湖北省荆门市龙泉中学、荆州中学·、宜昌一中2022-2023学年高三下学期5月三校联考数学试题含答案.pdf

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1、5 月三校联考数学2023 年 高三下 学期 5 月三校 联考 高三数学试题 考试时间：2023年5 月3 日 下 午300-5:00 试卷满分：150分 一、单项选择题：本 题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出 的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的 1 若 复数2i()2iazaR 是纯 虚数，则 a（）A 2 B 2 C 1 D 1 2 已 知 a R，若集 合 1,1,0,1 M a N，则“0 a”是“MN”的（）A 充分 不必 要条 件 B 必要 不 充分条 件 C 充要 条件 D 既不 充 分也不 必要 条件 3已 知实 数 a，b 满足 lg lg lg

2、2 a b a b，则 2ab 的最 小值 是（）A 5 B 9 C 13 D 18 4 设,ab是两 个单 位向 量，若ab 在b上的 投影 向量为34b，则 cos,ab（）A 34B 14 C 14 D 345 若6 2 60 1 2 6(2 1)x a a x a x a x，则2 4 6aaa（）A 366 B 365 C 364 D 363 6 血 药浓 度检 测可 使给 药 方案个 体化，从 而达 到临 床用药 的安 全、有效、合 理某 医学 研究 所研制的某 种新 药进 入了 临床 试验阶 段，经检 测，当患 者 A 给药 3 小时 的时 候血 药浓度 达到 峰值，此后每经 过

3、 2 小时 检测 一次，每 次检 测血 药浓 度降 低 到上一 次检 测血 药浓 度的 40%，当 血药 浓 度 为峰值的1.024%时，给药 时间 为（）A 11 小时 B 13 小时 C 17 小时 D 19 小时 7 关 于函 数()sin(2)f x A x，有下 列四 个 命题：甲：6 是()fx的一 个极 小值 点；乙：3是()fx的一 个极 大值 点；丙：()fx在27 5,5单调 递增；丁：函 数()y f x 的图象 向左 平移3个单位 后所 得图 象关 于y轴对称.其中只 有一 个是 假命 题，则该命 题是（）A.甲 B.乙 C.丙 D.丁8 设nN，函数 1xf x xe

4、，21f x f x，3 2 1,nnf x f x f x f x，曲线 ny f x 的最低 点为nP，12 n n nP P P的面积 为nS，则（）A nS是递 增数 列 B nS是递 减数 列 C 21 nS是递 增数 列 D nS是摆动 数列22:+4 O x y P M M P 1 2 2 1 31112k k kQ PQ Q PQ Q PQ Q PQ 1,2,3iQ i k k M P12Q PQ23Q PQ1kkQ PQ 1 kQ PQM P1 1 1 1ABCD A B C D ABCD1AA AB 1 1 1 1ABCD A B C D AC BD 1 1 1 1ABCD

5、 A B C D A141A ABD1A7121AC 1A BD1 1 1 1ABCD A B C D A131BC1ACC2422:13yEx1F2F 1,2 C k lE PQ3,3 kCPQl32(1,0)A 222 QF A QAF 2122 PF PF PO sin 2 cos2 36 tan,P x y22:13xCy P1l 2 4 0 xy 2l20 x y m Pm 学第 1 页 共 2 页 2i()2iazaR a 2 1 a R 1,1,0,1 M a N0 a MN lg lg lg 2 a b a b 2ab,ab ab b34b cos,ab 341414346 2

6、 60 1 2 6(2 1)x a a x a x a x 2 4 6aaa 40%1.024%()sin(2)f x A x 6()fx3()fx()fx27 5,5()y f x 3ynN 1xf x xe 21f x f x 3 2 1,nnf x f x f x f x ny f x nP12 n n nP P PnS nS nS 21 nS nS二、多项选择题：本 题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出 的四 个选项中，有多项符合题目要求全部选 对的 得 5 分，部分选对的得2 分，有选错的得 0 分 9 某 单位 为了 解该 单位 党 员开展 学习 党史 知识 活

