2023届高考数学专项练习阿波罗尼斯圆及其应用阿波罗尼斯圆与圆锥曲线.pdf

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1、阿波罗尼斯圆及其应用阿波罗尼斯圆及其应用阿波罗尼斯圆与圆锥曲线阿波罗尼斯圆与圆锥曲线专题阿波罗尼斯圆及其应用微点阿波罗尼斯圆与圆锥曲线【微点综述】有些涉及圆锥曲线与圆的综合题，其中已知条件含有阿波罗尼斯圆的背景，可以结合阿波罗尼斯圆以及圆锥曲线的几何性质解决问题【典例刨析】1.1.设双曲线x216-y2b2=1的左右两个焦点分别为F1、F2，P是双曲线上任意一点，过F1的直线与F1PF2的平分线垂直，垂足为 Q，则点 Q 的轨迹曲线 E 的方程；M 在曲线 E 上，点 A(8,0)，B(5,6)，则12AM+BM的最小值.2.2.(20222022 广东梅州广东梅州 高二月考高二月考)希腊著名

2、数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点 A,B的距离之比为定值 1的点的轨迹是圆”后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆已知在平面直角坐标系 xOy中，A-2,1，B-2,4，点P是满足=12的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为；若点Q为抛物线 E:y2=4x上的动点，Q在y轴上的射影为H，则 PA+PQ+QH的最小值为3.3.(20222022安徽黄山安徽黄山 一模一模)在平面上给定相异两点A，B，设点P在同一平面上且满足|PA|PB|=，当 0且1时，P点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗

3、尼斯圆.现有双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)，F1,F2分别为双曲线的左 右焦点，A，B为双曲线虚轴的上 下端点，动点P满足|PB|PA|=2，PAB面积的最大值为4.点M，N在双曲线上，且关于原点 O 对称，Q 是双曲线上一点，直线 QM 和 QN 的斜率满足 kQM kQN=3，则双曲线方程是；过F2的直线与双曲线右支交于C，D两点(其中C点在第一象限)，设点MN分别为 CF1F2DF1F2的内心，则 MN的范围是.4.4.(20222022 吉林吉林 梅河口五中学高三期末梅河口五中学高三期末)古希腊数学家阿波罗尼斯(约公元前 262-190 年)，与欧几里得、阿基米德并称古希腊

4、三大数学家；他的著作 圆锥曲线论 是古代数学光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网络殆尽，几乎使后人没有插足的余地他发现“平面内到两个定点 A,B的距离之比为定值 1的点的轨迹是圆”后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆比如在平面直角坐标系中，A 0,1、B 0,4，则点P满足=12所得P点轨迹就是阿氏圆；已知点C-2,4，Q为抛物线y2=8x上的动点，点Q在直线x=-2上的射影为H，M为曲线 x+22+y2=4上的动点，则12MC+QH+QM的最小值为则 MC+QH+QM的最小值为5.5.(20222022湖北湖北 武汉新洲区城关高中高二开学考试武汉新洲区城关高中高二开

5、学考试)阿波罗尼斯(古希腊数学家，公元前262-190年)的著作 圆锥曲线论 是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数 k(k0，且k1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆现有椭圆x2a2+y2b2=1 ab0，A，B 为椭圆的长轴端点，C，D 为椭圆的短轴端点，动点 M 满足MAMB=2，MAB 面积的最大值为 6，MCD 面积的最小值为1，则椭圆的方程为6.6.(20222022 河北河北 衡水二中高二期中衡水二中高二期中)公元前三世纪，阿波罗尼斯在 圆锥曲线论 中明确给出了椭圆的一个基本性质

6、：如图，过椭圆上任意一点P(不同于A，B)作长轴AB的垂线，垂足为Q，则PQ2AQ BQ为常数k若k=14，则该椭圆的离心率为7.7.(20222022 江苏江苏 高二单元测试高二单元测试)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作圆锥曲线 一书中阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是已知动点 M与两定点Q，P的距离之比MQMP=0,1，是一个常数，那么动点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线PQ上已知动点 M 的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为 x2+y2=4，定点分别为椭圆 C:x2a2+y2b2=1 ab0的右焦点F与右顶点A，且椭圆C的离心率为e=12(1)求椭圆C的标

