宁夏银川一中、云南省昆明市第一中学2023届高三联合考试一模理科数学试卷含答案.pdf

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1、第 1 页 共 6 页银银川川一一中中、昆昆明明一一中中 2023 届届高高三三联联合合考考试试一一模模数数学学（理理科科）本本试试卷卷满满分分 150 分分，考考试试时时间间 120 分分钟钟一一、选选择择题题：本本大大题题共共 12 小小题题，每每小小题题 5 分分，共共 60 分分.每每小小题题给给出出的的四四个个选选项项中中，只只有有一一项项是是符符合合题题目目要要求求的的.1.已知集合13Axx，220Bx xx，则AB（）A.2,3B.1,2C.,01,D.,02,2.若向量a，b满足1a，2b，且a与b的夹角为3，则ab（）A.2B.5C.6D.73.已知1 i是关于x的方程20

2、,xpxqp qR的一个根，则复数ipq在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.南宋数学家在详解九章算法和算法通变本末中提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，高阶等差数列中前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.现有高阶等差数列，其前 7 项分别为 1，2，4，7，11，16，22，则该数列的第 20 项为（）A.172B.183C.191D.2115.设 sin1+=43（），则sin2A.79B.19C.19D.796.已知函数 yf x的部分图像，如下图所示，则该函数的解析式可能为（）A.sinxf xx

3、B.eexxf xxC.sincosf xxxD.2ln(1)sinf xxxx 第 2 页 共 6 页7.已知O是坐标原点，点1,1A，若点,M x y为平面区域212xyxy，上的一个动点，则OA OM 的取值范围是（）A.1，0B.0，1C.0，2D.1，28.已知等比数列 na满足0,1,2,nan，且25252(3)nnaan，则当1n 时，2123221logloglognaaaA.(21)nnB.2(1)nC.2nD.2(1)n9.某学生到工厂实践，欲将一个底面半径为 2，高为 3 的实心圆锥体工件切割成一个圆柱体，并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面内.若不考虑损耗，则得到的圆

4、柱体的最大体积是A.169B.89C.1627D.82710.已 知 函 数 f x的 定 义 域 为R，若 2=fxf x，且22f x为 奇 函 数，则 1232023ffff（）A.5085B.4046C.985D.204611.2022 年卡塔尔世界杯会徽（如图）正视图近似伯努利双纽线.在平面直角坐标系xOy中，把到定点1,0Fa，2,0Fa距离之积等于20aa 的点的轨迹称为双纽线.已知点00(,)P xy是双纽线C上一点，有如下说法：双纽线C关于原点O中心对称；022aay；双纽线C上满足12PFPF的点P有两个；PO的最大值为2a.其中所有正确的说法为（）A.B.C.D.第 3

5、页 共 6 页12.已知实数0a，0b，1a，且满足ln1aba，则下列判断正确的是（）A.abB.abC.log1ab D.log1ab 二二、填填空空题题：本本大大题题共共 4 小小题题，每每小小题题 5 分分，共共 20 分分.13.抛物线C：24yx的准线截圆224xy所得的弦长为_.14.某学校组织 1200 名学生进行“防疫知识测试”测试后统计分析如下：学生的平均成绩为x=80，方差为225s 学校要对成绩不低于 90 分的学生进行表彰 假设学生的测试成绩 X 近似服从正态分布2,N（其中近似为平均数x，2近似为方差2s，则估计获表彰的学生人数为_（四舍五入，保留整数）参 考 数

6、据：随 机 变 量 X 服 从 正 态 分 布2,N，则0.6827PX，220.9545PX，330.9973PX15.已知,A B C D是球O的球面上的四点，BD为球O的直径，球O的表面积为16，且ABBC，2ABBC，则直线AD与平面ABC所成角的正弦值是_.16.已知双曲线2222:1(0,0)xyEabab的左、右焦点分别为12,F F，过2F作圆222:O xya的切线，切点为T，延长2F T交双曲线E的左支于点P若2232PFTF，则双曲线E离心率的取值范围是_三三解解答答题题：共共 70 分分.解解答答应应写写出出必必要要的的文文字字说说明明、证证明明过过程程或或演演算算步步

