2023年高考数学专项练习导数压轴大题归类含答案.pdf

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1、1导数压轴大题归类目录重难点题型归纳 1【题型一】恒成立求参 1【题型二】三角函数恒成立型求参 4【题型三】同构双变量绝对值型求参 7【题型四】零点型偏移证明不等式 10【题型五】非对称型零点偏移证明不等式 14【题型六】条件型偏移证明不等式 18【题型七】同构型证明不等式 21【题型八】先放缩型证明不等式 24【题型九】放缩参数型消参证明不等式 26【题型十】凸凹翻转型证明不等式 28【题型十一】切线两边夹型证明不等式 30【题型十二】切线放缩型证明不等式 32【题型十三】构造一元二次根与系数关系型证明不等式 35【题型十四】两根差型证明不等式 38【题型十五】比值代换型证明不等式 41【题

2、型十六】幂指对与三角函数型证明不等式 43【题型十七】不等式证明综合型 46好题演练 50一、重难点题型归纳重难点题型归纳题型一 恒成立求参【典例分析】1.已知函数 f x=x+2a ln x(a R)(1)讨论 fx 的单调性；(2)是否存在 a Z，使得 fx a+2 对 x 1 恒成立？若存在，请求出 a 的最大值；若不存在，请说明理由2023年高考2023年高考数学专项练习导数压轴大题归类含答案数学专项练习导数压轴大题归类含答案2023年高考数学专项练习导数压轴大题归类含答案2【变式演练】1.已知函数 f(x)=1+xex，g(x)=1-ax2(1)若函数 f(x)和 g(x)的图象在

3、 x=1 处的切线平行，求 a 的值；(2)当 x 0，1 时，不等式 f(x)g(x)恒成立，求 a 的取值范围3题型二 三角函数恒成立型求参【典例分析】1.已知函数 f(x)=ex+cos x-2,f(x)为 f(x)的导数.(1)当 x 0 时，求 f(x)的最小值；(2)当 x-2时，x ex+xcos x-ax2-2x 0 恒成立，求 a 的取值范围.【变式演练】1.已知函数 f(x)=2x-sin x(1)求 f(x)的图象在点2,f2 处的切线方程；(2)对任意的 x 0,2，f(x)ax，求实数 a 的取值范围4题型三 同构双变量绝对值型求参【典例分析】1.已知函数 f x=a

4、ln x+x2(a 为实常数).(1)当 a=-4 时，求函数 f x 在 1,e 上的最大值及相应的 x 值；(2)若 a 0，且对任意的 x1,x2 1,e，都有 f x1-f x2 1x1-1x2，求实数 a 的取值范围.【变式演练】1.已知 f x=x2+x+aln x(a R)(1)讨论 f x 的单调性；(2)若 a=1，函数 g x=x+1-f x，x1，x2(0,+)，x1 x2，x1g x2-x2g x1 x1-x2 恒成立，求实数 的取值范围5题型四 零 点 型 偏 移 证 明 不 等 式【典例分析】1.已知函数 f x=xln x，g x=ax2+1(1)求函数 f x

5、的最小值；(2)若不等式 x+1 ln x-2 x-1 m 对任意的 x 1,+恒成立，求 m 的取值范围；(3)若函数 f x 的图象与 g x 的图象有 A x1,y1，B x2,y2 两个不同的交点，证明：x1x216(参考数据：ln2 0.69，ln5 1.61)【变式演练】1.已知函数 f(x)=12x2+ln x-2x(1)求函数 f(x)的单调区间；(2)设函数 g(x)=ex+12x2-(4+a)x+ln x-f(x)，若函数 y=g(x)有两个不同的零点 x1,x2，证明：x1+x22ln(a+2)6题型五 非对称型零点偏移证明不等式【典例分析】1.已知函数 f x=aln

6、x-x a R.(1)求函数 y=f x 的单调区间；(2)若函数 y=f x 在其定义域内有两个不同的零点，求实数 a 的取值范围；(3)若0 x1 x2，且x1ln x1=x2ln x2=a，证明：x1ln x12x2-x1.【变式演练】1.函数 f x=ln x-ax2+1.(1)若 a=1，求函数 y=f 2x-1 在 x=1 处的切线；(2)若函数 y=f x 有两个零点 x1，x2，且 x1 x2，(i)求实数 a 的取值范围；(ii)证明：x22-x1-a2+a+1a2.7题型六 条 件 型 偏 移 证 明 不 等 式【典例分析】1.已知函数 f x=ln x+axx，a R.(