7、动 情况，随 机抽 取了 30 名 党 员，对他 们一 周的 党史 学 习时 间进 行 了统 计，统 计 数据 如下 则下 列对该 单 位党 员一 周 学习 党史时 间 的叙 述，正 确的有（）党史学 习时 间（小时）7 8 9 10 11 党员人 数 4 8 7 6 5 A 众数 是 8 B 第 40 百 分位 数为 8 C 平均 数是 9 D 上 四分位 数 是 10 10 已知 P 是圆22:+4 O x y 上任意 一 点，定点 A 在 x 轴 上，线 段 AP 的 垂直 平分 线与 直 线 OP 相交于 点 Q，当 P 在圆 O 上 运动时，Q 的 轨迹 可以 是（）A 圆 B 椭圆

8、 C 双 曲线 D 抛物线 11 阅读数学材料：“设 P 为多面体 M 的一个顶点，定义多面体 M 在点 P 处的离散曲率为 1 2 2 1 31112k k kQ PQ Q PQ Q PQ Q PQ，其中 1,2,3iQ i k k 为多 面体 M 的所 有与 点 P 相邻的 顶点，且平面12Q PQ，平 面23Q PQ，平面1kkQ PQ和 平面1 kQ PQ为多面体 M 的所有以 P 为 公 共点 的 面”解 答 问 题：已 知在 直 四 棱 柱1 1 1 1ABCD A B C D 中，底面 ABCD 为菱形，1AA AB，则下 列结 论正确 的是（）A 直四 棱柱1 1 1 1ABC

9、D A B C D 在其 各顶 点 处的离 散曲 率都 相等 B 若 AC BD，则直 四棱 柱1 1 1 1ABCD A B C D 在顶点 A 处的离 散曲 率为14 C 若四 面体1A ABD 在点1A 处的 离散 曲率为712，则1AC 平面1A BD D 若 直四 棱柱1 1 1 1ABCD A B C D 在顶 点 A 处的 离散曲 率为13，则1BC与平面1ACC 所 成角 的 正弦值 为24 12 已 知双 曲线22:13yEx 的左 右 焦 点分别 为1F、2F，过 点 1,2 C 斜率为 k 的直线l 与双 曲线 E 的左 右 两支 分别 交于 P、Q 两点，下列 命题 正

10、确 的有（）A 3,3 k B 当点C 为线 段PQ的中点 时，直线l 的斜率 为32 C 若(1,0)A，则222 QF A QAF D 2122 PF PF PO 三、填空题（本大题 共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13.若 sin 2 cos2 36，则 tan _ 14.,P x y 为 椭 圆22:13xCy 上 任 意 一 点，且 点 P 到直线1l：2 4 0 xy 和2l：20 x y m 的距离 之和 与点 P 的位 置无 关，则m的取 值范 围是_ 5 月三校联考数学 15.在 四面 体 ABCD 中，1 AB，2 CD，AB 与 CD 所 在的直 线间 的距

11、离为3，且 AB 与 CD 所成的角 为060，则 四 面体 ABCD 的体 积为_ 16.某校组织 羽毛球比赛，每场比 赛采用五局三胜制（每局 比赛没有平局，先胜三局 者获胜并结 束比赛），两人 第一 局获 胜的 概率均 为12，从第 二局 开始，每局获 胜的 概率 受上 局比 赛结果 的影 响，若上局 获胜，则该 局获 胜 的概率 为12p，若 上局 未获 胜，则 该局 获胜 的概 率为12p，且一方 第一局、第二 局连 胜的 概率 为516则p _；打完 4 场结束 比赛 的概 率为_ 四、解答题：（本大题 共 6 小题，共 70 分，解答应写 出文字说明，证明过 程或 演算步骤）17（

