2023年星云5.1线上统一模拟考试高三数学试题含答案.pdf

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1、数学试题第 3 页（共 4 页）绝密启用前2023 年普通高等学校招生星云线上统一模拟考试数学本试卷共 4 页，22 题。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。祝考试顺利注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、选择

2、题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设全集U R，2|560Ax xx，|2Bx x，则()UAB A(2,)B2,)CADAB2sin20 cos40sin70 sin40 A32B1274C2274D1743设a，b为单位向量，a在b方向上的投影向量为12b，则|2|abA1B3C5D74现代建筑物的设计中通常会运用各种曲线、曲面，将美感发挥到极致如图所示是位于深圳的田园观光塔，它的主体呈螺旋形，高15.6 m，结合旋转楼梯的设计，体现了建筑中的数学之美某游客从楼梯底端出发一直走到顶部现把该游客的运动轨迹投影到塔的轴截面

3、，得到曲线方程为sin()(0,0)yAxA（x，y的单位：m）该游客根据观察发现整个运动过程中，相位的变化量为114，则约为A0.55B0.65C0.75D0.85数学试题第 3 页（共 4 页）5过三点(1,0)A，(2,1)B，(2,3)C的圆与直线210 xy 交于M，N两点，则|MN A4 55B6 55C8 55D2 52 556若曲线3231yxxax在点0 x处的切线经过坐标原点，则0 x A12B212C1或12D1或2127已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左、右焦点分别为1F，2F，P为C右支上一点，1PF与C的左支交于点Q若2|PQPF，则C的离心率的取值

4、范围是A(1,3(5,3B(2,3(5,3C(5,3D(2,78从集合1,2,3,4U 的非空子集中随机取出两个不同的集合A，B，则在ABU的条件下，AB恰有1个元素的概率为A839B1639C3279D25二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。9人口问题始终是战略性、全局性的问题2022年末我国人口比上年末减少85万人，为61年来的首次人口负增长，其中生育率持续降低受到了人们的广泛关注为促进人口长期均衡发展，国家制定了一系列优化生育政策：2016年正式全面开放二

5、胎；2022年实施三孩生育政策，并配套生育支持措施为了了解中国人均GDP x（单位：万元）和总和生育率y以及女性平均受教育年限z（单位：年）的关系，采用2012 2022近十年来的数据(,)(1,2,10)iiix y zi 绘制了散点图，并得到经验回归方程7.540.33zx，2.880.41yx，对应的决定系数分别为21R，22R，则A人均GDP和女性平均受教育年限正相关B女性平均受教育年限和总和生育率负相关C2212RRD未来三年总和生育率将继续降低10在正方体1111ABCDABC D中，1(,(0,1)AQmABmADnAA m n，则AAQBDB1BD与平面QAC所成角为45C当点

6、Q在平面1111ABC D内时，1n D当12n 时，四棱锥11QABB A的体积为定值11已知数列na为公差为d的等差数列，nb为公比为q的正项等比数列记12nnaaaAn，1 2nnnGbbb，211()nnknkDaAn，11nknknbFnG，则参考公式：22221112(1)(21)6nkknn nnA当372F 时，2q B当52D 时，74D C1nF 212113nkkDdD212113nkkDd数学试题第 3 页（共 4 页）12在平面直角坐标系中，将函数()f x的图象绕坐标原点逆时针旋转(090)后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称()f x为“旋转函数”那么A存在90

7、旋转函数B80旋转函数一定是70旋转函数C若1()g xaxx为45旋转函数，则1a D若()exbxh x 为45旋转函数，则2e0b 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13已知复数(2)(1)i()zaaa R为实数，则|i|a 14已知F为抛物线2:4C yx的焦点，直线xt与C交于A，B，AF与C的另一个交点为D，BF与C的另一个交点为E若ABF与DEF的面积之比为4:1，则t 15设函数()f x的定义域为R，满足(22)(22)fxfx，(1)(1)4fxfx若(0)0f，且()f x在0,1单调递增，则满足()sin24xf x的x的取值范围是16 三棱

8、锥PABC的各顶点都在半径为1的球O的球面上，ABBCAC，P在平面内，3 105AP，则球O的球面与平面的交线长为；当三棱锥PABC的体积取得最大值时，OA与平面ABC所成角的正切值为四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（10 分）在ABC中，点D为边BC的中点，AB ACBA BDCA CD （1）当22ACAB时，求ABC的面积；（2）求A的最大值18（12 分）如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，ABAD，22BCCDAB，E为PC中点（1）在棱PD上是否存在点Q，使得AQ平面EBD？说明理由；（2）若PC 平面PAD，PCPD，求

9、平面PAD与平面EAB所成角的余弦值PABDCE数学试题第 4 页（共 4 页）19（12 分）记nS为数列na的前n项和已知14a，41(23)(2)nnSnan（1）求na的通项公式；（2）记nT为数列2nnS的前n项积，求nT的最大值20（12 分）已知函数2()()lnf xxax（1）当1a 时，讨论()f x的单调性；（2）当01a时，证明：()f x存在唯一的极小值点0 x，且01()02ef x21（12 分）已知椭圆22:12xEy的左、右焦点分别为1F，2F，过(2,0)T的直线l交E于A，B两点，且A在线段TB上（1）求直线2AF，2BF的斜率之和；（2）设1AF与2BF