7、骤骤.第第 1721 题题为为必必考考题题，每每个个试试题题考考生生都都必必须须作作答答.第第 22、23 题题为为选选考考题题，考考生生根根据据要要求求作作答答.（一一）必必考考题题：共共 60 分分.17.如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CEAC，EFAC，AB=2，1CEEF（1）求证：CF平面BDE；（2）求二面角A-BE-D的大小第 4 页 共 6 页18.盲盒，是指消费者不能提前得知具体产品款式的玩具盒子，具有随机性因其独有的新鲜性，刺激性及社交属性而深受各个年龄段人们的喜爱已知M系列盲盒共有 12 个款式，为调查M系列盲盒更受哪个年龄段的喜爱，向 00 前

8、、00 后人群各随机发放了 50 份问卷，并全部收回经统计，有 45%的人未购买该系列育盒，在这些未购买者当中，00 后占23（1）请根据以上信息填表，并分析是否有 99%的把握认为购买该系列盲盒与年龄有关？00 前00 后总计购买未购买总计100附：22n adbcKabcdacbd，20P Kk0.100.050.0100.0010k2.7063.8416.63510.828（2）一批盲盒中，每个盲盒随机装有一个款式，甲同学已经买到 3 个不同款，乙、丙同学分别已经买到m个不同款，已知三个同学各自新购买一个盲盒，且相互之间无影响，他们同时买到各自的不同款的概率为13求m；设X表示三个同学中

9、各买到自己不同款的总人数，求X的分布列和数学期望第 5 页 共 6 页19.在ABC中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，22cacb.（1）证明：2BC；（2）求abc的取值范围.20.已知圆1F：22216xy，E为圆1F上一动点，22,0F，线段2EF的垂直平分线交1EF于点 G.（1）求动点 G的轨迹 C 的方程；（2）已知2,0A，轨迹 C 上关于原点对称的两点 M，N，射线 AM，AN 分别与圆224xy交于 P，Q两点，记直线 MN 和直线 PQ 的斜率分别为1k，2k.求 AM 与 AN 的斜率的乘积；问12kk是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由.第 6

10、页 共 6 页21.已知函数 2ecosln1xf xaxxx.（1）若1a，求证；函数 f x的图象与x轴相切于原点；（2）若函数 f x在区间1,0，0,各恰有一个极值点，求实数a的取值范围.（二二）选选考考题题：共共 10 分分.请请考考生生在在第第 22、23 题题中中任任选选一一道道作作答答.如如果果多多做做，则则按按所所做做的的第第一一题题计计分分.【选选修修 4-4：坐坐标标系系与与参参数数方方程程】22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为2sin2cos,1 cos2sinxy（为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的方程是cos13（1）求

11、曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）若点A的坐标为2,0，直线l与曲线C交于P，Q两点，求11APAQ的值【选选修修 4-5：不不等等式式选选讲讲】23.已知函数 21f xxxmm（1）当2m 时，求函数 f x的定义域；（2）设函数 f x的定义域为M，当12m 时，1,2mM，求实数m的取值范围银银川川一一中中、昆昆明明一一中中 2023 届届高高三三联联合合考考试试一一模模数数学学（理理科科）本本试试卷卷满满分分 150 分分，考考试试时时间间 120 分分钟钟一一、选选择择题题：本本大大题题共共 12 小小题题，每每小小题题 5 分分，共共 60 分分.每每小小题题给给出出

12、的的四四个个选选项项中中，只只有有一一项项是是符符合合题题目目要要求求的的.1.已知集合13Axx，220Bx xx，则AB（）A.2,3B.1,2C.,01,D.,02,【答案】C【解析】【分析】根据一元二次不等式解法求出B集合，利用集合并集运算法则即可求解.【详解】依题意知，由220 xx，解得：0 x 或2x，即|0Bx x或2x，又13Axx所以AB,01,.故选：C.2.若向量a，b满足1a，2b，且a与b的夹角为3，则ab（）A.2B.5C.6D.7【答案】D【解析】【分析】根据2abab结合数量积的运算律计算即可.【详解】因为1a，2b，a与b的夹角为3，所以11 212a b

