湖州、衢州、丽水2023年4月三地市高三教学质量检测试卷数学试题含答案.pdf

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1、高三数学试题卷第 1页共 6 页湖州、衢州、丽水 2023 年 4 月三地市高三教学质量检测试卷数学试题卷本试卷共 6 页，22 小题，满分 150 分.考试用时 120 分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.2.作答选择题时，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上.不按以上要求作答的答案无效.一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合(3)

2、10Mx xx，(3)(1)0Nx xx，则MN IA.3x x B.1x x 或3x C.1x x 或3x D.1x x 或3x 2.已知i1iz（其中i为虚数单位），若z是z的共轭复数，则zzA.1B.1C.iD.i3.设M是平行四边形ABCD的对角线的交点，则22MAMBMCMDuuu ruuu ruuuruuurA.ABuuu rB.CDuuu rC.2ABuuu rD.12CDuuu r4.甲乙两人在一座7层大楼的第一层进入电梯，假设每人从第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则甲乙两人离开电梯的楼层数的和是8的概率是A.16B.19C.536D.7365.已知函数()cosf xa

3、x（0a，0）.若将函数()yf x的图象向左平移6个单位长度后得到函数()yg x的图象，若关于x的方程()0g x 在70,12上有且仅有两个不相等的实根，则实数的取值范围是A.10 24,)77B.16,4)7C.10,4)7D.16 24,)77高三数学试题卷第 2页共 6 页6.喜来登月亮酒店是浙江省湖州市地标性建筑，某学生为测量其高度，在远处选取了与该建筑物的底端B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得45BCDo，105BDCo，100CD 米，在点C处测得酒店顶端A的仰角28ACB，则酒店的高度约是(参考数据：21.4，62.4，tan280.53o)A.91米B.101米

4、C.111米D.121米7.已知(1,0)A是圆O：222xyr上一点，BC是圆O的直径，弦AC的中点为D.若点B在第一象限，直线AB、BD的斜率之和为0，则直线AB的斜率是A.54B.52C.5D.2 58.人教A版必修第一册第92页上“探究与发现”的学习内容是“探究函数1yxx的图象与性质”，经探究它的图象实际上是双曲线.现将函数12yxx的图象绕原点顺时针旋转得到焦点位于x轴上的双曲线C，则该双曲线C的离心率是A.102 52B.552C.104 5D.104 5二、多项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全部选对的得5

5、 分，有选错的得0 分，部分选对的得2 分.9.已知，为两个平面，m，n为两条直线，m 平面，n 平面，则下列命题正确的是A.若/mn，则/B.若m，n为异面直线，则与相交C.若与相交，则m，n相交D.若，则mn10.若实数a，b满足1a 且100ab，则A.ab的最小值是100B.ab的最大值是99C.abab的最小值是201D.abab的最大值是200（第 6 题图）高三数学试题卷第 3页共 6 页11.已知正方形ABCD中，2AB，P是平面ABCD外一点.设直线PB与平面ABCD所成角为，设三棱锥PABC的体积为V,则下列命题正确的是A.若2 3PAPC，则的最大值是4B.若2 3PAP

6、C，则V的最大值是13C.若224PAPD，则V的最大值是23D.若224PAPD，则的最大值是412.抛物线2:4C yx的焦点为F，准线l交x轴于点A，点B为准线上异于A的一点，直线AB上的两点D，E满足DBEBOBADAE（O为坐标原点），分别过D，E作x轴平行线交抛物线C于P，Q两点，则A.sinsinAODBODB.ODOEC.直线PQ过定点1(,0)2D.五边形DPFQE的周长7l 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.8()()xyxy的展开式中72x y的系数是.14.定义在R上的非常数函数()f x满足：()()fxf x，且(2)()0fxf x

7、.请写出符合条件的一个函数的解析式()f x.15.已知数列1，1，3，1，3，5，1，3，5，7，1，3，5，7，9，.，其中第一项是1，接下来的两项是1，3，再接下来的三项是1，3，5，依此类推.将该数列前n项的和记为nS，则使得400nS 成立的最小正整数n的值是.16.已知椭圆C：22221xyab（0ab）离心率为12e，F为椭圆C的右焦点，A，B是椭圆C上的两点，且FAFB.若FAFB，则实数的取值范围是.高三数学试题卷第 4页共 6 页四解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17.（本题满分 10 分）已知数列 na满足：12a，且对任意的