7、1)若 a=0，求 f x 的最大值；(2)若0 a 1，求证：f x 有且只有一个零点；(3)设0 m 2e.【变式演练】1.已知函数 f x=2ln x+x2+a-1 x-a，(a R)，当 x 1 时，f(x)0 恒成立(1)求实数 a 的取值范围；(2)若正实数 x1、x2(x1 x2)满足 f(x1)+f(x2)=0，证明：x1+x22 8题型七 同构型证明不等式【典例分析】1.材 料：在 现 行 的 数 学 分 析 教 材 中，对“初 等 函 数”给 出 了 确 切 的 定 义，即 由 常 数 和 基 本 初 等 函 数经 过 有 限 次 的 四 则 运 算 及 有 限 次 的 复

8、 合 步 骤 所 构 成 的，且 能 用 一 个 式 子 表 示 的.如 函 数 f x=xxx 0，我 们 可 以 作 变 形：f x=xx=eln x x=ex ln x=ett=xln x，所 以 f x 可 看 作 是 由 函 数 f t=et和 g x=xln x 复合而成的，即 f x=xxx 0 为初等函数，根据以上材料：(1)直接写出初等函数 f x=xxx 0 极值点(2)对于初等函数 h x=xx2x 0，有且仅有两个不相等实数 x1,x20 x1 x2 满足：h x1=h x2=ek.(i)求 k 的取值范围.(ii)求证：xe2-2e2e-e2x1(注：题中e 为自然对

9、数的底数，即e=2.71828)【变式演练】1.已知函数 f x=eaxx，g x=ln x+2x+1x，其中 a R.(1)试讨论函数 f x 的单调性；(2)若 a=2，证明：x f(x)g(x).9题型八 先放缩型证明不等式【典例分析】1.设函数 f x=aln x+1x-1 a R(1)求函数 f x 的单调区间；(2)当 x 0,1 时，证明：x2+x-1x-1 exln x【变式演练】1.已知函数 f x=aex-2-ln x+ln a.(1)若曲线 y=f x 在点 2,f 2 处的切线方程为 y=32x-1，求 a 的值；(2)若 a e，证明：f x 2.1 0题型九 放缩参

10、数型消参证明不等式【典例分析】1.已知函数 f x=12ax2+1-a x-ln x.(1)当 a=-2 时，求函数 f x 的单调区间；(2)当 a 1 时，证明：x 1 时，当 f x 1-a x+1x-1+12a 恒成立.【变式演练】1.已知函数 f x=ln ax-1+aln x 的图像在点 1,f 1 处的切线方程为 y=4x+b.(1)求 a，b 的值；(2)当 k 4 时，证明：f x k x-1 对 x 1,+恒成立.1 1题型十 凸凹翻转型证明不等式【典例分析】1.已知函数 f x=ax-ln x，a R.(1)求函数 f x 的单调区间；(2)当 x 0,e 时，求 g x

11、=e2x-ln x 的最小值；(3)当 x 0,e 时，证明：e2x-ln x-ln xx52.【变式演练】1.已知函数 f(x)=ln x-x.(1)讨论函数 g(x)=f(x)-ax(a 0,a R)的单调性；(2)证明：f(x)ln xx+12.1 2题型十一 切线两边夹型证明不等式【典例分析】1.已知函数 f(x)=6x-x6，x R(1)求函数 f(x)的极值；(2)设曲线 y=f(x)与 x 轴正半轴的交点为 P，求曲线在点 P 处的切线方程；(3)若方程 f(x)=a(a 为实数)有两个实数根 x1，x2且 x1 x2，求证：x2-x1615-a5【变式演练】1.已知函数 f(x

12、)=xln x-x.(1)设曲线 y=f x 在 x=e 处的切线为 y=g x，求证：f(x)g x；(2)若关于 x 的方程 f(x)=a 有两个实数根 x1，x2，求证：x2-x1 2 a+e+1e.1 3题型十二 切线放缩型证明不等式【典例分析】1.已 知 函 数 f x=mx22-kln x+n ex+1 14ex+1-ax+a-1，其 中 e=2.718 是 自 然 对 数的底数，fx 是函数 f x 的导数.(1)若 m=1，n=0 时.(i)当 k=1 时，求曲线 f x 在 x=1 处的切线方程.()当 k 0 时，判断函数 f x 在区间 1,e 零点的个数.(2)若 m=