13、，则22221427abababa b.故选：D.3.已知1 i是关于x的方程20,xpxqp qR的一个根，则复数ipq在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【解析】【分析】根据一元二次方程的复数根为共轭复数，再结合韦达定理可求得,p q，再根据复数的几何意义即可得解.【详解】因为1 i是关于x的方程20,xpxqp qR的一个根，所以方程的另外一个根为1 i，则1 i 1 i,1 i 1 ipq ，所以2,2pq，所以i22ipq 在复平面内对应的点位于第二象限.故选：B.4.南宋数学家在详解九章算法和算法通变本末中提出了一些新的垛积公式，所讨

14、论的高阶等差数列与一般等差数列不同，高阶等差数列中前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.现有高阶等差数列，其前 7 项分别为 1，2，4，7，11，16，22，则该数列的第 20 项为（）A.172B.183C.191D.211【答案】C【解析】【分析】构造数列1nnaa，并利用等差数列的性质即可求得原数列的第 20 项为 191【详解】高阶等差数列na：1，2，4，7，11，16，22，L，令1nnnbaa，则数列 nb：1，2，3，4，5，6，L，则数列 nb为等差数列，首项11b，公差1d，nbn，则1nnnaa则 20201919181817211aaaaaaaa

15、aa19(19 1)19 18 171111912 故选：C5.设 sin1+=43（），则sin2A.79B.19C.19D.79【答案】A【解析】【详解】试题分析：，两边平方后得，整理为，即，故选 A.考点：三角函数6.已知函数 yf x的部分图像，如下图所示，则该函数的解析式可能为（）A.sinxf xxB.eexxf xxC.sincosf xxxD.2ln(1)sinf xxxx【答案】A【解析】【分析】利用函数的奇偶性和函数值判断.【详解】解：由图像知：函数是偶函数，A.因为 sinsinsin,xxxf xfxxxx，所以=f xfx，又 1sin10f，符合题意；B.因为,xx

16、xxxxeeeeeef xfxxxx，所以=f xfx，又当0 x 时，0f x，不符合题意；C.因为 sincos,sincossincosfxxx fxxxxx，所以=f xfx，又当0 x 时，0f x，不符合题意；D.因为 22ln(1)sinln(1)sinf xxxxf xxxx ，所以 f xfx，是奇函数，不符合题意；故选：A7.已知O是坐标原点，点1,1A，若点,M x y为平面区域212xyxy，上的一个动点，则OA OM 的取值范围是（）A.1，0B.0，1C.0，2D.1，2【答案】C【解析】【分析】由约束条件作出可行域，利用向量数量积运算可得目标函数zOA OMxy

17、，化目标函数为直线方程的斜截式，由数形结合得 OA OM的取值范围【详解】满足约束条件212xyxy的平面区域如图所示：联立12xxy，解得 S（1，1），P（0,2）.1,1A，,M x y，OA OMxy ，令zxy，化为y=x+z，作出直线yx，由图可知，平移直线yx至 S 时，目标函数zxy 有最小值 0；平移直线yx至 P 时，目标函数zxy 有最大值 2 OA OM的取值范围是0，2故选 C【点睛】本题考查简单的线性规划的简单应用，平面向量数量积公式的应用，考查数形结合的解题思想方法，属于基础题8.已知等比数列 na满足0,1,2,nan，且25252(3)nnaan，则当1n 时

18、，2123221logloglognaaaA.(21)nnB.2(1)nC.2nD.2(1)n【答案】C【解析】【详解】试题分析：因为 na为等比数列，所以21212225252nnnna aaaaa,22222212322121212logloglogloglog 2log 2nnnnnnaaaa an.故 C 正确.考点：1 等比比数列的性质;2 对数的运算法则.9.某学生到工厂实践，欲将一个底面半径为 2，高为 3 的实心圆锥体工件切割成一个圆柱体，并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面内.若不考虑损耗，则得到的圆柱体的最大体积是A.169B.89C.1627D.827【答案】A【解析】【

19、分析】根据条件求出圆柱的体积，利用基本不等式研究函数的最值即可【详解】解：设圆柱的半径为r，高为x，体积为V，则由题意可得323rx，332xr，圆柱的体积为23()(3)(02)2V rrrr，则33333163331616442()(3)()9442939rrrV rrrr当且仅当33342rr，即43r 时等号成立圆柱的最大体积为169，故选：A【点睛】本题考查圆柱的体积和基本不等式的实际应用，利用条件建立体积函数是解决本题的关键，是中档题10.已 知 函 数 f x的 定 义 域 为R，若 2=fxf x，且22f x为 奇 函 数，则 1232023ffff（）A.5085B.404

