北京市顺义区2023届高三二模数学试卷含答案.pdf

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1、 1 学科网（北京）股份有限公司 顺义区顺义区 2 2023023 届届高三高三第二次统数学试卷第二次统数学试卷参考答案参考答案 一、选择题一、选择题ADBCC BDBAA 二、填空题二、填空题（11）5 （12）8 （13）8，312 （14）()2()1f xx=（答案不唯一）（15）（答对一个得 2 分，答对两个得 3 分，全部答对得 5 分，有错误不给分）三、解答题三、解答题（16）(本小题 13 分)解：（）因为3sinsin2AB=，在ABC中，由正弦定理sinsinabAB=，2 分 可得：32ab=,3 分 又因为6a=，所以4b=.5 分（）选择条件 按公式酌情给分，最高 4

2、 分；选择条件 设BC边上的中线为AD，则17AD=，3CD=，6 分 在ACD中，由余弦定理得：()22222243171cos22 4 33ACCDADCAC CD+=，9 分 因为1cos3C=，()0,C，所以22 2sin1 cos3CC=，11 分 所以ABC的面积为112 2sin6 48 2223SabC=.13 分 选择条件 方法 1：由题设，因为sin22sincosAAA=，所以sin2sincosBAA=,6 分 因为3sinsin2AB=，所以sin3sincosBBA=因为()0B，所以sin0B，7 分 所以1cos3A=,8 分 由余弦定理2222cosabcb

3、cA=+可得：9 分 2 学科网（北京）股份有限公司 2136162 43cc=+,整理得238600cc=，解得1063c=或-（舍），10 分 因为1cos3A=，()0,A，所以22 2sin1 cos3AA=，11 分 所以ABC的面积为112 2sin4 68 2223SbcA=.13 分 方法 2：由题设，因为sin22sincosAAA=，所以sin2sincosBAA=,6 分 因为3sinsin2AB=，所以sin3sincosBBA=在ABC中，因为ba，所以BA，即0,2B，所以sin0B，7 分 所以1cos3A=,8 分 因为1cos3A=，()0,A，所以22 2s

4、in1 cos3AA=，所以222 24 2sinsin3339BA=，9 分 所以27cos1 sin9BB=，10 分 因为ABC+=，所以()2 2714 22 2sinsinsincoscossin39393CABABAB=+=+=+=，11 分 所以ABC的面积为112 2sin6 48 2223SabC=.13 分 方法 3：因为sinsin2BA=且()0,B,()20,2A 所以2BA+=或2BA=，7 分 因为ba，所以2BA+=，8 分 又因为=ABC+，所以=A C即=6ac=，9 分 所以ABC为等腰三角形，设AC边上的高为BD，则=2AD，由勾股定理22=4 2BDA

5、BAD，11 分 所以ABC的面积为11=4 4 2=8 222SbBD=.13 分 3 学科网（北京）股份有限公司（17）(本小题 13 分)（）证明：方法1：因为平面/ABCD平面1111DCBA，ACABCDACE=平面平面，EFDCBAACE=1111平面平面，所以ACEF/.-3 分 连接11CA.因为11/CCAA,11CCAA=,所以四边形CCAA11是平行四边形.所以ACCA/11,11/CAEF.-5 分 因为E是11DA的中点,所以点F为11DC的中点.-6 分 方法 2：连接11CA.因为11/CCAA,11CCAA=,所以四边形CCAA11是平行四边形.所以11/CAA

6、C,-1 分 因为AC平面1111DCBA，所以/AC平面1111DCBA，-3 分 因为ACACE平面，EFDCBAACE=1111平面平面，所以EFAC/.-5 分 所以11/CAEF.因为E是11DA的中点,所以点F为11DC的中点.-6 分 ()解：方法 1：因为1,DDDCDA两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系xyzD.则)0,0,0(D,)0,0,2(A,)2,0,1(E,)0,4,0(C,)2,0,0(1D.则)0,4,2(=AC,)2,0,1(=AE.设平面ACE的法向量为),(zyx=m，则=00AEACmm,即=+=+02042zxyx-8分 令2=x，则1,1=zy，所

7、以)1,1,2(=m.-10 分 4 学科网（北京）股份有限公司 设()0,2 tG，则()2,21=tGD,由01=ACGD得044=+t，1=t，()0,1,2G()0,1,0=AG-11 分 点G到平面ACE的距离6661=mmAGd.-13 分 方法 2：连接DG.因为ABCDDD平面1,所以ACDD 1.因为ACGD1,DDGDD=1,所以DGDAC1平面,所以DGAC.在平面ABCD内，由1tantan=DACADG,可求出1=AG.-8 分 由勾股定理求出21,520=CEAEAC，,在ACE中由余弦定理得512cos222=+=AEACCEAEACCAE,则562)51(1si

8、n2=CAE，62sin21=CAEAEACSACE.-10 分 121=BCAGSACG.设点G到平面ACE的距离为d，由ACGEACEGVV=得21316231=d，-12 分 解得66=d-13 分（18）(本小题 14 分)解：（）记“从以上所有排片场次中随机选取 1 场，该场的上座率大于 70%”为 事件M.-1 分 影片 A,B,C,D 的上座率大于 70%的场数共有 5+4+3+3=15，-2 分 5 学科网（北京）股份有限公司 所以8340159910123345)(=+=MP.-4 分（）记“从影片 A,B,C 的以上排片场次中各随机抽取 1 场，每场的上座率大于 70%”分

