湖北省荆荆襄宜四地七校2022-2023学年高二下学期期中联考数学试题含答案.docx

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1、2023 年春“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”高二期中联考数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知函数，则（ ）A-1 B5 C4 D3 2.若随机事件，则（ ）A B C D 3.已知直线为曲线在点处的切线，则点到直线的距离为（ ）A B C D10 01234.已知随机变量的分布列如右表，则的均值等于（ ）A BC1 D25.某医院需要从4名女医生和3名男医生中抽调3人参加社区的健康体检活动，则至少有1名男医生参加的概率为（ ）A B C D6.设（是自然对数的底数），则的大小关系为（ ）A BCD 7.已知数列为

2、等差数列，其首项为1，公差为2，数列为等比数列，其首项为1，公比为2，设，为数列的前项和，则当时，的取值可以是下面选项中的（ ）A9 B10 C11 D12 8.若存在正实数，使得不等式成立（是自然对数的底数），则的最大值为（ ）A B C D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分9.九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，在阳马中，侧棱，则下列结论正确的有（ ）A四面体是鳖臑 B阳马的体积为C若，则 D到平面的距离为10.在平

3、面直角坐标系中，已知定点，动点满足，记动点的轨迹为曲线，直线，则下列结论中正确的是（ ）A曲线的方程为 B直线与曲线的位置关系无法确定C若直线与曲线相交，其弦长为4，则 D的最大值为311.关于函数，下列说法正确的是（ ）A在上单调递增 B函数有且只有1个零点C存在正实数，使得恒成立 D对任意两个正实数，且，若，则12.已知抛物线的焦点为，过且斜率为的直线交抛物线于两点，在第一象限，过分别作抛物线的切线，且相交于点，若交轴于点，则下列说法正确的有（ ）A点在抛物线的准线上 BC D若，则的值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.在等比数列中，则_.14.的展开式中的系数是_（用

4、数字作答）.15.设某芯片制造厂有甲、乙、丙三条生产线，生产规格的芯片，现有20块该规格的芯片，其中甲、乙、丙生产的芯片分别为6块、6块、8块，且甲、乙、丙生产该芯片的次品率依次为.现从这20块芯片中任取1块芯片，则取得的芯片是次品的概率为_.16.黎曼猜想由数学家波恩哈德黎曼于1859年提出，是至今仍未解决的世界难题.黎曼猜想研究的是无穷级数，我们经常从无穷级数的部分和入手.请你回答以下问题（1）_；（其中表示不超过的最大整数，如）（2）已知正项数列的前项和为，且满足，则_.（参考数据：）四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.（10分）已知函数（，是自

5、然对数的底数）.（1）若，求的极值；（2）若在上单调递增，求的取值范围.18.（12分）手机碎屏险，即手机碎屏意外保险，是一种随着智能手机的普及，应运而生的保险.为方便手机用户，某品牌手机厂商针对两款手机推出碎屏险服务，保修期为1年，如果手机屏幕意外损坏，手机用户可以享受1次免费更换服务，两款手机的碎屏险费用和发生屏幕意外损坏的概率如下表：碎屏险费/元50屏幕意外损坏概率0.050.08（1）某人分别为款各一部手机购买了碎屏险，已知两部手机在保修期内屏幕意外损坏的概率分别为0.05，0.08，手机屏幕意外损坏相互独立.记两部手机在保修期内免费更换屏幕的次数一共为，求的分布列和数学期望.（2）已

6、知在该手机厂商在售出的两款手机中，分别有24000部和10000部上了碎屏险，两款手机更换屏幕的成本分别为400元和600元.若手机厂商计划在碎屏险服务上的业务收入不少于50万元，求款手机的碎屏险费最低应定为多少？（业务收入=碎屏险收入屏幕更换成本）19.（12分）如图，已知三棱柱中，四边形是菱形.（1）求证：；（2）若，求二面角的正弦值.20.（12分）已知数列的前项和为，.（1）求的值，并求数列的通项公式；（2）若数列的前项和为，证明：.21.（12分）已知椭圆，离心率，左、右顶点与上顶点围成的三角形的面积为.（1）求椭圆的方程；（2）为椭圆上异于椭圆右顶点的四个不同的点，直线、直线均不与