13、0，n=1，当 a=78时，求证：若 x1 x2，且 x1+x2=-2，则 f x1+f x2 2.【变式演练】1.已知函数 f(x)=a(x-1)ex，a 0.(1)讨论 f(x)的单调性；(2)当 a=1 时，求函数在 x=1 处的切线 l，并证明0 x 1，函数 f(x)图象恒在切线 l 上方；若 f(x)=m 有两解 x1,x2，且 x1 x2，证明 x2-x21me-m.1 4题型十三 构造一元二次根与系数关系型证明不等式【典例分析】1.已知函数 f x=x2-x+kln x，k R(1)讨论函数 f x 的单调性；(2)若 f x 有两个极值点 x1，x2，证明：f x1-f x2

14、 14-2 k【变式演练】1.已知函数 f(x)=ln x+ax2-x.(1)若 a=-1，求函数 f(x)的极值；(2)设 f(x)为 f(x)的导函数，若 x1，x2是函数 f(x)的两个不相等的零点，求证：f(x1)+f(x2)x1+x2-5.1 5题型十四【题型十四】两根差型证明不等式【典例分析】1.已知函数 f x=ex-aln a xln x a 0，其中e=2.71828 是自然对数的底数.(1)当 a=e 时，求函数 f x 的导函数 fx 的单调区间；(2)若函数 f x 有两个不同极值点 x1，x2且 x1 x2；(i)求实数 a 的取值范围；(ii)证明：x2-x1 e-

15、aln a e-aln a-4.【变式演练】1.已知函数 f x=ax2+1x.(1)当 a=-4 时，求 f x 的极值点.(2)当 a=2 时，若 f x1=f x2，且 x1x20，证明:x2-x1 3.1 6题型十五 比值代换型证明不等式【典例分析】1.已知函数 f x=xlogax-2+1ln a x(a 为常数，a 0 且 a 1).(1)求函数 f x 的单调区间；(2)当 a=e 时，若 g x=f x-12mx2+3x 有两个极值点 x1，x2，证明：ln x1+ln x20.【变式演练】1.已知函数 f(x)=x2-1-aln x 恰有两个零点 x1,x2x1 x2.(1)

16、求实数 a 的取值范围；(2)证明：3 x1+x26a.1 7题型十六 幂指对与三角函数型证明不等式【典例分析】1.已知函数 f x=ex-ax-cos x，g x=f x-x，a R(1)若 f x 在 0,+上单调递增，求 a 的最大值；(2)当 a 取(1)中所求的最大值时，讨论 g x 在 R 上的零点个数，并证明 g x-2【变式演练】1.已知函数 f x=2sin x-xcos x-ax a R.(1)若曲线 y=f x 在点 0,f 0 处的切线与直线 y=x+2 平行.(i)求 a 的值；(ii)证明：函数 f x 在区间 0,内有唯一极值点；(2)当 a 1 时，证明：对任意

17、 x 0,，f x 0.1 8题型十七 不等式证明综合型【典例分析】1.已知函数 f x=aex-ln x+b,a,b R(1)当 a e，b=1 时，证明 f x 2；(2)当 b=0 时，令 g x=f x-1若 g x 有两个零点，求 a 的取值范围；已知1.098 ln3 1.099，e0.0481.050，e-0.0450.956，证明：1.14 ln 0)的“上夹线”的方程，并给出证明1 9题型二 好题演练好题演练1.(2023 江苏南通 高三校联考阶段练习)已知函数 f(x)=eax-1x-ln xx.(1)若 a=0，关于 x 的不等式 f(x)m 恰有两个整数解，求 m 的取

18、值范围；(2)若 f(x)的最小值为1，求 a.2.(天 一 大 联 考 皖 豫 名 校 联 盟2023 届 高 三 第 三 次 考 试 数 学 试 题)已 知 函 数 f(x)=x(ln x-a)在 区 间1,e 上的最小值为-1，函数 g(x)=m2x2-m,a,m R(1)求 a 的值；(2)设函数 F(x)=f(x)-g(x),x1,x2是 F(x)的两个不同的极值点，且 x152 03.(2023 春 安 徽 马 鞍 山 高 二 马 鞍 山 二 中 校 考 期 中)已 知 函 数 f x=x3+ax+b，且 满 足 f x 的 导 数y=fx 的最小值为-34.(1)求 a 值；(2

19、)若函数 y=f x 在区间-1,2 上的最大值与最小值的和为7，求 b 值.4.(2023 吉 林 通 化 梅 河 口 市 第 五 中 学 校 考 模 拟 预 测)已 知 函 数 f x=ax l-ln x 和 g x=bln xx有相同的最大值，并且 ab=e.(1)求 a,b；(2)证明：存在直线 y=k，其与两条曲线 y=f x 和 y=g x 共有三个不同的交点，且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列.2 15.(2023 春 四 川 广 安 高 二 广 安 二 中 校 考 期 中)已 知 m 0，e 是 自 然 对 数 的 底 数，函 数 f x=ex+m-mln mx-m(1)若