20、6C.985D.2046【答案】B【解析】【分析】根据题意可得 f x关于1x 对称，f x关于2,2对称，且 22f，令 2g xfx，求出函数 g x的周期，即可得出函数 f x的周期，再根据函数的周期性求解即可.【详解】令 2g xfx，因为 2=fxf x，所以 f x关于1x 对称，所以 g x关于1x 对称，所以 2gxg x，因为22f x为奇函数，所以 f x关于2,2对称，且 220f，所以 22f，所以函数 g x关于2,0对称，即函数2g x为奇函数，所以22gxg x ，所以 2g xg x，所以 42g xg xg x，即 422f xf x，所以 4f xf x，所

21、以函数 f x是以4为周期的周期函数，因为 f x关于1x 对称，所以 022ff，因为 f x关于2,2对称，所以 13224fff，所以 01238ffff，所以 202412320238040464fffff .故选：B.11.2022 年卡塔尔世界杯会徽（如图）正视图近似伯努利双纽线.在平面直角坐标系xOy中，把到定点1,0Fa，2,0Fa距离之积等于20aa 的点的轨迹称为双纽线.已知点00(,)P xy是双纽线C上一点，有如下说法：双纽线C关于原点O中心对称；022aay；双纽线C上满足12PFPF的点P有两个；PO的最大值为2a.其中所有正确的说法为（）A.B.C.D.【答案】D

22、【解析】【分析】对于，根据双纽线的定义求出曲线方程，然后将(,)xy替换方程中的(,)x y进行判断，对于，根据三角形的等面积法分析判断，对于，由题意得12PFPF，从而可得点P在y轴上，进行可判断，对于，由向量的性质结合余弦定理分析判断,据此可求出选项.【详解】对于，因为定义在平面直角坐标系xOy中，把到定点12(,0),(,0)FaF a距离之积等于2(0)aa 的点的轨迹称为双纽线C，所以22222()()xayxaya，用(,)xy替换方程中的(,)x y，原方程不变，所以双纽线C关于原点O中心对称，所以正确；对于，根据三角形的等面积法可知1212011sin222PF PFFPFay

23、，即012sin22aayFPF，所以022aay，所以正确；对于，若双纽线C上的点P满足12PFPF，则点P在y轴上，即0 x，所以22222ayaya，得0y，所以这样的点P只有一个，所以错误；对于，因为121()2POPFPF ，所以2222211221121221122cos44POPFPF PFPFPFPFPFFPFPF ，由余弦定理得22211212242cosaPFPFPFFPFPF ，所以22222121212coscos2POaPFPFFPFaaFPFa ，所以|PO的最大值为2a，所以正确，故选：D12.已知实数0a，0b，1a，且满足ln1aba，则下列判断正确的是（）A

24、.abB.abC.log1ab D.log1ab【答案】C【解析】【分析】由ln1aba，可得1lnlnlnabaaa，令 1ln0 xf xx xx，再利用导数判断函数 f x的单调性，再分1a 和01a两种情况讨论，即可得解.【详解】因为ln1aba，所以1lnaba，所以1lnlnlnabaaa，令 1ln0 xf xx xx，则 11212xxxxxfxxxx x，所以 2100 xfxxx x，所以 f x在0,上递增，且 10f，当0,1x时，0f x，当1,x时，0f x，因为0a，0b，1a，所以当01a时，1ln0aaaf a，即lnln0ba，所以ba，所以lnln0ba，

25、所以ln1lnba，即log1ab，当1a 时，1ln0aaaf a，即lnln0ba，所以ba，所以lnln0ba，所以ln1lnba，即log1ab，综上所述 C 选项正确.故选：C.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于根据题意得出1lnlnlnabaaa，在构造函数 1ln0 xf xx xx，再根据函数的单调性及 10f进行分析.二二、填填空空题题：本本大大题题共共 4 小小题题，每每小小题题 5 分分，共共 20 分分.13.抛物线C：24yx的准线截圆224xy所得的弦长为_.【答案】2 3【解析】【分析】先求出圆心到准线的距离，再根据圆的弦长公式求解即可.【详解】抛物线C：24

