黑龙江省大庆市大庆中学2022-2023学年高二下学期4月月考数学试题含答案.pdf

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1、数学试题第 1页共 2页大庆中学 2022-2023 学年度下学期月考考试大庆中学 2022-2023 学年度下学期月考考试高二年级数学试题高二年级数学试题本试题分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。考试结束后，只交答题纸和答题卡，试题自己保留。满分 150 分，考试时间 120 分钟。第卷（选择题 60 分）一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求。本试题分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。考试结束后，只交答题纸和答题卡，试题自己保留。满分 150 分，考试时间 120 分钟。第卷（选择题 60 分）一、单项选择题

2、（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求。1已知i为虚数单位，2i1 2iz，则复数z（）A3i5B32i55C4i5D43i55-2已知集合10,2,1,1,2Ax xB ，则AB（）A2B1,2C 1,1,2D 2,1,1,23已知,a b为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A若/,/a b b，则/aB若/,/a b ab，则C若/,/,/ab ，则/a bD若/,/,ab，则ab4已知tan7，则cos21sin2（）A43B34C34D435为了丰富学生的课余生活，某学校开设了篮球、书法、美术、吉他、舞蹈、

3、击剑共六门活动课程，甲、乙、丙 3 名同学从中各自任选一门活动课程参加，则这 3 名学生所选活动课程不全相同的选法有（）A120 种B150 种C210 种D216 种6 周髀算经中有这样一个问题：冬至小寒大寒立春雨水惊蛰春分清明谷雨立夏小满，芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，若立春当日日影长为10.5尺，立夏当日日影长为4.5尺，则春分当日日影长为（）A4.5尺B5 尺C5.5尺D7.5尺7如图，在等腰直角ABC中，斜边4BC，,M N为线段 BC 上的动点，且1MN，则AM AN 的最小值为（）A134B154C4D68已知定义在R上的函数fx，其导函数f x满足：对任

4、意xR都有fx f x，则下列各式恒成立的是（）Af1 e f0,f2018 e2018 f0Bf1 e f0,f2018 e2018 f0Cf1 e f0,f2018 e2018 f0Df1 e f0,f2018 e2018 f0二、多项选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部答对得 5 分，部分答对得 2 分，有选错给 0 分。）二、多项选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部答对得 5 分，部分答对得 2 分，有选错给 0 分。）9.关于函数sin 23

5、yx的图象，下列说法正确的是（）A由sin2yx的图象向左平移3个单位得到B对称轴为212kx，k ZC在区间,6 6 上单调递增D在区间2,32 上恰有 3 个零点10.有 3 位男生和 3 位女生，要在某风景点前站成一排照合影，则下列说法正确的是（）A共有66A种不同的排法B男生不在两端共有2424A A种排法C男生甲、乙相邻共有2525A A种排法D三位女生不相邻共有3333A A种排法11.设双曲线2222:10,0 xyEabab的右焦点为,0,3F Mb，若直线l与E的右支交于,A B两点，且F为MAB的重心，则（）AE的离心率的取值范围为13,33,3BE的离心率的取值范围为2

6、13,33,7C直线l斜率的取值范围为2 13,66,9 D直线l斜率的取值范围为2 13,66,3 数学试题第 2页共 2页12.关于函数()lnxf xx，则下面四个命题中正确的是（）A函数()f x在(0,e)上单调递减B函数()f x在(e,)上单调递增C函数()f x没有最小值D函数()f x的最小值为e第第卷（非选择题，共卷（非选择题，共 9090 分）分）三、填空题（本大题共三、填空题（本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分，把正确答案填在答题纸的横线上，填在试卷上分，把正确答案填在答题纸的横线上，填在试卷上的答案无效的答案无效。）13用1

7、,2,3,4,5,6排成无重复数字的三位偶数的个数为_14.已知抛物线E：214yx的焦点为F，O为坐标原点，若E上存在两点A，B，使OAB为等边三角形，则AF _15数列 na满足2131nnnaan，前 12 项和为 243，则1a _.16已知函数 1exxf x.若过点1,Pm可以作曲线 yf x三条切线，则m的取值范围是_.四、解答题四、解答题(共共 7070 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.已知函数3()395f xxx.(1)求函数()f x的单调区间；（2）求函数()f x在3,3上的最大值和最小值.18在

