湖北省孝感市2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题含答案.pdf

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1、湖北省孝感市重点高中教科研协作体*数学试卷（共 4 页）第 1页2023 年湖北省孝感市高二期中考试高二数学试卷考试时间：2023 年 4 月 11 日下午 15：00-17：00试卷满分：150 分注意事项:1、答卷前，考生务必将自己的姓名、考号等填写在答题卡和试卷指定的位置上。2、回答选择题时，选出每题答案后，用 2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需要改动，先用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.椭圆2222xy的长

2、轴长为A1B2C2D2 22 3 个班分别从 4 个景点中选择一处游览，不同选法的种数是A43B34C12D163.已知抛物线22(0)ypx p的焦点为 F，若点(4,4)A在抛物线上，则AF A3B.4C.5D.64 已知na为等差数列，135105aaa，24699aaa，则10aA23B.22C.21D.205.已知函数()()sincos4ff xxx,则()f x在4x处的导数是A12 B12C12 D126 已知数列 na是递增的等比数列，142318,32aaa a，若 na的前 n 项和为nS，则115622kkSS，则正整数 k 等于A3B4C5D67.过点 P（2，1）的

3、直线 l 与双曲线2213yx 相交于 A,B 两点，若 P 是线段 AB 的中点，则直线l 的方程是A6110 xyB6130 xyC2310 xy D3240 xy湖北省孝感市重点高中教科研协作体*数学试卷（共 4 页）第 2页8.已知函数()(2)(0)xf xkxex x,若()0f x 的解集为(,)m n,且(,)m n中恰有一个整数,则实数 k 的取值范围是A2111,2eeB32121,13eeC1,2eD21,1e二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分

4、9 以直线210 xy 与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程为A.2xy B.22xy C.22yxD.24yx10已知函数3()6 12f xxx，下列命题中为真命题的是A()f x的单调递减区间是(2,2)B()f x的极小值点是 2C()f x有且只有一个零点D过点(0,0)只能作一条直线与()yf x的图象相切11.如图是瑞典数学家科赫在 1904 年构造的能够描述雪花形状的图案.图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边.反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线，若原正三角形边长为 1，记第 n 个图中图形的边

5、数为na，第 n 个图中图形的周长为nb，则下列命题正确的是A348a B.13(2)nnaanC4649b D数列 nb的前 n 项和为4993n12已知圆 O 的半径为定长 R，A 是圆 O 所在平面内一个定点，P 是圆 O 上任意一点，线段 AP 的垂直平分线 l 和直线 OP 相交于点 Q，当点 P 在圆上运动时，关于点 Q 的轨迹，下列命题正确的是A若 A 是圆 O 内的一个定点（非点 O）时，点 Q 的轨迹是椭圆B若 A 是圆 O 外的一个定点时，点 Q 的轨迹是双曲线的一支C若 A 与点 O 重合时，点 Q 的轨迹是圆D若 A 是圆 O 上的一个定点时，点 Q 的轨迹不存在湖北省

6、孝感市重点高中教科研协作体*数学试卷（共 4 页）第 3页三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13乘积1212123()()()aabbccc展开后共有_项.14若曲线axye在点(0,1)处的切线与直线310 xy 垂直，则实数 a 的值是 _15已知12,F F分别是双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左、右焦点，点 A 是双曲线 C 的右顶点，点 P 在过点 A 且斜率为3 34的直线上，PF1F2为等腰三角形，21120PF F，则双曲线的离心率为_.16数列na满足2(1)21nnnaan，前 16 项和为 352，则1a=_.四、解答题：本题共 6

7、小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（本小题满分 10 分）已知等差数列na的前n项和为nS，55a，155S，（1）求数列na的通项公式；（2）若11nnnba a，求数列 nb的前 2023 项和18（本小题满分 12 分）已知函数2()()6xf xeaxbxx，曲线()yf x在点(0，(0)f处切线方程为68yx（1）求实数a，b的值；（2）求()f x的单调区间，并求()f x的极大值19.（本小题满分 12 分）如图所示，已知直线与抛物线22(0)ypx p交于 A,B 两点，且OAOB，ODAB交AB于点D，点D的坐标为(2,2)（1）求p的值；（2

8、）若线段 AB 的垂直平分线与抛物线交于 E，F 两点，求OEF 的面积.湖北省孝感市重点高中教科研协作体*数学试卷（共 4 页）第 4页20（本小题满分 12 分）已知正项数列na和 nb,数列na的前 n 项和为nS，若242nnnSaa,32log(3)nnabnN，（1）求数列na与 nb的通项公式；（2）令nnncab，记数列 nc的前 n 项和为nT，若1220231nnTa，求 n 的最小值.21（本小题满分 12 分）已知在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 G 的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，焦距等于2 3，且经过点 P1(3,)2.（1）求椭圆 G 的标准方程；（2）记椭