12、本小 题满 分 10 分）已知各 项均 为正 数的 数列 na 满足11 a，212 1nna S n n N，其中nS 是数列 na 的前n项和（1）求数 列 na 的通项 公式；（2）数列 nb 满足 sin2n nbna，求 nb 的前100 项和100T 18（本小 题满 分 12 分）某兴趣 小组 为研 究一 种地 方性疾 病与 当地 居民 的卫 生习惯（卫生 习惯 分为 良 好和不 够良 好两 类）的 关系，设 A=“患 有地 方性 疾 病”，B=“卫 生习 惯良 好”.据 临床统 计显 示，3()4P A B，12()13P B A，该地人 群中 卫生 习惯 良好 的概率 为45

13、.（1）求()PA 和()P A B；（2）为进 一步 验证（1）中的判 断，该兴 趣小 组用 分层抽 样的 方法 在该 地抽 取了一 个容 量为 m m N 的样本，利用 独立 性检 验，计 算得22.640.为提 高检 验结 论 的可靠 性，现 将样 本容量调 整为 原来 的 k k N 倍，使 得能 有 99.9%的 把握 肯定（1）中的 判断，试确 定 k 的最 小值.附表及 公式：22()()()()()n ad bca b c d a c b d，n a b c d 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 x 2.706 3.841 6.635 7.879 10.8

14、28 19（本小 题满 分 12 分）在 ABC 中，角 A B C、所对的 边分 别为 a b c、，且3cos cos cos cos cosb c a aB C A B C（1）求 tan tan BC；（2）求 tan A 的最大 值 1 1 1ABC A BC 11AA B BAB AC 11AA B B ABC1 1 1A B C1AB Cl11A B B C 1060 ABB 2 AB AC l P1ABABP10101BP2:2 x py 2,2 M OAB 2sin 1xf x e a x ax a x 0 a fx fx a 学第 2 页 共 2 页 ABCD 1 AB 2

15、 CD AB CD 3 AB CD060ABCD1212p 12p 516p na11 a 212 1nna S n n NnS na n na nb sin2n nbna nb 100100T3()4P A B 12()13P B A 45()PA()P A B m m N22.640 k k N k22()()()()()n ad bca b c d a c b d n a b c d xABC A B C、a b c、3cos cos cos cos cosb c a aB C A B C tan tan BCtan A20（本小 题满 分 12 分）在三棱 柱1 1 1ABC A BC

16、 中，四 边形11AA B B 是菱 形，AB AC，平面11AA B B 平面 ABC，平面1 1 1A B C 与平 面1AB C 的交线 为l（1）证明：11A B B C；（2）已知1060 ABB，2 AB AC，l 上是 否存 在 点 P，使1AB 与平 面 ABP 所成角 的正 弦值为1010？若存 在，求1BP 的长度；若不 存在，说 明理 由 21（本小 题满 分 12 分）已知抛 物线2:2 x py 过点 2,2 M，O 为坐 标原点（1）直线 l 经 过抛 物线 的 焦点，且 与抛 物线 相交 于 A，B 两 点，若 弦 AB 的长 等 于 6，求 OAB的面积；（2）

17、抛物 线 上是否 存在 异 于 O，M 的点 N，使 得经 过 O，M，N 三 点的 圆 C 和抛物 线 在点 N处有相 同的 切线，若 存在，求出 点 N 的坐 标，若不 存在，请说 明理 由 22（本小 题满 分 12 分）设函数 2sin 1xf x e a x ax a x（1）当 0 a 时，讨 论 fx 的单调 性；（2）若函 数 fx 在 R 上单 调 递增，求实数 a 的取值 5 月三校联考数学 2023 年 高三下 学期 5 月三 校联考 高三 数学 参考答案 一、单项选择题：1-4 DABC 5-8 CBCB 二、多项选择题：9 ACD 10 ABC 11 BCD 12 B