8、ABC中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，2sinsincossin()2CABAC(1)求 A；(2)在原题条件的基础上，若增加下列条件之一，请说明条件与哪个能使得ABC唯一确定，当唯一确定时，求边BC上的高 h 条件：32,sin2aC；条件：5,2ab19.已知数列 na的前n项和为nS，且满足12a，122nnSS(1)求数列 na的通项公式(2)记12nnnabnn，求数列 nb的前n项和nT20.如图，三棱柱111ABCABC-中，111ABC与11ABC均是边长为 2 的正三角形，且16AA(1)证明：平面11ABC 平面111ABC；(2)求平面11AC B与平面

9、11ACC A所成锐二面角的余弦值21.已知椭圆2222:10 xyCabab的离心率为2 23，且经过点36,3(1)求 C 的方程；(2)动直线 l 与圆22:1O xy相切，与 C 交于 M，N 两点，求 O 到线段 MN 的中垂线的最大距离22.已知函数 exf xax，aR(1)当1ea 时，证明：ln10fxxx 在0,上恒成立；(2)若 fx有 2 个零点，求 a 的取值范围数学答题卡数学答题卡考场/座位号：考场/座位号：姓名：姓名：班级：班级：贴条形码区（正面朝上，切勿贴出虚线方框）正确填涂缺考标记正确填涂缺考标记客观题(18为单选题;912为多选题)客观题(18为单选题;91

10、2为多选题)1A B C D2A B C D3A B C D4A B C D5A B C D6A B C D7A B C D8A B C D9A B C D10A B C D11A B C D12A B C D填空题填空题13.14.15.16.解答题解答题17 第1页 共6页18.19.第2页 共6页20.第3页 共6页21.第4页 共6页22.第5页 共6页请勿在此区域作答或 者做任何标记第6页 共6页1D【分析】根据复数的除法运算化简即可求解.【详解】由2i1 2iz 得1 2i2i1 2i43i2i2i2i5z，故选：D2B【分析】根据交集运算求解.【详解】因为101Ax xx x ，

11、所以AB 1,2，故选:B.3B【分析】根据线面平行的判定定理和性质，结合面面平行、垂直的判定定理逐一判断即可【详解】对于 A，若/,/a b b，则/a或a，故 A 错误；对于 B，若/,/a b b，则a或/a，若a，因为a，则，若/a，如图所示，则在平面一定存在一条直线/m a，因为a，所以m，又m，所以，综上若/,/a b ab，则，故 B 正确；对于 C，若/,/,/ab ，则直线,a b相交或平行或异面，故 C 错误；对于 D，若/,/,ab，则直线,a b相交或平行或异面，故 D 错误.故选：B.4A【分析】利用公式变形化弦为切求出sin2,cos2，代入求值.【详解】因为tan

12、7，所以2222sincos2tan147sin22sincossincostan149125，22222222cossin1tan1 4924cos2cossincossin1tan14925，故24cos242571 sin23125.5C【分析】用甲、乙、丙 3 名同学从中各自任选一门活动课程参加的方法数，减去 3 名学生所选活动课程全部相同的方法数，从而求得正确答案.【详解】依题意，每名同学都有6种选择方法，所以这 3 名学生所选活动课程不全相同的选法有366210种.故选：C6D【分析】设十二节气自冬至日起的日影长构成的等差数列为 na，利用等差数列的性质即可求解.【详解】设十二节气

13、自冬至日起的日影长构成的等差数列为 na，则立春当日日影长为410.5a，立夏当日日影长为104.5a，所以春分当日日影长为741017.52aaa.故选：D7.B【分析】设BMt，然后可得21364AM ANABBMABBMBCtt ，然后根据二次函数的知识可得答案.【详解】因为在等腰直角ABC中，斜边4BC，所以2 2ABAC，因为4BC、1MN，所以14MNBC ，设BMt，则04t，221112444AM ANABBMABBMBCABAB BMBMAB BCBM BC 22212182 2 22 2 44 1362424ttttt 所以当32t 时，AM AN 取得最小值154，故选：