9、圆 G 的左、右顶点分别为 A，B，点 S 是椭圆 G 上位于 x 轴上方的动点，直线 AS，BS 与直线5:2l x 分别相交于 M，N 两点，求线段 MN 的长度的最小值.22（本小题满分 12 分）已知函数2137()ln(1)224f xaxxaxa，其中0a.（1）求()f x的单调区间；（2）当1a 时，设,m n为()f x的两个极值，证明：0mn.湖北省孝感市重点高中教科研协作体*数学答案（共 6 页）第 1页2023 年湖北省孝感市高二期中考试高二数学试卷答案一、单项选择题1D2B3C4C5A6B7A8A二、多项选择题9BD10ABD11ACD12.AC三、填空题131214

10、1315321651【答案】D化椭圆的标准方程可得2212xy，得2a，所以长轴长为2 2.2【答案】B每个班有 4 种不同选择，共有34种不同选法3【答案】C将点 A（4，4）代入抛物线方程，得到2p，所以452pAF 4【答案】C可得33105a，4399a，则2d ，所以1046336(2)21aad .5【答案】A对函数()f x求导可得()()cossin4fxfxx，所以22()()4422ff，可得212()12421212f 6【答案】B联立1423141832aaa aa a可得12a，416a，则公比2q，2nna，167161262(1 2)221 2kkkkkkkkSS

11、aaa，所以71622kkkkSS11522，所以4k.7【答案】A由点差法知，直线 l 的斜率22261bka，又直线 l 过点 P（2，1），所以直线 l的方程为6110 xy，经检验此时 l 与双曲线有两个交点.8【答案】A由(2)0 xkxex，得2xxkxe，令()(0)xxh xxe，1()(0)xxh xxe可得()0h x，01x；()0h x，1x，即()h x在(0,1)上递增，(1,)上递减，令湖北省孝感市重点高中教科研协作体*数学答案（共 6 页）第 2页()2g xkx表示斜率为k，纵截距为2的直线，画图象可得，由图象得0(1)(1)(2)(2)kghgh，可得211

12、12kee 9【答案】BD直线210 xy 与坐标轴的交点为（1，0），（0，12），故以（1，0）和（0，12）为焦点的抛物线标准方程分别为24yx和22xy.10【答案】ABD2()1233(2)(2)fxxxx，可得()f x的单调递减区间为（2，2），A 项正确；又()f x单调递增区间为（，2），（2，），所以2是()f x的极小值点，B 项正确；又(2)100f，(2)220f，则()f x有三个零点，C 项错误；原点不在曲线上，设切点为3000(,6 12)xxx，则3200006 12312xxxx，得303x，所以切点只有一个，D 项正确.11【答案】ACD分析知14(2)n

13、naan及13a，得13 4nna，A 项正确，B 项错误；由11114(2)33nnnnbbbbn及13b，得1433nnb，C 项正确；数列 nb的前 n项和为43134994313nn，D 项正确12【答案】AC若 A 是圆 O 内的一个定点（非点 O）时，QAQOQPQORAO，Q 的轨迹是以 O，A 为焦点的椭圆，所以 A 项正确；若 A 是圆 O 外的一个定点时，QAQOQPQORAO，Q 的轨迹是以 O，A 为焦点的双曲线，所以 B 项错误；若 A 与点 O 重合时，Q 的轨迹是以 O 为圆心，以2R为半径的圆，所以 C 项正确；若 A 是圆 O 上的一个定点时，点 Q 的轨迹为

14、点 O 构成的集合，所以 D 项错误.13【答案】12由分步计数原理，展开后共有2 2 3 项14【答案】13可求得 yaxae，y|x0a=1315【答案】32由题知1222FFPFc，过 P 作 PMx轴于 M，则260PF M，湖北省孝感市重点高中教科研协作体*数学答案（共 6 页）第 3页3PMc，2AMcacca，3 3342PMcAMca，32e 16【答案】5由题知423aa，8611aa，121019aa，161427aa，2461660aaaa，又311aa，535aa，759aa，9713aa，11917aa，131121aa，151325aa，135152521 2aaa

15、a 117 3 13 49 55 6 1 7835260a ，15a四、解答题17.解：（1）由55a，155S，得145ad，15 45152ad，解得11ad，3 分所以nan5 分（2）11111(1)1nnnba an nnn，7 分从而有：12232023202411111111122320232024a aa aaa（）（）（）12023120242024 故数列 nb的前 2023 项和为2023202410 分18 解：（1）()()26xfxeaxabx，1 分曲线()yf x在点(0，(0)f处的切线方程为68yx，3 分(0)()66(0)8fabfb，解得4,8ab6