18、C 三、填空题 13.23 14.13 m 15.32 16.14；165512 四解答题 17 解：（1）当 1 n 时，22 a，当 2 n 时，递 推得212nnaSn，22121n n na a a，2221+2 1=1n n n na a a a，因为 数列 na 各项 均为 正数，所以11nnaa，又211 aa，数列 na 为等 差数 列，故11na a n n.5 分（2）由 sin2nbnn 得，43434 3 sin 4 32kbkkk，42424 2 sin 02kbkk，41414 1 sin 4 12kkkk b，40kb；令4 3 4 2 4 1 42k k k k

19、 kc b b b b，则 100 1 2 3 100 1 2 25+=25-2=-50 T b b b b c c c 10 分18 解：（1）11(),()4 13P A B P B A，1 1 1 13()()()()(),()4 5 13 20P A B P B P B A P A P A P A，720PA，4 分 而()()()()()P A P B P A B P B P A B 7 4 1 3 120 5 5 4 4AB P AB P，8 分（2）不够良 好 良好 总计 患有该 病 ka kb k a b 未患该 病 kc kd k c d 总计 k a c k b d k a

20、 b c d 2222k a b c d k ad k bck a b k c d k a c k b d 2()2.64 10.828 4.10k a b c d ad bckka b c d a c b d，故min5 k.12 分 3cos cos cos cos cosb c a aB C A B C cos cos cos cos cos 3cos b C c B A a B C A sin cos sin cos cos sin cos cos 3cos B C C B A A B C A sin cos sin cos cos 3cos B C A A B C A 0 A sin

21、 0 A cos cos 2cos 0 B C A cos cos 2cos 0 B C B C 2sin sin cos cos B C B C 1tan tan2BC 1tan tan2BC,BC tan tantan tan 2 tan tan 4 tan tan 2 21 tan tanBCA B C B C B CBC 2tan tan2BC tanA 22 11AABB11AB AB 11AABB ABC11AABB,ABC AB AC,ABC AC AB AC 11AABB1AB 11AABB1AC AB 1AB AC A 1AB 1BAC1BC 1BAC11AB BC 1010

22、12 BP 11ABAD160 ABB 1160 AAB 11AA AB 11AAB11AD AB 11/AB ABAD AB 11AABB ABC11AABB,ABC AB AD 11AABBAD ABC,AB AC ADA xyz 11(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(1,0,3),(1,0,3)A B C A B 1(0,2,0),(2,0,0),(1,0,3)AC AB AB 11/,AC AC AC 1 1 1 1 1,ABC AC 1 1 1ABC/AC1 1 1ABCAC 1ABC1 1 1ABC1ABC l/AC l1ABABP 30 1R BP AC 1(0,

23、2,0)BP 11(1,2,3)AP AB BP(,)n x y z ABP 学第 1 页 共 2 页 23 13 m 32141655121 n 22 a 2 n 212nnaSn22121n n na a a 2221+2 1=1n n n na a a a na11nnaa211 aa na11na a n n sin2nbnn 43434 3 sin 4 32kbkkk 42424 2 sin 02kbkk 41414 1 sin 4 12kkkk b 40kb 4 3 4 2 4 1 42k k k k kc b b b b 100 1 2 3 100 1 2 25+=25-2=-5

24、0 T b b b b c c c 11(),()4 13P A B P B A 1 1 1 13()()()()(),()4 5 13 20P A B P B P B A P A P A P A 720PA()()()()()P A P B P A B P B P A B 7 4 1 3 120 5 5 4 4AB P AB P ka kb k a b kc kd k c d k a c k b d k a b c d 2222k a b c d k ad k bck a b k c d k a c k b d 2()2.64 10.828 4.10k a b c d ad bckka b