14、B8.B【分析】构造函数 exf xF x，利用 F x的单调性判断函数值的大小.【详解】令函数 exf xF x，则 exfxfxFx，,0fxfxFx，故函数 F x是定义在R上的增函数，10FF，即 010eeff，故有 1e0ff；同理可得 20182018e0ff故选：B9BD【分析】根据正弦函数的图象性质一次分析判断各选项即可得答案.【详解】对于 A 选项，sin2yx的图象向左平移6得sin 23yx的图象，故错误；对于 B 选项，令2,32xkkZ，解得212kx，k Z，故正确；对于 C 选项，,6 6x 时，220,33x，此时函数sinyx不单调，故错误；对于 D 选项，

15、2,32x 时，42,33x，恰有,0,对应的三个零点，故正确.故选：BD10AC【分析】根据给定条件，利用无限制条件的排列判断 A；利用有位置条件的排列判断 B；利用相邻、不相邻问题的排列判断 C，D 作答.【详解】有 3 位男生和 3 位女生，要在某风景点前站成一排照合影，共有66A种不同的排法，A 正确；男生不在两端，从 3 位女生中取 2 人站两端，再排余下 4 人，共有2434A A种排法，B 不正确；男生甲、乙相邻，视甲乙为 1 人与其余 4 人全排列，再排甲乙，共有2525A A种排法，C 正确；三位女生不相邻，先排 3 位男生，再在 2 个间隙及两端 4 个位置中插入 3 位女

16、生，共有3334A A种排法，D 不正确.故选：AC11.AC【分析】根据重心性质得出AB中点D的坐标，根据直线l与E的右支交于,A B两点可知点D在右支内部，将D的坐标代入双曲线中建立不等式，即可得离心率的范围，根据点差法可得直线l的斜率与,a b c之间等式关系，由,M F A B不共线建立不等式，解出离心率具体范围，根据离心率的范围及直线l的斜率与,a b c之间等式关系，即可得斜率的取值范围，解出即可.【详解】解：设D为AB的中点，根据重心性质可得2MFFD，因为,0,0,3F cMb，则33,22cbD，因为直线l与E的右支交于,A B两点，所以点D在双曲线右支内部，故有222299

17、441cbab，解得133ca，当直线l斜率不存在时，AB的中点D在x轴上，故,M F D三点不共线，不符合题意舍，设直线l斜率为ABk，设1122,A x yB xy，所以123xxc，123yyb，因为,A B在双曲线上，所以22112222222211xyabxyab，两式相减可得：2222121222xxyaby，即1212121222xxxxyyyyab，即有12122233c xxb yyab成立，即有2ABbcka，因为,M F A B不共线，即23ABMFbcbkkac ，即223ca，即3e，所以E的离心率的取值范围为13,33,3，因为22222442ABccbcb cka

18、aaa 222244241124cceaeea ，因为13,33,3e，即213,33,9e，所以221152,66,2481e，所以222 13,66,91124ABke .故选：AC12.BC【分析】求出函数的定义域，求出函数导数，判断函数的单调性，作出其大致图像，一一判断每个选项，即可确定答案.【详解】由()lnxf xx，定义域为|0 x x，且1x，则2ln1()(ln)xfxx，当01x和1ex时，()0fx，故函数()f x在(0,1),(1,e)上单调递减，故 A 错误；当ex时，()0fx，故函数()f x在(e,+)上单调递增，故 B 正确；当01x时，()0f x，当1x

19、 时，()0f x，作出其大致图像如图：由图像可知函数()f x没有最小值，故 C 正确，D 错误，故选：BC1360【分析】可以看作是 3 个空，要求个位是偶数，其它位置无条件限制，因此先从 3 个偶数中任选 1 个填入个位，其它 3 个数在 2 个位置上排列即可.【详解】要排成无重复数字的三位偶数,则个位数为偶数即选择有 3 种，其它位数的排列数为25A20，即这样的数有32060个，故答案为:60.14.13【分析】根据题意可求出直线OA的方程，将直线方程与抛物线方程联立得到点A的坐标，进而利用抛物线的定义即可求解.【详解】设A在第一象限，由对称性知直线OA的方程为3yx由243xyyx