26、yx的准线为=1x，圆224xy的圆心为0,0，半径2r，圆心0,0到准线=1x的距离1d，所以所求弦长为2222 3rd.故答案为：2 3.14.某学校组织 1200 名学生进行“防疫知识测试”测试后统计分析如下：学生的平均成绩为x=80，方差为225s 学校要对成绩不低于 90 分的学生进行表彰假设学生的测试成绩 X 近似服从正态分布2,N（其中近似为平均数x，2近似为方差2s，则估计获表彰的学生人数为_（四舍五入，保留整数）参 考 数 据：随 机 变 量X服 从 正 态 分 布2,N，则0.6827PX，220.9545PX，330.9973PX【答案】27【解析】【分析】根据题意得到8

27、0,5,290，结合3原则和正态分布的对称性求出(90)0.02275P X，求出获得表彰的学生人数.【详解】由题意得：80,5,290，故11(90)(2)0.95450.0227522P XP X，所以1200 0.0227527故答案为：27.15.已知,A B C D是球O的球面上的四点，BD为球O的直径，球O的表面积为16，且ABBC，2ABBC，则直线AD与平面ABC所成角的正弦值是_.【答案】63#163【解析】【分析】取 AC 中点1O，延长1BO至 E，使11O EBO，根据给定条件证明DE平面 ABC，经推理计算作答.【详解】依题意，O是BD中点，取 AC 中点1O，延长1

28、BO至 E，使11O EBO，连接1,OO DE AE CE，如图，则有1/DEOO，且四边形ABCE是平行四边形，2AEBC，因ABBC，则1O是平面ABC截球 O 所得截面小圆的圆心，于是得1OO 平面ABC，DE平面ABC，因此，DAE是直线AD与平面ABC所成角，由球O的表面积为16得球半径2OA，而2ABBC，则12AO，而1OOAC，从而得12OO，122 2DEOO，RtADE中，222 3ADAEDE，6sin3DEDAEAD，所以直线AD与平面ABC所成角的正弦值是63.故答案为：6316.已知双曲线2222:1(0,0)xyEabab的左、右焦点分别为12,F F，过2F作

29、圆222:O xya的切线，切点为T，延长2F T交双曲线E的左支于点P若2232PFTF，则双曲线E离心率的取值范围是_【答案】(2,10)【解析】【分析】由题知OTa，2OFc，2TFb，2cosbOF Tc，进而结合双曲线的性质，余弦定理得22bPFba，故232bbba且ba，进而得31ba，再根据离心率公式求解即可.【详解】解：如图，因为过2F作圆222:O xya的切线，切点为T，所以2OTTF，OTa，所以，在2Rt OTF中，OTa，2OFc，2TFb，2cosbOF Tc，因为，延长2F T交双曲线E的左支于点P，所以212PFPFa，即212PFaPF，所以，在12PFF中

30、，2222222221112211242cos24PFcPFaPFFFPFbOFTcPFFFc PF，整理得22bPFba，所以ba，即1ba，所以212bea因为2232PFTF，即232bbba，整理得3ba，即3ba所以2110bea，综上，双曲线E离心率的取值范围是(2,10)故答案为：(2,10)三三解解答答题题：共共 70 分分.解解答答应应写写出出必必要要的的文文字字说说明明、证证明明过过程程或或演演算算步步骤骤.第第 1721 题题为为必必考考题题，每每个个试试题题考考生生都都必必须须作作答答.第第 22、23 题题为为选选考考题题，考考生生根根据据要要求求作作答答.（一一）必

31、必考考题题：共共 60 分分.17.如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CEAC，EFAC，AB=2，1CEEF（1）求证：CF平面BDE；（2）求二面角A-BE-D的大小【答案】(1)见证明；(2)6（或030）【解析】【分析】（1）连接 FG，可证得四边形 CEFG 为菱形，故得CFEG.再根据平面 ABCD平面 ACEF 得到BD 平面ACEF，从而CFBD由线面垂直的判定定理可得结论成立（2）建立空间直角坐标系，求出平面 BDE 和平面 ABE的法向量，求出两向量的夹角的余弦值并结合图形可得所求角的大小【详解】（1）连接 FG，/,1,1EFCG EFCGCE，四边