8、*Nn，11222nnnnnanaan，是奇数，是偶数.（1）求2a，3a的值，并证明数列212+3na是等比数列；（2）设12 nnab（*Nn），求数列 nb的前n项和nT.18.（本题满分 12 分）如图，在三棱柱111ABCABC中，底面ABC 平面11AAB B，ABC是正三角形，D是棱BC上一点，且3CDDB，11A AAB.（1）求证：111BCAD；（2）若2AB 且二面角11ABCB的余弦值为35，求点1A到侧面11BBC C的距离.19.（本题满分 12 分）在锐角ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足222sinsinsin1sinsinAACCB，且AC

9、.（1）求证：2BC；（2）已知BD是ABC的平分线，若4a，求线段BD长度的取值范围.（第 18 题图）高三数学试题卷第 5页共 6 页20.（本题满分 12 分）为提升学生的人文素养，培养学生的文学学习兴趣，某学校举办诗词竞答大赛.该竞赛由3道必答题和3道抢答题构成，必答题双方都需给出答案，答对得1分答错不得分；抢答题由抢到的一方作答，答对得2分答错扣1分.两个环节结束后，累计总分高者获胜.由于学生普遍反映该赛制的公平性不足，所以学校将进行赛制改革：调整为必答题4道，抢答题2道，且每题的分值不变.（1）为测试新赛制对选手成绩的影响，该校选择甲、乙两位学生在两种赛制下分别作演练，并统计双方的

10、胜负情况.请根据已知信息补全以下22列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为获胜方与赛制有关？旧赛制新赛制合计甲获胜6乙获胜1合计1020（2）学生丙擅长抢答，已知丙抢到抢答题作答机会的概率为0.6，答对每道抢答题的概率为0.8，答对每道必答题的概率为p（01p），且每道题的作答情况相互独立.（i）记丙在一道抢答题中的得分为X，求X的分布列与数学期望；（ii）已知学生丙在新、旧赛制下总得分的数学期望之差的绝对值不超过0.1分，求p的取值范围.附：22n adbcKabcdacbd，其中abcdn.20P Kk0.150.100.050.0250k2.0722.7063.8415.024高

11、三数学试题卷第 6页共 6 页21.（本题满分 12 分）已知双曲线C：2214xy，点A是双曲线C的左顶点，点P坐标为(4,0).（1）过点P作C的两条渐近线的平行线分别交双曲线C于R，S两点.求直线RS的方程；（2）过点P作直线l与椭圆2214xy交于点D，E，直线AD，AE与双曲线C的另一个交点分别是点M，N.试问：直线MN是否过定点，若是，请求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由.22.（本题满分 12 分）已知函数()esinxf xaxbx（0a）.（1）当0b 时，函数 fx在(0,)2上有极小值，求实数a的取值范围；（2）当0b 时，设0 x是函数 fx的极值点，证明：0ln(

12、)22bfxba.（其中e2.71828是自然对数的底数）高三数学参考答案第 1页共 7 页湖州、衢州、丽水 2023 年 4 月三地市高三教学质量检测试卷数学参考答案一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的二、多项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20分在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全部选对的得5 分，有选错的得0 分，部分选对的得2 分三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分132014cos2yx(本题为开放题，只要满足图象中点0,1为其对称中心，y轴为其对称轴，且周期

13、为 4 的函数都可以)155916374,374四解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤17（本题满分 10 分）已知数列 na满足：12a，且对任意的*Nn，11222nnnnnanaan，是奇数，是偶数.（1）求2a，3a的值，并证明数列212+3na是等比数列；（2）设12 nnab（*Nn），求数列 nb的前n项和nT解（1）1212aa，3322210aa-2 分题号12345678答案CDACBBCD题号9101112答案ABDBCACABD高三数学参考答案第 2页共 7 页由题意得2121212+1221212128882+2244332333