25、c d a c b d min5 k 19 解：（1）3cos cos cos cos cosb c a aB C A B C，cos cos cos cos cos 3cos b C c B A a B C A，1 分 由正弦 定理 得 sin cos sin cos cos sin cos cos 3cos B C C B A A B C A，sin cos sin cos cos 3cos B C A A B C A，3 分 0 A，则 sin 0 A，故 cos cos 2cos 0 B C A，4 分 即 cos cos 2cos 0 B C B C，2sin sin cos cos

26、 B C B C，即1tan tan2BC 6 分（2）由1tan tan2BC 知，,BC 均为锐 角，故 tan tantan tan 2 tan tan 4 tan tan 2 21 tan tanBCA B C B C B CBC，当且仅 当2tan tan2BC 时，等 号成 立 故 tanA 的最 大值 为 22 12 分 20 解：（1）因为 四边 形11AABB 为菱形，所 以11AB AB，平面11AABB 平面ABC，平面11AABB 平面,ABC AB AC 平面,ABC AC AB，所以AC 平面11AABB，2 分 又1AB 平面11AABB，所 以1AC AB，又1

27、AB AC A，所 以1AB 平面1BAC，又1BC 平面1BAC，所 以11AB BC.5 分（2）l 上存 在点P，使A1B 与平面 ABP 所 成角 的正 弦值为1010，且12 BP 理 由如 下：取11AB 中点D，连 接AD，因为160 ABB，所以1160 AAB，又11AA AB，所 以11AAB 为等边 三角 形，所以11AD AB，因为11/AB AB，所以AD AB，又平面11AABB 平面ABC，平 面11AABB 平面,ABC AB AD 平面11AABB，所以AD 平面ABC，6 分 以A 为原 点，以,AB AC AD 方向分 别 为x 轴，y 轴，z 轴正 方向

28、 建立空 间直 角坐 标系A xyz，11(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(1,0,3),(1,0,3)A B C A B，1(0,2,0),(2,0,0),(1,0,3)AC AB AB 因为11/,AC AC AC 平面1 1 1 1 1,ABC AC 平面1 1 1ABC，所以/AC 平面1 1 1ABC，又AC 平面1ABC，平 面1 1 1ABC 平面1ABC l，所以/AC l，假设l 上 存在 一 点P，使1AB 与 平面ABP 所成角 为 30，设 1R BP AC，8 分 则1(0,2,0)BP，所 以11(1,2,3)AP AB BP，设(,)n x y z

29、 为平 面ABP 的一个 法向 量，5 月三校联考数学 则00n ABn AP，即202 3 0 xx y z，令 3 y，则 2 z，可取(0,3,2)n，10 分 又1(3,0,3)AB，所 以1121|2 3|10sin|cos,102 3 3 4|n ABn ABn AB，即223 4 10，解 得212，此时12 BP AC；因此l 上 存在 点P，使A1B 与平 面ABP 所 成角 的正 弦 值为1010，且12 BP 12 分 21 解：（1）抛物 线2:2 x py 过点 2,2 M，1 p，抛 物线1C方程22 xy 1 分 设直线1:2l y kx，设 11,A x y，2

30、2,B x y由2212kxxyy，得22 1 0 x kx，直线 l 与抛 物线 有两 个 交点 A，B，所 以24 4 0 k，得122 x x k，121 xx，3 分 于是 2221 2 1 2 1 21 1 4 AB k x x k x x xx 2 2 21 4 4 2 1 6 k k k，解得2 k，直 线 l 的方 程为1202xy，原点 O 到直 线 l 距离36d，OAB的面积 为3 1 366 2 2S 5 分（2）已知 O，M 的 坐标 分 别为 0,0，2,2，抛 物线 方程22 xy，假设抛 物线 上存 在点2,2tNt（0 t 且 2 t），使得经 过 O，M，N

