浙江省杭州第二中学等四校2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题含答案.pdf

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1、2022 学年第二学期四校联盟期中考试试卷 高二年级数学学科 本试卷分为第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试时间 120 分钟.考生须知：1.本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟；2.答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号;3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；4.考试结束后，只需上交答题卷.第第卷卷（选择题选择题）一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的合题目要求的.1.在空间

2、直角坐标系中，2,3,3,1,2amb，ab，则m的值为（）A.0B.1C.2D.12.已知等比数列 na的公比|1q，前 3 项和为21，且29a，则1a（）A.1B.3C.1D.33.第 19 届亚运会将于今年在杭州举行.你在西湖边遇到了志愿者装扮的吉祥物“琮琮”、“莲莲”和“宸宸”。假如你要和三个吉祥物一起拍合照，且你不希望站在两端，则共有（）种不同的站法.A.24B.18C.12D.94.如图，在正方体1111ABCDABC D中，棱长为2，点,E F分别为棱BC、11C D中点，则点1A到平面DEF的距离为（）A.2 B.10 2121C.7 2323D.2175.已知函数 2lnf

3、 xxax，aR，则下列结论正确的是（）A()f x一定有极大值 B当0a 时，f x有极小值C当0a 时，()f x可能无零点 D若 f x在区间(0,1)上单调递增，则12a 6已知圆22(1)(2)4xy关于直线20axby对称，则22ab的最小值为（）A45 B2 55 C55 D1 7.已知ln2ln31,262abce，则,a b c的大小为（）Abca Babc Cbac Dcba 8.已知双曲线22:1,43xyC以右顶点A为圆心,r为半径的圆上一点M(M不在x轴上)处的切线与C交于,S T两点，且M为ST中点，则r的取值范围为（）A2 217r B4 507r C1r D4r

4、 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9.已知31nx的二项展开式各项系数和为32，则下列说法正确的是（）A.5n B.含2x的项系数为 90 C.第 3 项的二项式系数为 10 D.常数项为 1 10.已知函数sin2()xf xx，则（）A.2()f B.()fx是周期函数 C.()f x在(0,)4单调递减 D.|()|2f x 11.已知数列

5、na满足1aa，21aa，21220nnnaaan，其中a是给定的实数.设 1nnnbaa，以下判断正确的是（）A.nb是等差数列 B.453aa C.nb的通项公式为(1)(40)12nnnb D.数列na的最小项是40a 12.二次曲线22:310C xxyy,则下列选项正确的是（）A.曲线C关于y轴对称 B.曲线C在(1,1)处的切线为yx C.曲线C与直线1y 有两个交点 D.曲线C与圆221xy有四个交点 第第卷卷（非选择题非选择题）三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13.“杨辉三角”是中国古代数学杰出的研究成果之一.如

6、图所示，由杨辉三角的左腰上的各数出发引一组平行线，从上往下每条线上各数之和依次为：1，1，2，3，5，8，13，则第 10 条斜线上，各数之和为 .14.椭圆22:143xyC，直线,1yx yx与椭圆截得的弦的中点分别为BA,，则椭圆的上顶点到直线AB的距离为 .15.从1,2,3,4,5,6,7,8中依次取出 4 个不同的数，分别记作,a b c d，若ab和cd的奇偶性相同，则,a b c d的取法共有 种（用数字作答）.16.已知不等式2ln2ln(1)(3)xexaax恒成立，则a的取值范围为 .四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、

7、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.设数列 na满足2*2()nSnn nN，等比数列 nb满足162,64bb.（1）求,nnab的通项公式；（2）求数列nna b的前n项和nT 18.已知函数 xxf xe.（1）求曲线 sinyf xx在0 x 处的切线方程；（2）方程 f xa恰有两个不同的实根，求a的取值范围.19.为了保证我国东海油气田海域的海上平台的生产安全，海事部门在某平台O的正东方向设立了两个观测站A和B（点A在点O、点B之间），它们到平台O的距离分别为 1 海里和 4 海里，记海平面上到两观测站的距离|PA，|PB之比为12的点P的轨迹为曲线E

8、，规定曲线E及其内部区域为安全预警区（如图）（1）以O为坐标原点，1 海里为单位长度，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，求曲线E的方程；（2）海平面上有巡航观察点Q可以在过点B垂直于AB的直线L 上运动.（i）若M为PB的中点，求|PMPQ的最小值；（ii）过Q作直线,QC QD与曲线E相切于点,C D.证明：直线CD过定点.20.如图，在四棱台1111ABCDABC D中，底面ABCD是菱形，3BAD，梯形11C D DC底面ABCD，113CDCCDD，111C D.设O为DC的中点.（1）求证：111ABOBB平面；（2）1DD上是否存在一点 M，使得 AM 与平面11BDD B所