14、nnnnnnnnaaaaa，又128+033a，所以数列212+3na是等比数列-5 分（若用数列212+3na前 3 项说明是公比为 3 的等比数列，但没有严格证明的只得 3 分）（2）由（1）知32438112nnnab-7 分运用分组求和，可得nTnn321498-10 分18（本题满分 12 分）如图，在三棱柱111ABCABC中，底面ABC 平面11AAB B，ABC是正三角形，D是棱BC上一点，且3CDDB，11A AAB（1）求证：111BCAD；（2）若2AB 且二面角11ABCB的余弦值为35，求点1A到侧面11BBC C的距离解；（1）取AB的中点O，11BC的中点E，连接

15、,AO OD AE DE因为3CDDB，在三棱柱111ABCABC可得111AEBC，四边形1AODE为梯形，且/ODAE，12ODAE因为2OBBD，且60OBDo，所以ODBC-2 分因为11A AAB，所以1AOAB又平面ABC 平面11AAB B，平面ABC I平面11AAB BAB所以1AO 平面ABC，所以1AOBC-4 分因为ODBC，1AOBC，1AOODOI，所以BC 平面1AODE，所以1BCAD高三数学参考答案第 3页共 7 页又11/BCBC，所以111BCAD-6 分（2）由（1）知BC 平面1AODE，所以BCDE，又1BCAD，所以1ADE是二面角11ABCB的平

16、面角-9 分所以13cos5ADE作1AGDE，由（1）知1AG 平面11BCC B，设1AOh，则211A Ah，在1ADE中，2134ADh，在平行四边形11BCC B中，234EDh，又13AE 在等腰三角形1ADE中，解得3h，所以12 155AG-12 分19（本题满分 12 分）在锐角ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足222sinsinsin1sinsinAACCB，且AC（1）求证：2BC；（2）已知BD是ABC的平分线，若4a，求线段BD长度的取值范围解：（1）由题意得222sinsinsinsinsinsinACACCB,即21sinsinsinsinAC

17、CB由正弦定理得22bcac，-2 分又由余弦定理得2222cosbacacB，-4 分所以2 coscacB，故sinsin2sincosCACB，故sinsin()2sincosCBCCB，整理得sinsin()CBC，又ABC为锐角三角形，所以CBC，因此2BC-6 分（2）在BCD中，由正弦定理得4sinsinBDBDCC，所以4sinsinBDBDCC-8 分所以4sin4sin4sin2sinsin 2sin 2cosCCCBDBDCCCC，因为ABC为锐角三角形，且2BC，高三数学参考答案第 4页共 7 页所以02022032CCC，解得64C-10 分故23cos22C，所以4

18、 32 23BD因此线段BD长度的取值范围4 3(,2 2)3-12 分20（本题满分 12 分）为提升学生的人文素养，培养学生的文学学习兴趣，某学校举办诗词竞答大赛该竞赛由3道必答题和3道抢答题构成，必答题双方都需给出答案，答对得1分答错不得分；抢答题由抢到的一方作答，答对得2分答错扣1分两个环节结束后，累计总分高者获胜由于学生普遍反映该赛制的公平性不足，所以学校将进行赛制改革：调整为必答题4道，抢答题2道，且每题的分值不变（1）为测试新赛制对选手成绩的影响，该校选择甲、乙两位学生在两种赛制下分别作演练，并统计双方的胜负情况请根据已知信息补全以下22列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握

19、认为获胜方与赛制有关？旧赛制新赛制合计甲获胜6乙获胜1合计1020（2）学生丙擅长抢答，已知丙抢到抢答题作答机会的概率为0.6，答对每道抢答题的概率为0.8，答对每道必答题的概率为p（01p），且每道题的作答情况相互独立（i）记丙在一道抢答题中的得分为X，求X的分布列与数学期望；（ii）已知学生丙在新、旧赛制下总得分的数学期望之差的绝对值不超过0.1分，求p的取值范围附：22n adbcKabcdacbd，其中abcdn 高三数学参考答案第 5页共 7 页解：（1）根据所给数据，可得下面的22列联表：根据列联表得，222206 1942.43.841105 10 15n adbcKabcdac