16、分（2）由（1）可知：2()4(2)6xf xexxx，1()4(3)264(3)()2xxfxexxxe7 分由()0fx解得3x ,或2xln，此时函数()f x在(,3),(ln2,)单调递增；由()0fx解得32xln ，此时函数()f x在(3,ln2)单调递减10 分故当3x 时，函数()f x取得极大值，极大值为39(3)4fe12 分湖北省孝感市重点高中教科研协作体*数学答案（共 6 页）第 4页19解：（1）由ODAB于(2,2)D，:4ABlyx ，直线ABl与22ypx联立，得：2280ypyp，24320pp，设1122(,),(,),A x yB xy由OAOB知，1

17、2120 x xy y21212204y yy yp，即228804ppp，22,4pyx6 分（2）设 AB 中点为00(,)M xy,由（1）知12022yyyp ，0046xy，:26,80EFlyxxy即，与24yx联立得：24320yy，设(,),(,),EEFFE xyF xy2()412EFEFEFyyyyy y，182OEFS EFyy=4812 分(本题也可用其它方法，请酌情给分)20解：（1）由242nnnSaa知，211142(2)nnnSaan，两式相减：221142()(2)nnnnnaaaaan，2 分22112()(2)nnnnaaaan，0na，整理得：12(2

18、)nnaan，由21111420aaaa且得，12a 2nan，4 分由322log(3)nnbnN，得13nnb6 分（2）由（1）知，01212 34 36 323nnTn 31232 34 36 323nnTn 1-得：012122 3233323nnnTn 13(1 3)222231 3nnnTn 13111(1 3)3()3222nnnnTnn 10 分11()332220231212nnnnTnan，34046n，又7832187,36561,8n所以 n 的最小值为 812 分湖北省孝感市重点高中教科研协作体*数学答案（共 6 页）第 5页21.解(1)由已知得 c3，则椭圆的两

19、焦点坐标分别为12(3,0),(3,0)FF，1 分又122FPF Pa，2211(33)(33)244a解得 a2，又 b2a2c21.4 分所以椭圆 G 的方程为2214xy5 分（2）法一：设001255(,),(,),(,)22S xyMyNy则直线 AS 方程为00:(2),2ASylyxx与5:2l x 联立，得：01092(2)yyx00:(2)2BSylyxx，与5:2l x 联立，得：0202(2)yyx8 分则20122094(4)yy yx，又220014xy，2012209 1494(4)16xy yx 所以，1212123()2()2MNyyyyyy 11 分当且仅当

20、12yy，即000092(2)2(2)yyxx，得085x，即8 3(,)5 5S时，取等号所以，线段 MN 的长度的最小值3212 分法二：设00(,),S xy则直线 AS 的斜率为002yx，则直线 BS 的斜率为002yx，结合220014xy得：002yx 2002001244yyxx 所以可设直线 AS 方程为:(2)(0),ASlyk xk与5:2l x 联立，得5 9(,)2 2Mk设直线 BS 方程为1:(2),4BSlyxk 与5:2l x 联立，得51(,)28Nk所以，91919322828162kkMNkk 当且仅当9128kk，即16k，此时8 3(,)5 5S时，

21、取等号所以，线段 MN 的长度的最小值32湖北省孝感市重点高中教科研协作体*数学答案（共 6 页）第 6页22 解：（1）依题可知：定义域为|0 x x 2(1)(1)()()(1)axaxaxxafxxaxxx 2 分1当1a 时，由()0fx，得1,x 或xa，所以()f x的单调递增区间为 0,1,a,由()0fx，得1xa，()f x的单调递减区间为1,a.2当1a 时，()0fx，()f x的单调递增区间为0,()f x的无单调递减区间.3当01a时，由()0fx，得,xa或1x，所以()f x的单调递增区间为 0,1,a由()0fx，得1ax，()f x的单调递减区间为,1a.5

22、分（2）法 一：当1a 时，()f x的 两 个 极 值 分 别 为:19(1)24fa，2117()ln224f aaaaa，21(1)()ln42mnff aaaaa 6 分令21()ln4(1)2g aaaaaa，则,()2lng aaa 令,()()h ag a，则,1()10h aa ，8 分所以,()g a在(1,)上单调递减，且,(3)ln3 10g，,(4)ln420g，故存在0(3,4)a，使得,0()0g a，即002ln0aa，当0(1,)aa，,()0,()g ag a单调递增；当0(,)aa，,()0,()g ag a单调递减，所以22max00000000011()()ln4(2)422g ag aaaaaaaa a 200142aa.又0(3,4)a，max0()()(4)g ag ag=0所以0mn12 分（2）法二：（前略）21(1)()ln42mnff aaaaa令14()1 ln(1)2G aaaaa，则222211428(4)(2)()222aaaaG aaaaa 当(1,4)a时，()0G a，()G a在（1，4）上单调递增；当(4,)a时，()0G a，()G a在（1，4）上单调递减，max()(4)ln420G aG，14()1 ln02G aaaa 21ln402mnaaaa