20、 m=2，求函数 F x=ex+x22-4x+2-f x 的极值；(2)是否存在实数 m，x 1，都有 f x 0？若存在，求 m 的取值范围；若不存在，请说明理由6.(2023 广 西 南 宁 统 考 二 模)已 知 函 数 f x=ex-ax2+2 ax-1，其 中 a 为 常 数，e 为 自 然 对 数 底 数，e=2.71828，若函数 f x 有两个极值点 x1，x2.(1)求实数 a 的取值范围；(2)证明：x1-1+x2-1 2.2 27.(2023 山 西 统 考 二 模)已 知 函 数 f(x)=(mx-1)ex+n m,n R 在 点(1,f(1)处 的 切 线 方 程 为

21、 y=ex+2-e，g x=exx+1(1)求 f(x)的值域；(2)若 f(a)=f(b)=g(c)=g(d)，且 a b，c 0；b+c 0.8.(2023 春 湖南 高三校联考阶段练习)已知函数 f x=ex-ln x-a-1(1)若 1,e+1 为曲线 y=f x 上一点，求曲线 y=f x 在该点处的切线方程；(2)若 a 0，证明：f x 1-a ln a.2 39.(2023 春 湖 北 武 汉 高 二 华 中 师 大 一 附 中 校 考 期 中)已 知 f x=xln x-12ax2有 两 个 极 值 点 x1，x2且 x1 x2.(1)若 f x 的极大值大于e22，求 a

22、的范围；(2)若 x12x2，证明：x1+x23aln2.10.(天域全国名校联盟2023 届高三第一次适应性联考数学试题)已知函数 f x=1+2ln xx2.(1)设函数 g x=ekx-1kxk 0，若 f x g x 恒成立，求 k 的最小值；(2)若方程 f x=m 有两个不相等的实根 x1、x2，求证：x1x2+x2x12 1-ln m m.1导数压轴大题归类目录重难点题型归纳 1【题型一】恒成立求参 1【题型二】三角函数恒成立型求参 4【题型三】同构双变量绝对值型求参 7【题型四】零点型偏移证明不等式 10【题型五】非对称型零点偏移证明不等式 14【题型六】条件型偏移证明不等式

23、18【题型七】同构型证明不等式 21【题型八】先放缩型证明不等式 24【题型九】放缩参数型消参证明不等式 26【题型十】凸凹翻转型证明不等式 28【题型十一】切线两边夹型证明不等式 30【题型十二】切线放缩型证明不等式 32【题型十三】构造一元二次根与系数关系型证明不等式 35【题型十四】两根差型证明不等式 38【题型十五】比值代换型证明不等式 41【题型十六】幂指对与三角函数型证明不等式 43【题型十七】不等式证明综合型 46好题演练 50一、重难点题型归纳重难点题型归纳题型一 恒成立求参【典例分析】1.已知函数 f x=x+2 a ln x(a R)(1)讨论 fx 的单调性；(2)是否存

24、在 a Z，使得 fx a+2 对 x 1 恒成立？若存在，请求出 a 的最大值；若不存在，请说明理由【答案】(1)当 a 0 时，fx 在 0,+上单调递增；当 a 0 时，fx 在 0,2 a 上单调递减，在2a,+上单调递增(2)不存在满足条件的整数 a，理由见解析【分析】(1)构造新函数 g x=fx，分 a 0 及 a 0 两种情况，利用导数研究函数的单调性即可求解；(2)将问题进行转化 xln x-x-ax+2a 0，构造新函数并求导，分 a 0 和 a 0 两种情况分别讨论，利用导数研究函数的单调性及最值，整理求解2(1)因为 f x=x+2a ln x x 0，所以 fx=ln

25、 x+1+2 ax记 g x=fx=ln x+1+2 axx 0，则 gx=1x-2ax2=x-2ax2，当 a 0 时，gx 0，即 g x 在 0,+上单调递增；当 a 0 时，由 gx 0，解得 x 2a，即 g x 在 2a,+上单调递增；由 gx 0，解得0 x 0 时，fx 在 0,2a 上单调递减，在 2a,+上单调递增(2)假设存在 a Z，使得 fx a+2 对任意 x 1 恒成立，即 xln x-x-ax+2 a 0 对任意 x 1 恒成立令 h x=xln x-x-ax+2a x 1，则 hx=ln x-a，当 a 0 且 a Z 时，hx 0，则 h x 在 1,+上单