7、准方程；(2)如图，过右焦点F斜率为k k0的直线l与椭圆C相交于B，D(点B在x轴上方)，点S，T是椭圆C上异于B，D的两点，SF平分BSD，TF平分BTD求BSDS的取值范围；将点S、F、T看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若SFT外接圆的面积为818，求直线l的方程【针对训练】8.8.(20222022 安徽皖北联盟高二联考安徽皖北联盟高二联考)古希腊数学家阿波罗尼奥斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线，用垂直于圆锥轴的平面去截圆雉，得到的截面是圆；把平面再渐渐倾斜得到的截面是椭圆.若用面积为128的矩形ABCD截某圆锥得到椭圆，且与矩形ABCD的四边相切.设椭圆在平面直角坐标系中的方程为

8、x2a2+y2b2=1 ab0，下列选项中满足题意的方程为()A.x264+y216=1B.x216+y264=1C.x2256+y216=1D.x264+y232=19.9.(20222022 河南河南 新蔡一中高二月考新蔡一中高二月考)古希腊数学家阿波罗尼斯的著作 圆锥曲线论 是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k(k0且k1)的点的轨迹是圆，后人将之称为阿波罗尼斯圆.现有椭圆T:x2a2+y2b2=1(ab0),A,B为椭圆T长轴的端点，C,D为椭圆T短轴的端点，E，F分别为椭圆T的左右焦点，动

9、点M满足MEMF=2,MAB面积的最大值为4 6,MCD面积的最小值为2，则椭圆T的离心率为()A.63B.33C.22D.3210.10.(20222022北京八一中学高三期末北京八一中学高三期末)古希腊数学家阿波罗尼斯的著作 圆锥曲线论 是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地，他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k(k0且k1)的点的轨迹是圆，后人将之称为阿波罗尼斯圆，现有椭圆:x2a2+y2b2=1 ab0，A、B 为椭圆 长轴的端点，C、D 为椭圆 短轴的端点，动点 M 满足MAMB=2，MAB的面积的最大值为8，MCD的面积的最小

10、值为1，则椭圆的离心率为.11.11.(20222022 广东广州广东广州 高二期末高二期末)在平面上给定相异两点A，B，点P满足|PA|PB|=，则当0且1时，P 点的轨迹是一个圆，我们称这个圆为阿波罗尼斯圆.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a b 0)的离心率 e=32，A，B为椭圆的长轴端点，C，D为椭圆的短轴端点，动点P满足|PA|PB|=3，若PAB的面积的最大值为3，则PCD面积的最小值为.12.12.(20222022 湖南湖南 益阳箴言中学高二月考益阳箴言中学高二月考)阿波罗尼斯的著作 圆锥曲线论 是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他

11、证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数 k(k 0 且 k 1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆，现有 ABC，BC=6，sinB=12sinC，则ABC的面积最大值为，此时AC的长为.13.13.(20222022 浙江浙江 高三开学考试高三开学考试)公元前 3世纪，阿波罗尼奥斯在 圆锥曲线论 中明确给出了椭圆和圆的一个基本性质：如图，过椭圆(或圆)上任意一点P(不同于A，B)作长轴(或直径)AB的一条垂线段，垂足为 Q，则PQ2AQ BQ为常数 k若此图形为圆，则 k=；若 k=12，则此图形的离心率为14.14.(20222022 湖北湖北 荆门龙泉中学二模荆门龙泉中学二

12、模)历史上第一个研究圆锥曲线的是梅纳库莫斯(公元前 375 年-325年)，大约100年后，阿波罗尼斯更详尽、系统地研究了圆锥曲线，并且他还进一步研究了这些圆锥曲线的光学性质：如图甲，从椭圆的一个焦点出发的光线或声波，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，其中法线l表示与椭圆C的切线垂直且过相应切点的直线，如图乙，椭圆C的中心在坐标原点，焦点为F1(-c,0),F2(c,0)(c0)，由F1发出的光经椭圆两次反射后回到F1经过的路程为8c利用椭圆的光学性质解决以下问题：(1)椭圆C的离心率为(2)点P是椭圆C上除顶点外的任意一点，椭圆在点P处的切线为l,F2在l上的射影H在圆x2+y2=

13、8上，则椭圆C的方程为15.15.(20222022 北京朝阳北京朝阳 高二期末高二期末)古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值(1)的点的轨迹是圆.人们将这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知点 A(-1,0)，B(2,0)，动点M满足|MA|MB|=12，记动点M的轨迹为曲线W，给出下列四个结论：曲线W的方程为(x+2)2+y2=4；曲线W上存在点D，使得D到点(1,1)的距离为6；曲线W上存在点E，使得E到点A的距离大于到直线x=1的距离；曲线W上存在点F，使得F到点B与点(-2,0)的距离之和为8.其中所有正确结论的序号是.参考答案：1.1.x2+y2=1

