广东实验中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学含答案.pdf

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1、第1页（共4页）广东实验中学 20222023 学年（下）高二级期中考试 数 学 本试卷共 4 页，满分 150 分，考试用时 120 分钟 第一部分选择题（共 60 分）一单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知集合312+=xxM，axxN=，若NNM=，则实数a的取值范围为（）A.)1,+B.)2,+C.(,1D.(),12复数iiz+=321的虚部为（）A.107B.i107C.57D.i573等差数列 na满足6298=aa，则该数列的前 13 项的和为（）A.45B.55C.78D.110 4已知24t

2、an=+，则=2sin（）A.53 B.53C.54D.545函数()xxxxf2ln2+=的图象大致为（）6若52=a，53=eb，5ln6ln=c，则下列大小关系正确的是（）A.cbaB.cabC.abcD.bac7已知1a，2a，3a，4a，5a成等比数列，且 1 和 4 为其中的两项，则5a的最小值为（）第2页（共4页）A.64 B.8 C.164 D.18 8已知定义在()3,3上的函数()xf满足()()04=+xfexfx，()21ef=，()xf 为()xf的导函数，当)3,0 x时，()()xfxf2，则不等式()422exfex的解集为（）A.()5,1 B.()1,2 C

3、.()+,1 D.()1,0 二多项选择题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得 5 分，选对但不全的得 2 分，有选错的得 0 分）9下列求导计算中，错误的有（）A.若xy2sin21=，则xy2cos=B.若xy1cos=，则xxy1sin1=C.若22exy+=，则22exy+=D.若21lnxxy=，则311xxy+=10 已知二项式()*12nxnNx的展开式中仅有第 4 项的二项式系数最大，则下列说法正确的是（）A.所有项的系数之和为 1 B.所有项的系数之和为1 C.含3x的项的系数为 240 D.含3

4、x的项的系数为240 11已知函数()()+=xxf2sin3，2,2的图像关于直线3=x对称，则（）A.函数()xf在23，上有极值点 B.若方程()axf=在326，上有 2 个不同实根21,xx，则21xx 的最大值为2 C.函数()xf满足01212=+xfxf D.函数()xf的图像向右平移()0aa个单位长度得到的函数图像关于6=x对称，则a的最小值为3 12在棱长为a的正方体1111ABCDABC D中，1B D与平面1ACD相交于点E，P为1ACD内一点，且1113PB DACDSS=，设直线 PD 与11AC所成的角为，则下列结论正确的是（）A.1B DPE B.点 P 的轨

5、迹是圆 C.点P的轨迹是椭圆 D.的取值范围是,3 2 第3页（共4页）第二部分非选择题（共 90 分）三三.填空题填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）133 个男生 3 个女生排队接种流感疫苗，恰有两个女生排在一起的情况有_种（用数字作答）14已知函数()1623123+=xxmxxf在1,1上单调递减，则m的取值范围是_ 15已知4,4yx，且04=+xyyx，若不等式yxa+恒成立，则a的最大值为_ 16已知双曲线()2222:10,0 xyCabab=的右焦点为(),0F c，过点F且斜率为 2 的直线与双曲线C的两条渐近线分别交于M、N两点，若P是线段MN的中点

6、，且55PFc=，则双曲线的离心率为_ 四解答题四解答题（本题共 6 小题，共 70 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17（本小题 10 分）在ABC中，内角,A B C所对的边分别为a，b，c，已知24sin4sin sin222ABAB+=+(1)求角C的大小；(2)已知4b=，ABC的面积为 6，求Bsin的值.18（本小题 12 分）已知函数()()xxaaxxfln221212+=（1）当31=a时，求()xf的极值；（2）当21a时，讨论()xf的单调性 19（本小题 12 分）如图，已知斜四棱柱1111ABCDABC D，底面ABCD为等腰梯形，ABCD，点1

7、A在底面ABCD的射影为O，且11ADBCCDAA=，2AB=，112AO=，1AABC.（1）求证：平面ABCD 平面11ACC A；（2）已知点M满足111BDMD=，()1,0，且平面MBC与平面ABCD夹角的余弦值为217，求直线1AM与平面MBC所成角的正弦值.第4页（共4页）20（本小题 12 分）已知数列 na首项为41，对任意的+Nn，满足()nnnaaa231=+（1）求 na的通项公式；（2）若()nnanb13+=，数列 nb的前n项和为nS，求证：411nS 21（本小题 12 分）21已知双曲线 C 以250 xy=为渐近线，其上焦点 F 坐标为()0,3.（1）求双

8、曲线 C 的方程；（2）不平行于坐标轴的直线 l过 F与双曲线 C交于,P Q两点，PQ的中垂线交 y 轴于点 T，问TFPQ是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由.22（本小题 12 分）22.已知函数()xexaxf=ln（1）讨论()xfy=的极值点的个数；（2）若+Na，且()0 xf恒成立，求a的最大值 参考数据：第1页（共6页）广东实验中学 20222023 学年（下）高二级期中考试（数学）答案及说明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C A C B C D B A BCD AC ACD ABD 13.432 14.5,5 15.328 16.153

9、17.解：（1）由题意可得：()21 cos4sin4sin sin44sin sin22coscos2sinsin4sin sin22ABABABABABABAB+=+=+()()22 coscossinsin22cos22cos22ABABABC=+=+=+.3 分 可得2cos2C=，()0,C，4C=.5 分（2）ABC的面积112sin46222SabCa=，3 2a=，.7 分 1022423216182=+=c .8 分 22218 10 165cos0252 3 210acbBac+=，即0,2B，.9 分 则22 5sin1cos5BB=，10 分 18.（1）证明：等腰梯形

