湖北省2023届高三下学期5月国都省考模拟测试数学试题含答案.pdf

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1、机密机密启用前启用前湖北省湖北省 2023 届高三届高三 5 月国都省考模拟测试月国都省考模拟测试数学试题数学试题本试卷共本试卷共 4 页，页，22 题题.全卷满分全卷满分 150 分，考试时间分，考试时间 120 分钟分钟.祝考试顺利祝考试顺利注意事项：注意事项：1.答题前，先将自己的姓名答题前，先将自己的姓名 准考证号准考证号 考场号考场号 座位号填写在试卷和答题卡上座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标铅

2、笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑号涂黑.写在试卷写在试卷 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试写在试卷卷 草稿纸和答题卡的非答题区域均无效草稿纸和答题卡的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一一 选择题选择题：本题共本题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分，在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目条件的只有一项是符合

3、题目条件的.1.设集合 37,26,AxxBxxxZ，则AB（）A.3B.3,4C.4,5D.3,4,52.已知12i43iz，其中z为z的共轭复数，则复数z在复平面上对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.美味可口的哈根达斯蛋筒冰激凌可近似看作半径相等的一个半球和一个圆锥组成，如实物图，已知冰激凌的表面积为5，底部圆锥的母线为 3，则冰激凌的体积为（）A.2123B.123C.133D.21334.为平衡城市旅游发展和生态环境保护，某市计划通过五年时间治理城市环境污染，预计第一年投入资金 81 万元，以后每年投入资金是上一年的43倍；第一年的旅游收入为 20 万元

4、，以后每年旅游收入比上一年增加 10 万元，则这五年的投入资金总额与旅游总收入差额为（）A.325 元B.581 万元C.721 万元D.980 万元5.已知3 35sin,4544xx，则sin1tanxx（）A.21100B.21100C.7 280D.7 2806.已知12,F F是椭圆22143xy的左，右焦点，过点2F的直线与椭圆交于 A，B 两点，设1ABF的内切圆圆心为I，则tanIAB的最大值为（）A.22B.33C.12D.557.若过第一象限的点,a b可以作曲线lnyx的两条切线，则（）A.lnbaB.lnbaC.lnbaD.lnba8.如图，已知圆22:1M xy，圆2

5、2:(2)(3)1Nxy，已知P为两圆外的动点，过点P分别作两圆的割线PAB和PCD，总有PCAPBD，则点P的轨迹方程是（）A.46130 xyB.220 xyC.22132xyD.225xy二二 多选题多选题：本题共本题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分，在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中，有有多项符合题目条件多项符合题目条件.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分.9.下列关于平面向量的说法中正确的是（）A.已知2,3,4,3AB，点P在直线AB上，且32APPB ，则P的坐标为16,15；

6、B.若O是ABC的外接圆圆心，则212AB AOAB C.若cab，且0c，则abD.若点P是ABC所在平面内一点，且PA PBPB PCPC PA ，则P是ABC的垂心.10.在一次党建活动中，甲乙丙丁四个兴趣小组举行党史知识竞赛，每个小组各派 10 名同学参赛，记录每名同学失分（均为整数）情况，若该组每名同学失分都不超过 7 分，则该组为“优秀小组”，已知甲乙丙丁四个小组成员失分数据信息如下，则一定为“优秀小组”的是（）A.甲组中位数为 2，极差为 5B.乙组平均数为 2，众数为 2C.丙组平均数为 1，方差大于 0D.丁组平均数为 2，方差为 311.已知函数 ln,xfxex是自然对数

7、的底数，则（）A.23ffB.若1221lnlnxxxx，则122xxeC.fx的最大值为1eD.“02x”是“111(1)xxxx”的充分不必要条件12.如图所示，该多面体是一个由 6 个正方形和 8 个正三角形围成的十四面体，所有棱长均为 1，所有顶点均在球O的球面上.关于这个多面体给出以下结论，其中正确的有（）A.FI 平面ABEB.BE与平面EIJ所成的角的余弦值为63C.该多面体的体积为5 23D.该多面体的外接球的表面积为8三三 填空题填空题：本大题共：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.13.7(3)x展开式中含3x项的系数为_.14.曲线3yx