20、bd ，又23.8410.05P K；故没有95%的把握认为获胜方与赛制有关-4 分（2）（i）由题意知丙的作答情况共有三类：抢答且答错，未抢答成功，抢答且答对，丙在一道抢答题中的得分X可能为1，0，2(1)0.60.20.12P X ，4(0)0.P X，(2)0.60.80.48P X 故可列出X的分布列如下：X102P0.120.40.48因此()1 0.122 0.480.84E X -8 分（ii）在旧赛制下，丙的期望得分为33 0.842.523pp；在新赛制下，丙的期望得分为42 0.841.684pp 由题意得0.840.1p，解得p的取值范围为0.74,0.94-12 分21

21、（本题满分 12 分）已知双曲线C：2214xy，点A是双曲线C的左顶点，点P坐标为(4,0)（1）过点P作C的两条渐近线的平行线分别交双曲线C于R，S两点.求直线RS的方程；（2）过点P作直线l与椭圆2214xy交于点D，E，直线AD，AE与双曲线C的另一个交点分别是点M，N.试问：直线MN是否过定点，若是，请求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由.20P Kk0.150.100.050.0250k2.0722.7063.8415.024旧赛制新赛制合计甲获胜6915乙获胜415合计101020高三数学参考答案第 6页共 7 页解：（1）由题意得，渐近线的斜率为12-1 分可得直线PR的方程

22、为1(4)2yx，由221(4)244yxxy解得53(,)24R，同理5 3(,)2 4S-3 分所以直线RS的方程为52x-4 分（2）直线MN过定点-5 分设直线AD，AE的直线方程分别为12xt y和22xt y由122244xt yxy得，2211(4)40tyt y，解得12144Dtyt，则2121284Dtxt同理22244Etyt，则2222284Dtxt-7 分又P，D，E三点共线，而21122112244(,)44ttPDttuuu r，22222222244(,)44ttPEttuuu r故221221222212212244224404444tttttttt，解得1

23、212t t-9 分设11(,)M xy，22(,)N xy，直线MN的方程ykxm，所以121 2122212xxt tyy即121212(2)(2)1212()()xxy ykxm kxm（*）由2244ykxmxy，整理得222(14)8440kxkmxm，故2122212214008144414kkmxxkmxxk 代入（*）化简解得2220mmkk，即()(2)0mkmk，故mk 或2mk-11 分当2mk时，2ykxmkxk，经过点(2,0)，不合题意，当mk 时，ykxmkxk，经过点(1,0)，满足题意因此直线MN过定点(1,0)-12 分高三数学参考答案第 7页共 7 页22

24、（本题满分 12 分）已知函数()esinxf xaxbx（0a）（1）当0b 时，函数 fx在(0,)2上有极小值，求实数a的取值范围；（2）当0b 时，设0 x是函数 fx的极值点，证明：0ln()22bfxba（其中e2.71828是自然对数的底数）解：（1）由题意知()esinxf xax在(0,)2上有极小值，则()ecos0 xfxax在(0,)2有解，-2 分故ecosxax，设e()cosxg xx（(0,)2x），显然e()cosxg xx在(0,)2单调递增，又(0)1g，2lim()xg x，所以1a-4 分当1a 时，()ecosxfxax在(0,)2单调递增，又 01

25、0af，022ef，由零点存在定理可知(0,)2，且 0f，此时当(0,)x时，()0fx，当(,)2x时，()0fx，所以()f x在(0,)上单调递减，()f x在(,)2上单调递增，故 fx在(0,)2上有极小值点因此实数a的取值范围1a-6 分（2）由题意知()ecosxfxaxb，故000()ecos0 xfxaxb000000sinsin00 xfbxxaebxxaexfxx-8 分00000002e(sincos)2e2 sin()4xxaxxbxbaxbxb002e2xbxba-10 分设()2e2xh xbxba（Rx），则()2exh xb，当(,ln()2bx 时，()0h x，当,2lnbx时，()0h x，所以()h x在2ln,b上单调递减，()h x在,2lnb上单调递增，所以()(ln()ln()222bbh xhba因此0ln()22bfxba成立-12 分