9、成角余弦为13，请说明理由.21.已知(1,)Mt是抛物线2:2(0)C ypx p上一点，F是C的焦点，|2FM.（1）求C的方程；（2）设(1,0)N，直线l与C交于,A B，若NAB的重心在C上，求NAB面积的最大值.22.已知函数 1 lnf xxkx.（1）求 fx的单调区间；（2）若函数()xf xF xex的值域为0,)，求k的取值范围.O 2022 学年第二学期四校联盟期中考试试卷 高二年级数学学科参考答案 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D C B D

10、B D A 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分.题号 9 10 11 12 答案 AC ACD BCD CD 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13._55_.14._435_.15.912 .16.(1,1e 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.解:（1）121 221(2)nnnaSSnnn，当 n=1 时，113aS也符合.所以21()nannN2 162,64bb,所以2q，所以

11、2nnb.2（2）(21)2nnna bn，所以 2213 25 2(21)22 3 2(21)2(21)2nnnnnTnTnn 3 两式相减：121118(1 2)3 22 22 2(21)26(21)22(1 2)21 2nnnnnnTnnn 于是12(21)2nnTn.3 18.解：（1）(1)cosxyexx，.3 所以0|2xy，又0|0 xy，所以切线方程为2yx.3（2）因为(1)xfxex,所以 当(0,1)x时，0fx，所以 f x单调递增；当(1,)x时，0fx，所以 f x单调递减.3 又1(1)fe，x ,()f x,0 xy,所以该函数的图象如下：又因为 f xa的根

12、的个数等价于 yf x与ya图象的公共点的个数.所以1(0,)ae3 19.解：（1）设(,)P x y，则由题意(1,0),(4,0)AB，根据题意可知12PAPB，2=PAPB，22222(1)(4)xyxy，曲线E的方程为:224xy4(2)直线 L 的方程为4.x (i)若 M 为 PB 的中点,则 1=,32PMPBPAPMPQPAPQAQAB 当 Q=B 时,PM+PQ 的最小值为 3.4(ii)2200(,0)404xxyx xy极点关于圆的极线为 00441,xxx即，由此猜想：直线直线 CD 过定点(1,0)A.证明如下：设设(4,),Qt，1111(,),4C x yCQx

13、 xy y切线为 11,4(4,4)CQxtyQt 2222(,),4D xyxty设同理可得,4 44(1,0).CDxtyA则直线的方程为，CD过定点4 20.（1）证明：取11DC的中点1O，连接1OO，11O B，则11,O O B B共面 又11CCDD，所以1OODC；由底面ABCD是菱形，3BAD，可知OBDC，又1OBOOO，所以1DCOBB平面5（2）因为平面11C D DC平面ABCD，1OO 平面11C D DC，1OODC，平面11C D DC平面ABCD=DC，所以1OOABCD平面 则以 O 为原点，OD、OB、OO1分别为 x、y、z 轴建系2 已知13 3313

14、 330,0,0,0,2 2,0,02222ADDB，设1DMDD，则333 3,0,2 2,2 2222MAM，设平面 BDD1B1法向量,nx y z 由100n DDn DB可得36,2,2n3 22 28cos,003335AM nAM nAMn 故不存在这样符合条件的点 M.2 21.解：（1）24yx.4（2）设直线l：xmyn，1122(,),(,)A x yB xy，由24xmynyx，得到2440ymyn，则124yym，21242xxmn 2211161616()032mnm，于是6622m2 设重心为00(,)xy，则2004214,33mnmxy 则2242144()3

15、3mnm，则24132mn 2 又21212211|1|11|1|2221nSAB dmyyyynm 22222211431434|1|2|2()()232323232mmmmmnn 2 设220,1)3tm，则222214313()()(1)(2)323222mmytt 易得当0t 时，max98y，所以max322S2 22.解：（1）1fxkx 当0k 时，当(0,)x，0fx，则 fx递增.当0k 时，当1(0,)xk，0fx，则 fx递增；当1(,)xk，0fx，则 fx递减.4（2）函数()xf xF xex的值域为0,)等价于函数()()xf xg xex的最小值小于等于 0.考

16、虑反面：()()0 xf xg xex对(0,)x恒成立.即eln1xxkxx 0，化简得eln1xxxkx3 设 eln1=xxxh xx，则 22eln=xxxh xx，设 2elnxj xxx，则易得 j x在0,上是单调递增，因为0 x，h x ，又 1e0j，故存在00,1x，使得02000eln0 xj xxx当00,xx时，0hx；当0,xx时，0hx，所以 h x在00,x上单调递减，在0,x 上单调递增，所以 000min0eln1=xxxh xx 因为0200eln0 xxx，所以0000lnexxxx，设0000lnexxxtx，则0000e (1)ln (2)xxtxtx，（1）式两边取对数可得00lnlnxxt，所以00ln0 xtxt，设 00lnm txtxt，则 m t在0,上单调递减，又因为 10m，所以1t，则有0000e1lnxxxx 所以 000min0eln1=xxxh xx=0011xx=1，所以1k.所以 k 的取值范围为1k lneln1eln1eln1lnln11xxxxxxkxxxxxxxxxx 5