14、6 3 5【解析】延长F1Q与PF2的延长线交于点M，计算OQ=12PF1-PF2=4得到轨迹方程，取点C 2,0，12AM+BM=MC+BM BC，解得答案.【详解】如图所示：延长F1Q与PF2的延长线交于点M，则OQ=12MF2=12PM-PF2=12PF1-PF2=a=4，故轨迹方程为x2+y2=16.取点C 2,0，则OCOM=OMOA=12，MOCMOA，故MC=12PA，12AM+BM=MC+BM BC=3 5，当BMC共线时等号成立.故答案为：x2+y2=16；3 5【点睛】本题考查了轨迹方程，长度的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力，取点C 2,0证明相似是解题的关键.

15、2.2.x+22+y2=410-1#-1+10【分析】设点P坐标，根据题意写出关于x与y的关系式化简即可；利用抛物线的定义可知 QH=QF-1，进而可得PA+PQ+QHmin=AF-1，即得.【详解】设点P(x,y)，=12，PAPB=12(x+2)2+(y-1)2(x+2)2+(y-4)2=12 x+22+y2=4.抛物线的焦点为点F，由题意知F 1,0，QH=QF-1，PA+PQ+QHmin=PA+PQ+QF-1min=AF-1=-2-12+12-1=10-1.故答案为：x+22+y2=4；10-1.3.3.x2-y23=12,4 33【解析】设A(0,b),B(0,-b),P(x,y)，

16、根据|PB|PA|=2，求得x2+y-5b32=4b32，结合PAB的最大面积得到b2=3，再根据kQMkQN=3，得出x2-y23=1，设边CF1,CF2,F1F2上的切点分别为R,S,T，根据内心的性质，得到MNx轴，设直线CD的倾斜角为，在MF2N中，得到 MN=2sin，进而求得 MN的取值范围.【详解】设A(0,b),B(0,-b),P(x,y)，由题意知|PB|PA|=2，可得 PB=2 PA，即x2+(y+b)2=2 x2+(y-b)2，整理得x2+y-5b32=4b32，可得圆心为 0,5b3，半径r=4b3，所以PAB的最大面积为122b4b3=4，解得b2=3，即x2a2+

17、y23=1，设Q(x,y),M(x1,y1)，则N(-x1,-y1)，则x21a2+y213=1，可得y21=3(a2-x21)a2，同理y2=3(a2-x2)a2则kQM=y-y1x-x1,kQN=y+y2x+x2，则kQMkQN=y2-y21x2-x21=3(a2-x2)a2-3(a2-x21)a2x2-x21=3，整理得a2=1，所以双曲线的方程为x2-y23=1.如图所示，设边CF1,CF2,F1F2上的切点分别为R,S,T，则M,T横坐标相等，则 CR=CS,F1M=F1T,F2S=F2T，由 CF1-AF2=2，即 CR+RF1-CS+SF2=2，即 RF1-SF2=2，即 F1T

18、-F2T=2，即点M的横坐标为x0，则T(x0,0)，于是x0+c-(c-x0)=2，可得x0=1，同样内心N的横坐标也为1，则MNx轴，设直线CD的倾斜角为，则OF2N=2,MF2O=90-2，在MF2N中，MN=(c-a)tan2+tan 90-2=(c-a)sin2cos2+cos2sin2=(c-a)sin22+cos22sin2cos2=(c-a)2sin，由双曲线的方程，可得a=1,b=3，则c=a2+b2=2，可得 MN=2sin，又由直线CD为双曲线右支上的点，且渐近线的斜率为ba=3，倾斜角为60，可得6090，即32b0)，若P(x,y)，A(-a,0),B(a,0)，则|

19、PQ|=|y|，|AQ|=a+x，|BQ|=a-x，所以PQ2AQ BQ=y2a2-x2=k，而y2=b2a2(a2-x2)，即k=b2a2=1-c2a2=1-e2，所以e=1-k=34=32.故答案为：32.7.7.(1)x28+y26=1；(2)13,1；y=52x-102【分析】(1)方法1，利用特殊值法，求得椭圆方程，方法2，利用定义整理得x2+y2+2x-2a22-1x+2a2-c22-1=0，再根据条件列式求得椭圆方程；方法3，利用定义进行整理，由MFMA为常数，求得系数，得到椭圆方程；(2)首先由面积比值求得BSDS=BFDF，令BFDF=，则BF=FD，利用坐标表示向量，求得=