26、调递增，若 h x 0 对任意 x 1 恒成立，则 h 1=a-1 0，即 a 1，矛盾，故舍去；当 a 0，且 a Z 时，由ln x-a 0 得 x ea；由ln x-a 0 得1 x 0 即可令 G t=2t-ett 0，则 Gt=2-et，当2-et0，即 t ln2 时，G t 单调递增；当2-etln2 时，G t 单调递减，所以 G t max=G ln2=2ln2-2 0 且 a Z，使得2a-ea0 成立综上所述，不存在满足条件的整数 a【技法指引】恒成立基本思维：若 k f(x)在 a,b 上恒成立，则 k f(x)max；若 k f(x)在 a,b 上恒成立，则 k f(

27、x)min；若 k f(x)在 a,b 上有解，则 k f(x)min；若 k f(x)在 a,b 上有解，则 k f(x)max；【变式演练】31.已知函数 f(x)=1+xex，g(x)=1-ax2(1)若函数 f(x)和 g(x)的图象在 x=1 处的切线平行，求 a 的值；(2)当 x 0，1 时，不等式 f(x)g(x)恒成立，求 a 的取值范围【答案】(1)a=12e(2)-,1-2e【分析】(1)分别求出 f(x)，g(x)的导数，计算得到 f(1)=g(1)，求出 a 的值即可；(2)问题转化为 h x 0 对任意 x 0，1 的恒成立，求导，对参数分类讨论，通过单调性与最值即

28、可得到结果.(1)f(x)=-xex，f(1)=-1e，g(x)=-2 ax，g(1)=-2a，由题意得：-2a=-1e，解得：a=12e；(2)令 h x=f(x)-g(x)，即 h x 0 对任意 x 0，1 的恒成立，hx=-xex+2ax，a 0 时，hx 0 在 x 0，1 的恒成立，所以 h x 在 0，1 上单调递减.h x max=h 0=0,满足条件；a 0 时，hx=-x+2ax exex=x 2aex-1 ex，令 hx=0，得 x1=0,x2=ln12a(i)当ln12a0，即 a 12时，hx 0 在 x 0，1 的恒成立，仅当 x=0 时 hx=0，所以 h x 在

29、 0，1 上单调递增.又 h 0=0，所以 h x 0 在 0，1 上恒成立，不满足条件；(ii)当0 ln12a1，即12e a 12时，当 x 0,ln12a时，hx 0，h x 上单调递增，又 h 0=0，h 1=2e-1+a 0,得 a 1-2e，于是有12e a 1-2e.(iii)当ln12a1，即0 a 12e时，x 0，1 时，hx 0，h x 上单调递减，.又 h 0=0，所以 h x 0 对任意 x 0，1 的恒成立，满足条件综上可得，a 的取值范围为-,1-2e题型二 三角函数恒成立型求参4【典例分析】1.已知函数 f(x)=ex+cos x-2,f(x)为 f(x)的导

30、数.(1)当 x 0 时，求 f(x)的最小值；(2)当 x-2时，x ex+xcos x-ax2-2x 0 恒成立，求 a 的取值范围.【答案】(1)1(2)(-,1【分析】(1)求导得 f(x)=ex-sin x，令 g x=ex-sin x，利用导数分析 g(x)的单调性，进而可得 f(x)的最小值即可(2)令 h(x)=ex+cos x-ax-2，问题转化为当 x-2时，x h(x)0 恒成立，分两种情况：当 a 1 时和当 a 1 时，判断 x ex+cos x-ax-2 0 是否成立即可【详解】(1)由题意，f(x)=ex-sin x，令 g(x)=ex-sin x，则 g(x)=

31、ex-cos x，当 x 0 时，ex1，cos x 1，所以 g(x)0，从而 g(x)在 0,+)上单调递增，则 g(x)的最小值为 g(0)=0，故 f(x)的最小值0；(2)由已知得当 x-2时，x ex+cos x-ax-2 0 恒成立，令 h x=ex+cos x-ax-2，hx=ex-sin x-a，当 a 1 时，若 x 0 时，由(1)可知 hx 1-a 0，h x 为增函数，h x h 0=0 恒成立，x h x 0 恒成立，即 x ex+cos x-ax-2 0 恒成立，若 x-2,0，令 m x=ex-sin x-a 则 mx=ex-cos x，令 n x=ex-cos