31、 三点 的圆 C 和 抛物 线 在点 N 处 有相同 的切 线.设经 过 O，M，N 三 点的 圆的方 程为220 x y Dx Ey F，则2 4 202 2 84 2 4 4FD E FtD t E F t t，整理得 32 2 4 4 0 t E t E，7 分 22 xy，两 边同 时对x求导 得，yx，抛 物线 在点2,2tNt处的 切线 的斜率 为t，经过 O，M，N 三 点的 圆 C 在点2,2tNt处的 切线 斜率 为t，8 分 0 t,22DEC22212tEtDt 320 t E t D 32 4 0 t E t E 324tE 0 t 323 4 0 tt 22 1 0

32、tt 2 t 1 t 11,2 cos 2 1 1 cos 2 1xxf x e a x ax a e a x x cos 2 1 x x x sin 2 0 xx x R 00 0 a 0 x 0 x 0 fx 0 x 0 x 0 fx fx,0 0,cos 2 1 0 xf x e a x ax a xR cos 2 1xg x e a x ax a 00 g 0 g x g 0 x gx 0 x gx 00 g sin 2xg x e a x a 0 1 2 0 ga 12a 12a 13cos 022xf x e x x xR 31cos221xxxe 31cos22xxxhxe 1

33、1 1sin cos2 2 2xx x xhxe 1 1 1sin cos2 2 2t x x x x 1 1 2cos sin 1 cos 1 02 2 2 4t x x x x tx R 00 t hx,0 0,01 h x h 12a 学第 2 页 共 2 页 00n ABn AP202 3 0 xx y z 3 y 2 z(0,3,2)n 1(3,0,3)AB1121|2 3|10sin|cos,102 3 3 4|n ABn ABn AB 223 4 10 212 12 BP AC 101012 BP 2:2 x py 2,2 M 1 p 1C22 xy 1:2l y kx 11,A

34、 x y 22,B x y2212kxxyy22 1 0 x kx 24 4 0 k 122 x x k 121 xx 2221 2 1 2 1 21 1 4 AB k x x k x x xx 2 2 21 4 4 2 1 6 k k k 2 k 1202xy 36d OAB3 1 366 2 2S 0,0 2,222 xy 2,2tNt0 t 2 t 220 x y Dx Ey F 2 4 202 2 84 2 4 4FD E FtD t E F t t 32 2 4 4 0 t E t E 22 xy xyx 2,2tNtt2,2tNtt0 t，直线 NC 的斜 率存 在.圆心 的坐 标

35、为,22DEC，22212tEtDt，即 320 t E t D，即 32 4 0 t E t E，10 分 由 消去 E，得324tE，又0 t，得323 4 0 tt，即 22 1 0 tt.2 t，1 t，故满足 题设 的 点 N 存在，其坐标 为11,2 12 分 22 解：（1）cos 2 1 1 cos 2 1xxf x e a x ax a e a x x，1 分 令 cos 2 1 x x x，则 sin 2 0 xx，x 在R 上单 调递 减，3 分 又 00，0 a，所以 当 0 x 时，0 x，此时 0 fx；当 0 x 时，0 x，此时 0 fx；故 fx 在,0 上单

36、调 递减，在 0,上单 调递增 5 分（2）由题 意知，cos 2 1 0 xf x e a x ax a 对 xR 恒成 立 令 cos 2 1xg x e a x ax a，又 00 g，则 0 g x g 恒成 立；0 x 不是函 数 gx 的区间 端点，故 0 x 是 gx 的最 小值 点，同时 也是 极小值 点 则必有 00 g，由 sin 2xg x e a x a，0 1 2 0 ga，则12a 7 分 下面证 明：当12a 时，13cos 022xf x e x x 对 xR 恒成 立 即证31cos221xxxe 9 分 令 31cos22xxxhxe，则 1 1 1sin cos2 2 2xx x xhxe，令 1 1 1sin cos2 2 2t x x x x，则 1 1 2cos sin 1 cos 1 02 2 2 4t x x x x，tx 在R 上单 调递 减，又 00 t，hx 在在,0 上单调 递增，在 0,上单调 递 减；01 h x h，得证！故12a 12 分