福建省宁德市2022-2023学年高二下学期区域性学业质量监测（A卷）数学试题含答案.pdf

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1、 1/6 2022-2023 学 年第二 学 期 高 二 区 域性 学 业 质 量 监 测 数学试题（A 卷）本试卷有第I 卷（选 择 题）和 第II卷（非选择题）两部分,考试时间120分钟,满分150 分.注意事项：1.答题前,考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填 写准考证号、姓名,考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码 的“准考证号,姓名”与考生本人 准考证号、姓名是否 一致.2.第I 卷 每小题 选出 答案后,用2B 铅 笔把答 题卡上 对应的 题目的 答案标 号涂 黑,如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号;第II 卷用0.5 毫米黑色签字笔在答题卡上书 写作答,在试题卷上作答,答

2、案无效.第I 卷（选择题 共60 分）一、单项选择题：本题共8 小题,每小题5 分,共40 分.在每小题给出的四 个选项 中,只有一个选项是符合题目要求的.1.已知 函数0()f x a,则00()()02f x d f xdd 时,的值趋 近于（）A.2aB.2a C.12aD.12a 2.已知 向量(1,2)at,(2,2,)bs,若ab,则实 数ts（）A.B.2 C.4 D.5 3.已知 平面的一 个法 向量 为 2,1,7,平面的一个 法向 量为 1,9,1,则 平面和平面的位置关系 是（）A.平行 B.垂直 C.相 交但 不垂 直 D.重合4.函数 fx的导 函数 fx 的图 象如

3、 图所示,则（）A.12x 为函数 fx的零 点B.函数 fx在1,22上单 调递 减 C.2 x 为函数 fx的极 大值 点 D.2 f 是函数 fx的最 小值5.如图,在 平行 六面 体1 1 1 1ABCD ABCD 中,2 AB AD,14 AA,90 DAB,1160 BAA DAA,E 为1CC 中点,则AE 的长 为福建省宁德市2022-2023学年高二下学期区域性学业质量监测（A卷）数学试题 2/6（）A.25 B.26 C.36 D.35 6.若函 数 3213f x x x ax 在 R 上是 增函 数，则实 数a 的取 值范 围为（）A.1 a B.1 a C.1 a D

4、.1 a 7.已知 ABC 的三 个顶 点分 别为(3,1,2),(1,1,2),(1,3,2)A B C,则BC 边上 的高 等于（）A.233 B.833 C.463 D.863 8.已知 函数2()ln f x x ax 有两 个零 点,则 实数a 的取 值范 围是（）A.(0,)B.1(0,)e C.1(0,)2e D.1(,)e 二、多 项选 择题：本 题共4 小题,每小题5 分,共20 分.在每小 题给出 的选项 中有多 项符合 题目要求,全部选对的得5 分,部分选对的得2 分,有选错的 得0 分 9.下列 求导 运算 正确 的是（）A.1ln55 B.23 1 3lnxx x x

5、 C.2sin cos sin()x x x xxx D.3 sin 2 3 ln3 sin 2 2cos2xxx x x 10.已知空间中三个向量(2,1,0)AB,(1,2,1)AC,(3,1,1)BC,则下列说法正确的是（）A.与 是共 线向 量 B.与 同向的 单 位向量 是2 5 5(,0)55 C.BC在 方向 上的 投影 向量 是 2,1,0（-）D.平面ABC 的一 个法 向量 是(1,2,5)11.已 知函 数()cos2xf x x,则下列 说法 正 确的是（）A.fx 在5,66 单调 递减 B.fx 在2,23单调递 增 C.fx 有一个 极 大 值是312 2 D.f

6、x 有一个 极大 值是 12.如 图,在棱长 为1 的正方 体1 1 1 1ABCD ABCD 中,M 为11BC 边 的中点,点P 在 底面ABCD 内运动（包 括边 界）,则 下列 说 法正确 的有（）MADD1C1CBB1A1PN11 312 2 3/6 A.存 在点P,使得11DP AD B.过 三点1A M D、的正 方体1 1 1 1ABCD ABCD 的截 面 面积为98 C.四 面体11ACBD 的内 切球 的表 面 积为3 D.点N 在棱1BB 上,且14 BN NB,若1DP NP,则满 足 条件的P 的轨 迹是 圆 第II 卷（非选 择题共90 分）三、填 空题：（本大题

7、共4 小题,每小题5 分,共20 分.把答案填在答题卡 的相 应位置）13.曲线 e2xy 在点 0,3 P处的切 线的 倾 斜角是.14.向量b与(2,1,2)a 共线 且满 足9 ab,则b.15.如图,在 棱长 为1 的 正方 体1 1 1 1ABCD ABCD 中,E F G 分别 为11,DD BD BB 的中点,则1CE 与FG 所成的 角的 余 弦值为.16.设 定义 在R 上的函 数()fx满足(2)2 f,()1 fx,若22()f a a,则a 的取 值范 围为.四、解 答题：本大题 共6 小题,共70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.（本小 题满 分10

