)，水箱体积V水箱=100050=50000(cm3)，铁块体积V铁=101010=1000(cm3)(1)若放入铁块后，水箱中的水深恰好为50cm时1000a+1000=50000，得a=49(cm)

41、所以，当49a50时，水深为50cm(多余的水溢出)(2)若放入铁块后，水箱中的水深恰好为10cm时1000a+1000=10000，得a=9(cm)所以，当9a49时，水深为a4025+1010104025=(a+1)cm(3)由(2)知，当0a9时，设水深为xcm，则1000 x=1000a+100 x得x=109(cm)答：当 0 a 9 时，水深为109acm；当 9 a 49 时，水深为(a+1)cm；当 49 a 50 时，水深为50cm【点评】解答此题的关键是：考虑放入铁块后水溢出的情况，放入铁块后水仍未淹没铁块的情况，按照一定的顺序，不重复不遗漏29.29.一个长方体容器，底面

42、是一个边长50厘米的正方形，容器中直立着一个高1米、底面是边长10厘米的正方形的长方体铁块，这时容器中的水深40厘米如果把铁块轻轻上提24厘米，那么，露出水面的铁块上被水浸湿的部分长多少厘米？【分析】根据“这时容器中的水深 40厘米”，可知原来铁块被水浸湿的部分是在 40厘米处，后来将铁块提起24厘米，就会露出浸湿的24厘米，同时将铁块提起，水位肯定是要下降的，据此只要把水位下降的高度求出来(用长、宽都是 10 厘米，高是 24 厘米铁块的体积除以容器的底面积)，进而加上提起的24厘米，即为露出水面的铁块上被水浸湿的那部分的长度【解答】解：水位下降的高度：101024(5050-1010)=2

43、4002400=1(厘米)露出水面被水浸湿的部分：24+1=25(厘米)答：露出水面的铁块上被水浸湿的部分长25厘米【点评】解决此题明确露出水面的铁块上被水浸湿的部分是由两部分组成的：水位下降高度和铁块提起高度；关键是先求出水位下降高度是多少，进而得解30.30.如图是测量一颗玻璃球体积的过程：(1)将300mL的水倒进一个容量为500mL的杯子中；(2)将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；(3)再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积在()(A)20cm3以上，30cm3以下；(B)30cm3以上，40cm3以下；(C)40cm3以上，50cm3

44、以下；(D)50cm3以上，60m3以下【分析】要求每颗玻璃球的体积在哪一个范围内，根据题意，先求出5颗玻璃球的体积最少是多少，5颗玻璃球的体积最少是(500-300)立方厘米，进而推测这样一颗玻璃球的体积的范围即可【解答】解：因为把5颗玻璃球放入水中，结果水满溢出，所以5颗玻璃球的体积最少是：500-300=200(立方厘米)，一颗玻璃球的体积最少是：2005=40(立方厘米)，因此推得这样一颗玻璃球的体积在40立方厘米以上，50立方厘米以下故选：C【点评】此题考查了探索某些实物体积的测量方法，本题关键是明白：杯子里水上升的体积就是 5颗玻璃球的体积，进而得解31.31.一个盖着瓶盖的瓶子里

45、面装着一些水(如图所示)，请你根据图中的数据，计算这个瓶子的容积是多少？【分析】先根据题意把倒立瓶子进行修补，补成瓶颈与瓶身相同的形状；再根据瓶子里水的体积不变，求出所补部分的容积，之后可轻松求出这个瓶子的容积了【解答】解：瓶子里水的体积是104=40立方厘米把倒立的瓶子补完整如右上图，这时补全瓶子的容积是 107=70立方厘米；5厘米高的瓶子的容积是105=50立方厘米；补的部分的体积是50-40=10立方厘米；所以原瓶子的容积是70-10=60立方厘米答：这个瓶子的容积是60立方厘米【点评】此题解答的突破口就是“补图”，补好后有利于解答32.32.在一个长50厘米、宽40厘米、水深为20厘