8、在点2,8A处的切线方程是_.15.在圆锥内放入两个大小不等的外离的球1O与球2O，半径分别为R和r，且4Rr，使得它们与圆锥侧面和截面相切，两个球分别与截面相切于点E，F，在截口上任取一点A，又过点A作圆锥的母线，分别与两个球相切于点,B C，则可知线段,AE AF的长度之和为常数.若圆锥轴截面为等边三角形，则截口曲线的离心率是_.16.盒子里装有 5 个小球，其中 2 个红球，3 个黑球，从盒子中随机取出 1 个小球，若取出的是红球，则直接丢弃，若取出的是黑球，则放入盒中，则：（1）取了 3 次后，取出红球的个数的数学期望为_；（2）取了2,3,4,n n 次后，所有红球刚好全部取出的概率

9、为_.（第一空 2分，第二空 3 分）四四 解答题解答题：本题共本题共 6 小题小题，共共 70 分分.解答应写出文字说明解答应写出文字说明 证明过程或演算证明过程或演算步骤步骤.17.（10 分）在ABC中，内角,A B C所对的边分别为,a b c A为锐角，3sin2aBb.（1）求角A；（2）若D为BC边上一点，且满足2ADCDBD，试判断ABC的形状.18.（12 分）已知数列 na满足：1113,2nnnaaann.（1）证明：数列1nan是等比数列；（2）设nncan，求数列 nc的前n项和nT.19.（12 分）如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD为等边三角形，O是AD的中点

10、，底面ABCD是菱形，2,60,6ABBADPB.（1）求证：平面PBO 平面ABCD；（2）求二面角OPCB的平面角的余弦值.20.（12 分）为巩固拓展脱贫攻坚成果，某地区对地方特色手工艺品的质量实行专家鉴定制度：若一件手工艺品被 3 位专家都鉴定通过，则该手工艺品被评为一级品；若一件手工艺品仅有两位专家鉴定通过，则该手工艺品被评为二级品；若一件手工艺品仅有一位专家鉴定通过，则该手工艺品被评为三级品；若一件手工艺品没有得到三位专家的鉴定通过，则相应的被评为四级品，已知每一件手工艺品被一位专家鉴定通过的概率均为23，且专家之间鉴定是否通过相互独立.（1）求一件手工艺品被专家鉴定为二级品的概率

11、；（2）若一件手工艺品质量分别为一二三级均可出厂，且利润分别为 100 元，70 元，20 元，质量为四级品不能出厂，亏损 10 元，记一件手工艺品的利润为 Y 元，求 Y 的分布列及 1000件产品的平均利润.21.（12 分）已知双曲线的中心为坐标原点，对称轴为x轴和y轴，且双曲线过点2,0A，14,24B.（1）求双曲线的方程；（2）设过点2,3C 的直线分别交的在右支于,D E两点，过点E作垂直于x轴的直线l，交直线AB于点F，点G满足EFFG .证明：直线DG过定点.22.（12 分）函数 211 ln,2f xxaxaxx g x为 fx的导函数 fx.（1）讨论 g x的单调性；

12、（2）若 fx在三个不同的极值点312123,x xxxxx.（i）求a的取值范围；（ii）证明31fxfx.湖北省湖北省 2023 届高三届高三 5 月国都省考模拟测试月国都省考模拟测试数学参考答案及评分标准数学参考答案及评分标准一一 选择题：选择题：题号123456789101112答案DAABCBDABDADACDAC二二 填空题：填空题：13.2114.1216yx15.33916.10191000；831039495nn三三 解答题：解答题：17.（10 分）解：（1）在ABC中由正弦定理有：3sinsinsin2ABB.因为sin0B，所以3sin2A.又因为A为锐角，即3A.（2

13、）设ACD，在ACD中，ADCD，即CAD.易知2,33BADABC.在ABD中，由正弦定理有：2sinsin33BDAD.又因为2ADBD，所以22sinsin33.化简得sin06，因为0,3，即6.则2ABC，所以ABC为直角三角形.18.（12 分）解：（1）设1nnabn，则1111,41nnabbn.因为121nnaannn，所以112121211nnnnnnaabnnaabnn.即 nb是以 4 为首项，2 为公比的等比数列.则数列1nan是等比数列.（2）由（1）知114 22nnnb，则12nnann，即12nncn.则2311 22 22nnTn .21222 2122nn

14、nTnn.两式相减得：23122222nnnTn.所以21 24nnTn.19.（12 分）解：（1）在ABD中，60,2,BADABO是AD的中点，即3OB.在PAD中，3,POPOAD.POB中，2226,PBPOOBPB，所以POOB.又因为,POAD OBADO.,OB AD均在平面ABCD中，所以PO 平面ABCD.PO 平面PBO，所以平面PBO 平面ABCD.（2）由（1）知PO 平面ABCD.在ABD中，60,2,BADABO是AD的中点，即BOAD.以O为原点，,OA OB OP所在直线分别为x轴y轴z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则0,0,3,0,3,0,2,3,0PB