8、 分）已知向 量(1,0,2),(1,)a b m m,且 2 ab.（1）求m 的值;（2）若ka b 与ab 互相 垂直,求实 数k 的值.18.（本小 题满 分12 分）已知函 数32()2 9 12 1 f x x x x.（1）求函 数()fx在 0,(0)f 处的 切线 方 程;（2）求函 数 y f x 在 1,3 的最 大值 与 最小值.19.（本小 题满 分12 分）4/6 在正四 棱柱1 1 1 1ABCD ABCD 中12,4 AB AA,E 在线 段1CC 上,且114CE CC.（1）求证:1AC DBE 平 面;（2）求直 线1BE 与平面DBE 所成 角 的正弦

9、值.20.（本小 题满 分12 分）为响应 国家“乡 村振 兴”政策,某 村在 对口 帮扶 单位 的 支持下 拟建 一个 生产 农机 产品的 小型 加工厂.经 过市 场调 研,生 产该 农 机产品 当年 需投 入固 定成 本10 万元,每年 需另 投入 流 动成本()cx(万元)与 ln10 x成正比(其中x(台)表示 产量),并 知当 生产20 台 该产 品时,需要 流动 成本0.7 万元,每件产品的 售价()px与产 量x(台)的函 数关系 为10 51()100 50 xpxx(万元)(其中 10 x).记当年销售该 产品x 台获 得的 利润(利润=销 售收 入生产成 本)为()fx万元

10、.(参考数 据：ln2 0.7,ln3 1.1,ln5 1.6)（1）求函 数()fx的解析 式;（2）当产 量x为何值 时,该 工厂的 年利 润()fx最大?最 大 利 润是多 少?ADA1 B1BCC1 D1E 5/6 21.（本小 题满 分12 分）如图,四棱 锥P ABCD 中,四边 形ABCD 为梯 形,其中AB CD,60 BCD,2 2 4,AB BC CD AD PB.（1）证明：平面PBD 平面ABCD;（2）若PB PD,且PA 与平 面ABCD 所成角 的正弦 值为67,点E 在线 段PC 上满 足2 PE EC,求二 面角C BD E 的余 弦值.22.（本小 题满 分

11、12 分）已知函 数 1)1 ln()(x x a x f,1 3)(xexx hx;（1）求)(x f 函数的 单调 性;（2）设函 数)()()(x h x f x g，对于 任意 的 5,2,2 1 x x 都有2)()(2 12 1x xx g x g成立,求实数a的取值 范围.6/6 2022-2023 学年第 二 学期高 二区域 性学业 质量 监测 数学试题（A 卷）答案 一、单选题：CDBBADBC 第 8 题解析:2()ln,0 f x x ax x 有两个都零 点,即2ln 0 x ax 有两根,则2lnxax,0 x 设2ln()xgxx,31 2ln()0 xgxx 1l

12、n2x,xe 令()0,0,()(0,)g x x e g x e 得 则 在 单 调 递 增 且(1)0 g;令(),()(,)g x x e g x e 得 则 在 单 调 递 减 且()0 gx;max1()()2g x g ee,()gx 图象如图 所示,实数102ae 时 函数2()ln f x x ax 有两个零 点.方法 2:2()ln,0 f x x ax x 有两个都零 点,即lnxaxx 有两根,设ln()xgxx,21 ln()0 xgxx ln 1 x,xe 令()0,0,()(0,)g x x e g x e 得 则 在 单 调 递 增 且(1)0 g;令(),()(

13、,)g x x e g x e 得 则 在 单 调 递 减 且()0 gx;max1()()g x g ee,()gx 图象如图 所示,设()h x ax 与()gx 相切于002ln(,)xxx 则00 200001 ln()lnxg x axxaxx 解得12ae 实 所以实 数102ae 时 函数2()ln f x x ax 有两个零点.1.61.41.210.80.60.40.20.20.40.60.811.21.41.61.820.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6f x()=ln x()x2 二.多选题：BD BCD ACD BC 12 题:

14、对于 A，以 D 为坐标 原点，建 立如图所 示的空 间直角坐标 系，设,0 P x y，则 10,0,1,1,0,0 DA，1,1 DP x y，11,0,1 AD；若11DP AD，则110 DP AD，即 1 x，与题意 矛盾，所 以 A 不正 确；对于 B，取1BB 中点 Q,连接1,DM MQ AQ,可得11AQMD 以1,MQ AD 为底的等腰梯 形 11252,22AD MQ DM 所以梯形的 高为225 2 3 22 4 4 所以,1 2 3 2 922 2 4 8S,故B 正确 对于 C:可知 四面体11ACBD 是棱长为 2 的正四面体,高为233h,设四面体11ACBD

15、的侧面积为S,其内切 球的半 径为r,球心为O 1 1 1 1411433AC BD O AC BVVSh Sr 即346hr,243Sr,所以 C 正确 对于 D 1.61.41.210.80.60.40.20.20.40.60.811.21.41.61.820.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6g x()=a xa=0.19f x()=ln x()x1111(1,1,),(1,1,)5501(1)(1)05N NP x yDP NPDP NPx x y y 即 可得轨迹为 圆:221 1 3()()2 2 10 xy 所以,圆心1 1 30 1 1(