10、交于点P，证明：12|PFPF为定值22（12 分）某区域中的物种P拥有两个亚种（分别记为A种和B种）为了调查该区域中这两个亚种的数目，某生物研究小组计划在该区域中捕捉100个物种P，统计其中A种的数目后，将捕获的生物全部放回，作为一次试验结果重复进行这个试验共20次，记第i次试验中A种的数目为随机变量(1,2,20)iXi 设该区域中A种的数目为M，B种的数目为N；每一次试验均相互独立（1）求1X的分布列；（2）记随机变量201120iiXX已知()()()ijijE XXE XE X，()()()ijijD XXD XD X（）证明：1()()E XE X，11()()20D XD X；（

11、）该小组完成所有试验后，得到iX的实际取值分别为(1,2,20)ixi 数据(1,2,20)ixi 的平均值40 x，方差21.176s 采用x和2s分别代替()E X和()D X，给出M，N的估计值数学试题参考答案第 5 页（共 5 页）绝密启用前2023 年普通高等学校招生星云线上统一模拟考试数学试题参考答案选择题题号123456789101112答案CADABCCBABACBCDACD填空题题号13141516答案22|8183,xkxkk Z6512解答题17解：（1）由题意，)(2121ABACBCBD，)(2121ABACBCCD，整理可得)(21222ACABACAB，即22co

12、s4cbAbc，若22 cb，则85cosA，因为),0(A，所以839cos1sin2AA，8398391221sin21AbcS.（2）由（1）知，bccbAbc2cos422，所以21cosA，A的最大值为3.18解：（1）取PD的中点Q，连接QE，则QECD，又ABCD，ABQE，所以四边形ABEQ为平行四边形，AQBE.BE平面EBD，AQ平面EBD，BEAQ，AQ平面EBD.（2）若PC平面PAD，PDPC，则PDPC，ADPC，且2 PDPC，又CDAD，所以AD平面PCD，PDAD，平面EAB平面PADAQ，过P作PH垂直AQ的延长线于H，连接EH，则EHP为平面PAD与平面E

13、AB所成角，又3AD，21422DQADAQ，22PQ，PQHAQD，所以AQADPQPH，721PH，321421722tanPHEPEHP，于是1378cosEHP.数学试题参考答案第 5 页（共 5 页）19解：（1）2n，1)(47142122aaaS，解得52a.当2n时，nnanS)32(1411)52(14nnanS由可得，nnnanana)32()52(411，即12321nnaann，所以15123221ananann，12 nan.综上所述，21214nnnan.（2）由（1）知，当2n时，)12)(32(14nnSn，可得2)1(nSn，且当1n时，4)11(21S，所

14、以2)1(nSn，设2)1(2nbnn，15,4,9,8,5,2654321bbbbbb，3221nbbnnn.当6n时，02433232)11(3222210nnnCCCnnnnnnn，所以当6n时，06 bbn，0nT，且531240TTTTT，所以4n时，nT取得最大值720.20解：（1）由题意)1ln2)()(xaxaxxf，设1ln2)(xaxxg，)()()(xgaxxf，02)(2xaxxg，故)(xg单调递增.当1a时，)11ln2)(1()(xxxxf，0)1(g，于是0)(xf恒成立，且等号成立当且仅当1x，于是)(xf在),0(单调递增.（2）当10 a时，0ln2)(

15、aag，01)1(ag，则存在唯一)1,(0ax，使得0)(0 xg，所以)(xf在),0(a单调递增，),(0 xa单调递减，),(0 x单调递增，)(xf在0 x处取得极小值.01ln2)(000 xaxxg，即000ln2xaxx，又0e)e1(ag，则1e10 x，)(0 xf0320ln4xx，设xxxh32ln4)(，)3ln2(ln4)(2xxxxh，0)e1()(hxh，)(xh单调递增，又e21e1(）h，0)1(h，所以0)(e210 xf.数学试题参考答案第 5 页（共 5 页）21解：（1）由已知得1(1,0)F，2(1,0)F，设11(,)A x y，22(,)B x

16、y直线:2l xmy，与椭圆方程联立222220 xmyxy，-，即22(2)420mymy，由韦达定理可知12242myym，12222yym故221212121212121221111(1)(1)AFBFyyyymy yyykkxxmymymymy，代入式可得，222212242220(1)(1)AFBFmmmmkkmymy，所以220AFBFkk.（2）设00(,)P xy，取A关于x轴的对称点11(,)C xy，由（1）可知，2,B F C三点共线，设直线1211:1xBFxyy，直线1111:1xAFxyy，联立直线12,AF BF11111111xxyyxxyy，解得1111(,)

17、yPxx，即011001,yxyxx，又1012xx，则022x，因为221122xy，所以220001()2()2yxx，整理可得220011122xy，所以P的轨迹是焦距为2，长轴长为2的双曲线右支的一部分，所以12|2PFPF22解：（1）依题意，(1,2,20)iXi 均服从完全相同的超几何分布，故1X的分布列为1001100C C()(,max0,100min100,)CkkMNMNP XkkNkMN；（2）（）由题可知20202011111202020112221111111()()()()20()()2020202011111()()()()20()()2020202020iii

18、iiiiiiiiiE XEXEXE XE XE XD XDXDXD XD XD X，（）由（）可知X的均值1100()()ME XE XMN先计算1X的方差数学试题参考答案第 5 页（共 5 页）2211110010021100100210011002211100100100 2100 12211100100()()()C CC C(1)()CCCCCC(1)()CC(1)CC()CC100(kkkkkMNMNkkMNMNkkkkMNMNkkMNMNMNMNMNMND Xk P XkEXk kkEXM MMEXM MMEXMN M2100)()(1)NMNMN，所以25(100)()()(1)MN MND XMNMN依题意有2100405(100)1.176()(1)MMNMN MNMNMN，解得1981.4M，2972.1N 所以可以估计1981M，2972N（注：只要算出精确值，最终取整无论如何采用什么方法，均视为正确）