32、 x，则 nx=ex+sin x，令 p x=ex+sin x，则 px=ex+cos x，在 px 在 x-2,0内大于零恒成立，函数 p x 在区间-2,0为单调递增，又 p-2=e-2-1 0，p 0=1，p x 上存在唯一的 x0-2,0 使得 p x0=0，当 x-2,x0时，nx 0，此时 n x 为增函数，又 n-2=e-20，n 0=0，存在 x1-2,x0，使得 n x1=0，当 x-2,x1时，mx 0，m x 为增函数，当 x x1,0 时，mx 0，m 0=1-a 0，5 x-2,0时，hx 0，则 h x 为增函数，h x h 0=0，x ex+cos x-ax-2

33、0 恒成立，当 a 1 时，m(x)=ex-cos x 0 在 0,+)上恒成立，则 m x 在 0,+)上为增函数，m 0=1-a 0，m(ln(1+a)=eln(1+a)-sin(ln(1+a)-a=1-sin(ln(1+a)0，存在唯一的 x2 0,+使 hx2=0，当0 x x2时，h(x)0，从而 h(x)在 0,x2 上单调递减，h x h 0=0，x ex+cos x-ax-2 0，所以 x 在 0,2 上单调递增，所以 x 0=0，所以 hx 0，所以 h x 在 0,2 上单调递增，h x max=h2=2-2sin2=2-2，所以 a 2-2，即 a 的取值范围为 2-2,

34、+6题型三 同构双变量绝对值型求参【典例分析】1.已知函数 f x=aln x+x2(a 为实常数).(1)当 a=-4 时，求函数 f x 在 1,e 上的最大值及相应的 x 值；(2)若 a 0，且对任意的 x1,x2 1,e，都有 f x1-f x2 1x1-1x2，求实数 a 的取值范围.【答案】(1)当 x=e 时，取到最大值e2-4(2)a 1e-2e2【分析】(1)求导，由导函数判出原函数的单调性，从而求出函数在 1,e 上的最大值及相应的 x 值；(2)根据单调性对 f x1-f x2 1x1-1x2 转化整理为 f x2+1x2 f x1+1x1，构造新函数h x=f x+1

35、x在 1,e 单调递减，借助导数理解并运用参变分离运算求解.解：(1)当 a=-4 时，则 f x=-4ln x+x2,fx=2x2-4x(x 0)，当 x 1,2 时，fx 0，f x 在 1,2 上单调递减，在 2,e 上单调递增，又 f e-f 1=-4+e2-1=e2-5 0，故当 x=e 时，取到最大值e2-4(2)当 a 0 时，f x 在 x 1,e 上是增函数，函数 y=1x在 x 1,e 上减函数，不妨设1 x1 x2e，则 f x1-f x2 1x1-1x2 可得 f x2-f x1 1x1-1x2即 f x2+1x2 f x1+1x1，故原题等价于函数 h x=f x+1

36、x在 x 1,e 时是减函数，h x=ax+2x-1x20 恒成立，即 a 1x-2x2在 x 1,e 时恒成立.y=1x-2x2在 x 1,e 时是减函数 a 1e-2e2.【变式演练】1.已知 f x=x2+x+aln x(a R)(1)讨论 f x 的单调性；(2)若 a=1，函数 g x=x+1-f x，x1，x2(0,+)，x1 x2，x1g x2-x2g x1 x1-x2 恒成立，求实数 的取值范围【答案】(1)当 a 0 时，f x 在区间 0,+上单调递增；7当 a 0，时，x1g x2-x2g x1 x1-x2 g x2 x2-g x1 x1 1x2-1x1，去绝对值后，构造

37、函数求解即可.【详解】(1)由已知，f x=x2+x+aln x(a R)的定义域为 0,+，fx=2x+1+ax=2x2+x+ax，当 a 0 时，fx 0 在区间 0,+上恒成立，f x 在区间 0,+上单调递增；当 a 0，解得 x1=-1-1-8a40，当 x 0,-1+1-8a4 时，2 x2+x+a 0，fx 0，fx 0，f x 在区间-1+1-8a4,+上单调递增，综上所述，当 a 0 时，f x 在区间 0,+上单调递增；当 a x1-x2 等价于x1g x2-x2g x1 x1x2 x1-x2 x1x2，即g x2 x2-g x1 x1 1x2-1x1，令 h x=g x