32、形 CEFG 为菱形,CFEG.ABCD 为正方形，BDAC，又平面 ABCD平面 ACEF，平面 ABCD平面 ACEF=AC，BD平面 ABCDBD 平面 ACEF，CF平面 ACEF，CFBD又BDEGG，BD平面 BDE,BG平面 BDE，CF 平面 BDE（1）正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互相垂直，且 CEAC，CE平面 ABCD，以 C 为原点，CB 为x轴，CD 为y轴，CE 为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，则220,0,0,2,2,0,0,2,0,0,0,1,2,0,0,122CABEDF，220,2,1,122BECF ，2,0,0AB ，由

33、（1）可得22,122CF 是平面 BDE 的一个法向量设平面 ABE 的一个法向量为111,nx y z由111=2=0=2+=0BE nxAB nyz ，得111=0=2xzy，令11y，得0,1,2n，3cos,2CF nCF nCFn ，由图形可得二面角A-BE-D为锐角，二面角 A-BE-D 的大小为6（或030）【点睛】利用向量求空间角是高考的热点，几乎每年必考，主要是突出向量的工具性作用解题时要注意以下两点：一是建立坐标系时要明确指出坐标原点和坐标轴，否则会出现建系不规范的错误二是将向量的夹角转化成空间角时，要注意根据角的概念和图形特征进行转化18.盲盒，是指消费者不能提前得知具

34、体产品款式的玩具盒子，具有随机性因其独有的新鲜性，刺激性及社交属性而深受各个年龄段人们的喜爱已知M系列盲盒共有 12 个款式，为调查M系列盲盒更受哪个年龄段的喜爱，向00 前、00 后人群各随机发放了 50 份问卷，并全部收回经统计，有 45%的人未购买该系列育盒，在这些未购买者当中，00 后占23（1）请根据以上信息填表，并分析是否有 99%的把握认为购买该系列盲盒与年龄有关？00 前00 后总计购买未购买总计100附：22n adbcKabcdacbd，20P Kk0.100.050.0100.0010k2.7063.8416.63510.828（2）一批盲盒中，每个盲盒随机装有一个款式，

35、甲同学已经买到 3 个不同款，乙、丙同学分别已经买到m个不同款，已知三个同学各自新购买一个盲盒，且相互之间无影响，他们同时买到各自的不同款的概率为13求m；设X表示三个同学中各买到自己不同款的总人数，求X的分布列和数学期望【答案】（1）有 99%的把握认为购买该系列盲盒与年龄有关（2）4；见解析【解析】【分析】（1）列出列联表，计算出2K然后判断.（2）利用概率的乘法公式计算；分析X的取值后，由概率的加法公式和乘法公式计算，得到分布列，然后计算期望.【小问 1 详解】由题意可得00 前00 后总计购买352055未购买153045总计5050100则22100 35 30 15 201009.

36、0916.63550 50 45 5511K所以有 99%的把握认为购买该系列盲盒与年龄有关.【小问 2 详解】由题意三个同学同时买到各自的不同款的概率为9121211212123mm-创=，解得20m 或4，因为012m，所以4m.由题X的所有可能取值为 0，1，2，3()3441012121236P X=创=；()94438471212121212121236P X=创+创；()9843884221212121212129P X=创创=；133P X 其分布列为X0123P1367364913所以数学期望174125012336369312E X .19.在ABC中，角 A，B，C 所对的

37、边分别为 a，b，c，22cacb.（1）证明：2BC；（2）求abc的取值范围.【答案】（1）证明见解析.（2）(1,5).【解析】【分析】（1）运用余弦定理得2coscBac，再运用正弦定理边化角化简计算即可.（2）运用三角形内角范围求得角 C 的范围，进而求得cosC范围，运用边化角将问题转化为求关于cosC的二次函数在区间上的值域.【小问 1 详解】22cacb，22cbac，由余弦定理得：2222cos222acbaacacBacacc，即：2coscBac，由正弦定理得：2sincossinsinCBAC，2sincossin()sinsincossincossinCBBCCBCC