9、别为事件CBA,.其中125)(=AP,52104)(=BP,3193)(=CP;-7 分 这 3 场中至少有 2 场上座率大于 70%的概率为)(ABCBCACBACABP+3152125)521(12531)1251(3152)311(52125+=.-11 分 18059=-12 分（）2221ss.-14 分 19.(本小题 15 分)解：（）()2sin,fxxx=-2 分(0)1,(0)0ff=-3分 在点(0,(0)f处的切线方程 y=1；-4 分（）()2sin,fxxx=()2sin,g xxx=令 则()2 cos,g xx=-5 分 2,2 x ()0g x-6 分()g

10、 x在 2,2 上单调递增-7 分(0)0,g=2,0),g()()0,(0,2,g()()0,xxfxxxfx =()2,0)(0,2,f x在上单调递减，在上单调递增-9分 20()122()4+1.xf xxf x=当时，取最小值，当或时，取最大值-10 分（）要证明对任意的st，有()()33g sg tst，只需证明对任意的st，有()3()3g ssg tt ()()3sinG xg xxxx=记，-12 分()1 cos0G xx=.().G x 上在上(-,+)单调递减-13 分.st 6 学科网（北京）股份有限公司()(),()3()3G sG tg ssg tt即.()()

11、33g sg tst.-15 分 20.(本小题 15 分)解：（）由题意可知：2,2 2ba=-2 分 所以椭圆 C 的方程为22184xy+=.-4 分（）直线l的方程为1ykx=+-5 分 设()11,M x y，()22,N xy，直线l与椭圆方程22184xy+=联立可得：221841xyykx+=+-6 分 消去y可得：()2221460kxkx+=，则121222460,2121kxxx xkk+=+.-8 分 直线 MA 的方程为：1122yyxx=+，令yt=可得()()11112221Ptxtxxykx=,-9 分 直线 NB 的方程为：2222yyxx+=，令yt=可得(

12、)()22222223Qtxtxxykx+=+.-10 分|,DPDQ=|PQxx=-11 分 PQxx法一：易知 与异号+=0PQxx ()()121222+=013txtxkxkx+()()1221122(3)21=01(3)tx kxtx kxkxkx+（）（）()()12212(3)21tx kxtx kx+（）=0()()1211222(3)2tkx xxtkx xx+（）=0()()112226642(3)2212121kkktxtxkkk+（+）=0 7 学科网（北京）股份有限公司()()1122622(3)22121kktxtxkk+（）=0()()122()322021kxt

13、tk+=-14 分 122()(44)21kxtk+=0 2121122122(2)(1)021kxyx kxkx xxxk=+1t=-15 分 法二：()()121222|13txtxkxkx+=+()()211221212112.233xkxkx xxttx kxkx xx=+()12123,2kx xxx=+()()12212122121121123311222.393333222xxxxxkx xxkx xxxxxxx+=+-13 分 2123tt=+14tt=或，-14 分 22t ，1.t=-15 分 法三：()()121222|13txtxkxkx+=+()()211221212

14、112.233xkxkx xxttx kxkx xx=+112221221211122642()()11 21 21 2.6633()331 21 2kkkxxkx xxkkkkkx xxkxxkk+=+-13 分 8 学科网（北京）股份有限公司 2123tt=+14tt=或，-14 分 22t ，1.t=-15 分 (21)(本小题 15 分)解：（）()4,2,0,2A=;-3 分（多写或少写一个元素扣 1 分）（）首先，0A；-4 分 其次A中有 4 个非零元素，符号为一负三正或者一正三负.-5 分 记0,Aa b c d=，不妨设0abcd或者0abcd-6 分 当0abcd时，,6,

15、8,12,12,18,24ab ac adbc bd cd=，相乘可知372576bcda bcd=，从而382aa=，从而,3,4,6b c d=，所以0,2,3,4,6A=；-8 分 当0abcd时，与上面类似的方法可以得到382dd=进而,3,4,6b c d=，从而0,2,3,4,6A=-10 分 所以0,2,3,4,6A=或者0,2,3,4,6A=.（）估值+构造 需要分类讨论 A 中非负元素个数.先证明()13A考虑到将 A 中的所有元素均变为原来的相反数时，集合()A不变，故不妨设 A 中正数个数不少于负数个数.接下来分类讨论：情况一：A 中没有负数 不妨设1290aaa，则12

16、23242939890a aa aa aa aa aa a 上式从小到大共有 1+7+6=14 个数，它们都是()A的元素，这表明()14.A-12分 情况二：A 中至少有一个负数 设 12,sb bb是 A 中的全部负元素，12,tc cc是 A 中的全部非负元素.不妨设11120sstbbbccc 其中,s t为正整数，9,4,5stst+=于是有1 11 2120tts tbcbcbcb cb c 以上是()A中的18st+=个非正数元素：另外，注意到2 3242 53 54 5c cc cc cc cc c 9 学科网（北京）股份有限公司 它们是()A中的 5 个正数这表明()13.A 综上可知，总有()13.A-14 分 另一方面，当230,1,2,2,2A=时，()234560,1,2,2,2,2,2,2A=中恰有13个元素.-15分 综上所述，()A中元素个数的最小值为 13.