38、x，x 0,+，则 h x2-h x1 1x2-1x1 恒成立hx=x gx-g x x2=x-2x-1x-x2-ln x+1 x2=ln x-x2-2x2，令 F x=ln x-x2-2，x 0,+，则 Fx=1x-2x=1-2 x2x，令 Fx=0，解得 x=22，当 x 0,22 时，Fx 0，F x 在区间 0,22 单调递增；当 x 22,+时，Fx 0，F x 在区间22,+单调递减，当 x 0,+时，F x 的最大值为 F22=ln22-12-2=-12ln2-520，8 当 x 0,+时，F x=ln x-x2-2-12ln2-520，即 hx=ln x-x2-2x20，h x

39、=g x x在区间 0,+上单调递减，不妨设 x1 h x2，又 y=1x在区间 0,+上单调递减，x1，x2(0,+)，且 x11x2，h x2-h x1 1x2-1x1 等价于 h x1-h x2 1x1-1x2，h x1-x1 h x2-x2，设 G x=h x-x，x 0,+，则 x1，x2(0,+)，且 x1 h x2-x2等价于 G x1 G x2，即 G x 在(0,+)上单调递减，Gx=hx+x20，-x2hx，-x2ln x-x2-2x2=-F x，当 x 0,+时，F x 的最大值为 F22=-12ln2-52，-F x 的最小值为12ln2+52，12ln2+52，综上所

40、述，满足题意的实数 的取值范围是-,12ln2+52.题型四 零 点 型 偏 移 证 明 不 等 式【典例分析】1.已知函数 f x=xln x，g x=ax2+1(1)求函数 f x 的最小值；(2)若不等式 x+1 ln x-2 x-1 m 对任意的 x 1,+恒成立，求 m 的取值范围；(3)若函数 f x 的图象与 g x 的图象有 A x1,y1，B x2,y2 两个不同的交点，证明：x1x216(参考数据：ln2 0.69，ln5 1.61)【答案】(1)-1e；(2)-，0；(3)证明见解析.【分析】(1)先求函数 f x 的定义域，然后求导，令 f(x)0，可求单调递增区间；令

41、 f(x)1)，只需利用二次求导的方法求函数 h x 的最小值即可.9(3)首先根据题意得出 ax1=ln x1-1x1，ax2=ln x2-1x2，从而可构造出ln(x1x2)-2(x1+x2)x1x2=x1+x2x2-x1lnx2x1；然后根据(2)的结论可得出x1+x2x2-x1lnx2x12，即得出ln(x1x2)-2(x1+x2)x1x22 成立；再根据基本不等式得到ln x1x2-2x1x21，从而通过构造函数 G(x)=ln x-2x即可证明结论.解：(1)已知函数 f(x)=xln x 的定义域为 0，+，且 f(x)=1+ln x，令 f(x)0，解得 x 1e；令 f(x)

42、0，解得0 x 1)，则 m 1)，则(x)=x-1x20，所以(x)在 1,+上单调递增，所以(x)(1)=0，即 h(x)0，所以 h(x)在 1,+上单调递增，所以 h(x)h(1)=0，所以 m 的取值范围是-，0.(3)因为函数 f x 的图象与 g(x)的图象有 A(x1,y1),B(x2,y2)两个不同的交点，所以关于 x 的方程 ax2+1=xln x，即 ax=ln x-1x有两个不同的实数根 x1，x2，所以 ax1=ln x1-1x1，ax2=ln x2-1x2，+，得ln(x1x2)-x1+x2x1x2=a(x1+x2)，-，得lnx2x1+x2-x1x1x2=a(x2

43、-x1)，消 a 得，ln(x1x2)-2(x1+x2)x1x2=x1+x2x2-x1lnx2x1，由(2)得，当 m=0 时，(x+1)ln x-2(x-1)0，即x+1x-1ln x 2 对任意的 x 1,+恒成立.不妨设 x2 x10，则x2x11，所以x1+x2x2-x1lnx2x1=x2x1+1x2x1-1lnx2x12，即ln(x1x2)-2(x1+x2)x1x22 恒成立.因为ln(x1x2)-2(x1+x2)x1x2ln(x1x2)-2 2 x1x2x1x2=2ln x1x2-4x1x2，1 0所以2ln x1x2-4x1x22，即ln x1x2-2x1x21.令函数 G(x)

44、=ln x-2x，则 G(x)在 0,+上单调递增.又 G(4)=ln4-12=2ln2-120.88 1，所以当 G(x1x2)1 时，x1x24，即 x1x216，所以原不等式得证.【变式演练】1.已知函数 f(x)=12x2+ln x-2x(1)求函数 f(x)的单调区间；(2)设函数 g(x)=ex+12x2-(4+a)x+ln x-f(x)，若函数 y=g(x)有两个不同的零点 x1,x2，证明：x1+x2e-2，转化为x1-x2ln x1-ln x2=1x1+x2=2ln(a+2)+ln x1x2，不妨设 x1 x2，要证 x1+x22ln(a+2)，只需证明 x1x21，转化为2