20、35-2x0，再求范围；由阿波罗尼斯圆定义知，S，T，F在以B，D为定点得阿波罗尼斯圆上，由几何关系列式得BFDF=2r-BF2r+DF，求得r，再根据1BF-1DF=2-2x03 2 2-12x0=2 29，求得x0,y0，即可计算直线方程.【详解】(1)方法(1)特殊值法，令M 2,0，c-2a-2=c+2a+2，且a=2c，解得c2=2a2=8，b2=a2-c2=6，椭圆C的方程为x28+y26=1方法(2)设M x,y，由题意MFMA=x-c2+y2x-a2+y2=(常数)，整理得：x2+y2+2x-2a22-1x+2a2-c22-1=0，故2c-2a22-1=02a2-c22-1=-

21、4，又ca=12，解得：a=2 2，c=2b2=a2-c2=6，椭圆C的方程为x28+y26=1方法(3)设M x,y，则x2+y2=4由题意MFMA=x-c2+y2x-a2+y2=x-c2+4-x2x-a2+4-x2=c2+4-2cxa2+4-2axMFMA为常数，c2+4a2+4=ca，又ca=12，解得：a2=8，c2=2，故b2=a2-c2=6椭圆C的方程为x28+y26=1(2)由SSBFSSDF=12SB SFsinBSF12SD SFsinDSF=SBSD，又SSBFSSDF=BFDF，BSDS=BFDF(或由角平分线定理得)令BFDF=，则BF=FD，设D x0,y0，则有3x

22、02+4y02=24，又直线l的斜率k0，则x0-2 2,2，xB=2+1-x0yB=-y0 代入3x2+4y2-24=0得：32 1+-x02+42y02-24=0，即+15-3-2x0=0，0，=35-2x013,1由知，SBSD=TBTD=BFDF，由阿波罗尼斯圆定义知，S，T，F在以B，D为定点得阿波罗尼斯圆上，设该圆圆心为C1，半径为r，与直线l的另一个交点为N，则有BFDF=NBND，即BFDF=2r-BF2r+DF，解得：r=11BF-1DF又S圆C1=r2=818，故r=92 2，1BF-1DF=2 29又 DF=x0-22+y02=x0-22+6-34x02=2 2-12x0

23、，1BF-1DF=1 DF-1DF=5-2x03 2 2-12x0-12 2-12x0=2-2x03 2 2-12x0=2 29，解得：x0=-22，y0=-6-34x02=-3 104，k=-y02-x0=52，直线l的方程为y=52x-102【点睛】关键点点睛：本题考查轨迹问题，考查直线与椭圆的位置关系，以及外接圆，新定义的综合应用，属于难题，本题的关键是读懂题意，并根据几何关系进行消参，转化与化归，是本题的关键也是难点.8.8.A【分析】由题得ab=32，再判断选项得解.【详解】解：矩形ABCD的四边与椭圆相切，则矩形的面积为2a2b=128，所以ab=32.只有选项A符合.故选：A9.

24、9.A【分析】由题可得动点M的轨迹方程 x-5c32+y2=16c29，可得122a43c=4 6，122b13c=2，即求.【详解】设M x,y，E-c,0,F c,0，由MEMF=2，可得x+c2+y2=2x-c2+y2=2，化简得 x-5c32+y2=16c29.MAB面积的最大值为4 6,MCD面积的最小值为2，122a43c=4 6，122b13c=2，b2=13a2=a2-c2，即c2=23a2，e=63故选：A10.10.32【分析】设点M x,y，根据MAMB=2可得出点M的轨迹方程，根据已知条件可得出关于a、b的方程组，解出a、b的值，求出c的值，进而可得出椭圆的离心率的值.

25、【详解】设点M x,y，设点A-a,0、B a,0，由MAMB=2可得 MA=2 MB，即x+a2+y2=2x-a2+y2，整理可得x2+y2-10a3x+a2=0，即 x-5a32+y2=169a2，所以，点M的轨迹是以点5a3,0为圆心，以43a为半径的圆，点M到x轴的距离的最大值为43a，则MAB的面积的最大值为122a43a=4a23=8，解得a=6；点M到y轴距离的最小值为5a3-4a3=a3，则 MCD的面积的最小值为122ba3=1，可得b=62.c=a2-b2=3 22，因此，椭圆的离心率为e=ca=32.故答案为：32.【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：(