38、BC，整理得：sincossincossin0BCCBC，即：sin()sinBCC，又(0,)BC、，BCC，即：2BC.【小问 2 详解】2BC，3AC，又sin22sincosCCC，2sin3sin(2)sincos2cossin2sincos22sincosCCCCCCCCCCC，sin0C，由正弦定理得：sinsinsin(3)sin2sin3sin2sinsinsinabABCCCCcCCC22sincos22sincos2sincoscos22cos2cossinCCCCCCCCCC2222cos12cos2cos4cos2cos1CCCCC，又0030020300ACBCCC

39、C，1cos12C，令costC，则2421abttc，112t，2421ytt对称轴为14t ，2421ytt在1(,1)2上单调递增，当12t 时，11421 142y ；当1t 时，42 15y ，15abc，即：abc的范围为(1,5).20.已知圆1F：22216xy，E为圆1F上一动点，22,0F，线段2EF的垂直平分线交1EF于点 G.（1）求动点 G 的轨迹 C 的方程；（2）已知2,0A，轨迹 C 上关于原点对称的两点 M，N，射线 AM，AN 分别与圆224xy交于 P，Q 两点，记直线 MN 和直线 PQ 的斜率分别为1k，2k.求 AM 与 AN 的斜率的乘积；问12k

40、k是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由.【答案】（1）22142xy.（2）12.12kk为定值23.【解析】【分析】（1）根据已知条件知点 G 的轨迹符合椭圆定义，运用椭圆定义求解即可.（2）设出 M、N 坐标，运用点 M、N 在椭圆上进行等量代换及斜率公式计算AMANkk即可；设出直线 AM 与直线 AN 的方程，联立直线 AM 方程与椭圆方程可得0 x、0y，进而求得1k，联立直线 AM 方程与圆方程可得1x、1y，同理可得2x、2y，进而求得2k，代入12kk计算可得结果.【小问 1 详解】由题意知，1(2,0)F，4r，因为2(22)016，所以点2F在圆1F内，如图所示，

41、由题意知，2|GEGF，所以121112|4|2 2GFGFGFGEEFrFF，所以动点 G 的轨迹为：以1F、2F为焦点且长轴长为 4 的椭圆.即：24a，2c，所以2a，222bac，所以动点 G 的轨迹 C 的方程为22142xy.【小问 2 详解】由题意知，直线 AM 与直线 AN 的斜率存在且不为 0，设00(,)M xy，11(,)P x y，22(,)Q xy，则00(,)Nxy，M、N 在椭圆上，2200142xy，即220042xy，22000022000012244242AMANyyyykkxxxy,即：直线 AM 与直线 AN 的斜率的乘积为12.设直线 AM 方程为2x

42、my，由知，12AMANkk，所以2ANmk，则直线 AN 方程为22xym，联立22222(2)40142xmymymyxy，因为 A、M 在轨迹 C 上，所以02402mym，即：0242mym，所以20024222mxmym，所以012022ymkxm，联立22222(1)404xmymymyxy，因为 A、P 在圆上，所以12401mym，即：1241mym，所以21122221mxmym，同理：2284mym，222284mxm，所以22124221(36)342yymmmkxxmm，所以2122222233kmmkmm，即12kk为定值23.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的定值问题的

43、常见类型及解题策略(1)求代数式为定值依题设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值(2)求点到直线的距离为定值利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得(3)求某线段长度为定值利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得21.已知函数 2ecosln1xf xaxxx.（1）若1a，求证；函数 f x的图象与x轴相切于原点；（2）若函数 f x在区间1,0，0,各恰有一个极值点，求实数a的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）3,2【解析】【分析】（1）当1a 时，2ecosln1xfxxxx，得到 00f，求导，再根据导

44、数的几何意义即可得证；（2）先证明出e1xx，当且仅当0 x 时，等号成立，三次求导后，结合第三次求导后的函数单调性及 032ha，分32a 和32a 两种情况，结合零点存在性定理进行求解，得到实数a的取值范围.【小问 1 详解】因为1a，2ecosln1xfxxxx，00f，又 1e2sin1xfxxxx，所以 00f，所以在点 0,0f处的切线方程为0y，所以函数 f x的图象与x轴相切于坐标原点；【小问 2 详解】先证明不等式e1xx恒成立，令 e1xxx，则 e1xx，当0 x 时，0 x，当0 x 时，0 x，所以 x在,0上递减，在0,上递增，故 00 x，所以e1xx，当且仅当0