7、坐标轴垂直，直线过点且与直线垂直，证明：直线和直线的交点在一个定圆上.22.（12分）已知函数（是常数，是自然对数的底数）.（1）当时，求函数的最大值；（2）当时证明：函数存在唯一的极值点.若，且，证明：.2023 年春“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”数学试题参考答案一、选择题123456789101112DDBCDAACBCDADABDACD1.D 2.D ，故 3.B ，切线，即，则点到直线的距离为4.C ，得，则5.D 法1：法2：6.A 有，得由，得，即，故7.A ，当时，当时8.C 设，则，得在上单增则设，则，得在上单增，在上单减，则，故9.BCD A错B对，C对，D对，由，得10

8、.ADA对，设动点，则，即B错，直线过定点，点在圆内C错，圆心在上，代入得.D对，11.ABDA对，在上单减，在上单增B对，设，在上单减，又，则在上有且只有一个零点.C错，设，则，在上单减.当时，则无最小值，故不恒成立.D对，设由得，即，即设则在上单 减，故12. ACDA对，设点，则有，得，又，得则点，即，故点在准线上B错，点在以为直径的圆上，则，即C对，设点在准线上得射影分别是，则，得，即D对，由，得，则，得 三、填空题：13. 3 14. 35 15. 0.07 16.（1） 1 （2） 88 13. 3 ，得，14. 35 15. 0.07 ，16.（1） 1 （2） 88 （1），所

9、以，所以；（2）当时，解得，因为，所以，当时，所以，即，所以是以为首项，为公差的等差数列，所以，因为，所以，所以，当时，即，所以，令，则，因为，所以，因为，所以，所以，即四、解答题17.（1），当时， 1分由，得当时，在上单增当时，在上单减 3分故当时，有极大值，无极小值. 5分（2）在上恒成立即在上恒成立， 7分又 8分则. 10分（说明：结果不带等号的只扣1分）18.（1）的可能取值为、 4分的分布列为0120.8740.1220.04故次数的数学期望为0.13. 6分（2）依题意，可知、款手机发生屏幕意外损坏分别有240000.051200部，100000.08800部 8分屏幕更换总成

10、本为1200400+800600960000元碎屏险总收入为24000+1000050业务收入为24000+100005096000024000460000 10分则24000+1000050960000500000，得，故款手机的碎屏险费最低应定为40元.12分19.（1）由四边形是平行四边形，得四边形是矩形，则1分由，、面，得面，又面，则 3分由四边形是菱形，得由，、面，得面5分（2）由（1）可知，面，又面，得面面由四边形是菱形，得是正三角形.取、的中点分别为、，连，则，.由面面，得面6分以点为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如下图所示则， 7分面的一个法向量为 8分设面的

11、一个法向量为由，令，得10分设二面角的大小为则 11分故二面角的正弦值为.12分20.（1）当时，又得，即 2分当时， 3分又，得，当时，当时，符合上式综上，得6分（2）8分10分由，得，即.12分21.（1）依题意，得，解得则椭圆.4分（2）设直线，点，由，消，得得，且6分由，得，即，即则即， 即，或 9分当时，直线过定点，不合题意，故舍去.当时，直线过定点 11分又，故直线与的交点在以和所连线段为直径的定圆上 .12分22.（1）当时，1分得当时，在上单增当时，在上单减 则当时，有最大值 4分（2）当时，在上单减6分由，得，则又，（说明：也可以）由零点存在性定理可知，存在唯一使，即7分得当时，在上单增当时，在上单减则在处取得极大值，即存在唯一的极值点.8分由可知，即由，且，得由，得，两式相除，得 9分由（1）可知，即，则，则， 10分法一设，则得在上单减，则，得，则11分又得故成立. 证毕12分法二（同上）10分设，则得在上单减，则，得，则故成立. 证毕12分