16、,),2 2 10 2 2r AB 又,0,1 xy 所以,轨迹 为圆:221 1 3()()2 2 10 xy 被 ABCD 四 边 形 截得的 4 段圆弧 所以 D 错误 三、填空题 13(45)4 或 14.2,1 2，15.155 16.2,2 16 解：设函 数()()F x f x x()()1 0 F x f x()Fx 在R 上 单 调 递 减(2)(2)2 0 Ff 又 2 2 2 2()()0,f a a f a a 则 2()(2)F a F 即 22 a 即22 a 四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应 写出文字说明，证明过程或演算步骤.17（本小题满

17、分 10 分）解：（1），2 分 所以，4 分 解得：；5 分（2）当 时，6 分，7 分 因为ka b 与 互相垂直，所以，9 分 解得：，10 分 18（本小题满 分 12 分）解：(1)2 分 k=12 3 分 又=1，切点 为（0,1）4 分 切线方程为：y（）即 y=12x 6 分（2）因为，7 分 所以 在区间,1,2,上 0,f x f x 递增；8 分 在区间 1,2 上 0,f x f x 递减.9 分 所以 fx 在 1 x 处取得极大值，在 2 x 处取得极小值.10 分 又，11 分 由（1）知，fx 在区间 上的最大值 为10，最小值为-22.12 分 19.（本小题

18、 满分 12 分）解：（1）由已 知可得 两两垂直，以 为 轴的正方向 建立如图所 示的空间 直角坐标 系 1 分 可得，3 分，且 5 分 又 6 分（2）由（1）得 7 分 为平面 的一个法向量 8 分，11 分 与平面 所成角的正 弦值为 12 分 20.（本小题 满分 12 分）解：（1）依题 设：10ln)(xk x c.1 分 当生产 20 台该 农机产品 时，需要 流动成本 0.7 万元 得：1020ln 7.0 k，可得：1 k，10ln)(xx c；.3 分 1010ln)5051 10100(10)()()(xxxxx c x x p x f 10 ln ln5051100

19、12 x x x)10(x.6 分(2)由（1）得 10 ln ln50511001)(2 x x x x f 1 51 1(1)(50)()50 50 50 xxf x xxx.8 分 10 x 10,50)x 时，0)(x f，)(x f 单调 递增，(50,)x 时，0)(x f，)(x f 单调递减，50 x 时，()Tx 取得极大值也 是最大值.10 分 4.24 10 ln 50 ln 505051501001)50(2 f 当年产量 为 50 台 时，利润)(x f 最大，最大利 润是 24.4 万元.12 分 21.（本小题满 分 12 分）解：（1）由题 设，为等边三角形，则

20、，又四边形 ABCD 为梯形，则，1 分 在 中，2 分 所以，即，3 分，4 分 5 分（2）若 O 为 BD 中点，则 由（1）得平面 平面 ABCD，平面 平面，平面，则 平面，连接 OC，则，且 平面，故，综上，两两垂直，7 分 以 为原点，为 x、y、z 轴正 方向的空 间直角坐 标 系 所以，设 且，则，而平面 的一个法向 量为，8 分 所以，9 分 设 是平面 的一个法向 量，则 取 11 分 所以二面角 的余弦值 为 12 分 22.解：（1）依 题的),1(x 1)1(11)(xa xxax f 2 分 当 1 1 a 时，即 0 a 时，()1,fx 在 上 单 调 递 减

21、；3 分 当 1 1 a 时，即 0 a 时，则 0)(x f 即 1 a x 则,1,1)(上 单 调 递 增 在 a x f 上 单 调 递 减；，在 1 a 4 分 综上所述：当 0 a 时，()1,fx 在 上 单 调 递 减；当 0 a 时，则,1,1)(上 单 调 递 增 在 a x f 上 单 调 递 减；，在 1 a 5 分（2）依题得 1 3 1)1 ln()()()(xexx x a x h x f x gx xexx ax2)1 ln(6 分 因为对于任意的 5,2,2 1 x x 总有2)()(2 12 1 x xx g x g成立，不妨设2 1x x 由2)()(2

22、12 1 x xx g x g，得2 2 1 12)(2)(x x g x x g 7 分 设xexx a x x g x)1 ln(2)()(，可得)(x 在 5,2 单调递增；011)(xexxax 在 5,2 恒成立；8 分 xexa2)1(在 5,2 恒成立；9 分 设xexx F2)1()(，x xex xex xx F)3)(1()1()1(2)(2 令 0)(x F，得 3 1 x，因为 5,2 x，所以)(x F 在)3,2(单调递增；同理，)(x F 在)5,3(单调递 减，所以)(x F 的最大值为34)3(eF，11 分 所以34ea.12 分 学 科 网（北 京）股 份 有 限 公 司A 卷 第 22 题 的 参 考 标 准 答 案 有 三 处 错 误，得 3 分 处“单 调 递 增”应 改 为“单 调 递 减”，得 5分 处（结 论 同 样 错），得 11 分 的 前 一 行“同 理，单 调 递 增”应 改 为“同 理，单 调 递 减”