10、ABCD中，2AB=，1BCCDAD=，延长ADBC,交于E，则22=EDEA，22=ECEB EAB为等边三角形 .2 分 BCAC，且1AABC，AAAAC=1 11ACCABC面，.3 分 BC 平面ABCD，则平面ABCD 平面11A ACC，.4 分（2）以C为坐标原点，CA为x轴正半轴，CB为y轴正半轴，过C作1/OACN交11CA于N CN为z轴正半轴，建立如图所示空间直角坐标系Cxyz，则 .5 分 ()3,0,0A，()0,1,0B，3,0,02O，131,0,22A，131,0222CDBA=第2页（共6页）1133,022B DBD=，1131,0,22DDAA=，11

11、10,2 2D 则=0,2323111，BDMD，3131,2222M+设平面MBC的法向量为(),nx y z=+=002123212300yzyCBnCMn，取1x=，则()1,0,3n=.8 分 取平面ABCD的法向量()0,0,1m=221cos,417m nm nm n=，则12=即：13 3 1,044AM=，31,0,2n=.10 分 设直线1AM与平面MBC所成的角为，则1113sincos,37AM nAM nAMn=所以，直线1AM与平面MBC所成的角正弦值为3 37.12 分 19.解：（1）f（x）ax2+（12a）x2lnx，x0，f（x），.2 分 当31=a时，令

12、()0=xf，解得21=x，32=x .3 分 x()2,0 2()3,2 3()+，3()xf 0+0 ()xf 减 极小值 增 极大值 减 .5 分()()2ln2382=fxf极小，()()3ln2273=fxf极大 .6 分（2）当 a0 时，令 f（x）0，得 0 x2；令 f（x）0，得 x2；.7 分 第3页（共6页）当 a0 时，令 f（x）0，得 x或 x2；（I）当2 时，即 a时，则 f（x）0 恒成立且只有一个点令()0=xf；.8 分（II）当2，即时，令 f（x）0，得 0 x2 或 x；令 f（x）0，得 2x；.10 分 综上所述：当 a0 时，f（x）在（0，

13、2）上递减，在（2，+）上递增；当时，f（x）在（0，2）和（，+）上递减，在（2，）上递增；当 a时，f（x）在（0，+）上递减；.12 分 20.解：（1）有题条件可得232311=+nnnnaaaa .2 分=+113111nnaa 11na是首项为 3，公比为 3 的等比数列 .3 分 nna311=，则 131+=nna .5 分（2）nnnnnb3131313+=.7 分 设nnnc313+=，nncccT+=21 nnnT313312331132+=1323133233123311331+=nnnnnT 1121231331131131334313313133432+=+=nnn

14、nnnnT 1111313312161131331212134+=+=nnnnnn .10 分 第4页（共6页）nnnnT321331434111+=.11 分 0321331431+nnn 411nnTS 12 分 21解：（1）因为双曲线 C以250 xy=为渐近线，设双曲线方程为(25)(25)xyxy+=，即2245xy=,2 分()0,3F，0，即：22154yx=，954=，9920=，即20=.3 分 所以双曲线 C 的方程为：22145yx=.4 分（2）由题意可知直线 l一定有斜率存在且不为 0，设直线 l：3ykx=+()0k，()11,P xy，()22,Q xy，()2

15、2225420,534203yxkxxykx=+=+，.5 分 化简得：()225430250kxkx+=，2400(1)0k=+，此方程的两根为12,x x，则12212230542554kxxkx xk+=，.6 分()222121 22222)49001001(15454kPQkxxx xkkk=+=+()()2222295410 154kkkk=+()()2222222014410 15454kkkkk+=+=.8 分 PQ中点 M 坐标为2221515,35454kkkk+，即221512,54 54kkk，PQ中垂线方程为：22121155454kyxkkk+=+，.9 分 令0

16、x=，22754yk=，2270,54Tk，第5页（共6页）则22227151535454kTFkk+=+=，.11 分()22221515543420154kTFkPQkk+=+，即TFPQ为定值，定值为34 .12 分 22.解：（1）()xxeaexaxfxx=，0 x 当0a时，()0 xf恒成立，函数()xfy=在()+,0上单调递减，没有极值点.1 分 当0a时，设()xxexg=，()()xexxg1+=，当0 x时，()0 xg恒成立()xxexg=在()+,0上单调递增，且()ag=00，当+x，+xe，则+xxe axex=有唯一解，设为0 x .3 分 当0 xx 时，(

17、)0 xf，当00 xx 时，()0 xf 存在一个极大值点，没有极小值点 综上，0a时，没有极值；0a时，有一个极大值点 .4 分（2）0+Na，由（1）得有极大值点0 x，使得aexx=00()00maxlnxexaxf=.要使得()0 xf，则0ln00 xexa aexx=00代入消a，得()01lnln0000000=xxeexexxxx 01ln00 xx，设()xxxh1ln=，由xyln=，xy1=在()+,0上单调递增 得()xxxh1ln=在()+,0上单调递增 ()08.118.1ln8.18.1=h，且()00 xh 8.10 x 设()xxexp=，()()xexxp

18、1+=，当0 x时，()0 xp 第6页（共6页）()xxexp=在()+,0上单调递增 89.108.18.100=eexax 10a 下证10=a时成立，此时()xexxf=ln10，()xexxf=10()07.1107.17.1=ef，()075.11075.11075.128.17.175.1=+eef，()010000=xexxf（利用8.17.12740ee）75.17.10 x()()1ln0000=xxexfx，而()xexxxylnlnln=单调递增 且1,1lnxxxx 016463175.1175.175.1175.1ln75.11ln00=xx 满足0ln1000 xex，即a的最大值为 10