20、，得04 3,012xxyy，即4 3,12A因为E的准线为1y ，所以1 12 1 13AAFy 故答案为：13.157【分析】对n为奇偶数分类讨论，分别得出奇数项、偶数项的递推关系，由奇数项递推公式将奇数项用1a表示，由偶数项递推公式得出偶数项的和，建立1a方程，求解即可得出结论.【详解】解：2(1)31nnnaan，当n为奇数时，231nnaan；当n为偶数时，231nnaan.设数列 na的前n项和为nS，12123412Saaaaa135791124681012()()aaaaaaaaaaaa111111(2)(10)(24)(44)(70)(5 1729)aaaaaa1161505

21、16201243aa，即16201243a，解方程得17a.所以，17a 故答案为：7.1640,e【分析】切点为0001,exxx，利用导数的几何意义求切线的斜率，设切线为：000001eexxxxyxx，可得0201exxm，设 21exxg x，求 gx，利用导数求 g x的单调性和极值，切线的条数即为直线ym与 g x图象交点的个数，结合图象即可得出答案.【详解】设切点为0001,exxx，由 1exxf x可得 2ee1eexxxxxxfx，所以在点0001,exxx处的切线的斜率为000exxkfx，所以在点0001,exxx处的切线为：000001eexxxxyxx，因为切线过点

22、1,Pm，所以0000011eexxxxmx，即0201exxm，即这个方程有三个不等根即可，切线的条数即为直线ym与 g x图象交点的个数，设 21exxg x，则 2222211eexxxxxxgx由 0gx可得11x，由 0gx可得：1x 或1x，所以 21exxg x在,1 和1,上单调递减，在1,1上单调递增，当x趋近于正无穷，g x趋近于 0，当x趋近于负无穷，g x趋近于正无穷，g x的图象如下图，且 41eg，要使ym与 21exxg x的图象有三个交点，则40em.则m的取值范围是:40,e.17.【详解】f(x)的定义域为R，且f(x)9x29 9x 1x 1，单调增区间为

23、和；减区间为令f(x)0，解得x=1，或x 1，当x变化时，f x，fx的变化情况如下表所示，x33,111,111,33f x00fx49单调递增极大值11单调递减极小值1单调递增59当x=1时，fx有极大值，极大值为f111，当x 1时，fx有极小值，极小值为f1 1，又f3 49 1，f35911，函数f(x)在3,3上的最大值为59，最小值为49.18.(1)4A(2)见解析.【分析】（1）根据正弦定理可得2cos2caBb，再利用余弦定理即可求出4A；（2）对于条件可得3sin2C，进而3C 或23C，不符合题意；条件代入22220abcbc，即可求出3c，再利用面积公式即可求出结果

24、.【详解】（1）在ABC中，sin()sin()sinACBB，由2sinsincossin()2CABAC及正弦定理得2cos2caBb，由余弦定理得222222acbcabac，化简得22220abcbc，所以2222cos22bcaAbc，结合0A，得4A（2）若增加条件：2a，3sin2C 因为330,444CBB，由3sin2C，得3C，或23C，所以ABC不能唯一确定，不合题意若增加条件：5,2ab将5,2ab代入22220abcbc，得2230cc，解得3c，或1c （舍去）此时ABC唯一确定由11sin22ABCSbcAah，得sin3 55bAha所以3 55h 19.(1)

25、2nna(2)1212nnTn【分析】（1）方法一：由,nnaS之间关系可证得数列 na为等比数列，由等比数列通项公式求得na；方法二：由已知关系式可证得数列2nS 为等比数列，由此可推导求得nS，利用,nnaS之间关系可求得na；（2）由（1）可得nb，采用裂项相消法可求得结果.【详解】（1）方法一：当1n 时，由122nnSS得：2122SS，即12122aaa，又12a，24a；当2n时，11122222nnnnnnaSSSSa，又12a，24a 满足212aa，即当1n 时，12nnaa成立，数列 na是以2为首项，2为公比的等比数列，2nnanN.方法二：由122nnSS得：1222

26、nnSS，又11224Sa，数列2nS 是以4为首项，2为公比的等比数列，112422nnnS，即122nnS，当2n时，1122222nnnnnnaSS，又12a 满足2nna，2nnanN.（2）由（1）得：12221221nnnnnbnnnn，2132431112222222222213243541212nnnnnnTnnnnn.20.(1)证明见解析(2)7 6565【分析】（1）由线线垂直证线面垂直，进而利用面面垂直的判定证明平面11ABC 平面111ABC.（2）以 O 为坐标原点，11,OA OB OA 的方向分别为 x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立空间直角坐标系 Oxyz利用