45、 x 时，等号成立，1e2sin1xfxaxxx，令 g xfx，21e2cos1xgxaxx，令 h xgx，32esin1xh xxx，当1,0 x 时，32esin1 sin2sin101xh xxxxx ，故 h x在1,0上为减函数，因为 032ha，所以当320a，即32a 时，0h x，所以 g x为增函数，故 00g xg，所以 f x为减函数，故函数 f x在1,0 x 无极值点；当32a 时，当1,0 x，因为 gx为减函数，0320ga，1111221111e2cos12ecos10222aagaaaaa ，故必存在01,0 x ，使得00gx，当01,xx 时，0gx，

46、g x为增函数，当0,0 xx时，0gx，g x为减函数，而 00f，故00fx，又因为2112e2221211e2sin1eeeeaaaaaafa 22111112ee22222122eesin11esin1e0eeeaaaaaaaaaa ，所以必存在01,mx，0fm，且当1,xm，0fx，f x为减函数，当,0 xm，()0fx，f x为增函数，故 f x在区间1,0上有一个极小值点m，令 32esin1xt xhxxx，因为 46ecos01xtxxx，所以 h x在0,上单调递增，又因为 00h，10h，所以总存在10,1x 使 10h x，且当10,xx时，0h x，h x单调递减

47、，1,xx时，0h x，h x单调递增，当0,x，0320ha，且222112e2cos 21 cos 202121ahaaaaaa，故必存在20,x，使得20gx，20,xx，0gx，fx为减函数，2,xx，0gx，fx为增函数，因为 00f，所以当20,xx，0fx，即20fx，又因为4422114e8sin 418sin 44141afaaaaaaaa42312441 sin 4041aaaaaa，故存在2,nx，使得 0fn，且当2,xx n，0fx，f x为减函数，当,xn，()0fx，f x为增函数，故 f x在区间0,有一个极小值点n，所以若函数 f x在区间1,0，0,各恰有一

48、个极值点，综上：实数a的取值范围是3,2.【点睛】方法点睛：隐零点的处理思路：第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，敏锐捕捉零点存在的区间，有时还需结合函数单调性明确零点的个数；第二步：虚设零点并确定取范围，抓住零点方程实施代换，如指数与对数互换，超越函数与简单函数的替换，利用同构思想等解决，需要注意的是，代换可能不止一次.（二二）选选考考题题：共共 10 分分.请请考考生生在在第第 22、23 题题中中任任选选一一道道作作答答.如如果果多多做做，则则按按所所做做的的第第一一题题计计分分.【选选修修 4-4：坐坐标标系系与与参参数数方方程程】22.在直角坐标系

49、xOy中，曲线C的参数方程为2sin2cos,1 cos2sinxy（为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的方程是cos13（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）若点A的坐标为2,0，直线l与曲线C交于P，Q两点，求11APAQ的值【答案】（1）曲线C的普通方程为22215xy；直线l的直角坐标方程为320 xy（2）174【解析】【分析】（1）直接消去参数，可得到曲线C的普通方程，先cos13化简，然后利用极坐标与直角坐标的关系可得到直线l的直角坐标方程；（2）由（1）可得直线l的倾斜角，设出直线l的参数方程，代入到曲线 C 的直角坐标方程，可

50、得关于 t 的一元二次方程，设点 A，B 对应的参数分别为12,t t，根据韦达定理，可得121 2,tt t t表达式，结合 t 的几何意义，即可得答案.【小问 1 详解】由2sin2cos1 cos2sinxy 可得 2=sin+2cos 1=cos 2sin将上式分别平方，然后相加可得22215xy由cos13可得coscossinsin133即13cossin122，则320 xy【小问 2 详解】由（1）可知直线l的斜率为33，则其倾斜角为6，且点2,0A在直线l上，所以直线l的参数方程为：2cos6sin6xtyt，即32212xtyt（t为参数）将直线l的参数方程代入曲线 C 的