45、ln t-t+1t0)，因为函数 y=g(x)有两个不同的零点 x1,x2，所以ex=(a+2)x 有两个不同的根，即(a+2)=exx有两个不同的根，设 I(x)=exx，可得 I(x)=ex(x-1)x2，当 x(0,1)时，I(x)0，所以 y=I(x)在(0,1)上单调递减，(1,+)上单调递增，当 x=1 时，函数 y=I(x)取得最小值，最小值为 I(1)=e，1 1所以 a+2 e，即 a e-2，由ex 1=(a+2)x1ex 2=(a+2)x2，可得x1=ln(a+2)+ln x1x2=ln(a+2)+ln x2，即x1-x2=ln x1-ln x2x1+x2=2ln(a+2

46、)+ln x1x2，所以x1-x2ln x1-ln x2=1x1+x2=2ln(a+2)+ln x1x2，不妨设 x1 x2，要证 x1+x22ln(a+2)，只需证明 x1x21 即可，即证 x1x2x1-x2ln x1-ln x2，只需证明：lnx1x21)，即证：2ln t-t+1t1，可得 h(t)=2t-1t2-1=-t2+2t-1t2=-(t-1)2t20，所以 y=h(t)在(1,+)上单调递减，所以 h(t)h(1)=0，故 x1x21 恒成立，所以 x1+x22ln(a+2)题型五 非对称型零点偏移证明不等式【典例分析】1.已知函数 f x=aln x-x a R.(1)求函

47、数 y=f x 的单调区间；(2)若函数 y=f x 在其定义域内有两个不同的零点，求实数 a 的取值范围；(3)若0 x1 x2，且x1ln x1=x2ln x2=a，证明：x1ln x10 时，函数 y=f x 的单调递增区间为 0,a，单调递减区间为 a,+.(2)a e(3)证明见解析【分析】(1)先求定义域，然后对 a 进行分类讨论，求解不同情况下的单调区间；(2)在第一问的基础上，讨论实数 a 的取值，保证函数有两个不同的零点，根据函数单调性及极值列出不等式，求出 a e 时满足题意，再证明充分性即可；(3)设 x2=tx1，对题干条件变形，构造函数对不等式进行证明.解：(1)函数

48、 f x 定义域为 0,+，f x=aln x-x a R，fx=ax-1=a-xx1 2当 a 0 时，fx 0 时，fx=0，解得 x=a，当 x 0,a 时，fx 0，函数 y=f x 的单调递增区间为 0,a，当 x a,+时，fx 0 时，函数 y=f x 的单调递增区间为 0,a，单调递减区间为 a,+;(2)由(1)知，当 a 0 时，函数 y=f x 在 0,+上单调递减，函数 y=f x 至多有一个零点，不符合题意，当 a 0 时，函数 y=f x 在 0,a 上单调递增，在 a,+上单调递减，f(x)max=f a=aln a-a，又函数 y=f x 有两个零点，f a=a

49、ln a-a=a ln a-1 0,a e又 f 1=-1 e,ga 0 函数 g a 在 e,+上单调递减，g a max=g e=2-e e 为所求.(3)依题意，x1,x20 x1 x10 t 1，a=x1ln x1=x2ln x2=tx1ln x1+ln t，ln x1=ln tt-1，ax1=1ln x1=t-1ln t不等式x1ln x12x2-x1x1ln x12tx1-x11ln x12 t-1 t-1ln t1，所证不等式即2tln t-ln t-t+1 0设 h t=2 tln t-ln t-t+1,ht=2ln t+2-1t-1,ht=2t+1t20，ht 在 1,+上是

50、增函数，且 ht h1=0，所以 h t 在 1,+上是增函数，且 h t h 1=0，即2tln t-ln t-t+1 0，从而所证不等式成立.【变式演练】1.函数 f x=ln x-ax2+1.(1)若 a=1，求函数 y=f 2x-1 在 x=1 处的切线；(2)若函数 y=f x 有两个零点 x1，x2，且 x1 x2，(i)求实数 a 的取值范围；(ii)证明：x22-x1-a2+a+1a2.【答案】(1)y=-2 x-1；(2)(i)0 a e2；(ii)证明见解析.【分析】1 3(1)先设 g x=f 2x-1，再对其求导，根据导数的几何意义，即可求出切线方程；(2)(i)根据题