26、1)定义法：通过已知条件列出方程组，求得a、c的值，根据离心率的定义求解离心率e的值；(2)齐次式法：由已知条件得出关于a、c的齐次方程，然后转化为关于e的方程求解；(3)特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.11.11.1【分析】先根据|PA|PB|=3求出圆的方程，再由PAB的面积的最大值结合离心率求出a和b的值，进而求出PCD面积的最小值.【详解】解：由题意，设A-a,0，B a,0，P x,y因为|PA|PB|=3即x+a2+y2=3x-a2+y2两边平方整理得：x-54a2+y2=34a2所以圆心为54a,0，半径r=34a因为PAB的面积的最大值为3所以122a34a=3，

27、解得：a=2因为椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率e=32即ca=32，所以c=3由a2=b2+c2得：b=1所以PCD面积的最小值为：S=122b54a-34a=542-342=1故答案为：1.【点睛】思路点睛：本题先根据已知的比例关系求出阿波罗尼斯圆的方程，再利用已知面积和离心率求出椭圆的方程，进而求得面积PCD的最值.12.12.12 2 5【分析】建立直角坐标系，根据条件将B点轨迹转化为阿氏圆的问题来解决.【详解】如上图所示，以BC的中点为原点，BC边所在直线为x轴建立直角坐标系，因为BC=6，所以B-3,0，C 3,0，设点A x,y，因为sinC=2sinB，由正弦定理可

28、得：c=2b，即 AB=2 AC，所以：x+32+y2=4 x-32+4y2，化简得：x-52+y2=16，且x1，x9，圆的位置如上图所示，圆心为D 5,0，半径r=4，观察可得，三角形底边长BC不变的情况下，当A点位于圆心D的正上方时，ABC的高最大，此时ABC的面积最大，此时A点坐标为 5,4，ABC的面积最大值为：1264=12，所以AC=5-32+42=2 5故答案为：12；2 5.13.13.122【分析】若图形为圆，根据相似三角形可解；当图形为椭圆时，建立坐标系，将问题坐标化，然后计算可得.【详解】若为圆，则ABP为直角三角形，因为PQAB，所以APQPBQ，于是有PQAQ=BQ

29、PQ，所以PQ2AQ BQ=1当为图形为椭圆时，如图建立平面直角坐标，设椭圆方程为x2a2+y2b2=1，点P(m,n)，则 AQ=m+a,BQ=a-m,PQ=n，所以 AQBQ=a2-m2又m2a2+n2b2=1，得n2=b2-b2m2a2，即 PQ2=b2-b2m2a2所以，PQ2AQ BQ=b2-b2m2a2a2-m2=b2a2=12，所以e=1-ba2=1-12=22故答案为：1，22.14.14.12#0.5x28+y26=1【分析】(1)由题意得到关于a,c的等式,然后结合离心率的定义即可确定椭圆的离心率;(2)由题意利用几何关系求得a,b的值即可求得椭圆方程.【详解】设椭圆C的长

30、轴长为2a(a0),则由F1发出的光经椭圆两次反射后回到F1，经过的路程为2a+2a=4a=8c，从而e=12；如图示：延长F2H,F1P,交于点F0.在PF2F0中,PHF0F2,由反射角等于入射角，可得：F2PH=F0PH,则 PF2=PF0且H为F2F0中点.在F1F2F0中OH=12F1F0=12PF1+PF0=12PF1+PF2,则 PF1+PF2=4 2=2a,a=2 2,c=2,b2=a2-c2=8-2=6,所以椭圆方程为x28+y26=1.故答案为：12；x28+y26=1.15.15.【分析】设M x,y,根据M满足|MA|MB|=12,利用两点间距离公式化简整理，即可判断是

31、否正确；由可知，圆上的点D到(1,1)的距离的范围为10-2,10+2,进而可判断是否正确；设E x0,y0，根据题意可知x0+12+y02 x0-1，再根据E x0,y0在曲线W上，可得x02 x0-1，化简可得y02+4x00，又y02=-x02-4x0，所以-x02-4x0+4x00，即x020，故假设不成立，故不正确；对于中,假设存在这样的点F，使得F到点B与点(-2,0)的距离之和为8，则F在以点B与点(-2,0)为焦点，实轴长为8的椭圆上，即F在椭圆x216+y212=1上，易知椭圆x216+y212=1与曲线W：(x+2)2+y2=4有交点，故曲线W上存在点F，使得F到点B与点(-2,0)的距离之和为8；所以正确.故答案为：