15、C.所以2,0,0,0,3,3BCPB .设平面OPC的法向量为111,mx y z，由00m OPm OC.得11130230zxy，取3,2,0m.设平面PCB的法向量为222,nxyz，由00n PBn BC ，得22233020yzx，取0,1,1n.所以214cos,727m n .所以二面角OPCB的平面角的余弦值为147.20.（12 分）解：（1）一件手工艺品质量为二级品的概率为2232241339C.（2）Y可能取值为100,70,20,10.322328224100;701327339P YP YC.231322221201;101339327P YCP Y.则Y的分布列为

16、：Y1007020-10P8274929127期望 8421175010070201027992727E Y.所以 1000 件产品的平均利润为 1750000100027E Y.21.（12 分）解：（1）由题意知，双曲线焦点在x轴上，故设双曲线方程为22221(,0)xya bab.将A B两点坐标代入双曲线方程得2222(14)242,1(,0)aa bab.所以2,2 3ab，即双曲线方程为221412xy.（2）直线DG过定点2,0A，下面给出证明.,D G A三点共线ADAGkk设点1122,D x yE xy，直线DE方程为23yk x.由题意知，直线AB的方程为24yx.点F为

17、线段EG的中点，从而22222,24,48F xxG xxy.1221248,22ADAGyxykkxx，若122124822ADAGyxykkxx.化简得122112224220yxyxxx（1）又112223,23yk xyk x，代入（1）式得.即证 1212244118280kx xkxxk（2）联立22231412yk xxy，化简得2223223(23)120kxkkxk.则212122222312(23),33kkkxxx xkk.代入（2）式左边得22222312(23)24411828033kkkkkkkk.由于2322412(23)8409084kkkkk.232411 4

18、6166866kkkkkk23238288282484kkkkk 从而（2）式左边等于 0 成立，直线DG过定点2,0A.22.（12 分）解：（1）由题意知，2211ln,0 xaxg xfxxa x gxxxx.记 21,0h xxaxx，则24a.当0即22a 时，0,0,h xgxg x在0,单调递增.当0即2a 或2a 时，设 0h x 的解为1212,x xxx.若2a ，则由1212,1xxa x x得，120 xx.因为0 x，所以 0,0,h xgxg x在0,单调递增.若2a，则由1212,1xxa x x得，1201xx.此时221244,22aaaaxx.g x在240

19、,2aa递增，在2244,22aaaa递减，在24,2aa递增.综上所述，当2a 时，g x在0,单调递增；当2a 时，g x在240,2aa和24,2aa单调递增，在2244,22aaaa单调递减.（2）（i）1ln,fxxa x f xx有三个不同的极值点等价于 0fx有三个不同根.显然，21x 是方程的一个根.则问题转化为当1x 时，方程1lnxxax有两个不等的根.令 1lnxxh xx，则 222222111ln21lnxxxxh xxx.构造函数 22211ln,021xu xxxx且1x，令2tx，则 11ln21tv ttt.22212(1)2(1)2(1)tv tttt t，

20、即 v t在 0,1,1,单调递增.又因为 10v.所以当1t 时，0v t；当01t 时，0v t.易知：当1x 时，22211ln21xxx，则 h x单调递增.当01x时，22211ln21xxx，则 h x单调递减.当1x 时，2h x，则 h x的图象如下图所示：为使ya与 h x有两个交点，则a的取值范围是2a.（ii）令 1ln0fxxa xx.则易知：若0 x是方程 0fx的根，则01x也是方程 0fx的根，即有131x x.欲证31fxfx，只需证1110f xfx，令 1(01)xf xfxx.由（i）可知，1111lnxxax.所以22221111111111111111 ln1 ln22lnlnxxf xxaxaxxxxxx.212 ln11,(ln)x xxxxf xffxxxxx .222321(ln)2ln11(ln)xxxxfxxx.即 22222422232321 ln121 ln11(ln)(ln)(ln)xxxxxxxxxxxxx.因为01x，所以 0 x，即 x在0,1上单调递减.又因为 10，所以 0 x在0,1上恒成立.即 10f xfx在0,1上 恒 成 立.证 得1110f xfx恒 成 立，即31fxfx.