46、米的玻璃鱼缸中，放入一个棱长为10厘米的正方体石块这时鱼缸内的水上升了0.5厘米，鱼缸水的高度达到20.5厘米【分析】上升的水的体积等于正方体石块的体积，先求正方体石块体积，再除以玻璃鱼缸的长和宽，得出上升的厘米数，再加原水深可得现在水的高度【解答】解：1010105040，=10005040，=0.5(厘米)，0.5+20=20.5(厘米)，答：这时鱼缸内的水上升了0.5厘米，鱼缸水的高度达到20.5厘米故答案为：0.5，20.5【点评】此题主要考查长方体正方体体积计算方法及实物体积的测量方法33.33.有甲、乙两只圆柱形玻璃杯，其内直径依次是 10厘米、20厘米，杯中盛有适量的水甲杯中沉没

47、着一铁块，当取出此铁块后，甲杯中的水位下降了 2厘米；然后将铁块沉没于乙杯，且乙杯中的水未外溢问：这时乙杯中的水位上升了多少厘米？【分析】由题意可知：当铁块取出后，下降的水的体积就等于铁块的体积，铁块的体积容易求出，用铁块的体积除以乙容器的底面积就是的乙杯中的水位上升的高度，从而问题得解【解答】解：3.14(102)223.142022，=50100，=0.5(厘米)，答：这时乙杯中的水位上升了0.5厘米【点评】解答此题的关键是明白：下降的水的体积就等于铁块的体积，从而问题得解34.34.一个圆柱体的容器中，放有一个长方体铁块现在打开一个水龙头往容器中注水，3 分钟时，水恰好没过长方体的顶面，

48、又过了18分钟，水灌满容器已知容器的高度是50厘米长方体的高度是20厘米，那么长方体底面积：容器底面面积等于多少？【分析】已知长方体的高度是20厘米，容器内注入与长方体等高的水用3分钟，又过了18分钟，水灌满容器，此时容器空间的高为(50-20)厘米；这样就可以求出两次注水所用时间的比由于长方体占据了圆柱体容器的部分空间，由此可以推导出长方体底面积与容器底面积的比【解答】解：注满容器20厘米高的水与30厘米高的水所用时间之比为20：30=2：3注20厘米的水的时间为1823=12(分)，这说明注入长方体铁块所占空间的水要用时间为 12-3=9(分)已知长方体铁块高为 20 厘米，因此它们底的面

49、积比等于它们的体积之比，而它们的体积比等于所注入时间之比，故长方形底面面积：容器底面面积=9：12=3：4答：长方体底面积与容器底面面积的比是3：4【点评】此题的解答关键是求出两次注水时间的比，再求出长方体铁块所占容器空间的注水时间是几分钟，由此进行分析解答即可35.35.有大、中、小三个正方形水池，它们的内边长分别是 6米、3米、2米把两堆碎石分别沉没在中、小水池的水里，两个水池的水面分别升高了6厘米和4厘米如果将这两堆碎石都沉没在大水池的水里，大水池的水面升高了多少厘米？【分析】根据题意，因为把碎石沉没在水中，水面升高所增加的体积，就等于所沉入的碎石的体积，所以应先求出两块碎石的体积沉入在

50、中水池的碎石的体积，即 330.06=0.54(米3)，而沉入小水池中的碎石的体积是：220.04=0.16(米3)；然后求出两块碎石的体积和，再根据大水池的底面积，求出大水池的水面升高的高度，解决问题【解答】解：6厘米=0.06米，4厘米=0.04米330.06=0.54(米3)，220.04=0.16(米3)，0.54+0.16=0.7(米3)，大水池的底面积是：66=36(米2)，大水池的水面升高了：0.736=0.736(米)=3518(厘米)答：大水池的水面升高了3518厘米【点评】解答此题，关键在于理解：把碎石沉没在水中，水面升高所增加的体积，就等于所沉入的碎石的体积36.36.将