27、向量法能求出平面11AC B与平面11ACC A所成锐二面角的余弦值【详解】（1）取11BC的中点 O，连接 AO，1AO111ABC与11ABC均是边长为 2 的正三角形，11AOBC，111AOBC，13AOAO1AOA为二面角111ABCA的平面角16AA，22211AOAOA A1AOAO，又111AOBC，11OAOBC，11AOBC，平面11ABC，1AO平面11ABC，又1AO 平面111ABC，平面11ABC 平面111ABC.（2）由（1）知，1AOAO，11AOBC，11AOBC以 O 为坐标原点，11,OA OB OA 的方向分别为 x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立如图

28、所示的空间直角坐标系 Oxyz则1(3,0,0)A，1(0,1,0)C，(0,0,3)A，(3,1,3)B 11(3,1,0)AC ，1(0,1,3)AC ，1(2 3,1,3)BA 设平面11AC B的一个法向量为111,xny z由1110,0n ACn B 得1111130,2 330.xyxyz令11x，得(1,3,3)n 设平面11AC CA的一个法向量为222,mxyz由1110,0m ACm AC 得222230,30.xyyz令21x，得(1,3,1)m 77 65cos,65|135n mn mn m 所求锐二面角的余弦值为7 656521.(1)2219xy(2)43【分析

29、】（1）首先根据题意列出方程组222222 231631ceaababc，再解方程组即可.（2）当l的斜率不存在时，O到中垂线的距离为 0 当l的斜率存在时，设:(0)l ykxm k，11,M x y，22,N xy根据直线与圆相切得到221mk，求出中垂线得到O到中垂线的距离为2281 91kmkdk，再利用基本不等式即可得到答案.【详解】（1）由题知：222222 231631ceaababc，解得312 2abc.所以C的方程为2219xy（2）当l的斜率不存在时，线段 MN 的中垂线为x轴，此时O到中垂线的距离为 0当l的斜率存在时，设:(0)l ykxm k，11,M x y，22

30、,N xy因为l与圆221xy相切，则O到l的距离为2|11mk，所以221mk联立方程2219xyykxm，得2221918990kxkmxm，则1221819kmxxk，可得MN的中点为229,1 91 9kmmkk则 MN 的中垂线方程为22191 91 9kmmyxkkk，即28019kmxkyk因此O到中垂线的距离为2228|8|841 911 9319|kmkkdkkkk（当且仅当13k，103m 时等号成立）综上所述，O到线段 MN 的中垂线的最大距离为4322.(1)证明见解析(2)10,e【分析】（1）设 ln1g xf xxx，对函数 g x求导得 11e0 xgxxx，根

31、据指数函数和幂函数的性质知函数 gx在0,上单调递增且 10g，结合导数研究函数 g x的单调性求出 min0g x即可；（2）函数 fx有 2 个零点等价于函数 exxh x 与ya的图象有 2 个交点，利用导数讨论函数()h x的单调性，结合图形即可求解.【详解】（1）当1ea 时，设 1ln1eln1xg xf xxxx，则 11e0 xgxxx，设 11e0 xu xxx，由函数1exy和1yx在0,上单调递增，知函数 u x在0,上单调递增，且 011e10ug，所以当0,1x时，0gx，即 g x在0,1上单调递减，当1,x时，0gx，即 g x在1,上单调递增，所以 min10g xg即 ln10fxxx 在0,上恒成立；（2）由 e0 xfxax，得exxa，令 exxh x，则 fx有 2 个零点，等价于函数 yh x与ya的图象有 2 个交点，令 10exxh x，得1x，当,1x 时()0h x，当1,x时()0h x，则函数 h x在,1上单调递增，在1,上单调递减，故 max11eh xh，且当0 x 时，0h x，当x趋向于正无穷时，exy 趋向于正无穷的速率远远比yx大，故 h x趋向于 0，作出函数 h x的大致图象如下：结合图象可知，当10ea时，exxh x 与ya的图象有 2 个交点，故 a 的取值范围是10,e